新版高中數(shù)學(xué)人教A版必修3習(xí)題第三章概率3.3.2

3.3.2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生課時(shí)過(guò)關(guān)·能力提升一、基礎(chǔ)鞏固1.用隨機(jī)模擬方法求得某幾何概型的概率為m,其實(shí)際概率的大小為n,則()A.m>n B.m<nC.m=n D.m是n的近似值答案:D2.設(shè)x是[0,1]內(nèi)的一個(gè)均勻隨機(jī)數(shù),經(jīng)過(guò)變換y=2x+3,則x=A.0 B.2 C.4 D.5解析:當(dāng)x=12時(shí),答案:C3.用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生20個(gè)0~1之間的隨機(jī)數(shù)x,但是基本事件都在區(qū)間[1,3]上,則需要經(jīng)過(guò)的變換是()A.y=3x1 B.y=3x+1C.y=4x+1 D.y=4x1答案:D4.如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為A.C.解析:由幾何概型的公式可得又S正方形=4,∴S陰影=4×答案:B5.設(shè)一直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)均是區(qū)間[0,1]上的隨機(jī)數(shù),則斜邊的長(zhǎng)小于1的概率為()A.解析:設(shè)兩直角邊分別為x,y,則x,y滿足x∈[0,1],y∈[0,1],則P(x2+y2<1)=答案:C6.某人從甲地去乙地共走了500m,途中要過(guò)一條寬為xm的河流,他不小心把一件物品丟在了途中,若物品掉在河里就找不到了,若物品不掉在河里,則能找到,已知該物品能被找到的概率為解析:已知河寬為xm,由題意得1-x500=答案:1007.b1是[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù),b=3(b12),則b是區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù).

解析:0≤b1≤1,則函數(shù)b=3(b12)的值域是6≤b≤3,即b是區(qū)間[6,3]上的均勻隨機(jī)數(shù).答案:[6,3]8.利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算如圖所示的陰影部分(y=x3和x=2以及x軸所圍成的部分)的面積.步驟是:(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0到1之間的均勻隨機(jī)數(shù),a1=RAND,b1=RAND;(2)進(jìn)行伸縮變換a=2a1,b=8b1;(3)數(shù)出落在陰影內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)N1(滿足b<a3的點(diǎn)(a,b)的個(gè)數(shù)),用幾何概型公式計(jì)算陰影部分的面積.例如,做1000次試驗(yàn),即N=1000,模擬得到N1=250.由S陰影S矩解析:S陰影≈N1N·答案:49.如圖,在一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的正方形內(nèi)部畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形,向大正方形內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn),用隨機(jī)模擬的方法求所投的點(diǎn)落入小正方形內(nèi)的概率.解:設(shè)事件A={所投點(diǎn)落入小正方形內(nèi)}.①用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù),a1=RAND,b1=RAND.②經(jīng)過(guò)平移和伸縮變換,a=3a11.5,b=3b11.5,得[1.5,1.5]上的均勻隨機(jī)數(shù).③統(tǒng)計(jì)落入大正方形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N(即上述所有隨機(jī)數(shù)構(gòu)成的點(diǎn)(a,b)的個(gè)數(shù))及落入小正方形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N1(即滿足1<a<1,且1<b<1的點(diǎn)(a,b)的個(gè)數(shù)).④計(jì)算N1N,即為概率P二、能力提升1.用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬,下列說(shuō)法中正確的是()A.只能求幾何概型的概率,不能解決其他問(wèn)題B.能求幾何概型的概率,還能計(jì)算圖形的面積C.能估計(jì)幾何概型的概率,還能估計(jì)圖形的面積D.最適合估計(jì)古典概型的概率解析:很明顯用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬,不但能估計(jì)幾何概型的概率,還能估計(jì)圖形的面積,但得到的是近似值,不是精確值,用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬,不適合估計(jì)古典概型的概率.答案:C2.將[0,1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)轉(zhuǎn)化為[2,6]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù),需實(shí)施的變換為()A.a=8a1 B.a=8a1+2C.a=8a12 D.a=6a1解析:當(dāng)a1∈[0,1]時(shí),a=8a1的值域?yàn)閇0,8],則A項(xiàng)不符合題意;a=8a1+2的值域?yàn)閇2,10],則B項(xiàng)不符合題意;a=8a12的值域?yàn)閇2,6],則C項(xiàng)符合題意;a=6a1的值域是[0,6],則D項(xiàng)不符合題意.答案:C3.如圖,在墻上掛著一塊邊長(zhǎng)為16cm的正方形木板,上面畫(huà)了小、中、大三個(gè)同心圓,半徑分別為2cm,4cm,6cm,某人站在3m之外向此板投鏢,設(shè)鏢擊中線上或沒(méi)有投中木板時(shí)不算,可重投.記事件A={投中大圓內(nèi)},事件B={投中小圓與中圓形成的圓環(huán)內(nèi)},事件C={投中大圓之外}.(1)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù),a1=RAND,b1=RAND.(2)經(jīng)過(guò)伸縮和平移變換,a=16a18,b=16b18,得到兩組[8,8]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù).(3)統(tǒng)計(jì)投在大圓內(nèi)的次數(shù)N1(即滿足a2+b2<36的點(diǎn)(a,b)的個(gè)數(shù)),投中小圓與中圓形成的圓環(huán)次數(shù)N2(即滿足4<a2+b2<16的點(diǎn)(a,b)的個(gè)數(shù)),投中木板的總次數(shù)N(即滿足上述8<a<8,8<b<8的點(diǎn)(a,b)的個(gè)數(shù)).則概率P(A),P(B),P(C)的近似值分別是()A.C.解析:P(A)的近似值為答案:A★4.利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算y=x2與y=4圍成的面積時(shí),利用計(jì)算器產(chǎn)生兩組0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND,b1=RAND,然后進(jìn)行平移與伸縮變換a=a1·42,b=b1·4,試驗(yàn)進(jìn)行100次,前98次中落在所求面積區(qū)域內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)為65,已知最后兩次試驗(yàn)的隨機(jī)數(shù)a1=0.3,b1=0.8及a1=0.4,b1=0.3,則本次模擬得出的面積為.

