微積分 第七版 課件 1.2 幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式

第二節(jié)

幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式本節(jié)學習目標010203能熟練建立幾何與經(jīng)濟方面的函數(shù)關(guān)系式并計算出其定義域了解經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式掌握幾何方面常見函數(shù)關(guān)系式一、幾何方面函數(shù)關(guān)系式矩形面積S等于長x與寬u的積,即S=xu特別地,正方形面積S等于邊長x的平方,即S=x2矩形面積長方體體積V等于底面積(矩形面積)S與高h的積,即V=Sh長方體體積3圓柱體體積V等于底面積(圓面積)πr2(r為底半徑)與高h的積,即圓柱體體積側(cè)面積(相當于矩形面積)S等于底周長2πr與高h的積,即V=πr2hS=2πrh4例1

欲圍一塊面積為216m2的矩形場地,矩形場地東西方向長xm、南北方向?qū)抲m,沿矩形場地四周建造高度相同的圍墻,并在正中間南北方向建造同樣高度的一堵墻,把矩形場地隔成兩塊,試將墻的總長度Lm表示為矩形場地長xm的函數(shù).5例1解:已設(shè)矩形場地長為xm、寬為um,如圖由于矩形場地面積為216m2,因而有關(guān)系式xu=216,即

所以墻的總長度

6例2

欲做一個底為正方形、表面積為108m2的長方體開口容器,試將長方體開口容器的容積Vm3表示為底邊長xm的函數(shù).解:已設(shè)長方體開口容器底邊長為xm,再設(shè)高為hm,如圖7由于長方體開口容器表面積為108m2,它等于下底面積x2與側(cè)面積4xh之和,因而有關(guān)系式x2+4xh=108,即

所以長方體開口容器容積

8例3

欲做一個容積為V0的圓柱形封閉罐頭盒,試將圓柱形封閉罐頭盒表面積S表示為底半徑r的函數(shù).解:已設(shè)圓柱形封閉罐頭盒底半徑為r,再設(shè)高為h,如圖9由于罐頭盒容積為V0,因而有關(guān)系式πr2h=V0,即

由于上、下底面積分別為πr2,側(cè)面積為2πrh,所以圓柱形封閉罐頭盒表面積

10二、經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式(1)總成本函數(shù)

在生產(chǎn)過程中,產(chǎn)品的總成本C為產(chǎn)量x的單調(diào)增加函數(shù),記作C=C(x)它包括兩部分:固定成本C0(廠房及設(shè)備折舊費、保險費等)、變動成本C1(材料費、燃料費、提成獎金等)固定成本C0不受產(chǎn)量x變化的影響,產(chǎn)量x=0時的總成本值就是固定成本,即C0=C(0);變動成本C1受產(chǎn)量x變化的影響,記作C1=C1(x)于是總成本C=C(x)=C0+C1(x)11經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式(2)平均單位成本

在討論總成本的基礎(chǔ)上,還要進一步討論均攤在單位產(chǎn)量上的成本.均攤在單位產(chǎn)量上的成本稱為平均單位成本,記作

12(3)總收益函數(shù)

產(chǎn)品全部銷售后總收益R等于產(chǎn)量x與銷售價格p的積.若銷售價格p為常數(shù),則總收益R為產(chǎn)量x的正比例函數(shù),即R=R(x)=px若考慮產(chǎn)品銷售時的附加費用、折扣等因素,這時作為平均值的銷售價格p受產(chǎn)量x變化的影響,不再為常數(shù),記作p=p(x),則總收益R=R(x)=xp(x)13(4)總利潤函數(shù)

產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤L等于總收益R減去總成本C,即L=L(x)=R(x)-C(x)14(5)需求函數(shù)

銷售商品時,應(yīng)密切注意市場的需求情況,需求量Q當然與銷售價格p有關(guān),此外還涉及消費者的數(shù)量、收入等其他因素,若這些因素固定不變,則需求量Q為銷售價格p的函數(shù),這個函數(shù)稱為需求函數(shù),記作Q=Q(p)一般說來,當商品提價時,需求量會減少;當商品降價時,需求量就會增加.因此需求函數(shù)為單調(diào)減少函數(shù)15說明：

在理想情況下,商品的生產(chǎn)既滿足市場需求又不造成積壓.這時需求多少就銷售多少,銷售多少就生產(chǎn)多少,即產(chǎn)量等于銷售量,也等于需求量,它們有時用記號x表示,也有時用記號Q表示.本門課程討論這種理想情況下的經(jīng)濟函數(shù).16例4某產(chǎn)品總成本C萬元為年產(chǎn)量xt的函數(shù)C=C(x)=a+bx2其中a,b為待定常數(shù).已知固定成本為400萬元,且當年產(chǎn)量x=100t時,總成本C=500萬元

17解:由于總成本C=C(x)=a+bx2,從而當產(chǎn)量x=0時的總成本C(0)=a,說明常數(shù)項a為固定成本,因此確定常數(shù)a=400再將已知條件:x=100時,C=500代入到總成本C的表達式中,得到關(guān)系式500=400+b·1002從而確定常數(shù)

18于是得到總成本函數(shù)表達式

所以平均單位成本

19例5某產(chǎn)品總成本C元為日產(chǎn)量xkg的函數(shù)

產(chǎn)品銷售價格為p元/kg,它與日產(chǎn)量xkg的關(guān)系為

試將每日產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤L元表示為日產(chǎn)量xkg的函數(shù)20解:生產(chǎn)xkg產(chǎn)品,以價格p元/kg銷售,總收益為

又已知生產(chǎn)xkg產(chǎn)品的總成本為

所以每日產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤21

22上述討論的目的不僅是建立幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式,而是在此基礎(chǔ)上繼續(xù)研究它們的性質(zhì),其中一個主要內(nèi)容是求它們的最值點,即討論幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)的優(yōu)化問題在例1中,矩形場地長x為多少時,才能使得墻的總長度L最短在例2中,長方體開口容器底邊長