微積分 曹景龍第7版 課件全套 第0-5章 引論-定積分+后續(xù)內(nèi)容

1微積分（經(jīng)濟(jì)類與管理類）2章節(jié)內(nèi)容12345第一章函數(shù)與極限第二章導(dǎo)數(shù)與微分第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章不定積分第五章定積分6后續(xù)內(nèi)容(上)二元微分學(xué)后續(xù)內(nèi)容(下)無窮級數(shù)3引論

預(yù)備知識(shí)

初等數(shù)學(xué)小結(jié)本部分思維導(dǎo)圖本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能建立簡單現(xiàn)實(shí)問題的函數(shù)模型理解函數(shù)的概念及幾類基本初等函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)了解區(qū)間的記號(hào)及常用的冪的運(yùn)算關(guān)系式會(huì)求函數(shù)定義域、能畫出常用基本初等函數(shù)圖像04微積分思路經(jīng)濟(jì)類與管理類高等數(shù)學(xué)是研究經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域內(nèi)數(shù)量關(guān)系與優(yōu)化規(guī)律的科學(xué),微積分是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).微積分研究的對象是函數(shù),主要是初等函數(shù),研究的主要工具是極限.微積分中最重要的基本概念是導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分及定積分,最重要的基本運(yùn)算是求導(dǎo)數(shù)與求不定積分.應(yīng)用微積分解決經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的數(shù)量關(guān)系與優(yōu)化問題,是微積分的重要內(nèi)容.6微積分思路作為一元微分的延續(xù),二元微分學(xué)與無窮級數(shù)在在實(shí)際工作中有著廣泛的應(yīng)用.

作為微積分的發(fā)展,無窮級數(shù)是經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域研究工作的有力數(shù)學(xué)工具.微積分的精髓在于:在變化中考察各量之間的關(guān)系.可以說,沒有變化就沒有微積分.因此,必須以變化的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)微積分.71.區(qū)間全體實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的全體點(diǎn)一一對應(yīng),因此不嚴(yán)格區(qū)別數(shù)與點(diǎn):實(shí)數(shù)x代表數(shù)軸上點(diǎn)x,數(shù)軸上點(diǎn)x也代表實(shí)數(shù)x在表示數(shù)值范圍時(shí),經(jīng)常采用區(qū)間記號(hào)(a,b)={x|a<x<b}已知數(shù)a與b,且a<b,則開區(qū)間閉區(qū)間[a,b]={x|a≤x≤b}81.區(qū)間半開區(qū)間(a,b]={x|a<x≤b}[a,b)={x|a≤x<b}上述三類區(qū)間是有窮區(qū)間,點(diǎn)a稱為左端點(diǎn),點(diǎn)b稱為右端點(diǎn)91.區(qū)間此外還有無窮區(qū)間:(-∞,b)={x|x<b}(-∞,b]={x|x≤b}(a,+∞)={x|x>a}[a,+∞)={x|x≥a}(-∞,+∞)={x|x為實(shí)數(shù)}102.冪2.冪數(shù)學(xué)表達(dá)式ab稱為冪,其中a稱為底,b稱為指數(shù).當(dāng)指數(shù)取值為有理數(shù)時(shí),相應(yīng)冪的表達(dá)式表示為

a0=1

(a≠0)112.冪

(a≥0,m,n為互質(zhì)正整數(shù),且n>1)(a>0,m,n為互質(zhì)正整數(shù),且n>1)122.冪在等號(hào)兩端皆有意義的條件下,冪恒等關(guān)系式為

133.函數(shù)的概念3.函數(shù)的概念定義預(yù).1已知變量x與y,當(dāng)變量x任取一個(gè)屬于某個(gè)非空實(shí)數(shù)集合D的數(shù)值時(shí),若變量y符合對應(yīng)規(guī)則f的取值恒為唯一確定的實(shí)數(shù)值與之對應(yīng),則稱對應(yīng)規(guī)則f表示變量y為x的函數(shù),記作y=f(x)143.函數(shù)的概念其中變量x稱為自變量,自變量x的取值范圍D稱為函數(shù)定義域;函數(shù)y也稱為因變量,函數(shù)y的取值范圍稱為函數(shù)值域,記作G;對應(yīng)規(guī)則f也稱為對應(yīng)關(guān)系或函數(shù)關(guān)系.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,又區(qū)間I?D,則稱函數(shù)f(x)在定義域D或區(qū)間I上有定義.

153.函數(shù)的概念函數(shù)關(guān)系的表示方法有公式法、列表法及圖形法。在應(yīng)用公式法表示函數(shù)關(guān)系時(shí),函數(shù)表達(dá)式主要有兩種：顯函數(shù)y=f(x)與隱函數(shù)即由方程式F(x,y)=0確定變量y為x的函數(shù).16反函數(shù)定義預(yù).2已知函數(shù)y=f(x),從表達(dá)式y(tǒng)=f(x)出發(fā),經(jīng)過代數(shù)恒等變形,將變量x表示為y的表達(dá)式,若這個(gè)對應(yīng)規(guī)則表示變量x為y的函數(shù),則稱它為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù),記作x=f-1(y)如果函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)x=f-1(y),則函數(shù)x=f-1(y)也存在反函數(shù)y=f(x),因此函數(shù)y=f(x)與x=f-1(y)互為反函數(shù).17復(fù)合函數(shù)定義預(yù).3已知函數(shù)y=f(u)的定義域?yàn)閁1,函數(shù)u=u(x)的值域?yàn)閁2,若交集U1∩U2

非空集,則稱變量y為x的復(fù)合函數(shù),記作

y=f(u(x))其中變量x稱為自變量,變量u稱為中間變量,復(fù)合函數(shù)y也稱為因變量.只有一個(gè)自變量的函數(shù)稱為一元函數(shù),有兩個(gè)自變量的函數(shù)稱為二元函數(shù).184.函數(shù)定義域與函數(shù)值4.函數(shù)定義域與函數(shù)值對于并未說明實(shí)際背景的函數(shù)表達(dá)式,若沒有指明自變量的取值范圍,則求函數(shù)定義域的基本情況只有四種:

(3)對于對數(shù)式logaR(x)(a>0,a≠1),要求R(x)>0;(4)對于反正弦式arcsinS(x)與反余弦式arccosS(x),要求-1≤S(x)≤1.194.函數(shù)定義域與函數(shù)值求函數(shù)定義域的方法是:觀察所給函數(shù)表達(dá)式是否含上述四種基本情況.如果函數(shù)表達(dá)式含上述四種基本情況中的一種或多種,則解相應(yīng)的不等式或不等式組,得到函數(shù)定義域;如果函數(shù)表達(dá)式不含上述四種基本情況中的任何一種,則說明對自變量取值沒有任何限制,所以函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù),即D=(-∞,+∞).204.函數(shù)定義域與函數(shù)值已知函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x取一個(gè)屬于定義域D的具體數(shù)值x0時(shí),它對應(yīng)的函數(shù)y值稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的函數(shù)值,記作即f(x0)意味著在函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式中,自變量x用數(shù)x0代入所得到的數(shù)值就是函數(shù)值或f(x0)214.函數(shù)定義域與函數(shù)值有時(shí)為了簡化函數(shù)記號(hào),函數(shù)關(guān)系也可以記作y=y(x),其中等號(hào)左端的記號(hào)y表示函數(shù)值,等號(hào)右端的記號(hào)y表示對應(yīng)規(guī)則.在平面直角坐標(biāo)系中,一元函數(shù)的圖形通常是一條平面曲線,稱為函數(shù)曲線.225.冪函數(shù)5.冪函數(shù)在冪的表達(dá)式中,若底為變量x,而指數(shù)為常數(shù)α,則稱函數(shù)y=xα為冪函數(shù).當(dāng)然有

