平面向量基礎(chǔ)知識(shí)梳理及平面向量基礎(chǔ)題,提升題,文科適用,理科適用

平面向量基礎(chǔ)知識(shí)梳理一、向量的概念：⒈有向線段：叫做有向線段.⒉向量：叫做向量.向量通常用有向線段或表示.⒊向量的模：向量的又叫做向量的模，記作.⒋兩個(gè)重要概念：①零向量：叫做零向量.記作.注意：零向量沒(méi)有規(guī)定它的方向，因此零向量的方向是任意的.②單位向量：叫做單位向量.注意：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蚺c它所在向量的方向相同.⒌相等向量：叫做相等向量.向量與相等記作.⒍平行向量：叫做平行向量.向量與平行可記作.規(guī)定：與任一向量平行.即∥，∥，∥.⒎共線向量：叫做共線向量.注意：若與是共線向量，則與的方向，它們所在的直線它們的夾角是.⒏相反向量：叫做相反向量.的相反向量是，?的相反向量是，的相反向量是.⒐兩個(gè)非零向量和的夾角：.二、向量的運(yùn)算：⒈向量的加法：⑴向量與的和的定義：⑵向量加法法則：①三角形法則（請(qǐng)畫(huà)圖于右）+（首尾相連）②平行四邊形法則（請(qǐng)畫(huà)圖于右）+（起點(diǎn)相同）⑶向量加法運(yùn)算律：①交換律：②結(jié)合律：⑷特例：=，=，=.⑸向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)=（x1，y1），=（x2，y2），則=.⒉向量的減法：⑴向量與的差的定義：向量加上的相反向量叫做與的差，記作+(?)=?.OAB?是怎樣的一個(gè)向量?答：.OABABD⑵向量減法法則：設(shè)=，=，ABD則?=-=.（請(qǐng)畫(huà)圖于右）.重要結(jié)論：設(shè)，是兩個(gè)不共線向量，則以AB、AD為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是這兩個(gè)向量和與差的模.⑶特例：=，=，=.⑷向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)=（x1，y1），=（x2，y2），則=.⒊實(shí)數(shù)與向量的積：⑴定義：實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作λ，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λ|=；②當(dāng)λ＞0時(shí)，λ的方向與的方向，當(dāng)λ＜0時(shí)，λ的方向與的方向；當(dāng)λ=0時(shí)，λ=.⑵運(yùn)算律：①λ（μ）=；②（λ+μ）=；③λ（）=.⑶實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算：⑷特例：若λ∈R，則λ=.⒋向量的數(shù)量積（或內(nèi)積）：⑴定義：已知非零向量和，它們的夾角為θ，則=.⑶運(yùn)算律：①=；②（λ）·==；③（+）·=.注意：向量的數(shù)量積沒(méi)有結(jié)合律！特別地，=，或||=.⑸向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)=（x1，y1），=（x2，y2），則=.⑹特例：=，=.三、重要定理、公式及方法：⒈平面向量基本定理：如果和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使=λ1+λ2.⒉向量模的計(jì)算公式：設(shè)=（x，y），則||=.⒋如何證明A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三點(diǎn)共線？⒌兩個(gè)向量平行、垂直的充要條件：大前提充要條件向量表示坐標(biāo)表示平行=(x1，y1),=(x2，y2),且≠∥∥垂直=(x1，y1),=(x2，y2),且≠、≠⊥⊥注意：若不考慮上面的大前提，則⑴向量=(x1，y1),和=(x2，y2)平行的充要條件是x1y2-x2y1=0.⑵向量=(x1，y1),和=(x2，y2)垂直的必要不充分條件是x1x2+y1y2=0.⒎已知向量=(x1，y1),和=(x2，y2)，它們的夾角為θ，則cosθ=.⒐線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)是.⒑三角形的重心坐標(biāo)公式：設(shè)△ABC三頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)是.平面向量1．向量的有關(guān)概念(1)平行向量：方向相同或____的非零向量；平行向量又叫____向量．規(guī)定：0與任一向量____.(2)相等向量：長(zhǎng)度____且方向____的向量．(3)相反向量：長(zhǎng)度____且方向____的向量．2．向量的線性運(yùn)算3．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使__b＝λa__.結(jié)論：1．零向量與任何向量共線．2．與向量a(a≠0)共線的單位向量±eq\f(a,|a|).3．若存在非零實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))或eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線．4．首尾相連的一組向量的和為0.5．若P為AB的中點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．6．若a、b不共線，且λa＝μb，則λ＝μ＝0.1．下列結(jié)論正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”.(1)向量就是有向線段；()(2)零向量沒(méi)有方向；()(3)若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；()(4)若a∥b，b∥c，則a∥c；()(5)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上．()2．(2018·江南十校聯(lián)考)化簡(jiǎn)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A．eq\o(AD,\s\up6(→)) B．0C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\o(DA,\s\up6(→))3.如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝)A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))4．(2017·太原模擬)向量e1，e2，a，b在正方形網(wǎng)格中的位置．如圖所示，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e25．(2015·新課標(biāo)2)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝____.(2)(2017·成都模擬)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．|a|＝|b|且a∥b B．a(chǎn)＝－bC．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)＝2b(1)(2017·南昌模擬)下列關(guān)于向量的敘述不正確的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的相反向量是eq\o(BA,\s\up6(→))B．模長(zhǎng)為1的向量是單位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且AB＝CD，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))D．若向量a與b滿足關(guān)系a＋b＝0，則a與b共線例2(1)(2015·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，則()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)(2018·山東曲阜期中)如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))、P是BN上的一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值為()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,3)C．1 D．3(3)(理)(2017·河南洛陽(yáng)統(tǒng)考)如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))，則λ＋μ的值為()A．eq\f(8,5) B．eq\f(5,8)C．1 D．－11)(2018·江西臨川一中月考)如圖，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝4eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CE,\s\up6(→))，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(3,4)b－eq\f(1,3)a B．