解析:由a1=0.3,b1=0.8得,a=0.8,b=3.2,(0.8,3.2)落在y=x2與y=4圍成的區(qū)域內(nèi),由a1=0.4,b1=0.3得,a=0.4,b=1.2,(0.4,1.2)落在y=x2與y=4圍成的區(qū)域內(nèi),所以本次模擬得出的面積為16×答案:10.725.設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且恒有0≤f(x)≤1,可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算由曲線y=f(x)及直線x=0,x=1,y=0所圍成部分的面積S.先產(chǎn)生兩組(每組N個(gè))0~1區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù)x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N個(gè)點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,N).再數(shù)出其中滿足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的點(diǎn)數(shù)N1,則由隨機(jī)模擬方法可得S的近似值為.

解析:由0≤f(x)≤1可知曲線y=f(x)與直線x=0,x=1,y=0圍成了一個(gè)曲邊圖形.又產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)對(duì)在如圖所示的正方形內(nèi),正方形的面積為1,共有N對(duì)數(shù),即有N個(gè)點(diǎn),且滿足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的有N1個(gè)點(diǎn),即在函數(shù)f(x)圖象上及下方有N1個(gè)點(diǎn),所以由幾何概型的求概率公式得,曲線y=f(x)與x=0,x=1,y=0圍成的面積為答案:N6.設(shè)有一個(gè)正方形網(wǎng)格,其中每個(gè)最小正方形的邊長(zhǎng)都等于6cm,現(xiàn)用直徑等于2cm的硬幣投擲到網(wǎng)格上,用隨機(jī)模擬方法求硬幣落下后與格線有公共點(diǎn)的概率.解:記事件A={硬幣與格線有公共點(diǎn)},設(shè)硬幣中心為B(x,y).步驟:(1)利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生兩組0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù),x1=RAND,y1=RAND.(2)經(jīng)過(guò)平移和伸縮變換,則x=6(x10.5),y=6(y10.5),得到兩組[3,3]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù).(3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N及硬幣與格線有公共點(diǎn)的次數(shù)N1(滿足條件|x|≥2或|y|≥2的點(diǎn)(x,y)的個(gè)數(shù)).(4)計(jì)算頻率N★7.用隨機(jī)模擬方法求函數(shù)y=分析:將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在由直線x=1,y=1和x軸,y軸圍成的正方形中任取一點(diǎn),該點(diǎn)落在已知圖形內(nèi)的概率.用隨機(jī)模擬方法來(lái)估計(jì)概率即可.解:如圖,陰影部分是函數(shù)y=x的圖象與x軸和直線x=