235.冪函數(shù)

246.指數(shù)函數(shù)6.指數(shù)函數(shù)在冪的表達(dá)式中,若底為常數(shù)a(a>0,a≠1),而指數(shù)為變量x,則稱函數(shù)y=ax為指數(shù)函數(shù).指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)的圖形如圖257.對數(shù)函數(shù)7.對數(shù)函數(shù)若ay=x(a>0,a≠1),則將y表示為logax,稱函數(shù)y=logax為對數(shù)函數(shù),其中a稱為底,x稱為真數(shù),y稱為對數(shù).指數(shù)式ay=x與對數(shù)式logax=y是表示a,x,y三者同一關(guān)系的不同表示方法,這兩種形式可以互相轉(zhuǎn)化.以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù),變量x的常用對數(shù)記作lgx,即lgx=log10x.267.對數(shù)函數(shù)根據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,再根據(jù)反函數(shù)的定義,可知對數(shù)函數(shù)y=logax的反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)特殊的對數(shù)函數(shù)值為真數(shù)取值等于1或底時(shí)的對數(shù)值,即loga1=0logaa=1x=ay(a>0,a≠1)277.對數(shù)函數(shù)在等號(hào)兩端皆有意義的條件下,對數(shù)恒等關(guān)系式為(1)logax1x2=logax1+logax2

(3)logaxα=αlogax287.對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)的圖形如圖298.三角函數(shù)8.三角函數(shù)以弧度作為度量角的單位時(shí),“弧度”二字經(jīng)常省略不寫,弧度與度的換算關(guān)系為:π弧度=180°,從而得到

角x的正弦、余弦、正切、余切、正割及余割函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù),分別表示為y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx及y=cscx.308.三角函數(shù)特別當(dāng)角x為銳角時(shí),其三角函數(shù)可以用直角三角形有關(guān)兩條邊的比值表示,如圖

318.三角函數(shù)

328.三角函數(shù)特殊角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值及正切函數(shù)值列表如表x0π2πsinx0100cosx10-11tanx01不存在00338.三角函數(shù)在等號(hào)兩端皆有意義的條件下,同角三角函數(shù)恒等關(guān)系式主要有

(3)tanxcotx=1

(6)sin2x+cos2x=1(7)1+tan2x=sec2x(8)1+cot2x=csc2x348.三角函數(shù)異角三角函數(shù)恒等關(guān)系式中有(1)sin(-x)=-sinx(2)cos(-x)=cosx正弦函數(shù)y=sinx的圖形如圖359.反三角函數(shù)9.反三角函數(shù)

若cosy=x(0≤y≤π),則將y表示為arccosx,稱函數(shù)y=arccosx為反余弦函數(shù);

若coty=x(0<y<π),則將y表示為arccotx,稱函數(shù)y=arccotx為反余切函數(shù).上述函數(shù)統(tǒng)稱為反三角函數(shù)369.反三角函數(shù)根據(jù)反三角函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系,再根據(jù)反函數(shù)的定義,可知

379.反三角函數(shù)特殊的反正弦函數(shù)值與反正切函數(shù)值列表如表x01arcsinx0無意義arctanx0

389.反三角函數(shù)反正切函數(shù)y=arctanx的圖形如圖3910.平面直線、圓及拋物線10.平面直線、圓及拋物線在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,方程式ax+by+c=0

(a,b不同時(shí)為0)代表直線.特別地,方程式y(tǒng)=y0(y0≠0)代表經(jīng)過點(diǎn)(0,y0)且平行于x軸的直線,方程式y(tǒng)=0代表x軸;方程式x=x0(x0≠0)代表經(jīng)過點(diǎn)(x0,0)且平行于y軸即垂直于x軸的直線,方程式x=0代表y軸.4010.平面直線、圓及拋物線經(jīng)過點(diǎn)M0(x0,y0)且斜率為k的直線方程的點(diǎn)斜式為

y-y0=k(x-x0)存在斜率的兩條直線平行意味著斜率相等.4110.平面直線、圓及拋物線在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,方程式x2+y2=r2

(r>0)代表圓心在原點(diǎn)、半徑為r的圓.

4210.平面直線、圓及拋物線在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,方程式y(tǒng)=ax2

(a≠0)代表頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對稱于y軸的拋物線.若系數(shù)a<0,則開口向下;若系數(shù)a>0,則開口向上.43完全平方與立方11.其他(1)完全平方與立方(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b344因式分解(2)因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n)45有理化因式及階乘(3)有理化因式

(4)階乘前n個(gè)正整數(shù)的連乘積稱為n的階乘,記作

n!=n(n-1)…·1

(n為正整數(shù))并規(guī)定0!=1.46絕對值及一元二次方程式(5)絕對值實(shí)數(shù)x的絕對值

(6)一元二次方程式一元二次方程式(x-x1)(x-x2)=0的根為x=x1,x=x2.47一元二次不等式(7)一元二次不等式一元二次不等式(x-x1)(x-x2)≥0(x1<x2)的解為x≤x1或x≥x2一元二次不等式(x-x1)(x-x2)≤0(x1<x2)的解為x1≤x≤x2.學(xué)習(xí)微積分還應(yīng)了解下列初等數(shù)學(xué)知識(shí).48初等數(shù)學(xué)知識(shí)1.n方差an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)

(n為正整數(shù))2.對數(shù)換底

3.三角函數(shù)和差化積

49初等數(shù)學(xué)知識(shí)4.反三角函數(shù)基本關(guān)系

5.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和首項(xiàng)a≠0,公比q≠1的等比數(shù)列a,aq,aq2,…,aqn-1,…的前n項(xiàng)和

50初等數(shù)學(xué)知識(shí)6.最大、最小及總和記號(hào)

51初等數(shù)學(xué)知識(shí)7.邏輯推理若命題A成立必然得到命題B成立,則稱命題A為命題B的充分條件,或稱命題B為命題A的必要條件.若命題A成立必然得到命題B成立,且命題B成立也必然得到命題A成立,則稱命題A為命題B的充分必要條件,或稱命題B為命題A的充分必要條件,這意味著命題A等價(jià)于命題B.5253本次課程結(jié)束第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)的類別與基本性質(zhì)第二節(jié)幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式第三節(jié)極限的概念與基本運(yùn)算法則第四節(jié)無窮大量與無窮小量第五節(jié)未定式極限第六節(jié)兩個(gè)重要極限第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性54本章思維導(dǎo)圖第一節(jié)

函數(shù)的類別與基本性質(zhì)本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203理解函數(shù)的性質(zhì)、極值與最值概念了解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)概念掌握函數(shù)的類別能熟練分解復(fù)合函數(shù)04本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握函數(shù)的類別了解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)概念理解函數(shù)的性質(zhì)、極值與最值概念能熟練分解復(fù)合函數(shù)引導(dǎo)案例---個(gè)人所得稅問題2019年1月1日起施行新修改的《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》，對于工資薪金所得計(jì)稅時(shí)適用新的基本減除費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)（5,000元/月）。個(gè)人所得稅稅率表（綜合所得適用）如下：1.若工資薪金個(gè)人全年應(yīng)納稅所得額為x元，請寫出個(gè)人所得稅金額y與x之間的關(guān)系。2.以北京地區(qū)為例，某公司小王每月工資中應(yīng)納稅額10,000.00元，計(jì)算他應(yīng)繳納個(gè)稅為多少？一、基本初等函數(shù)首先討論基本初等函數(shù),它共有六大類.1.常量函數(shù)y=c(c為常數(shù))屬于這一類的函數(shù)有無窮多個(gè),它們的定義域D=(-∞,+∞)2.冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))屬于這一類的函數(shù)有無窮多個(gè),它們的定義域D與指數(shù)α的值有關(guān),但無論指數(shù)α的值等于多少,恒有D?(0,+∞).603.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)屬于這一類的函數(shù)有無窮多個(gè),它們的定義域D=(-∞,+∞).4.對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)屬于這一類的函數(shù)有無窮多個(gè),它們的定義域D=(0,+∞)615.三角函數(shù)屬于這一類的函數(shù)有六個(gè),主要是四個(gè):正弦函數(shù)y=sinx,定義域D=(-∞,+∞);余弦函數(shù)y=cosx,定義域D=(-∞,+∞);余切函數(shù)y=cotx,定義域D=(0,π).此外尚有正割函數(shù)y=secx與余割函數(shù)y=cscx.在本門課程中,一律以弧度作為度量角的單位.62

