第7章 測量誤差的基本知識

第七章測量誤差的基本知識第七章測量誤差基本知識第一節(jié)測量誤差概述第二節(jié)大量偶然誤差的特性第三節(jié)無真值條件下的最或是值第四節(jié)觀測值精度評價指標(biāo)第五節(jié)誤差傳播定律及應(yīng)用【知識目標(biāo)】了解：測量誤差及其產(chǎn)生的原因、偶然誤差的特性。理解：測量誤差的分類與處理原則、觀測值精度的評價指標(biāo)。掌握：誤差傳播定律?！炯寄苣繕?biāo)】能分析誤差產(chǎn)生的原因及誤差的種類。能對各種具體的誤差進行分析、歸類。能計算相對誤差。

測量實踐中可以發(fā)現(xiàn)，測量結(jié)果不可避免的存在誤差，比如：1、對同一量多次觀測，其觀測值不相同。2、觀測值之和不等于理論值：三角形α+β+γ≠180°

閉合水準(zhǔn)測量∑h≠0第一節(jié)

測量誤差概述（理解）一、測量誤差及其產(chǎn)生的原因1、測量誤差概念：觀測值：對某一被觀測量進行直接觀測所獲得的數(shù)值。真值：反映一個量真正大小的絕對準(zhǔn)確的數(shù)值。誤差：真值與觀測值之差（真誤差）

△=L真–L觀＝X－L觀或＝L觀–L真＝L觀－X2、誤差產(chǎn)生原因等精度觀測：觀測條件相同的各次觀測。不等精度觀測：觀測條件不相同的各次觀測。（1）測量儀器（2）觀測者（3）外界環(huán)境觀測條件二、測量誤差的分類

測量誤差按其性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差。（1）系統(tǒng)誤差的特性：誤差的絕對值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；誤差的正負號保持不變，或按一定的規(guī)律變化；誤差的絕對值隨著單一觀測值的倍數(shù)而積累。

1、系統(tǒng)誤差

在相同的觀測條件下，對某一觀測量進行一系列的觀測，若誤差的大小和符號相同，或按照一定的規(guī)律變化，則稱之為系統(tǒng)誤差。（2）系統(tǒng)誤差的減弱方法：檢校儀器，把系統(tǒng)誤差降低到最小程度；加改正數(shù)，在觀測結(jié)果中加入系統(tǒng)誤差改正數(shù)；采用適當(dāng)?shù)挠^測方法，使系統(tǒng)誤差相互抵消或減弱。

在相同的觀測條件下，對觀測量進行一系列觀測，誤差出現(xiàn)的大小及符號在個體上沒有任何規(guī)律，具有偶然性。但對大量的觀測誤差而言，它們遵循正態(tài)分布的統(tǒng)計規(guī)律，這類誤差稱為偶然誤差，或稱為隨機誤差。偶然誤差是不可避免的，是由于人力所不能控制的因素或無法估計的因素共同引起的測量誤差。人力所不能控制的因素：人眼的分辨力、儀器的極限精度和氣象因素等。2、偶然誤差（1）偶然誤差的示例：

距離測量Δ

No9.49.79.59.69.39.29.60.1-0.20-0.10.20.3-0.1

1234567NL△△=L真–L觀

=X－LD9.5cm=X（2）偶然誤差的減弱方法：①提高儀器等級：可使觀測值的精度得到有效的提高，從而限值偶然誤差的大小。②降低外界影響：選擇有利的觀測環(huán)境，減小觀測值的波動。③進行多余觀測：在測量工作中進行多余必要觀測的觀測，稱為多余觀測。3、粗差（錯誤）由有關(guān)人員的粗心大意或儀器故障所造成的差錯稱為粗差。（1）產(chǎn)生的原因：較多可能由于作業(yè)人員疏忽大意、失職而引起，如大數(shù)讀錯、讀數(shù)被記錄員記錯、照錯了目標(biāo)等。也可能是儀器自身或受外界干擾發(fā)生故障引起。（2）粗差對觀測成果的影響極大，所以在測量成果中絕對不允許有其存在。（3）發(fā)現(xiàn)粗差的方法：進行必要的重復(fù)觀測，通過多余觀測條件，進行檢核驗算；嚴(yán)格按照國家有關(guān)部門制定的各種測量規(guī)范進行作業(yè)等。

