2020-2021學年浙江省“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟高二（下）期中數(shù)學試卷（附答案詳解）

2020-2021學年浙江省“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟高二

（下）期中數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.拋物線y2=-2%的準線方程為（）

A.%=—1B.x=1C.x=--D.x=-

22

2.若Zi2021=2+i,則Z的虛部為（）

A.-2B.-2iC.2D.21

3.若a€R,則a=-2是復數(shù)（a+2）+?2-a—6）i為純虛數(shù)的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.已知復數(shù)z滿足憶一1一遍i|=l,則|z|的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

5.關(guān)于（a—bp】的說法，錯誤的是（）

A.展開式中的二項式系數(shù)之和為2048

B.展開式各項系數(shù)和為0

C.展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大

D.展開式中第6項的系數(shù)最小

7.某命題與自然數(shù)有關(guān)，如果當n=k（keN*）時該命題成立，則可推得n=k+1時

該命題也成立.現(xiàn)已知當n=6時該命題不成立，則可推得（）

A.當n=7時，該命題不成立B.當n=7時，該命題成立

C.當n=5時，該命題成立D.當n=4時，該命題不成立

8.已知a>b>0,給出下列命題：

①若a-b=l,則

②若a—b=1,則a3—/?3>1；

③若a-b=l,則6。一非>1；

④若a—6=1,則Ina—Inb>1.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

9.如圖所示，一個圓柱形乒乓球筒，高為12厘米，底面半徑為2厘米.球產(chǎn)三

筒的上底和下底分別粘有一個乒乓球，乒乓球與球筒底面及側(cè)面均相切

（球筒和乒乓球厚度忽略不計），一個平面與兩個乒乓球均相切，且此平

面截球筒邊緣所得的圖形為一個橢圓，則該橢圓的離心率為（）；:

AT9

4

B.立

2

c.—5

D-

10.關(guān)于函數(shù)/（%）=/-asinx,下列結(jié)論正確的是（）

A.當avO時，/（%）無正的零點

B.當0Va<l,/（%）在（一2兀,0）上必有零點

C.當a>1時，存在nG（一兀,0）,使得/（%0）>V2a

D.當a=1時，存在%oe（-p0）,使得1</（%0）<V2

二、單空題（本大題共7小題，共42.0分）

11.在C+2收）6的展開式中，常數(shù)項為（用數(shù)字作答），有理項共有項.

12.已知雙曲線/一3=1（巾>0）的左、右焦點分別為Fl、F2,點P是雙曲線左支上一

點，則|PF/-仍白=;若該雙曲線的離心率為2,則另一組雙曲線乃一M=1

771

的漸近線方程是.

13.用數(shù)字1,2,3,4,5,6組成無重復數(shù)字的6位自然數(shù).

（1）可以組成個不同的偶數(shù)；

（2）若要求相鄰兩個數(shù)字奇偶性不同，則可以組成個.（均用數(shù)字作答）

14.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽屹，俗稱“粽子”，古

稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、

愛國主義詩人屈原.如圖，三角形是底邊和腰長分別為8cm和12cm的等腰三角形

第2頁，共20頁

的紙片，將它沿虛線（中位線）折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的四面體，若該

四面體內(nèi)包一蛋黃（近似于球），則蛋黃的半徑的最大值為cm（用最簡根式表

示）；在該四面體的所有棱和面所成的異面直線所成的角、二面角中最小的角的余

弦值為.

15.已知復數(shù)z滿足方程zN—3>2=l+3i（i為虛數(shù)單位），則2=.

16.現(xiàn)某路口對一周內(nèi)過往人員進行健康碼檢查，安排7名工作人員進行值班，每人值

班1天，每天1人，其中甲、乙兩人需要安排在相鄰兩天，且甲不排在周三，則不同

的安排方法有種.

17.若對任意的實數(shù)x>1,不等式-詈20恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是.

三、解答題（本大題共5小題，共68.0分）

18.已知曲線/（x）=為1與曲線g（x）=a/nx在公共點（1,0）處的切線相同，

（I）求實數(shù)a的值；

（口）求證：當x>0時，>%-1>Inx.

19.如圖，己知四邊形ABCD為菱形，對角線4c與BD相

交于。，乙BAD=60°,平面40EFCI平面BCEF=直

線EF,FO_L平面ABCO,BC=CE=DE=2EF=2.