6.反三角函數(shù)屬于這一類的函數(shù)也有六個(gè),主要是四個(gè):

反余弦函數(shù)y=arccosx,定義域D=[-1,1],值域G=[0,π];

反余切函數(shù)y=arccotx,定義域D=(-∞,+∞),值域G=(0,π).基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算得到的函數(shù)稱為簡單函數(shù).63二、函數(shù)改變量考慮函數(shù)y=f(x),自變量取值皆屬于定義域,在屬于定義域的點(diǎn)x0處,當(dāng)自變量有了改變量Δx≠0,即自變量取值從x0變化到x0+Δx,這時(shí)相應(yīng)的函數(shù)值從f(x0)變化到f(x0+Δx),因而函數(shù)也有了改變量,函數(shù)改變量記作Δy=f(x0+Δx)-f(x0)一般地,對于函數(shù)y=f(x),在屬于定義域的任意點(diǎn)x處,若自變量有了改變量Δx≠0,則函數(shù)改變量為Δy=f(x+Δx)-f(x)特別對于常量函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù)),函數(shù)改變量為f(x+Δx)-f(x)=c-c=064三、分解復(fù)合函數(shù)在進(jìn)行微積分運(yùn)算時(shí),有時(shí)需要分解復(fù)合函數(shù)分解自變量為x的復(fù)合函數(shù)y是指:令中間變量u等于復(fù)合函數(shù)y中作最后數(shù)學(xué)運(yùn)算的表達(dá)式,將復(fù)合函數(shù)y分解為基本初等函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=u(x).若函數(shù)u(x)為基本初等函數(shù)或簡單函數(shù),則分解終止;若函數(shù)u(x)仍為復(fù)合函數(shù),則繼續(xù)分解復(fù)合函數(shù)u(x).65例1

66例2分解復(fù)合函數(shù)y=lglgx解:這個(gè)復(fù)合函數(shù)中最后的數(shù)學(xué)運(yùn)算是表達(dá)式lgx作為真數(shù)取對數(shù)運(yùn)算,因而令中間變量u=lgx,所以復(fù)合函數(shù)y=lglgx分解為y=lgu與u=lgx67例3分解復(fù)合函數(shù)y=cos45x解:這個(gè)復(fù)合函數(shù)中最后的數(shù)學(xué)運(yùn)算是表達(dá)式cos5x作為底求冪運(yùn)算,因而令中間變量u=cos5x,所以復(fù)合函數(shù)y=cos45x分解為y=u4與u=cos5x但函數(shù)u=cos5x仍為復(fù)合函數(shù)這個(gè)復(fù)合函數(shù)中最后的數(shù)學(xué)運(yùn)算是表達(dá)式5x作為角度求正弦運(yùn)算再令中間變量v=5x,繼續(xù)將復(fù)合函數(shù)u=cos5x分解為u=cosv與v=5x68為了微積分運(yùn)算的需要,有的簡單函數(shù)可以看作是復(fù)合函數(shù)而進(jìn)行分解如簡單函數(shù)y=(1+x3)10是30次多項(xiàng)式,

分解為y=u10與u=1+x3

69四、初等函數(shù)的定義定義1.1若函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算與有限次的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的,且用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式表示,則稱這樣的函數(shù)為初等函數(shù).除初等函數(shù)外,還有分段函數(shù).70分段函數(shù)定義定義1.2已知函數(shù)定義域被分成有限個(gè)區(qū)間,若在各個(gè)區(qū)間上表示對應(yīng)規(guī)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣,但單獨(dú)定義各個(gè)區(qū)間公共端點(diǎn)處的函數(shù)值;或者在各個(gè)區(qū)間上表示對應(yīng)規(guī)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式不完全一樣,則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù).其中定義域所分成的有限個(gè)區(qū)間稱為分段區(qū)間,分段區(qū)間的公共端點(diǎn)稱為分界點(diǎn),同時(shí)假定分段函數(shù)在各個(gè)分段區(qū)間上的對應(yīng)規(guī)則都是初等函數(shù)表達(dá)式.71如何計(jì)算分段函數(shù)？如何計(jì)算分段函數(shù)的函數(shù)值?觀察分段函數(shù)在各分段區(qū)間上的對應(yīng)規(guī)則與在各分界點(diǎn)處的取值,明確所給自變量取值屬于哪個(gè)分段區(qū)間或分界點(diǎn)再用該分段區(qū)間上的數(shù)學(xué)表達(dá)式計(jì)算函數(shù)值或等于該分界點(diǎn)處的函數(shù)取值72如分段函數(shù)

在點(diǎn)x=0處的函數(shù)值f(0)=3×0-1=-1,在點(diǎn)x=1處的函數(shù)值f(1)=12+1=2。73五、函數(shù)的基本性質(zhì)1.奇偶性定義1.3已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,對于任意點(diǎn)x∈D若恒有f(-x)=-f(x),則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)若恒有f(-x)=f(x),則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù).奇函數(shù)的圖形對稱于原點(diǎn),偶函數(shù)的圖形對稱于縱軸.當(dāng)然,許多函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),稱為非奇非偶函數(shù).74例4判斷函數(shù)f(x)=x2sinx的奇偶性解:由于關(guān)系式f(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sinx=-f(x)所以函數(shù)f(x)=x2sinx為奇函數(shù)75例5判斷函數(shù)f(x)=x4-3x2的奇偶性解:由于關(guān)系式所以函數(shù)f(x)=x4-3x2為偶函數(shù).f(-x)=(-x)4-3(-x)2=x4-3x2=f(x)762.有界性定義1.4已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上有定義,若存在一個(gè)常數(shù)M>0,使得對于所有點(diǎn)x∈I,恒有|f(x)|≤M,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界否則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上無界.77例6判斷函數(shù)f(x)=sinx在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi)的有界性.解:在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi),無論自變量即角度x取值等于多少恒有|f(x)|=|sinx|≤1所以函數(shù)f(x)=sinx在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi)有界.78例7

