第4章信號(hào)與系統(tǒng)

§4.1 引言以傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點(diǎn)在于：它給出的結(jié)果有著清楚的物理意義，但也有不足之處，傅里葉變換只能處理符合狄利克雷條件的信號(hào)，而有些信號(hào)是不滿足絕對(duì)可積條件的，因而其信號(hào)的分析受到限制；另外在求時(shí)域響應(yīng)時(shí)運(yùn)用傅里葉反變換對(duì)頻率進(jìn)行的無窮積分求解困難。為了解決對(duì)不符合狄氏條件信號(hào)的分析，利用本章要討論的拉氏變換法擴(kuò)大信號(hào)變換的范圍優(yōu)點(diǎn)在于：求解比較簡(jiǎn)單，特別是對(duì)系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時(shí)，初始條件被自動(dòng)計(jì)入，因此應(yīng)用更為普遍；缺點(diǎn)在于：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。本章內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法

本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對(duì)拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進(jìn)行討論。本章重點(diǎn)在于，以拉氏變換為工具對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻域分析。最后介紹系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點(diǎn)概念，并根據(jù)他們的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應(yīng)，還要簡(jiǎn)略介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。注意與傅氏變換的對(duì)比，便于理解與記憶?！?.2拉普拉斯變換的定義、

收斂域主要內(nèi)容從傅里葉變換到拉普拉斯變換拉氏變換的收斂一些常用函數(shù)的拉氏變換一．從傅里葉變換到拉普拉斯變換則1．拉普拉斯正變換2．拉氏逆變換3．拉氏變換對(duì)二．拉氏變換的收斂

收斂域：使F(s)存在的s的區(qū)域稱為收斂域。記為：ROC(regionofconvergence)實(shí)際上就是拉氏變換存在的條件；例題及說明6.一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。三．一些常用函數(shù)的拉氏變換1.階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)全s域平面收斂3.單位沖激信號(hào)4．tnu(t)§4.3拉普拉斯變換的基本

性質(zhì)主要內(nèi)容線性

原函數(shù)微分原函數(shù)積分

延時(shí)（時(shí)域平移）s域平移

尺度變換初值

終值卷積

對(duì)s域微分對(duì)s域積分一．線性已知?jiǎng)t同理例題：二．原函數(shù)微分推廣：電感元件的s域模型電感元件的s模型應(yīng)用原函數(shù)微分性質(zhì)設(shè)三．原函數(shù)的積分電容元件的s域模型電容元件的s模型四．延時(shí)（時(shí)域平移）時(shí)移特性、例題【例1】已知【例2】五．s域平移例六．尺度變換時(shí)移和標(biāo)度變換都有時(shí):七．初值例

即單位階躍信號(hào)的初始值為1例終值存在的條件:八．終值九．卷積十．對(duì)s微分十一．對(duì)s積分§4.4拉普拉斯逆變換主要內(nèi)容由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法部分分式法求拉氏逆變換兩種特殊情況一．由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法(1)部分分式法(2)利用留數(shù)定理——圍線積分法(3)數(shù)值計(jì)算方法——利用計(jì)算機(jī)二．F(s)的一般形式ai,bi為實(shí)數(shù)，m,n為正整數(shù)。分解零點(diǎn)極點(diǎn)三．拉氏逆變換的過程四．部分分式展開法(m<n)1.第一種情況：?jiǎn)坞A實(shí)數(shù)極點(diǎn)2.第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)3.第三種情況：有重根存在第一種情況：?jiǎn)坞A實(shí)數(shù)極點(diǎn)(1)找極點(diǎn)(2)展成部分分式(3)逆變換求系數(shù)如何求系數(shù)k1,k2,k3``````？第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)出現(xiàn)在

求f(t)例題F(s)具有共軛極點(diǎn)，不必用部分分式展開法求下示函數(shù)F(s)的逆變換f(t)：解：求得另一種方法3.第三種情況：有重根存在如何求k2?如何求k2?設(shè)法使部分分式只保留k2，其它分式為0逆變換一般情況求k11，方法同第一種情況：求其它系數(shù)，要用下式五．F(s)兩種特殊情況非真分式------化為真分式＋多項(xiàng)式1.非真分式－－真分式＋多項(xiàng)式作長(zhǎng)除法2.含e-s的非有理式§4.5用拉普拉斯變換法分析電路、s域元件模型主要內(nèi)容用拉氏變換法分析電路的步驟微分方程的拉氏變換利用元件的s域模型分析電路一.用拉氏變換法分析電路的步驟列s域方程（可以從兩方面入手）

列時(shí)域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。求解s域方程。，得到時(shí)域解答。二．微分方程的拉氏變換