（I）求證：直線BC〃平面4DEF；

（口）求證：EF//BC-,

(ID)求直線4F與平面BCEF所成角的正弦值.

20.已知等差數(shù)列｛即｝的前n項和為S“，at=1,且S2,S3+3成等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列也九｝的通項公式；

＜遍(1+J含)(n€N*).

(II)若｛an｝是單調(diào)遞增數(shù)列，求證:++-??+

21.已知橢圓G：,+、=l(a>b>0)的離心率為當，橢圓G的上頂點與拋物線C2；

/=2py(p>0)的焦點F重合，且拋物線。2經(jīng)過點P(2,l),0為坐標原點.

(I)求橢圓G和拋物線C2的標準方程；

(II)已知直線，：y=以+?n(?n。0)與拋物線交于4、B兩點,與橢圓C\交于C、。兩

點，且直線PF平分44PB,求首尾順次連結(jié)。、C、P、D四點所得圖形的面積的取

值范圍.

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22.已知函數(shù)/'(x)=/+a%—a?"x(aM0).

(I)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性：

(11)若函數(shù)/(?有兩個零點與，x2.

(i)求(1的范圍；

(ii)若a>0,求證：xt+x2>a.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：?.?拋物線y2=-2%,

二拋物線的焦點在%軸上，開口向左，且p=L

準線方程是x=：

故選：D.

先根據(jù)拋物線方程求得P，進而根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求得準線方程.

本題的考點是拋物線的簡單性質(zhì)，主要考查根據(jù)拋物線的標準方程求準線方程，屬于基

礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：由z~202i=2+i,得2=急=出=智=1-21,

I2021II2

所以z的虛部為-2.

故選：A.

由2021=4x505+1,可得12。21=3所以利用z=^=空=智求解即可.

[2021i浮

本題考查復數(shù)的運算，考查學生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：若。=-2,則z=-2-2+[(-2)2+2-6口=0,為實數(shù)，二充分性不成

立，

若復數(shù)z=(a+2)+(a2-a-6)i為純虛數(shù)，

則｛合方二°6彳0,二a無解，:必要性不成立，

???a=-2是復數(shù)z=(a+2)+(a2-a-6)i為純虛數(shù)的既不充分又不必要條件，

故選：D.

利用純虛數(shù)的定義，結(jié)合充要條件的定義判定即可.

本題考查了純虛數(shù)的定義、充要條件的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

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4.【答案】C

【解析】解：設(shè)2=。+尻，由題意得(a—1)2+(b—8產(chǎn)=1,圓心到原點的距離為2,

\z\max=2+r=3.

故選：C.

由復數(shù)的幾何意義求最大值.

考查復數(shù)的模長公式、圓的最值問題，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：對于4展開式的二項式系數(shù)之和為21i=2048,故A正確，

對于B,展開式中各項系數(shù)為Q+1=(-l)kC^,

故各項系數(shù)之和為C?i—Cfi+--—CJi=0,故8正確，

對于C,展開式共12項，中間第6,7項的二項式系數(shù)最大，故C錯誤，

對于D,展開式各項的系數(shù)為(-lyCIi，可得當r=5時，該項系數(shù)最小，故O正確.

故選：C.

利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可判斷4C,根據(jù)展開式的各項系數(shù)，即可判斷BD.

本題主要考查了二項式定理，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：因為/1(x)=x+sinx,

則/''(X)=1+cosx>0恒成立,

所以/(%)在R上單調(diào)遞增，

故選項C錯誤，選項。錯誤；

當久=軻，f(7)=0,

當0<x<］時，f'(x)=1+cosx單調(diào)遞減，即對應(yīng)切線的斜率遞減，

故選項B錯誤，選項A正確.

故選：A.

利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項C,D,由導數(shù)的幾何意義，即切線斜率的

變化趨勢，即可判斷選項A,B.

本題考查了函數(shù)圖象的識別，解題的關(guān)鍵是掌握識別圖象的方法:可以從定義域、值域、

函數(shù)值的正負、特殊點、特殊值、函數(shù)的性質(zhì)等方面進行判斷，考查了直觀想象能力與

邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：由題意可知，

命題對n=5不成立(否則n=6也成立).

同理可推得P(n)對n=4,n=3,n=2,n=1也不成立.

故選：D.