解:在區(qū)間(0,1)內(nèi),自變量即分母x取值可以無限接近于零

說明對于任意正的常數(shù),都存在充分接近于原點(diǎn)的點(diǎn)x,使得函數(shù)絕對值大于它

793.單調(diào)性定義1.5已知函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)有定義,對于開區(qū)間J內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1,x2,當(dāng)x2>x1時(shí)若恒有f(x2)>f(x1),則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)單調(diào)增加,開區(qū)間J為函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間;若恒有f(x2)<f(x1),則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)單調(diào)減少,開區(qū)間J為函數(shù)f(x)的單調(diào)減少區(qū)間.80函數(shù)單調(diào)增加與函數(shù)單調(diào)減少統(tǒng)稱為函數(shù)單調(diào),單調(diào)增加區(qū)間與單調(diào)減少區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.函數(shù)單調(diào)說明因變量與自變量一一對應(yīng),它存在反函數(shù),反函數(shù)也單調(diào).函數(shù)單調(diào)增加,說明函數(shù)值隨自變量取值增大而增大,函數(shù)曲線上升函數(shù)單調(diào)減少,說明函數(shù)值隨自變量取值增大而減小,函數(shù)曲線下降814.極值定義1.6已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處及其左右有定義,對于點(diǎn)x0左右很小范圍內(nèi)任意點(diǎn)x≠x0,若恒有f(x0)>f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn);若恒有f(x0)<f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).82極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).極值是局部性的概念,它只是與極值點(diǎn)左右很小范圍內(nèi)對應(yīng)的函數(shù)值比較而得到的.極值點(diǎn)只能是給定區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn),不能是給定區(qū)間的端點(diǎn).顯然,單調(diào)函數(shù)無極值.835.最值定義1.7已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上有定義,且點(diǎn)x0∈I.對于任意點(diǎn)x∈I,若恒有f(x0)≥f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值點(diǎn)若恒有f(x0)≤f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值點(diǎn).84最大值與最小值統(tǒng)稱為最值,最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)統(tǒng)稱為最值點(diǎn).最值是整體性的概念,它是與給定區(qū)間上的所有函數(shù)值比較而得到的.最值點(diǎn)可以是給定區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn),也可以是給定區(qū)間的端點(diǎn).8586本次課程結(jié)束第二節(jié)

幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能熟練建立幾何與經(jīng)濟(jì)方面的函數(shù)關(guān)系式并計(jì)算出其定義域了解經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式掌握幾何方面常見函數(shù)關(guān)系式一、幾何方面函數(shù)關(guān)系式矩形面積S等于長x與寬u的積,即S=xu特別地,正方形面積S等于邊長x的平方,即S=x2矩形面積長方體體積V等于底面積(矩形面積)S與高h(yuǎn)的積,即V=Sh長方體體積89圓柱體體積V等于底面積(圓面積)πr2(r為底半徑)與高h(yuǎn)的積,即圓柱體體積側(cè)面積(相當(dāng)于矩形面積)S等于底周長2πr與高h(yuǎn)的積,即V=πr2hS=2πrh90例1

欲圍一塊面積為216m2的矩形場地,矩形場地東西方向長xm、南北方向?qū)抲m,沿矩形場地四周建造高度相同的圍墻,并在正中間南北方向建造同樣高度的一堵墻,把矩形場地隔成兩塊,試將墻的總長度Lm表示為矩形場地長xm的函數(shù).91例1解:已設(shè)矩形場地長為xm、寬為um,如圖由于矩形場地面積為216m2,因而有關(guān)系式xu=216,即

所以墻的總長度

92例2

欲做一個(gè)底為正方形、表面積為108m2的長方體開口容器,試將長方體開口容器的容積Vm3表示為底邊長xm的函數(shù).解:已設(shè)長方體開口容器底邊長為xm,再設(shè)高為hm,如圖93由于長方體開口容器表面積為108m2,它等于下底面積x2與側(cè)面積4xh之和,因而有關(guān)系式x2+4xh=108,即

所以長方體開口容器容積

94例3

欲做一個(gè)容積為V0的圓柱形封閉罐頭盒,試將圓柱形封閉罐頭盒表面積S表示為底半徑r的函數(shù).解:已設(shè)圓柱形封閉罐頭盒底半徑為r,再設(shè)高為h,如圖95由于罐頭盒容積為V0,因而有關(guān)系式πr2h=V0,即

由于上、下底面積分別為πr2,側(cè)面積為2πrh,所以圓柱形封閉罐頭盒表面積

96二、經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式(1)總成本函數(shù)

在生產(chǎn)過程中,產(chǎn)品的總成本C為產(chǎn)量x的單調(diào)增加函數(shù),記作C=C(x)它包括兩部分:固定成本C0(廠房及設(shè)備折舊費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi)等)、變動(dòng)成本C1(材料費(fèi)、燃料費(fèi)、提成獎(jiǎng)金等)固定成本C0不受產(chǎn)量x變化的影響,產(chǎn)量x=0時(shí)的總成本值就是固定成本,即C0=C(0);變動(dòng)成本C1受產(chǎn)量x變化的影響,記作C1=C1(x)于是總成本C=C(x)=C0+C1(x)97經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式(2)平均單位成本

在討論總成本的基礎(chǔ)上,還要進(jìn)一步討論均攤在單位產(chǎn)量上的成本.均攤在單位產(chǎn)量上的成本稱為平均單位成本,記作

98(3)總收益函數(shù)

產(chǎn)品全部銷售后總收益R等于產(chǎn)量x與銷售價(jià)格p的積.若銷售價(jià)格p為常數(shù),則總收益R為產(chǎn)量x的正比例函數(shù),即R=R(x)=px若考慮產(chǎn)品銷售時(shí)的附加費(fèi)用、折扣等因素,這時(shí)作為平均值的銷售價(jià)格p受產(chǎn)量x變化的影響,不再為常數(shù),記作p=p(x),則總收益R=R(x)=xp(x)99(4)總利潤函數(shù)

產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤L等于總收益R減去總成本C,即L=L(x)=R(x)-C(x)100(5)需求函數(shù)

銷售商品時(shí),應(yīng)密切注意市場的需求情況,需求量Q當(dāng)然與銷售價(jià)格p有關(guān),此外還涉及消費(fèi)者的數(shù)量、收入等其他因素,若這些因素固定不變,則需求量Q為銷售價(jià)格p的函數(shù),這個(gè)函數(shù)稱為需求函數(shù),記作Q=Q(p)一般說來,當(dāng)商品提價(jià)時(shí),需求量會(huì)減少;當(dāng)商品降價(jià)時(shí),需求量就會(huì)增加.因此需求函數(shù)為單調(diào)減少函數(shù)101說明：

在理想情況下,商品的生產(chǎn)既滿足市場需求又不造成積壓.這時(shí)需求多少就銷售多少,銷售多少就生產(chǎn)多少,即產(chǎn)量等于銷售量,也等于需求量,它們有時(shí)用記號(hào)x表示,也有時(shí)用記號(hào)Q表示.本門課程討論這種理想情況下的經(jīng)濟(jì)函數(shù).102例4某產(chǎn)品總成本C萬元為年產(chǎn)量xt的函數(shù)C=C(x)=a+bx2其中a,b為待定常數(shù).已知固定成本為400萬元,且當(dāng)年產(chǎn)量x=100t時(shí),總成本C=500萬元

103解:由于總成本C=C(x)=a+bx2,從而當(dāng)產(chǎn)量x=0時(shí)的總成本C(0)=a,說明常數(shù)項(xiàng)a為固定成本,因此確定常數(shù)a=400再將已知條件:x=100時(shí),C=500代入到總成本C的表達(dá)式中,得到關(guān)系式500=400+b·1002從而確定常數(shù)

104于是得到總成本函數(shù)表達(dá)式

所以平均單位成本

105例5某產(chǎn)品總成本C元為日產(chǎn)量xkg的函數(shù)

產(chǎn)品銷售價(jià)格為p元/kg,它與日產(chǎn)量xkg的關(guān)系為

試將每日產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤L元表示為日產(chǎn)量xkg的函數(shù)106解:生產(chǎn)xkg產(chǎn)品,以價(jià)格p元/kg銷售,總收益為

又已知生產(chǎn)xkg產(chǎn)品的總成本為

所以每日產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤107

108上述討論的目的不僅是建立幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式,而是在此基礎(chǔ)上繼續(xù)研究它們的性質(zhì),其中一個(gè)主要內(nèi)容是求它們的最值點(diǎn),即討論幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化問題在例1中,矩形場地長x為多少時(shí),才能使得墻的總長度L最短在例2中,長方體開口容器底邊長x為多少時(shí),才能使得容器容積V最大109在例3中,圓柱形封閉罐頭盒底半徑r為多少時(shí),才能使得罐頭盒表面積S最小