我們采用0-系統(tǒng)求解瞬態(tài)電路，簡(jiǎn)便起見，只要知道起始狀態(tài)，就可以利用元件值和元件的起始狀態(tài)，求出元件的s域模型。例4-5-1（4）求反變換求采用0-系統(tǒng)采用0+系統(tǒng)兩種方法結(jié)果一致。使用0-系統(tǒng)使分析各過程簡(jiǎn)化。(3)對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換采用0-系統(tǒng)采用0+系統(tǒng)(4)原方程取拉氏變換三．利用元件的s域模型分析電路1.電路元件的s域模型2.電路定理的推廣線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。3.求響應(yīng)的步驟畫0-等效電路，求起始狀態(tài)；畫s域等效模型；列s域方程（代數(shù)方程）；解s域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換V(s)或I(s)；拉氏反變換求v(t)或i(t)。電阻元件的s域模型電感元件的s域模型利用電源轉(zhuǎn)換可以得到電流源形式的s域模型：

電容元件的s域模型電流源形式：3.求響應(yīng)的步驟

畫0-等效電路，求起始狀態(tài)；畫s域等效模型；列s域方程（代數(shù)方程）；解s域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換V(s)或I(s)；拉氏反變換求v(t)或i(t)。例4-5-2例4-5-3例4-5-2列s域方程:結(jié)果同例4-5-1例4-5-3(1)(2)(3)列方程解：極點(diǎn)故

逆變換設(shè)則波形第一種情況：階躍信號(hào)對(duì)回路作用的結(jié)果產(chǎn)生不衰減的正弦振蕩。第二種情況：引入符號(hào)所以第三種情況：第四種情況：波形作業(yè)4-1（3）（7）（8）（14）（15）（18）4-3（5）4-4（14）（19）（20）4-9外加條件，E=L=C=R=1§4.6系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H(s)系統(tǒng)函數(shù)LTI互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)并聯(lián)

級(jí)聯(lián)

反饋連接1.定義一．系統(tǒng)函數(shù)響應(yīng)的拉氏變換與激勵(lì)的拉氏變換之比2.H(s)的幾種情況策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)：激勵(lì)與響應(yīng)在同一端口時(shí)策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納策動(dòng)點(diǎn)阻抗轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移阻抗電壓比電流比轉(zhuǎn)移函數(shù)：激勵(lì)和響應(yīng)不在同一端口4.應(yīng)用：求系統(tǒng)的響應(yīng)3．求H(s)的方法利用網(wǎng)絡(luò)的s域元件模型圖，列s域方程→微分方程兩端取拉氏變換→例4-6-1(1)在零起始狀態(tài)下，對(duì)原方程兩端取拉氏變換(2)例4-6-2解：于是得到二．LTIS互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)1．LTI系統(tǒng)的并聯(lián)2．LTI系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)3．LTI系統(tǒng)的反饋連接例4-6-3已知系統(tǒng)的框圖如下，請(qǐng)寫出此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和描述此系統(tǒng)的微分方程?！?.7系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定時(shí)域特性序言H(s)零、極點(diǎn)與h(t)波形特征H(s)、E(s)的極點(diǎn)分布與自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)特性的對(duì)應(yīng)

一．序言

沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)從時(shí)域和變換域兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性。

在s域分析中，借助系統(tǒng)函數(shù)在s平面零點(diǎn)與極點(diǎn)分布的研究，可以簡(jiǎn)明、直觀地給出系統(tǒng)響應(yīng)的許多規(guī)律。系統(tǒng)的時(shí)域、頻域特性集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布表現(xiàn)出來。

主要優(yōu)點(diǎn)：1．可以預(yù)言系統(tǒng)的時(shí)域特性；2．便于劃分系統(tǒng)的各個(gè)分量（自由／強(qiáng)迫，瞬態(tài)／穩(wěn)態(tài)）；3．可以用來說明系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)特性。二．H(s)零、極點(diǎn)與h(t)波形特征的對(duì)應(yīng)在s平面上，畫出H(s)的零極點(diǎn)圖：極點(diǎn)：用×表示，零點(diǎn)：用○表示1．系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)例4-7-1極點(diǎn)：零點(diǎn)：畫出零極點(diǎn)圖：2．H(s)極點(diǎn)分布與原函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系幾種典型情況一階極點(diǎn)當(dāng)，極點(diǎn)在左半平面，衰減振蕩當(dāng)，極點(diǎn)在右半平面，增幅振蕩二階極點(diǎn)三．H(s)、E(s)的極點(diǎn)分布與自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)特性的對(duì)應(yīng)激勵(lì)：系統(tǒng)函數(shù)：響應(yīng)：自由響應(yīng)分量＋強(qiáng)制響應(yīng)分量幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)自由響應(yīng)的極點(diǎn)只由系統(tǒng)本身的特性所決定，與激勵(lì)函數(shù)的形式無關(guān)，然而系數(shù)都有關(guān)。響應(yīng)函數(shù)r(t)由兩部分組成：系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)