由歸納法的性質(zhì)，由命題對n=k成立，則它對=k+1也成立，由此類推，對的

任意整數(shù)均成立，結(jié)合逆否命題同真同假的原理，當命題對n=k不成立時，則它對n=

上-1也不成立，由此類推，對n<k的任意正整數(shù)均不成立，由此不難得到答案.

當尸(n)對n=k成立，則它對n=k+1也成立，由此類推，對n>k的任意整數(shù)均成立；

結(jié)合逆否命題同真同假的原理，當P5)對n=k不成立時，則它對n=卜-1也不成立，

由此類推，對n<k的任意正整數(shù)均不成立.

8.【答案】B

【解析】解：a>b>0,a-b=1,a>1,

依一傷=資靠=而力<1'故①錯誤；

a3-63=(a—&)(a2+ab+62)=a2+aZ?+b2>1,故②正確；

ea-eb=eb+a-b-eb=e\e-1)>1,故③正確；

若Q=2,b=1,則m2—Ini=ln2<1,故④錯誤.

故命題②③是真命題，

故選：B.

由題意得Q>b>0,a—b=1,a>1,歷—仍轉(zhuǎn)化為成系，再化簡為二:布，從而

22

判斷；M—b)(a+ab+b)=a?++力2，從而判斷；ea_eb=eb+a-b—

e^=e\e-l)>l,從而判斷；舉反例a=2,b=1判斷即可.

本題考查了命題的真假性的判斷，同時考查了化簡運算的能力，屬于中檔題.

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9.【答案】B

【解析】解：不妨設(shè)橢圓方程為［+［=l(a>b>0),

a2b2/

由題意得［2112—4,

解.得Q—4,b=2,c—V16—4—2V3,

該橢圓的離心率為e=￡=越=理.

a42

故選：B.

設(shè)橢圓方程為W+1=l(a>b>0),由題意求出a,b,c,由此能求出該橢圓的離心

率.

本題考查橢圓的離心率的求法，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用，屬于基

礎(chǔ)題.

10.【答案】D

【解析】解：對于4：a<0,取“手a=—潑，

則/(與)=e三一(―eT)sinY=0，

即/'(%)有正零點，故A不正確；

對于8：0<a<1,一2兀<》<0時，^<ex<1,

11

當0VQV再時，QS譏％<a<刖，

此時/(%)恒為正，沒有零點，故B不正確；

對于C：a>1,—n<%<0,/'(%)=e*—acosx,

-7T<x<-］時，/'(%)>0.而/'(0)=1—a<0?

函數(shù)y=e*,y=acos%在(一］，0)上都遞增，

由y=QCOSX與y=靖的圖像特征可知y=ex,y=acos%在(一］，。)上有位移交點，

則存在七￡(一柒0),有尸(±)=0,

當一7TV%Vt時，f(X)>0,/(%)單調(diào)遞增,

當￡<%<0時，/'(%)<0,f(%)單調(diào)遞減，

而4—acost=0,

fMmax=/(七)=-asint=acost—asint=\/2acos(t+-)<V2a,故C錯誤；

對于D：a=l,x6(-p0),

/(%)=ex-sinx,r(x)=ex—cosx,/'(—1)=>0,f'(0)=0,

而f(一亍=弄_8s5<6_cosi=%_方<0,

又函數(shù)y=e%,y=cosx在(一］,0)上遞增，它們在(一］,0)上有唯一交點與，

由選項C可知，存在工1€(一(0),/(%)在(一^^)上單調(diào)遞增，在(卬0)上單調(diào)遞減,

fMmax=/(%i)=e'i-sinx=cosjq-sinx=V^cosQi+-)6(1,V2］,

114

TTn

/(W=l+eFf(0)=l,

所以存在%oe(一］,o),有1</(而)</(Xi)sV5,故。正確.

故選：D.

對于4,B選項舉出符合條件的例子，計算并判斷；對于C,D選項借助導數(shù)探討指定區(qū)

間上的函數(shù)值情況，判斷并作答.

本題考查函數(shù)的零點，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】2404

【解析】解：G+2近)6的展開式的通項為4+1=C式p6-r.(2Vx)r=2r嗎/￡

令|r-6=0,貝ijr=4,故常數(shù)項為24x屐=240,

令r=0,1,2,3,4,5,6,

可得|r—6=-6,-1，―3,-1,0,|,3,其中整數(shù)項有4項，

故x的塞指數(shù)為整數(shù)有4項，即有理項有4項.

故答案為：240,4.