在例5中,日產(chǎn)量x為多少時(shí),才能使得每日產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤L最大110111本次課程結(jié)束

第三節(jié)

極限的概念與基本運(yùn)算法則本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能熟練判斷分段函數(shù)分界點(diǎn)處的極限熟練掌握極限的基本運(yùn)算法則理解極限的思想和概念案例1.劉徽---割圓術(shù)

古代數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”.其體現(xiàn)了樸素的極限思想，是最早用極限思想解決實(shí)際問題的。所謂割圓術(shù)，就是從圓內(nèi)接正六多邊形開始，不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓周率的方法。即通過圓內(nèi)接正多邊形細(xì)割圓，邊數(shù)越多，正多邊形的周長越接近圓的周長，正多邊形的面積越接近圓的面積，進(jìn)而來求得較為精確的圓周率。劉徽(約225年-約295年)，漢族，山東濱州鄒平市人，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一。在中國數(shù)學(xué)史上作出了極大的貢獻(xiàn)，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是中國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人。戰(zhàn)國時(shí)期哲學(xué)家:莊周“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”《莊子天下篇》一尺即“一根長為一尺的棒頭，每天截去一半，千秋萬代也截不完.”說明了物質(zhì)無限可分，人們對事物的認(rèn)識(shí)是沒有止境的道理。未看到量變到一定程度會(huì)引起質(zhì)變。實(shí)際上，每天截后剩下的棒的長度是（單位為尺）：第3天剩下；……；第1天剩下；第2天剩下；第21天剩下；（約公元前369—前286年）案例2.莊周---截杖問題第天剩下；……；這樣，我們就得到一列數(shù)……；……這一列數(shù)就是一個(gè)數(shù)列.

隨著時(shí)間的推移，剩下的棒的長度越來越短.顯然,當(dāng)天數(shù)無限增大時(shí),剩下的棒的長度將無限縮短,即剩下的棒的長度接近于數(shù)0.

這時(shí)我們就稱由剩下的棒的長度構(gòu)成的數(shù)列以常數(shù)0為極限.并記作一、極限的概念考慮函數(shù)y=f(x),自變量x在變化過程中的取值一定屬于函數(shù)定義域,分下列兩種基本情況討論函數(shù)y=f(x)的變化趨勢.1.第一種基本情況自變量x取值無限遠(yuǎn)離原點(diǎn),這意味著自變量x的絕對值|x|無限增大,記作x→∞117x→∞包括兩個(gè)方向:一個(gè)是沿著x軸的負(fù)向遠(yuǎn)離原點(diǎn),這時(shí)自變量x取值為負(fù)且|x|無限增大,記作x→-∞另一個(gè)則是沿著x軸的正向遠(yuǎn)離原點(diǎn),這時(shí)自變量x取值為正且|x|無限增大,記作x→+∞因而x→∞意味著同時(shí)考慮x→-∞與x→+∞118例1

119定義1.8已知函數(shù)f(x)在自變量x取值無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)的情況下有定義,當(dāng)x→∞時(shí),若函數(shù)f(x)無限接近于常數(shù)A,則稱當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)的極限為A,記作

注意到x→∞意味著同時(shí)考慮x→-∞與x→+∞.于是有下面的定理.120定理1.1

同時(shí)成立.121

根據(jù)函數(shù)極限的定義,在例1中極限

122例2

解:觀察函數(shù)y=sinx的圖形,如圖123容易看出:無論當(dāng)x?-∞時(shí)還是當(dāng)x?+∞時(shí),對應(yīng)的函數(shù)y值在區(qū)間[-1,1]上振蕩,不能無限接近于任何常數(shù),所以極限

124

定理1.21252.第二種基本情況自變量x取值無限接近于有限點(diǎn)x0,記作x→x0應(yīng)注意的是:在x→x0的過程中,點(diǎn)x始終不到達(dá)點(diǎn)x0,即恒有x≠x0.x→x0包括兩個(gè)方向:

126例3

考慮函數(shù)y=2x+1,在點(diǎn)x=5左右,自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)數(shù)值情況列表如表x4.94.994.999…5.0015.015.1y10.810.9810.998…11.00211.0211.2容易看出:當(dāng)x→5時(shí),對應(yīng)的函數(shù)y值無限接近于常數(shù)11127定義1.9

已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0左右有定義,當(dāng)x→x0時(shí),若函數(shù)f(x)無限接近于常數(shù)A,則稱當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限為A,記作

128定理1.3

同時(shí)成立.129極限的概念這個(gè)定理說明:函數(shù)在有限點(diǎn)處極限存在的充分必要條件是左極限與右極限都存在且相等.

130極限的概念

由于在x→x0的過程中,恒有x≠x0,因而在一般情況下,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有無定義都不影響它在點(diǎn)x0處的極限情況.根據(jù)函數(shù)極限的定義,在例3中極限

131極限的概念數(shù)列與函數(shù)統(tǒng)稱為變量,它們的極限統(tǒng)稱為變量極限.如果變量極限存在,則其極限是唯一的,其在極限過程中某時(shí)刻后有界.若變量y的極限為A,則記作limy=A以后只在討論對于數(shù)列極限與函數(shù)極限皆適用的一般性結(jié)論時(shí),才能使用通用記號(hào)limy若已經(jīng)給出變量y的函數(shù)表達(dá)式,則不能使用通用記號(hào),必須在極限記號(hào)下面標(biāo)明自變量的變化趨勢.顯然,常數(shù)c的極限等于c,即limc=c

(c為常數(shù))132二、極限的基本運(yùn)算法則法則1如果極限limu與limv都存在,則極限lim(u±v)=limu±limv法則2如果極限limu與limv都存在,則極限limuv=limulimv法則3如果極限limu與limv都存在,且極限limv≠0,則極限

133法則4如果極限limu(x)存在,且函數(shù)值f(limu(x))有意義,則極限limf(u(x))=f(limu(x))法則5如果函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镈的初等函數(shù),且有限點(diǎn)x0∈D,則極限

134極限的基本運(yùn)算法則推論1如果有限個(gè)變量u1,u2,…,um的極限都存在,則極限lim(u1+u2+…+um)=limu1+limu2+…+limum推論2如果有限個(gè)變量u1,u2,…,um的極限都存在,則極限limu1u2…um=limu1limu2…limum推論3如果極限limv存在,k為常數(shù),則極限limkv=klimv135例4

=lg(2+0)=lg2136本來在一般情況下,函數(shù)在屬于定義域的有限點(diǎn)處的極限值與它在該點(diǎn)處的函數(shù)值沒有必然聯(lián)系,但法則5說明:

初等函數(shù)在屬于定義域的有限點(diǎn)處的極限值卻等于它在該點(diǎn)處的函數(shù)值,因此法則5解決了初等函數(shù)的基本極限計(jì)算

137繼續(xù)討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限.