自由響應(yīng)分量；激勵(lì)函數(shù)的極點(diǎn)

強(qiáng)迫響應(yīng)分量。定義系統(tǒng)行列式（特征方程）的根為系統(tǒng)的固有頻率（或稱“自然頻率”、“自由頻率”）。H(s)的極點(diǎn)都是系統(tǒng)的固有頻率；H(s)零、極點(diǎn)相消時(shí)，某些固有頻率將丟失。暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)是指激勵(lì)信號(hào)接入以后，完全響應(yīng)中瞬時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著t增大，將消失。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)＝完全響應(yīng)－瞬態(tài)響應(yīng)左半平面的極點(diǎn)產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)和瞬態(tài)響應(yīng)對(duì)應(yīng)。例4-7-2給定系統(tǒng)微分方程試分別求它們的完全響應(yīng)，并指出其零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，自由響應(yīng)，強(qiáng)迫響應(yīng)各分量，暫態(tài)響應(yīng)分量和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。解：方程兩端取拉氏變換零輸入響應(yīng)／零狀態(tài)響應(yīng)則

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)／暫態(tài)響應(yīng)，自由響應(yīng)／強(qiáng)迫響應(yīng)極點(diǎn)位于s左半平面極點(diǎn)位于虛軸暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)H(s)的極點(diǎn)E(s)的極點(diǎn)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)作業(yè)4-10：（a），且所有參數(shù)的值為14-29§4.8由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布

決定頻響特性

定義幾種常見的濾波器根據(jù)H(s)零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線一．定義

所謂“頻響特性”是指系統(tǒng)在正弦信號(hào)激勵(lì)下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨頻率的變化情況。前提：穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。

有實(shí)際意義的物理系統(tǒng)都是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。時(shí)域：頻域：H(s)的全部極點(diǎn)落在s左半平面。

H(s)和頻響特性的關(guān)系頻響特性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)二．幾種常見的濾波器三．根據(jù)H(s)零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線令分子中每一項(xiàng)分母中每一項(xiàng)畫零極點(diǎn)圖

當(dāng)沿虛軸移動(dòng)時(shí)，各復(fù)數(shù)因子(矢量)的模和幅角都隨之改變，于是得出幅頻特性曲線和相頻特性曲線。由矢量圖確定頻率響應(yīng)特性例4-8-1確定圖示系統(tǒng)的頻響特性。例4-8-2研究下圖所示RC低通濾波網(wǎng)絡(luò)的頻響特性寫出網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移函數(shù)表達(dá)式解:頻響特性例4-8-3其轉(zhuǎn)移函數(shù)為相當(dāng)于低通與高通級(jí)聯(lián)構(gòu)成的帶通系統(tǒng)。解：低通濾波器高通濾波器頻響特性§4.11線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

引言定義（BIBO）由H(s)的極點(diǎn)位置判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性一．引言某連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)當(dāng)輸入為u(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為但t很大時(shí)，這個(gè)正指數(shù)項(xiàng)超過其他項(xiàng)并隨著t的增大而不斷增大二．定義（BIBO）

一個(gè)系統(tǒng)，如果對(duì)任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定系統(tǒng)。對(duì)所有的激勵(lì)信號(hào)e(t)其響應(yīng)r(t)滿足

則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。式中穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是（絕對(duì)可積條件）：三．由H(s)的極點(diǎn)位置判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性1．穩(wěn)定系統(tǒng)

若H(s)的全部極點(diǎn)位于s平面的左半平面（不包括虛軸），則可滿足系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例如系統(tǒng)穩(wěn)定；2．不穩(wěn)定系統(tǒng)

如果H(s)的極點(diǎn)位于s右半平面，或在虛軸上有二階（或以上）極點(diǎn)系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。3．臨界穩(wěn)定系統(tǒng)

如果H(s)極點(diǎn)位于s平面虛軸上，且只有一階。為非零數(shù)值或等幅振蕩。4．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)從頻域看要求H(s)的極點(diǎn)：

①右半平面不能有極點(diǎn)(穩(wěn)定)②虛軸上極點(diǎn)是單階的(臨界穩(wěn)定,實(shí)際不穩(wěn)定)。例當(dāng)常數(shù)k滿足什么條件時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？加法器輸出端的信號(hào)輸出信號(hào)如圖所示反饋系統(tǒng)，子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)則反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為為使極點(diǎn)均在s左半平面，必須作業(yè)4-38（e）（f）§4.12雙邊拉氏變換定義雙邊拉氏變換的收斂域一．定義優(yōu)點(diǎn)：收斂域：二．雙邊拉氏變換的收斂域全時(shí)域信號(hào)s<ba<\收斂帶不同的函數(shù)在各不相同的收斂條件下可能得到同樣的拉式變換。例：取雙邊拉式變換，注明收斂域解：