求出C+2a)6的展開式的通項，然后求出常數(shù)項和有理項的個數(shù)即可.

本題考查了二項式定理，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】—2y=土百工

第10頁，共20頁

【解析】解：雙曲線/—'=l(ni>0),

則雙曲線的實半軸長為a=1.

又左、右焦點分別為Fi、尸2，點P是雙曲線左支上一點，

則IPFJ<|Pa|，

由雙曲線的定義可得|PFJ-|PF2|=-2；

由題意，雙曲線Mg=i(m>0)的半焦距c=y/m+1,

又雙曲線的離心率為2,

故離心率6=晅=2,解得m=3,

1

則雙曲線^—X2-1為^--X2—1,

m3

其漸近線方程為y=±V3x.

故答案為：—2；y-+V3x.

由雙曲線的方程求出實半軸長，再由雙曲線的定義求解即可；由離心率的定義求出m的

值，再利用雙曲線的方程寫出漸近線方程即可.

本題考查了雙曲線的標準方程的應(yīng)用，雙曲線定義的應(yīng)用以及雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，

考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

13.【答案】36072

【解析】解：(1)從2,4,6中選一個排在末尾，其它任意排，故有用延=360個；

(2)將3個偶數(shù)插入到3個奇數(shù)中，使得奇偶相鄰，則有2用用=72個.

故答案為：360,72.

(1)先排末尾，再排其它即可；

(2)利用插空法，將3個偶數(shù)插入到3個奇數(shù)中，使得奇偶相鄰，根據(jù)分步乘法即可求出.

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】V17V22

46

【解析】解：如圖示：對折疊之前的平面圖形中各點進行標記,

同時將折疊后的幾何體置于長方體中,

設(shè)長方體的長寬高分別為％,y，z,

(x2+y2=36

貝lj{/+z2=36,解得:x=2V7

+z2=16y=z—2V2

???四面體力DEF為■方超=^xyz=yV7,

四面體4DEF的全面積為S=4x8>/2=32應(yīng)，

內(nèi)切球半徑為r,則U=?r,."=孩=襄=4,

設(shè)SQnCF=。，取DQ的中點M,連接OM,

則OQ=3,MQ=V21sin^QOM=y，

???cos^DOQ=1-2sin2^QOM=1-g=|,

故長為6的兩組對棱所成的角的余弦值都是:，

長為4的兩組對棱所成的角為直角，

由于四面體40E尸的面積為8VL故各個面上的高都是相等的，設(shè)為九，

則V=1xQy/2h=yV7,h,-V141

當棱的長選取最長為6時，該棱與相應(yīng)各面所成的角最小，

其正弦值為任，余弦值為11_上=叵＞三,

673669

故各異面直線所成的角，線面所成的角中最小的角的余弦值是叵，

6

故答案為：叵,名.

46

將折疊后的四面體置于長方體中，求得長方體的長寬高，從而求出四面體的體積，利用

體積，表面積，內(nèi)切球的半徑的關(guān)系求得內(nèi)切球的半徑，利用體積求得四面體的各個面

上的高，從而得到各棱與相應(yīng)面所成的角的余弦值，在長方體中不難求得四面體的對棱

第12頁，共20頁

所成角的余弦值，然后比較得到答案.

本題考查異面直線所成的角，線面角，內(nèi)切球的半徑，棱錐的體積，是中檔題.

15.【答案】一l+3i

【解析】解：設(shè)2=Q+H0),貝亞=Q-bi,

由z-z—3f-z=1+3i,得(Q+bi)(a—bl)—3i(a—bi)=1+3i,

即a?+fa2—3ai+3bi2=1+33所以M+b2—36—3ai=1+3i,

所吧蓑3-勸=】，解魄二1,

所以z=—1+3i.

故答案為：—l+3i.

設(shè)2=。+6的力0),并代入方程化簡，再根據(jù)復數(shù)相等建立等式關(guān)系即可求出a與b的

值.

本題考查復數(shù)的運算，考查學生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】1200

【解析】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：

①要求甲、乙安排在相鄰兩天，且甲不排在周三，則甲乙的安排方法有12-2=10種；

②將剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，有福=120種情況，

則有10x120=1200種安排方法;

故答案為:1200.