若分段函數(shù)在分界點(diǎn)左右的數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣,則直接計(jì)算其極限;若分段函數(shù)在分界點(diǎn)左右的數(shù)學(xué)表達(dá)式不一樣,則應(yīng)分別計(jì)算其左極限與右極限,只有左極限與右極限都存在且相等,極限才存在.例5已知分段函數(shù)

138例5

139

140極限的基本運(yùn)算法則定理1.4函數(shù)極限值與函數(shù)表達(dá)式中變量記號(hào)無關(guān).即:盡管變量u=u(x),恒有極限

141142本次課程結(jié)束第四節(jié)

無窮大量與無窮小量本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203掌握無窮小量的階的定義能熟練判斷無窮小量、無窮大量掌握無窮小量、無窮大量的概念掌握無窮小量的性質(zhì)04一、無窮大量1.定義1.10若變量y的絕對值在變化過程中無限增大,則稱變量y為無窮大量,記作limy=∞或y→∞本來無窮大量的極限是不存在的,形式上稱它的極限為無窮大.無窮大量是指在變化過程中其絕對值無限增大,任何一個(gè)絕對值很大的常數(shù)都不為無窮大量,如常量函數(shù)y=1010不為無窮大量.145在無窮大量的變化過程中,它取值可能為正,也可能為負(fù).2.無窮大量有兩種特殊情況:一種是正無窮大量,這時(shí)無窮大量y在變化過程中的某一時(shí)刻后取值恒為正,記作limy=+∞或y→+∞另一種是負(fù)無窮大量,這時(shí)無窮大量y在變化過程中的某一時(shí)刻后取值恒為負(fù),記作limy=-∞或y→-∞146例1

通過深入的討論,可以得到:當(dāng)x→∞時(shí),x的多項(xiàng)式也為無窮大量.1473.無窮大量具有下列性質(zhì):性質(zhì)1正無窮大量與正無窮大量的和仍為正無窮大量,負(fù)無窮大量與負(fù)無窮大量的和仍為負(fù)無窮大量性質(zhì)2無窮大量與無窮大量的積仍為無窮大量注意:無窮大量與無窮大量的代數(shù)和、無窮大量與無窮大量的商都不一定為無窮大量.下面再討論變量的另一種變化趨勢148二、無窮小量1.定義1.11若極限limy=0,則稱變量y為無窮小量無窮小量是指在變化過程中其絕對值無限減小,任何一個(gè)絕對值很小但不為零的常數(shù)都不為無窮小量如常量函數(shù)y=10-10不為無窮小量.但常量零為無窮小量,但不能認(rèn)為無窮小量就是零.149例2

1502.無窮小量的性質(zhì)無窮小量具有下列性質(zhì):性質(zhì)1無窮小量與無窮小量的和、差、積仍為無窮小量性質(zhì)2無窮小量與有界變量的積仍為無窮小量注意:無窮小量與無窮小量的商不一定為無窮小量151例3

152

當(dāng)角度u(x)→∞時(shí),函數(shù)sinu(x)與cosu(x)是常見的振蕩無極限的有界變量.3.極限存在的變量與無窮小量有什么聯(lián)系?考慮變量y的極限為A,意味著變量y無限接近于常數(shù)A,即變量y-A無限接近于常數(shù)零,說明變量y-A的極限為零,變量y-A當(dāng)然為無窮小量,于是有下面的定理.153極限存在與無窮小量的聯(lián)系定理1.5變量y的極限為A等價(jià)于變量y-A為無窮小量無窮大量與無窮小量有什么聯(lián)系?有下面的定理.154無窮大量與無窮小量的聯(lián)系定理1.6

推論如果極限limu≠0,limv=0,且變量v≠0,則極限

155例4

解:由于分子的極限

分母的極限

根據(jù)定理1.6的推論,所以分式的極限

156無窮小量雖然都是趨于零的變量,但它們趨于零的速度卻不一定相同,甚至差別很大

x0.10.010.0010.0001…x20.010.00010.0000010.00000001…0.320.10.0320.01…2x0.20.020.0020.0002…x2+x0.110.01010.0010010.00010001…157以無窮小量x作為比較標(biāo)準(zhǔn)時(shí),無窮小量x2趨于零的速度比x要快,它們之比值的極限

158無窮小量2x趨于零的速度與x屬于同一檔次,它們之比值的極限

無窮小量x2+x趨于零的速度與x幾乎一樣,它們之比值的極限

159三、無窮小量的階定義1.12已知變量α,β都是無窮小量,以無窮小量β作為比較標(biāo)準(zhǔn).那么:

160無窮小量的階根據(jù)這個(gè)定義可知:

161162本次課程結(jié)束第五節(jié)

未定式極限本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203

了解未定式極限的定義掌握常見未定式極限的類型一、未定式極限定義

一般地,有下面的定義.165未定式極限定義1.13若僅已知變量各部分的極限,不足以確定這個(gè)變量的極限,還必須進(jìn)一步知道各部分的表達(dá)式,才能確定變量極限,則稱這樣的極限為未定式極限.166二、未定式極限的類型未定式極限的類型共有七種,主要是三種:

類型2類型1若u→1,v→∞,則稱冪的極限limuv為1∞型未定式極限.類型3167

分下列三種基本情況討論比較簡單的未定式極限.168三、簡單的未定式極限第一種基本情況1.第一種基本情況

解法:分子P(x)、分母Q(x)分解因式,并注意到在x→x0的過程中,恒有x-x0≠0,因而約去使得分子、分母同趨于零的x-x0的正整次冪非零公因式.169例1

170簡單的未定式極限第二種基本情況2.第二種基本情況

解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它們的有理化因式,并注意到在x→x0的過程中,恒有x-x0≠0,因而約去使得分子、分母同趨于零的x-x0的正整次冪非零公因式.171例2

172簡單的未定式極限第三種基本情況3.第三種基本情況

解法:分子P(x)、分母Q(x)同除以它們中x的最高次冪,并應(yīng)用§1.3極限基本運(yùn)算法則3與§1.4定理1.6及其推論.173簡單的未定式極限第三種基本情況考慮下面三個(gè)極限:

=∞

=0174簡單的未定式極限第三種基本情況總結(jié)上面三個(gè)極限可得到一般的結(jié)果:當(dāng)x→∞時(shí),若分子最高冪次高于分母最高冪次,則有理分式極限為∞若分子最高冪次等于分母最高冪次,則有理分式極限為分子最高次冪系數(shù)與分母最高次冪系數(shù)的比值若分子最高冪次低于分母最高冪次,則有理分式極限為零.即

175例3

解:注意到分子100n為n的一次多項(xiàng)式,而分母n2+1為n的二次多項(xiàng)式,說明分子最高冪次低于分母最高冪次,從而極限

=00176例4

解:注意到當(dāng)x→3時(shí),分母x-3的極限為零.在這種情況下,若分子的極限不為零,根據(jù)§1.4定理1.5的推論,則分式的極限為∞,即分式的極限不存在;現(xiàn)在既然已知分式的極限存在,則分子的極限必然為零.計(jì)算分子的極限,有

=6+k它應(yīng)該等于零,得到關(guān)系式6+k=0,因此常數(shù)k=-6-6177178本次課程結(jié)束第六節(jié)

兩個(gè)重要極限本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能利用第二個(gè)重要極限解決連續(xù)復(fù)利問題熟練掌握第一個(gè)重要極限及特征熟練掌握第二個(gè)重要極限及特征一、第一個(gè)重要極限

x0.20.10.050.02…0.99330.99830.99960.9999…181

根據(jù)§1.3定理1.3,第一個(gè)重要極限可以推廣為

1822.第一個(gè)重要極限的特征第一個(gè)重要極限具有兩個(gè)特征:特征1角度一定趨于零特征2分子是角度的正弦函數(shù),分母一定是這個(gè)

角度本身.1833.第一個(gè)重要極限的應(yīng)用

在應(yīng)用第一個(gè)重要極限時(shí),自變量x不一定趨于零,它可以趨于非零常數(shù),但必須使得角度趨于零.184例1

=7×1=7185例2

186二、第二個(gè)重要極限

x…-10000-1000-100100100010000……2.7182.7202.7322.7052.7172.718…187

根據(jù)§1.3定理1.3,第二個(gè)重要極限可以推廣為

1882.第二個(gè)重要極限的特征第二個(gè)重要極限也具有兩個(gè)特征:特征1底一定是數(shù)1加上無窮小量特征2指數(shù)一定是底中無窮小量的倒數(shù)1893.第二個(gè)重要極限的應(yīng)用第二個(gè)重要極限應(yīng)用于求1∞型未定式極限,所求1∞型未定式極限同時(shí)滿足兩個(gè)特征時(shí),極限值就等于e.所求1∞型未定式極限若具有第一個(gè)特征而不具有第二個(gè)特征,則可以通過冪恒等關(guān)系式等代數(shù)恒等變形,使其具有第二個(gè)特征,進(jìn)而應(yīng)用第二個(gè)重要極限求解在應(yīng)用第二個(gè)重要極限時(shí),自變量x不一定趨于無窮大,它可以趨于零,但必須使得底為數(shù)1加上無窮小量.根據(jù)§1.3的結(jié)論,第二個(gè)重要極限對于相應(yīng)的數(shù)列極限也是適用的.190例3