求得每一步都應(yīng)寫明變換式的收斂域。4.12拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系由此可以得到傅氏變換與拉氏變換的關(guān)系引言傅氏變換與拉氏變換的關(guān)系衰減函數(shù)，傅氏變換是存在:例如：

當(dāng)初求階躍函數(shù)的傅氏變換，不是用經(jīng)典法(定義式)，而是用取極限的方法（矩形脈沖的周期為無窮大），引入了沖激函數(shù)而得到的。對(duì)于只有一階極點(diǎn)的情況，極點(diǎn)位于虛軸

（4-162）

則總結(jié)

對(duì)于有起因信號(hào)，求單邊拉氏變換中，一般是t>0的信號(hào)，所以收斂域在收斂軸右邊。對(duì)F(s)分解因式，找出極點(diǎn)。收斂域中不應(yīng)有極點(diǎn)，最右邊的極點(diǎn)為收斂坐標(biāo)。 例4-12-1例4-12-2兩種方法結(jié)果相同第四章復(fù)習(xí)課李莉拉普拉斯變換拉氏變換對(duì)基本性質(zhì)線性

原函數(shù)微分原函數(shù)積分

延時(shí)（時(shí)域平移）s域平移

尺度變換初值

終值卷積

對(duì)s域微分對(duì)s域積分一．線性二．原函數(shù)微分三．原函數(shù)的積分四．延時(shí)（時(shí)域平移）五．s域平移六．尺度變換七．初值終值存在的條件:八．終值九．卷積十．對(duì)s微分十一．對(duì)s積分雙邊拉氏變換一．定義優(yōu)點(diǎn)：收斂域：二．雙邊拉氏變換的收斂域全時(shí)域信號(hào)s<ba<\收斂帶拉普拉斯逆變換拉氏逆變換的過程F(s)的一般形式ai,bi為實(shí)數(shù)，m,n為正整數(shù)。分解部分分式展開法(m<n)1.第一種情況：?jiǎn)坞A實(shí)數(shù)極點(diǎn)2.第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)3.第三種情況：有重根存在第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)出現(xiàn)在

求f(t)F(s)具有共軛極點(diǎn)，不必用部分分式展開法求下示函數(shù)F(s)的逆變換f(t)：解：求得另一種方法一般情況求k11，方法同第一種情況：求其它系數(shù)，要用下式F(s)兩種特殊情況非真分式------化為真分式＋多項(xiàng)式拉普拉斯變換

與傅里葉變換的關(guān)系用拉普拉斯變換法分析電路、s域元件模型用拉氏變換法分析電路的步驟列s域方程（可以從兩方面入手）

列時(shí)域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。求解s域方程。，得到時(shí)域解答。微分方程的拉氏變換

我們采用0-系統(tǒng)求解瞬態(tài)電路，簡(jiǎn)便起見，只要知道起始狀態(tài)，就可以利用元件值和元件的起始狀態(tài)，求出元件的s域模型。利用元件的s域模型分析電路1.電路元件的s域模型2.電路定理的推廣線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。3.求響應(yīng)的步驟畫0-等效電路，求起始狀態(tài)；畫s域等效模型；列s域方程（代數(shù)方程）；解s域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換V(s)或I(s)；拉氏反變換求v(t)或i(t)。電阻元件的s域模型電感元件的s域模型利用電源轉(zhuǎn)換可以得到電流源形式的s域模型：

電容元件的s域模型電流源形式：3.求響應(yīng)的步驟

畫0-等效電路，求起始狀態(tài)；畫s域等效模型；列s域方程（代數(shù)方程）；解s域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換V(s)或I(s)；拉氏反變換求v(t)或i(t)。系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H(s)1.定義一．系統(tǒng)函數(shù)響應(yīng)的拉氏變換與激勵(lì)的拉氏變換之比應(yīng)用：求系統(tǒng)的響應(yīng)求H(s)的方法利用網(wǎng)絡(luò)的s域元件模型圖，列s域方程→微分方程兩端取拉氏變換→二．LTIS互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)1．LTI系統(tǒng)的并聯(lián)2．LTI系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)3．LTI系統(tǒng)的反饋連接系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性關(guān)系H(s)零、極點(diǎn)與h(t)波形特征的對(duì)應(yīng)在s平面上，畫出H(s)的零極點(diǎn)圖：極點(diǎn)：用×表示，零點(diǎn)：用○表示1．系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)一階極點(diǎn)當(dāng)，極點(diǎn)在左半平面