根據(jù)題意，分2步進行分析：①將甲、乙按要求安排，②將剩下的5人全排列，安排在

剩下的5天，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】E，+8)

【解析】解：當x21,k>0,不等式e--竽20恒成立，

k

等價于Ae->仇％對于％>1恒成立，

即(kx)e依>無"x對于無>1恒成立，

即(依)〃">("對于x>1恒成立，

令/(久)=xex,x>0,

則((%)=(%+1)靖>0,

故函數(shù)/(%)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以f(依)>f(Znx)對于％>1恒成立，即依>仇%對于x>1恒成立,

故k>也對于X>1恒成立，

X

令g(%)21，

當1V%<e時，g'(%)>0,則g(x)單調(diào)遞增，

當時，g'(%)v0,則g(%)單調(diào)遞減，

所以當％=e時，g(%)取得最大值為g(e)=},

所以e

故正數(shù)k的取值范圍為E，+8).

故答案為：E，+8).

將不等式等價轉(zhuǎn)化為(kx)ek*>(mx)e'n，對于％>1恒成立，構(gòu)造函數(shù)/(%)=xex,%>0,

利用導數(shù)判斷/(%)的單調(diào)性，則問題轉(zhuǎn)化為以f(依)(仇x)對于恒成立，由此可

得kN等對于％21恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=W，xNl,由導數(shù)判斷函數(shù)的導數(shù)，求解

函數(shù)g(x)的最大值，即可得到答案.

本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用，不等式恒成立問題的求解，利用導數(shù)研究不等式恒成立問

題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從

而求得參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.

18.【答案】(I)解：f(%)=X,g'(x)=%

依題意/'(I)=g'(l),a=1；

(n)證明：由?一(X一1)=式工一1)220,得?之工一1,

令九(%)=x—1—lnxr則九'(久)=1—1

???xG(0,1)時,h'Q)<0,九。)遞減;

x6(1,+8)時，/iz(x)>o,/i(x)遞增.

第14頁，共20頁

???x>0時，/i(x)>h(l)=0,即x—1>Inx,

綜上所述，%>0時，>%-1>Inx.

2

【解析】(I)求出兩個函數(shù)的導函數(shù)，再由兩函數(shù)在％=1處的導數(shù)值相等求解Q值；

(11)利用作差法證明—之光—1,構(gòu)造函數(shù)h(x)=x-l—"X,利用導數(shù)求最值證明

x—1>Inx.

本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，訓練了利用導數(shù)求最值，考查運算

求解能力，是中檔題.

19.【答案】(I)證明：因為四邊形ZBCD為菱形，所以BC〃4D,

因為BC仁平面ADEF,ADu平面ADEF,

所以BC〃平面4DEF.

(II)證明：因為BC〃平面40EF,平面4DEFCI平面BCEF=EF,

所以EF〃BC.

(IE)解：因為尸01平面力BCD,

所以F014。，F(xiàn)O1OB,又因為0B14。，

所以以0為坐標原點，。力，OB,。尸分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系,

取CD的中點M,連接0M,EM,易證EMJ■平面ZBCD.

又因為8c=CE=DE=2EF=2,得出以下各點坐標：

做舊,0,0)，B(0,l,0)，C(一悔0,0),0(0,-1,0),F(0,0,V3),E(-y,-|,V3)，

所以荏=(一丹0,圾，BC=(-V3,-l,0)，BF=(0,-1,V3)，

設(shè)平面BCE尸一個法向量為元=(x,y,x),

則出.史=0,即卜%y=。,

m-BF=0(―y+V3z=0

令X=l,則y=—遮，C=-1,所以記=

設(shè)直線4F與面8CEF所成角為仇

則sin9=|cos(元，方＞|=需=焉二手，

即直線4F與平面BCEF所成角的正弦值為唱.

【解析】(I)證明4〃/BC,即可證明BC〃平面ADEF；

(II)由線面平行的性質(zhì)定理即可證明EF〃BC；

(HI)以。為坐標原點，。40B,。產(chǎn)分別為X軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，取CD

的中點M,連。M,EM.易證EM平面ABCD.求出而和平面BCFE的法向量，即可求解

直線4F與平面BCEF所成角的正弦值.

本題考查直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查邏

輯推理與運算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】(I)解:設(shè)等差數(shù)列｛即｝的公差為d,

由5i，S2,S3+3成等比數(shù)列,得宜=SI(S3+3),

二(d+2)2=1x(3d+6),解得d=-2或d=1.

