專題05誘導(dǎo)公式（6種題型）（原卷版）

專題05誘導(dǎo)公式（6種題型）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦題型一：給角求值問(wèn)題題型二：給值(式)求值問(wèn)題題型三：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)問(wèn)題題型四：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值題型五：利用誘導(dǎo)公式證明恒等式題型六：誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用（），，，這些角都與角有特殊的關(guān)系.已知角的正弦、余弦、正切及余切值，能夠快速求出上述這些角的正弦、余弦、正切及余切值？這就是誘導(dǎo)公式要解決的問(wèn)題.由于角（）的終邊與角的終邊重合，因此由定義有如下誘導(dǎo)公式：，，，（）.由這組誘導(dǎo)公式，求任意角的正弦、余弦、正切及余切值可以轉(zhuǎn)化為求范圍內(nèi)一個(gè)角的相應(yīng)值.角的終邊與角的終邊關(guān)于周對(duì)稱，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，而角的終邊與單位圓交于點(diǎn).由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，其橫坐標(biāo)相等，而縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此有如下誘導(dǎo)公式：，，，.由這組誘導(dǎo)公式，求負(fù)角的正弦、余弦、正切及余切值可以轉(zhuǎn)化為求正角的相應(yīng)值.將角的終邊繞著原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)弧度，得到角的終邊，這說(shuō)明角和角的終邊在同一條直線上，但方向相反.角的終邊與單位圓交于點(diǎn).由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，因此有如下誘導(dǎo)公式：，，，.由這組誘導(dǎo)公式，求范圍內(nèi)的角的正弦、余弦、正切及余切值可以轉(zhuǎn)化到范圍內(nèi)一個(gè)角的相應(yīng)值.角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，而角的終邊與單位圓交于點(diǎn).由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，其橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，而縱坐標(biāo)互相等，因此有如下誘導(dǎo)公式：，，，.由這組誘導(dǎo)公式，求范圍內(nèi)的角的正弦、余弦、正切及余切值可以轉(zhuǎn)化到范圍內(nèi)一個(gè)角的相應(yīng)值.以上四組誘導(dǎo)公式說(shuō)明，（），，的正弦、余弦、正切及余切值的絕對(duì)值等于角的相應(yīng)量的絕對(duì)值【名稱不變】，但這兩個(gè)值之間可能差一個(gè)正負(fù)號(hào).由于誘導(dǎo)公式較多，記憶其中的正負(fù)號(hào)并不容易，但有一個(gè)簡(jiǎn)單的方法可以加以判斷，即：當(dāng)為銳角時(shí)，等式兩邊必須同正或同負(fù).例如，的絕對(duì)值應(yīng)該與的絕對(duì)值相等，即成立.但當(dāng)為銳角時(shí)，是第二象限的角【符號(hào)看象限】，這時(shí)，而，所以前式中應(yīng)該取負(fù)號(hào)，即有.角的終邊與角關(guān)于直線對(duì)稱，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，而角的終邊與單位圓交于點(diǎn).由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，而點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，因此有如下誘導(dǎo)公式：，，，.在以上公式中將用代換，就有.同理，有如下誘導(dǎo)公式：，，，.上述兩組誘導(dǎo)公式說(shuō)明正弦和余弦可以相互轉(zhuǎn)化，正切和余切也可以相互轉(zhuǎn)化.以上兩組誘導(dǎo)公式說(shuō)明角的正（余）弦、正（余）切值的絕對(duì)值，必等于角的余（正）弦、余（正）切值的絕對(duì)值【名稱改變】，但這兩者可能差一個(gè)正負(fù)號(hào).這個(gè)正負(fù)號(hào)的確定方法是：當(dāng)角為銳角時(shí)，等式兩邊必須同正或同負(fù).例如，的絕對(duì)值應(yīng)該同的絕對(duì)值相等，即成立.但當(dāng)為銳角時(shí)，是第二象限的角【符號(hào)看象限】，這時(shí)，而，所以前式中應(yīng)該取負(fù)號(hào)，即有.奇變偶不變，符號(hào)看象限.例如，及都是的奇數(shù)倍，如果等式左邊是，的正弦、余弦、正切、余切之一，那么等式右邊相應(yīng)的必定是的余弦、正弦、余切、正切，這就是“奇變”；而（）、、都是的偶數(shù)倍，等式兩邊的正弦、余弦、正切及余切的名稱就應(yīng)該相同，這就是“偶不變”.等式右邊角正弦、余弦、正切及余切前的符號(hào)可以將視為銳角（實(shí)際上此時(shí)可以為任意角），由等式左邊的角所在的象限的正弦、余弦、正切及余切值的符號(hào)來(lái)確定，即“符號(hào)看象限”.題型一：給角求值問(wèn)題【例1】求下列各三角函數(shù)值：(1)sin1320°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)．【變式】計(jì)算：(1)coseq\f(π,5)＋coseq\f(2π,5)＋coseq\f(3π,5)＋coseq\f(4π,5)；(2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)．題型二：給值(式)求值問(wèn)題【例2】(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，則sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于()A.eq\f(m2－1,2) B.eq\f(m2＋1,2)C.eq\f(1－m2,2) D．－eq\f(m2＋1,2)(2)已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α為第四象限角，求sin(105°＋α)的值．題型三：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)問(wèn)題【例3】設(shè)k為整數(shù)，化簡(jiǎn)：eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α).【變式】．化簡(jiǎn)：(1)eq\f(tan2π－αsin－2π－αcos6π－α,cosα－πsin5π－α)；(2)eq\f(sin1440°＋α·cos1080°－α,cos－180°－α·sin－α－180°).題型四：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值【例4】(1)已知cos31°＝m，則sin239°tan149°的值是()A.eq\f(1－m2,m) B.eq\r(1－m2)C．－eq\f(1－m2,m) D．－eq\r(1－m2)(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))的值為________．題型五：利用誘導(dǎo)公式證明恒等式【例5】(1)求證：eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ).(2)求證：eq\f(cos6π＋θsin－2π－θtan2π－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))＝－tanθ.【變式】．求證：eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)＝－1.題型六：誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【例6】已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．【變式】．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,2)－α))＝eq\f(60,169)，且eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，求sinα與cosα的值．一、填空題1、化簡(jiǎn)：________2、化簡(jiǎn)=3、計(jì)算__________________4、已知，則的值為5、已知，且是第二象限角，則的值等于_______6、計(jì)算：sin585°cos1290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°=7、若，則__________8、若，則9、化簡(jiǎn)：___________.10、已知角α終邊上一點(diǎn)P(－4，3)，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))的值為____________．11、若＝，則的值是________．12．已知cosα＝eq\f(1,5)，且α為第四象限角，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝________.二、選擇題13、已知，則（）A．0 B．m C．m D．不確定14、已知，化簡(jiǎn)：（）A．B．C． D．隨k的變化而變化15、已知，則的值是 ()A.B. C.D.16、化簡(jiǎn)，得（）A．1B． C．D．三、解答題17、已知，（1）求的值；（2）求：的值；18.如圖，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至.求點(diǎn)的坐標(biāo).19、已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α為第三象限角，求：eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))·tan22π－α·tanπ－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))的值20、已知α是第三象限角，且f(