備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第八章平面解析幾何第6講雙曲線

第6講雙曲線課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.雙曲線的定義及應(yīng)用2020全國(guó)卷ⅢT11該講每年必考，命題熱點(diǎn)為雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、漸近線、離心率，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度中等偏上.在2025年高考備考中，訓(xùn)練常規(guī)題型的同時(shí)，應(yīng)強(qiáng)化有關(guān)解答題的訓(xùn)練.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2023新高考卷ⅡT21；2023天津T9；2022新高考卷ⅡT21雙曲線的幾何性質(zhì)2023新高考卷ⅠT16；2022全國(guó)卷乙T11；2022全國(guó)卷甲T14；2022北京T12；2021新高考卷ⅠT21；2021新高考卷ⅡT13；2021全國(guó)卷甲T5；2021全國(guó)卷乙T13；2020新高考卷ⅠT9；2020全國(guó)卷ⅠT15；2020全國(guó)卷ⅡT8；2020全國(guó)卷ⅢT11；2019全國(guó)卷ⅠT16；2019全國(guó)卷ⅡT11；2019全國(guó)卷ⅢT101.雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程（1）定義在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的①絕對(duì)值等于常數(shù)（小于｜F1F2｜且大于零）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的②焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做③焦距.集合語(yǔ)言：P＝{M｜｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a，2a＜｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a，c為常數(shù)且a＞0，c＞0.a.當(dāng)2a＝2c時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是④兩條射線；b.當(dāng)2a＞2c時(shí)，P點(diǎn)軌跡不存在.（2）標(biāo)準(zhǔn)方程a.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為⑤x2a2－y2b2＝1（a＞b.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為⑥y2a2－x2b2＝1（a＞0規(guī)律總結(jié)焦點(diǎn)位置的判斷在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，看x2項(xiàng)與y2項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)，若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在y軸上，即“焦點(diǎn)位置看正負(fù)，焦點(diǎn)隨著正的跑”.思維拓展雙曲線的第二定義、第三定義雙曲線的第二定義：{P｜｜PF｜d＝e，e＞1，F(xiàn)?l，其中F為定點(diǎn)，l為定直線，e為離心率，d為點(diǎn)P到直線l雙曲線的第三定義：{P｜kPA·kPB＝e2－1，e＞1，其中kPA，kPB分別表示點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A，B連線的斜率，e為離心率}（注意，此時(shí)確定的雙曲線不包含兩個(gè)頂點(diǎn)，且焦點(diǎn)在x軸上）.2.雙曲線的幾何性質(zhì)（1）雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2－y2b2＝1（a＞y2a2－x2b2＝1（a＞圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2－y2b2＝1（a＞y2a2－x2b2＝1（a＞幾何性質(zhì)范圍｜x｜≥a，y∈R｜y｜≥a，x∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸：⑦x軸，y軸；對(duì)稱中心：⑧原點(diǎn)焦點(diǎn)F1⑨（－c，0），F(xiàn)2⑩（c，0）F1?（0，－c），F(xiàn)2?（0，c）頂點(diǎn)A1（－a，0），A2（a，0）A1（0，－a），A2（0，a）軸線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實(shí)軸和虛軸；實(shí)軸長(zhǎng)為?2a，虛軸長(zhǎng)為?2b；實(shí)半軸長(zhǎng)為a，虛半軸長(zhǎng)為b焦距｜F1F2｜＝?2c離心率e＝?ca＝1+b2a2，e∈?漸近線直線?y＝±bax直線?y＝±abxa，b，c的關(guān)系a2＝?c2－b2（2）特殊雙曲線等軸雙曲線共軛雙曲線定義實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線叫做等軸雙曲線.如果一雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是另一雙曲線的虛軸和實(shí)軸，那么這兩個(gè)雙曲線互為共軛雙曲線.性質(zhì)（1）a＝b；（2）e＝2；（3）漸近線互相垂直；（4）等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng).（1）它們有共同的漸近線；（2）它們的四個(gè)焦點(diǎn)共圓；（3）它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.常用結(jié)論1.