=e·1=e191例4

=e3192例5

=e-1193例6

194例6解:根據(jù)已知條件,顯然常數(shù)k≠0.計(jì)算極限

=ek

（d）195例7當(dāng)x→0時(shí),無窮小量ln(1+x)與x比較是(

)無窮小量.(a)較高階

(b)較低階(c)同階但非等價(jià)

(d)等價(jià)196

=lne=1根據(jù)無窮小量階的定義,說明當(dāng)x→0時(shí),無窮小量ln(1+x)與x是等價(jià)無窮小量(d)197

二、分式極限計(jì)算舉例

例8.利用第二個(gè)重要極限解決連續(xù)復(fù)利問題利息是指借款者向貸款者支付的報(bào)酬，利息的計(jì)算方式有：單利、復(fù)利、多次付息、連續(xù)復(fù)利等.設(shè)初始本金，銀行年利率為，若一年分次付息，如何計(jì)算連續(xù)復(fù)利199本次課程結(jié)束第七節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能熟練判斷分段函數(shù)分界點(diǎn)處的連續(xù)性掌握函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)的連續(xù)性

202函數(shù)曲線斷開與否,體現(xiàn)出函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì).函數(shù)曲線y=x2在原點(diǎn)處不斷開,稱函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=0處連續(xù)

203函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=0處連續(xù),有什么特征?函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=0處有定義,極限也存在,而且極限值等于函數(shù)值,都等于零.即有關(guān)系式2041.函數(shù)的連續(xù)性定義1.14

2052.函數(shù)的連續(xù)性與改變量的關(guān)系函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),只能說明函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處及其左右的變化情況,它表示函數(shù)的局部性質(zhì)那么它與函數(shù)改變量有什么關(guān)系?

當(dāng)x→x0時(shí),變量f(x)-f(x0)為無窮小量

206定理1.7已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處及其左右有定義,在點(diǎn)x0處的自變量改變量為Δx,相應(yīng)的函數(shù)改變量為Δy,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)等價(jià)于極限

207

若函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上每一點(diǎn)x處都連續(xù),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),并稱函數(shù)f(x)為區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條不斷開的連續(xù)曲線.208根據(jù)§1.3極限基本運(yùn)算法則1至法則4,連續(xù)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商及復(fù)合仍為連續(xù)函數(shù),其中作為除式的連續(xù)函數(shù)取值須不為零.顯然,單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)仍為單調(diào)連續(xù)函數(shù).根據(jù)§1.3極限基本運(yùn)算法則5,所有初等函數(shù)是其定義域上的連續(xù)函數(shù).209二、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有下列性質(zhì):性質(zhì)1如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有界,存在最大值與最小值;性質(zhì)2如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且函數(shù)值f(a)與f(b)異號(hào),則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(ξ)=0

(a<ξ<b)性質(zhì)3如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且f(x)≠0,則對于開區(qū)間(a,b)內(nèi)所有點(diǎn)x,函數(shù)f(x)同號(hào).210例1若分段函數(shù)

在分界點(diǎn)x=0處連續(xù),則常數(shù)a=

.

211

=e5

a=e5212例2已知分段函數(shù)

在分界點(diǎn)x=2處連續(xù),求常數(shù)k的值.213

214

k=3215216本次課程結(jié)束第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié)導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則第三節(jié)導(dǎo)數(shù)基本公式第四節(jié)復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則第五節(jié)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第六節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第七節(jié)微分217本章思維導(dǎo)圖引導(dǎo)案例---邊際分析問題

討論：日產(chǎn)量為100公斤是不是最好的日產(chǎn)量？分析：100公斤是不是最好的日產(chǎn)量，取決于是不是使每天的利潤最大，通常該問題的解決可以用計(jì)算利潤函數(shù)的最值法來判斷。這里我們用一個(gè)簡單的方法—邊際分析的方法解決此問題。第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能利用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算某些極限理解導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義了解導(dǎo)數(shù)的物理意義04能利用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算某些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1平面曲線的切線已知函數(shù)曲線y=f(x),它經(jīng)過點(diǎn)M0(x0,y0),取函數(shù)曲線y=f(x)上的另外一點(diǎn)M(x0+Δx,y0+Δy),作割線M0M222

當(dāng)Δx→0時(shí),動(dòng)點(diǎn)M沿著函數(shù)曲線y=f(x)無限接近于固定點(diǎn)M0,從而使得割線M0M的位置也隨著變動(dòng),若割線M0M的極限位置存在,則稱此極限位置M0T為函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)M0(x0,y0)處的切線223

224例2直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

在物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí),它距出發(fā)點(diǎn)走過的路程s是經(jīng)過時(shí)間t的函數(shù)s=s(t),稱為運(yùn)動(dòng)方程.物體在時(shí)刻t=t0距出發(fā)點(diǎn)走過的路程為s(t0),在時(shí)刻t=t0+Δt距出發(fā)點(diǎn)走過的路程為s(t0+Δt),從而在時(shí)刻t0到t0+Δt這一段時(shí)間間隔Δt內(nèi),所走過的路程為Δs=s(t0+Δt)-s(t0)其平均速度為

225

226一、導(dǎo)數(shù)的定義1.定義2.1已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處及其左右有定義,自變量x在點(diǎn)x0處有了改變量Δx≠0,相應(yīng)函數(shù)改變量為Δy=f(x0+Δx)-f(x0).

還可以記作227導(dǎo)數(shù)的定義

同時(shí)存在且相等比值的左極限與右極限分別稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)值與右導(dǎo)數(shù)值,于是有下面的定理.228定理2.1函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)等價(jià)于

同時(shí)存在且相等.229

當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚]區(qū)間[a,b]時(shí),只要函數(shù)f(x)在左端點(diǎn)a處的右導(dǎo)數(shù)值存在,就認(rèn)為函數(shù)f(x)在左端點(diǎn)a處可導(dǎo)只要函數(shù)f(x)在右端點(diǎn)b處的左導(dǎo)數(shù)值存在,就認(rèn)為函數(shù)f(x)在右端點(diǎn)b處可導(dǎo).根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的定義,在例1中,函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)M0(x0,y0)處的切線斜率k=f'(x0)這給出了導(dǎo)數(shù)值的幾何意義.230

v=s'(t0)2312.求導(dǎo)方法導(dǎo)數(shù)值的定義已經(jīng)給出了求導(dǎo)數(shù)值f'(x0)的具體方法:當(dāng)自變量改變量Δx趨于零時(shí),計(jì)算函數(shù)改變量f(x0+Δx)-f(x0)與自變量改變量Δx之比值的極限.在計(jì)算這個(gè)比值的極限過程中,變量為自變量改變量Δx.根據(jù)§1.3定理1.3,這個(gè)比值的極限值與變量記號(hào)無關(guān),因此自變量改變量的記號(hào)不僅可以表示為Δx,也可以表示為3Δx或-Δx,甚至可以表示為h或x,當(dāng)然這個(gè)比值的分母必須與作為分子的函數(shù)改變量表達(dá)式中的自變量改變量記號(hào)完全一致232而且自變量改變量一定趨于零.于是有