總結(jié)：在測量工作中，一般需要進行多余觀測，發(fā)現(xiàn)粗差，將其剔除或重測。（1）有限性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；（2）集中性：即絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；（3）對稱性：絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相同；（4）抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零，即

一、偶然誤差的特性：

式中，

在數(shù)理統(tǒng)計中，也稱偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即E(Δ)=0。第二節(jié)大量偶然誤差的特性（了解）二、偶然誤差概率分布曲線----正態(tài)分布曲線誤差分布曲線偶然誤差的出現(xiàn)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，實踐中，可以根據(jù)偶然誤差的特性合理地處理觀測數(shù)據(jù)，以減少偶然誤差對測量成果的影響。在實際測量工作中，只有極少數(shù)觀測量的理論值或真值是可以預(yù)知的，一般情況下，由于測量誤差的影響，觀測值的真值是很難測定的。為了提高觀測值的精度，測量上通常采用有限的多余觀測，通過計算觀測值的算術(shù)平均值來代替觀測量的真值X，用改正數(shù)Vi代替真誤差Δi，以解決實際問題。第三節(jié)無真值條件下的最或是值（理解）一、算術(shù)平均值在等精度觀測條件下，對未知量進行了n次觀測，其觀測值分別為l1，l2...，ln，將這些觀測值取算術(shù)平均值：當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，觀測值的算術(shù)平均值趨近于該量的真值X。但是在實際測量中，不可能對某一量進行無限次觀測，因此，就把有限個觀測值的算術(shù)平均值作為該量的最或是值，也稱為觀測值的最可靠值。二、觀測值的改正數(shù)算術(shù)平均值與觀測值之差，稱為觀測值的改正數(shù)vi。一組觀測值取算術(shù)平均值后，其改正數(shù)之和恒等于零。第四節(jié)觀測值精度評價指標(biāo)（掌握）一、中誤差在等精度觀測條件下，對真值X的某一量進行n次觀測，其觀測值為l1，l2，...，ln，則每次觀測中產(chǎn)生的真誤差為Δ1，Δ2，...，Δn，取各真誤差平方和的平均值的平方根，作為觀測值的中誤差，即1、用真誤差來確定中誤差

由上述計算結(jié)果中可以看出，1組的中誤差較小，所以觀測精度高于2組。在測量工作中，普遍采用中誤差來評定測量成果的精度?！纠}】1、2兩組分別用相同的觀測條件觀測了某角度各六次，與真值比較得真誤差分別為：1組：+2″、+1″、－2″、－3″、－2″、－3″；2組：+5″、－4″、+1″、－4″、－3″、+6″。試分析兩組觀測值的精度。解：用中誤差公式（5-7）計算得2、用觀測值的改正數(shù)來確定中誤差在實際測量工作中，觀測值的真值X往往是不知道，因此，真誤差Δi也無法求得，此時，要通過計算觀測值的算術(shù)平均值來代替觀測量的真值X，用觀測值的改正數(shù)vi代替真誤差Δi，在此情況下，中誤差的計算公式為二、容許誤差

通常以兩倍中誤差作為偶然誤差的極限值Δ限，并稱為極限誤差或容許誤差，即Δ限＝2m。在測量中，如某觀測量的誤差超過了容許誤差，就可以認(rèn)為它是錯誤的，其觀測值應(yīng)舍去重測。1、定義：相對誤差K等于絕對誤差的絕對值與相應(yīng)觀測值D之比，它是一個無名數(shù)，通常用分子為1的分?jǐn)?shù)表示:三、相對誤差

一般情況:角度、高差的誤差用絕對誤差(m)表示，量距誤差用相對誤差K表示。式中K－相對誤差；m－觀測誤差（中誤差）；L－觀測量的值；N－相對誤差分母。

概念

誤差傳播定律：闡述觀測值的中誤差與其函數(shù)中誤差之間傳播規(guī)律的定律。函數(shù)形式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)第五節(jié)

