2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)一卷試題和答案

2024年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類〔全國(guó)Ⅰ〕 本試卷分第=1\*ROMANI卷〔選擇題〕和第=2\*ROMANII卷〔非選擇題〕兩局部．第=1\*ROMANI卷1至2頁，第=2\*ROMANII卷3至9頁．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一卷考生注意： 1．答題前，考生在答題卡上務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、填寫清楚，并貼好條形碼．請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目． 2．每題選出答案后，用2Ｂ鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．在試題卷上作答無效． 3．本卷共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．參考公式： 如果事件互斥，那么 球的外表積公式 如果事件相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式 如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑一、選擇題1．函數(shù)的定義域?yàn)椤病矨． B．C． D．2．汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，假設(shè)把這一過程中汽車的行駛路程看作時(shí)間的函數(shù)，其圖像可能是〔〕sstOA．stOstOstOB．C．D．3．在中，，．假設(shè)點(diǎn)滿足，那么〔〕A． B． C． D．4．設(shè)，且為正實(shí)數(shù)，那么〔〕A．2 B．1 C．0 D．5．等差數(shù)列滿足，，那么它的前10項(xiàng)的和〔〕A．138 B．135 C．95 D．236．假設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，那么〔〕A． B． C． D．7．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，那么〔〕A．2 B． C． D．8．為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像〔〕A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位9．設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，那么不等式的解集為〔〕A． B．C． D．10．假設(shè)直線通過點(diǎn)，那么〔〕A． B． C． D．11．三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，那么與底面所成角的正弦值等于〔〕A． B． C． D．12．如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，那么不同的種法總數(shù)為〔〕DBCADBCA2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)〔必修選修Ⅱ〕第二卷本卷須知：1．答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，然后貼好條形碼．請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目．2．第二卷共7頁，請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效．3．本卷共10小題，共90分．二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．〔注意：在試題卷上作答無效〕13．假設(shè)滿足約束條件那么的最大值為．14．拋物線的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，那么以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為．15．在中，，．假設(shè)以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，那么該橢圓的離心率．16．等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點(diǎn)，那么所成角的余弦值等于．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．〔本小題總分值10分〕〔注意：在試題卷上作答無效〕設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求的最大值．18．〔本小題總分值12分〕〔注意：在試題卷上作答無效〕四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，，，．〔Ⅰ〕證明：；〔Ⅱ〕設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大小．CCDEAB19．〔本小題總分值12分〕〔注意：在試題卷上作答無效〕函數(shù)，．〔Ⅰ〕討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ〕設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍．20．〔本小題總分值12分〕〔注意：在試題卷上作答無效〕5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物，呈陰性即沒患?。旅媸莾煞N化驗(yàn)方法：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止．方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)．假設(shè)結(jié)果呈陽性那么說明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；假設(shè)結(jié)果呈陰性那么在另外2只中任取1只化驗(yàn)．〔Ⅰ〕求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；〔Ⅱ〕表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求的期望．21．〔本小題總分值12分〕〔注意：在試題卷上作答無效〕雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交于兩點(diǎn)．成等差數(shù)列，且與同向．〔Ⅰ〕求雙曲線的離心率；〔Ⅱ〕設(shè)被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4，求雙曲線的方程．22．〔本小題總分值12分〕〔注意：在試題卷上作答無效〕設(shè)函數(shù)．?dāng)?shù)列滿足，．〔Ⅰ〕證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；〔Ⅱ〕證明：；〔Ⅲ〕設(shè)，整數(shù)．證明：．2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)〔必修+選修Ⅱ〕參考答案1.C.2.A．3.A.4.D.5.C.6.B.7.D.8.A.9.D．10.D．11.B12.B.13.答案：9．14.答案：2.15.答案：.16.答案：.三、17.解：〔Ⅰ〕由正弦定理得依題設(shè)得：〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得tanA=4tanB,故A、B都是銳角，于是tanB>0.且當(dāng)tanB=時(shí)，上式取等號(hào)。因此tan(A-B)的最大值為.〔18〕解法一：〔Ⅰ〕作AO⊥BC，垂足為O，連接OD，由題設(shè)知，AO⊥底面BCDE，且O為BC中點(diǎn)，由知，Rt△OCD∽R(shí)t△CDE，從而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD.由三垂線定理知，AD∠CE.〔Ⅱ〕由題意，BE⊥BC，所以BE⊥側(cè)面ABC，又BE側(cè)面ABE，所以側(cè)面ABE⊥側(cè)面ABC.作CF⊥AB，垂足為F，連接FE，那么CF⊥平面ABE.故∠CEF為CE與平面ABE所成的角，∠CEF=45°.由CE=，得CF=。又BC=2，因而∠ABC=60°。所以△ABC為等邊三角形。作CG⊥AD，垂足為G，連接GE。由〔Ⅰ〕知，CE⊥AD，又CECG=C，故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。解法二：〔Ⅰ〕作AO⊥BC，垂足為O。那么AO⊥底面BCDE，且O為BC的中點(diǎn)。以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OC為x軸正向，建立如以下列圖的直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)A〔0，0，t〕，由條件有C(1,0,0),D(1,,0),E(-1,,0),得AD⊥CE.〔Ⅱ〕作CF⊥AB，垂足為F，連接FE.設(shè)F〔x,0,z〕，那么作CG⊥AD，垂足為G，連接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=故所以與的夾角等于二面角C-AD-E的平面角.知二面角C-AD-E為arccos().(19)解：〔Ⅰ〕〔2〕假設(shè)，那么對(duì)所有都有，故此時(shí)在R上是增函數(shù).〔3〕假設(shè)〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，只有當(dāng)〔20〕解：記A1、A2分別表示依方案甲需化驗(yàn)1次、2次，B1、B2分別表示依方案乙需化驗(yàn)2次、3次，A表示依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù).依題意知A2與B2獨(dú)立.(21)解：〔Ⅰ〕設(shè)雙曲線方程為不妨設(shè)l1:bx-ay=0,l2:bx+ay=0,所以〔Ⅱ〕由a=2b知，雙曲線的方程可化為x2-4y2=4b2.①由l1的斜率為知，直線AB的方程為Y=-2(x-).②將②代入①并化簡(jiǎn)，得設(shè)AB與雙曲線的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔x1,y1〕，(x2,y2)，那么③AB被雙曲線所截得的線段長(zhǎng)④將③代入④，并化簡(jiǎn)得，而由l=4，故b=3,a=6.所以雙曲線的方程為〔22〕解：〔Ⅰ〕當(dāng)0<x<1時(shí)，=1-lnx-1=-lnx>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間〔0,1〕是增函數(shù).〔Ⅱ〕