eq\f(5,12)a－eq\f(3,4)bC．eq\f(3,4)a－eq\f(1,3)b D．eq\f(5,12)b－eq\f(3,4)a(2)(2017·山東師大附中二模)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，則λ＋μ＝()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(4,3) D．eq\f(2,3)(3)平行四邊形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))，則λ－μ＝____.(1)設(shè)e1與e2是兩上不共線向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值為()A．－eq\f(9,4) B．－eq\f(4,9)C．－eq\f(3,8) D．不存在(2)已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)例4在△ABC中，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＝()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)二、向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝_，a－b＝__，λa＝___，|a|＝___.(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝__，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝__.4．向量共線的坐標(biāo)表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?____.1．下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為()①在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(CA,\s\up6(→))可以作為基底；②若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2；③若A(3,5)、B(－1,9)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4,4)；④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).A．1 B．2C．3 D．42．(2015·新課標(biāo)卷)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)3．設(shè)向量a＝(2tanα，tanβ)，向量b＝(4，－3)，且a＋b＝0，則tan(α＋β)等于()A．eq\f(1,7) B．－eq\f(1,5)C．eq\f(1,5) D．－eq\f(1,7)4．(文)(2016·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝____.(理)(2018·吉林省統(tǒng)考)向量a＝(－1,1)，b＝(x，－2)，若(a＋2b)∥b，則x＝()A．1 B．－eq\f(3,2)C．2 D．eq\f(2,7)5．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9,－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_(kāi)例1(1)(2014·福建)在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來(lái)的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)(2)如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(CO,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為_(kāi)___.(1)如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與e1＋2e2C．e1＋e2與e1－e2 D．e1－2e2與－e1＋2e2例2(1)(2017·廣西耒賓實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)設(shè)向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，則λ＋x的值為()A．－eq\f(11,2) B．eq\f(11,2)C．－eq\f(29,2) D．eq\f(29,2)(2)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝____.(3)(理)(2017·東北三省四市二模)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1,3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m>0，n>0)，若m＋n＝1，則|eq\o(OC,\s\up6(→))|的最小值為()A．eq\f(\r(5),2) B．eq\f(\r(10),2)C．eq\r(5) D．eq\r(10)(1)已知a＝(1，－1)，b＝(1,0)，c＝(1，－2)，若a與mb－c平行，則m＝()A．－1 B．1C．2 D．3(2)已知a＝(eq\r(3)sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈(0，eq\f(π,2))，若a∥b，則x＝___.1．向量的夾角范圍是____.2．向量數(shù)量積幾何意義：a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．3．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示(1)設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．①數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝__.②模：|a|＝eq\r(a·a)＝____.③設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)間的距離|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝④夾角：cosθ＝_=__.⑤已知兩非零向量a與b，a⊥b?a·b＝0?___；1．下列結(jié)論正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”.(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)向量．((2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影也是向量．()(3)若a·b>0，則a和b的夾角為銳角；若a·b<0，則a和b的夾角為鈍角．(×)(4)若a·b＝0，則a＝0或b＝0.()(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(6)若a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c.()2．向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝()A．6 B．5C．1 D．－63．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝____..4．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝____.5．(2016·課標(biāo)全國(guó)Ⅲ)已知向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，則∠ABC＝()A．30° B．45°C．60° D．120°例2(1)(2018·四川綿陽(yáng)一診)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(x,1)，若a∥b，則|a＋b|＝()A．eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．3eq\r(2)(2)若平面向量a、b的夾角為60°，且a＝(1，－eq\r(3))，|b|＝3，則|2a－b|的值為()A．13 B．eq\r(37)C．eq\r(13) D．1(3)(2018·云南昆明一中模擬)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，則|b|＝____.(1)(2018·山西康杰中學(xué)五校期中)已知向量a、b滿足|b|＝2|a|＝2，a與b的夾角為120°，則