誤差傳播定律及應(yīng)用（掌握）觀測值的函數(shù)---又稱為間接觀測量間接觀測量:由直接觀測的量，通過函數(shù)關(guān)系間接計算得出的量。例如：用水準(zhǔn)儀測量兩點間的高差h，通過直接觀測值后視讀數(shù)a和前視讀數(shù)b來求得的高差：h=a－b

間接觀測量的誤差：由于直接觀測值(a、b)中都帶有誤差,函數(shù)(間接觀測量h)也必然受到影響而產(chǎn)生誤差.一、倍數(shù)函數(shù)設(shè)有函數(shù)Z＝kx，式中，k為常數(shù)，x為直接觀測值，其中誤差為mx，現(xiàn)求觀測值函數(shù)Z的中誤差mz。則有mz＝kmx（推導(dǎo)過程略）即觀測值倍數(shù)函數(shù)的中誤差，等于觀測值中誤差乘倍數(shù)。例：用水平視距公式D＝kl求平距，已知觀測視距間隔的中誤差ml＝±1cm，k＝100。則平距的中誤差mD＝100ml＝±1m。二、和差函數(shù)設(shè)有函數(shù)z＝x±y，式中，x，y為獨立觀測值，它們的中誤差分別為mx和my，則有例：在ΔABC中，對∠A和∠B進行了觀測，其觀測的中誤差mA和mB分別為±3"和±4"，試推算∠C的中誤差mc。解：∠C＝180°－∠A－∠B，為和差函數(shù)。三、線性函數(shù)的中誤差設(shè)有線性函數(shù)：設(shè)個獨立觀測值x1，x2，...，xn的中誤差為m1，m2，...，mn，則函數(shù)Z的中誤差為mz，可導(dǎo)出例：有一函數(shù)Z＝2x1＋x2＋3x3，其中x1，x2，x3的中誤差分別為±3mm，±2mm，±1mm。四、算術(shù)平均值的中誤差對某一量X進行了n次等精度觀測，各次觀測中誤差為m，求某算術(shù)平均值的中誤差M。解：算術(shù)平均值可以寫為算術(shù)平均值的中誤差總結(jié)：算術(shù)平均值的中誤差是觀測值中誤差的五、一般函數(shù)的中誤差（自學(xué)P112）習(xí)題解答：1、設(shè)有一正方形建筑物，量得其一邊長為a、其中誤差ma＝±3mm，求周長的中誤差。若以相同精度測量其四邊，各邊的中誤差均為±3mm，則周長的中誤差又為多少。解：（1）周長＝4a，為倍數(shù)函數(shù)，則有m周＝4×ma＝±4×3mm＝±12mm（2）周長＝a1＋a2＋a3＋a4，為和差函數(shù)，則有m周＝±√ma12＋ma22＋ma32＋ma42＝±√36mm＝±6mm2、在ΔABC中，觀測∠A的中誤差為mA＝±30"，∠B的中誤差為mB＝±30"，則∠C的中誤差mc為多少？由A角平分線AO與B角平分線BO和AB組成的ΔABO，則∠O的中誤差mo為多少？（圖見p115）解：（1）∠C＝180°－∠A－∠B（和差函數(shù)）

mc＝±√mA2＋mB2＝±√900＋900≈±42.4"（2）∠O＝180°－∠A/2－∠B/2（線性函數(shù)）

mc＝±√(mA/2)2＋(mB/2)2＝±√225＋225≈21.2"3、采用兩次儀器高法進行水準(zhǔn)測量，每次讀數(shù)包含瞄準(zhǔn)誤差、估讀誤差及氣泡居中不準(zhǔn)誤差，它們的數(shù)值分別是m瞄＝1.1mm，m估＝2.5mm，m氣＝1.5mm，試求

（1）一次儀器高測定高差h1的中誤差mh1；

（2）兩次儀器高測得高差之差Δh的中誤差mΔh；

（3）測站高差平均值h中誤差mh。解：

（1）