=…233例3

234例3解:計(jì)算極限

=-3f'(x0)（a）235例4

解:計(jì)算極限

=2f'(x0)再從已知條件得到關(guān)系式2f'(x0)=4,因而導(dǎo)數(shù)值f'(x0)=222363.函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理2.2如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).證:由于函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),因而有極限

當(dāng)自變量改變量Δx趨于零時(shí),考察函數(shù)改變量Δy的極限,有

根據(jù)§1.7定理1.7,所以函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).237

238由于此極限不存在,于是它在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo).再如分段函數(shù)f(x)=|x|在分界點(diǎn)x=0處顯然連續(xù);考慮左導(dǎo)數(shù)值

=-1239函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系而右導(dǎo)數(shù)值

盡管左導(dǎo)數(shù)值與右導(dǎo)數(shù)值都存在,但不相等,根據(jù)定理2.1,于是它在分界點(diǎn)x=0處不可導(dǎo).綜合上面的討論得到:對于一元函數(shù),可導(dǎo)一定連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo)

=1240

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上每一點(diǎn)x處都可導(dǎo),則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo),或稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上對自變量x可導(dǎo),并稱函數(shù)y=f(x)為區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù).這樣,對于區(qū)間I上每一點(diǎn)x,恒有一個(gè)導(dǎo)數(shù)值與之對應(yīng),于是得到一個(gè)新的函數(shù),這個(gè)新的函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),簡稱為導(dǎo)數(shù),也稱為函數(shù)y=f(x)對自變量x的導(dǎo)數(shù),記作241二、可導(dǎo)函數(shù)的定義

還可以記作

242應(yīng)用求導(dǎo)數(shù)的具體方法,容易得到：

常量函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)

說明常量的導(dǎo)數(shù)等于零,即(c)'=0

(c為常數(shù))

=0243三、常用基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算例5求函數(shù)f(x)=x2的導(dǎo)數(shù).

244例6

245考慮函數(shù)f(x),若已經(jīng)求出導(dǎo)數(shù)f'(x),則導(dǎo)數(shù)f'(x)在屬于定義域的點(diǎn)x0處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值,即說明在導(dǎo)數(shù)f'(x)的表達(dá)式中,自變量x用數(shù)x0代入就得到導(dǎo)數(shù)值f'(x0).值得注意的是:函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)也可以用(f(x))'表示,它們的含義是一樣的,即f'(x)=(f(x))'246但是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值f'(x0)卻不能用(f(x0))'表示,這是由于(f(x0))'代表函數(shù)值f(x0)即常數(shù)的導(dǎo)數(shù),當(dāng)然等于零,因而它們的含義是不一樣的,即f'(x0)≠(f(x0))'247248本次課程結(jié)束第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能熟練利用運(yùn)用四則法則進(jìn)行導(dǎo)數(shù)計(jì)算掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則了解函數(shù)導(dǎo)數(shù)與反函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一、導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則

盡管導(dǎo)數(shù)的定義給出了求導(dǎo)數(shù)的具體方法,但是若對每一個(gè)函數(shù)都直接根據(jù)定義求得導(dǎo)數(shù),則工作量是很大的.因此有必要給出導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則,以簡化求導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.下面給出導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則:法則1如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)都可導(dǎo),則導(dǎo)數(shù)(u±v)'=u'±v'251證:對應(yīng)于自變量改變量Δx≠0,函數(shù)u,v分別取得改變量Δu,Δv,從而函數(shù)y=u±v取得改變量Δy=[(u+Δu)±(v+Δv)]-(u±v)

=Δu±Δv252

即導(dǎo)數(shù)(u±v)'=u'±v'

=u'±v'253法則2如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)都可導(dǎo),則導(dǎo)數(shù)(uv)'=u'v+uv'證:對應(yīng)于自變量改變量Δx≠0,函數(shù)u,v分別取得改變量Δu,Δv,從而函數(shù)y=uv取得改變量Δy=(u+Δu)(v+Δv)-uv=Δu·v+uΔv+ΔuΔv254

=u'v+uv'+u'·0=u'v+uv'255法則3如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)都可導(dǎo),且函數(shù)v≠0,則導(dǎo)數(shù)

256于是導(dǎo)數(shù)

257法則1可以推廣：

它對于m個(gè)函數(shù)的代數(shù)和也是適用的如果有限個(gè)函數(shù)u1=u1(x),u2=u2(x),…,um=um(x)都可導(dǎo),則導(dǎo)數(shù)(u1+u2+…+um)'=u'1+u'2+…+u'm258二、運(yùn)算法則推廣法則2可以推廣,它對于m個(gè)函數(shù)的積也是適用的如果有限個(gè)函數(shù)u1=u1(x),u2=u2(x),…,um=um(x)都可導(dǎo),則導(dǎo)數(shù)(u1u2…um)'=u'1u2…um+u1u'2…um+…+u1u2…u'm特別地,如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)及w=w(x)都可導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則2的推論,則導(dǎo)數(shù)(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'259考慮特殊情況下的法則2:如果函數(shù)v=v(x)可導(dǎo),k為常數(shù),則導(dǎo)數(shù)(kv)'=(k)'v+kv'=0+kv'=kv'說明常系數(shù)可以提到導(dǎo)數(shù)記號(hào)外面.260考慮特殊情況下的法則3:如果函數(shù)v=v(x)可導(dǎo),且函數(shù)v≠0,則導(dǎo)數(shù)

261三、函數(shù)導(dǎo)數(shù)與反函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為了推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)基本公式的需要,下面給出函數(shù)導(dǎo)數(shù)與反函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.定理2.3

262證:由于函數(shù)x=f-1(y)在開區(qū)間J內(nèi)單調(diào),說明變量x與y一一對應(yīng);又由于函數(shù)x=f-1(y)在開區(qū)間J內(nèi)可導(dǎo),當(dāng)然連續(xù)這樣,函數(shù)x=f-1(y)的反函數(shù)y=f(x)也在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)單調(diào)連續(xù).于是當(dāng)變量x有了改變量Δx≠0時(shí),變量y的改變量Δy≠0,且當(dāng)Δx→0時(shí),也有Δy→0.所以導(dǎo)數(shù)

263總結(jié)：綜合上面的討論,得到導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則:法則1

(u±v)'=u'±v'法則2

(uv)'=u'v+uv'

264導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則推論推論1

(u1+u2+…+um)'=u'1+u'2+…+u'm推論2

(u1u2…um)'=u'1u2…um+u1u'2…um+…+u1u2…u'm推論3

(kv)'=kv'

(k為常數(shù))

265266本次課程結(jié)束第三節(jié)

導(dǎo)數(shù)基本公式本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能熟練利用運(yùn)用四則則進(jìn)行導(dǎo)數(shù)計(jì)算掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式了解導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義一、導(dǎo)數(shù)基本公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)構(gòu)成導(dǎo)數(shù)基本公式1.常量函數(shù)y=c

(c為常數(shù))在§2.1中已經(jīng)得到導(dǎo)數(shù)y'=02692.正整數(shù)指數(shù)冪函數(shù)y=xn(n為正整數(shù))

=nxn-1可以證明:對于任意常數(shù)α,冪函數(shù)y=xα的導(dǎo)數(shù)y'=αxα-1270例1(x2)'=2x

=(x-1)'=-x-2

271例2求函數(shù)y=x4+7x3-x+10的導(dǎo)數(shù).解:y'=(x4)'+7(x3)'-(x)'+(10)'=4x3+21x2-1+0=4x3+21x2-1272例3

2733.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)

274令u=aΔx-1,即Δx=loga(1+u);當(dāng)Δx→0時(shí),u→0

=axlna特別地,若a=e,則得到指數(shù)函數(shù)y=ex的導(dǎo)數(shù)y'=ex275例4(2x)'=