又的=1,二即=1—2(n-1)=3—2n,或即=1+1x(n-1)=n；

(n)證明：;｛5｝是單調(diào)遞增數(shù)列，二%=九，

令八n)=訴(1+忌)一(&+田+…+捻

=而+篇-。+6+…+百。

則“71+1)-/何)=7^1+提一(1+期.+5+忌)

-麗+島-(1+JI+…+知=后G提一焦3一焉

=廝+零一近一黑=答一訴=二一近＞0,

.??對任意neN*,f(n+1)＞f(n),即數(shù)列｛/(n)｝是遞增數(shù)列,

neN*時，/(n)>f(l)=1+—1>0,BPVn(l+

+<?l+jE)(ne/V*).

【解析】(I)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，由已知列式求得d,即可求得數(shù)列｛即｝的通項

公式；

第16頁，共20頁

（口）由｛an｝是單調(diào)遞增數(shù)列,可得即=n,構(gòu)造函數(shù)/(n)=Vn(l++

,利用作差法證明其單調(diào)性，再證明/（n）>0,則結(jié)論得證.

本題考查等差數(shù)列的通項公式與等比數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列不等式的證明，考查數(shù)列的

函數(shù)特性及其應(yīng)用，屬中檔題.

21.【答案】解：（I）由拋物線C2經(jīng)過點P（2,l）,可得4=2p,解得p=2,

故拋物線C2的標準方程為/=4y；

所以拋物線C2：/=4y的焦點為F（0,l）,

則b=1,

又橢圓Cl的離心率0=￡=旦=四，解得a=2,

aa2

所以橢圓Cl的標準方程為蘭+丫2=1.

4

（II）將直線（的方程y=kx+ni代入/=4y,消去y并整理可得/一4kx-4m=0,

由題意知，△=161+16m>0,即m>—

設(shè)直線P4、PB的斜率分別為七、k2,

因為直線PF平分Z4PB,所以七+的=。，

設(shè)4（與,％），8（%2，%），

則e+M=°'*=4yi'x2=4y2，

則±1+上=出華=0，

X-1-2不-24

解得%1+%2=-4，

故%8=徐=牛=一1，

所以直線心y-x+m且m>-1,

y=-x4-m

聯(lián)立方程組9+y2=i消y并整理可得5/—8mx+4m2—4=0,

依題意，△=64m2—20(4m2-4)=16(5—m2)>0,

解得—近<m<遍，

所以一1<m<b且mW0,

設(shè)C（%3，、3），°（%4，2），

則%3+%4=W，XX4m2-4

34-5-

則|陰=內(nèi)叵等I

且P、。至〃的距離分別dp=呼，四=翳，

2

當—1<m<0時，SOCPD=|x\AB\x(dp-d0~)=|V5—m,

x2

當0<m<6時，S0CpD=|\AB\x(dp+d0)=|V5-m,

綜上所述，S0CPD=：后三滔G(0,|V5).

【解析】(I)先利用點在拋物線上，求出p的值，得到拋物線的方程，求出焦點坐標，

得到b的值，由離心率的定義求出a的值，即可得到橢圓的標準方程；

(II)將直線拋物線方程聯(lián)立，得到韋達定理以及△>0,直線PF平分乙4PB,則燈+七=0,

化簡求解可得%+外=-4,求出直線4B的斜率，再將直線與橢圓聯(lián)立，得到韋達定理

以及△>0,表示出首尾順次連結(jié)0、C、P、。四點所得圖形的面積，求出取值范圍即可.

本題考查了橢圓標準方程與拋物線標準方程的求解、直線與拋物線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)

用，在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題時，一般會聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利

用韋達定理和“設(shè)而不求”的方法進行研究，屬于中檔題.

22.【答案】(I)解：函數(shù)/(%)=久2+Q%-"%(Q工0),定義域為(0,+8),

則/''(;<)=2x+a—9=(包個已).,

①當a=0時，在定義域內(nèi)［。)>0恒成立，則單調(diào)遞增；

②當a<0時，當0<x<-a時,f'(x)<0,則/(%)單調(diào)遞減，

當》>—a時，/'(*)>0,則/(x)單調(diào)遞增；

③當a>0時，當0<%<：時，f(x)<0,則/(x)單調(diào)遞減，

當x>押，f(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增.

綜上所述，當a=0時，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增：

當a<0時，/(%)在(0,—a)上單調(diào)遞減，在(-a,+8)上單調(diào)遞增；

當a