雙曲線的焦點(diǎn)三角形與焦半徑F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，（1）S△PF1F2＝b2ta（2）△PF1F2內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為定值a.（3）當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）在雙曲線右支上時(shí)，｜PF1｜＝ex0＋a，｜PF2｜＝ex0－a；當(dāng)點(diǎn)Px0,y0在雙曲線左支上時(shí)，｜PF1｜＝－ex0－a，｜PF2｜＝－（4）當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí)，｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a.2.雙曲線中兩個(gè)常見的直角三角形如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2向漸近線引垂線，垂足為C，過(guò)點(diǎn)A向x軸引垂線交漸近線于點(diǎn)B，則△COF2≌△AOB，且有｜OC｜＝｜OA｜＝a，｜F2C｜＝｜AB｜＝b，｜OF2｜＝1.下列說(shuō)法正確的是（D）A.平面內(nèi)到點(diǎn)F1（0，4），F(xiàn)2（0，－4）距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線B.關(guān)于x，y的方程x2m－y2n＝1（mn＞C.雙曲線y29－x24＝1的漸近線方程是yD.等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于22.[浙江高考]漸近線方程為x±y＝0的雙曲線的離心率是（C）A.22 B.1 C.2 解析因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為x±y＝0，所以無(wú)論雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，都滿足a＝b，所以c＝2a，所以雙曲線的離心率e＝ca＝2.故選3.[2023北京高考]已知雙曲線C的焦點(diǎn)為（－2，0）和（2，0），離心率為2，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22－y22解析解法一因?yàn)殡p曲線C的焦點(diǎn)為（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦點(diǎn)在x軸上.又離心率e＝2，所以ca＝2，所以a＝2，則b2＝c2－a2＝2，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22－解法二因?yàn)殡p曲線C的離心率e＝2，所以該雙曲線為等軸雙曲線，即a＝b.又雙曲線C的焦點(diǎn)為（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦點(diǎn)在x軸上，所以a2＋b2＝c2＝4，所以a2＝b2＝2，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22－y4.已知等軸雙曲線過(guò)點(diǎn)（5，3），則該雙曲線方程為x216－y216解析設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ（λ≠0），將（5，3）代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以雙曲線方程為x2－y2＝16，即x216－y5.[教材改編]設(shè)雙曲線x29－y2b2＝1（b＞0）的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上的一點(diǎn)，若｜PF1｜＝5，則｜PF2｜解析由雙曲線的方程x29－y2b2＝1（b＞0），可得a＝3，根據(jù)雙曲線的定義可知PF1-PF2=±2a=±66.已知雙曲線C：y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）的焦距為43，實(shí)軸長(zhǎng)為42，則雙曲線C的漸近線方程為2x解析由題意知，2c＝43，2a＝42，則b＝c2－a2＝2，所以C的漸近線方程為y＝±abx＝±2x，即2研透高考明確方向命題點(diǎn)1雙曲線的定義及應(yīng)用例1（1）[全國(guó)卷Ⅲ]設(shè)雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為5.P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4，則A.1 B.2 C.4 D.8解析解法一設(shè)｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則由雙曲線的定義得m－n＝2a.由題意得S△PF1F2＝12mn＝4，且m2＋n2＝4c2＝（m－n）2＋2mn＝4a2＋16，又e＝ca＝5，故c2a2解法二由題意及雙曲線焦點(diǎn)三角形的結(jié)論，得S△PF1F2＝b2tan45°＝4，得b2＝4，又c2a2＝（2）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡為（C）A.雙曲線 B.橢圓C.雙曲線左支 D.雙曲線右支解析設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，由動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，得｜MC1｜＝1＋r，｜MC2｜＝3＋r，｜MC2｜－｜MC1｜＝2＜6，所以動(dòng)圓圓心M的軌跡是以點(diǎn)C1－3,方法技巧1.雙曲線定義的主要應(yīng)用（1）確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是否為雙曲線；（2）解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離或范圍問(wèn)題.2.解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用雙曲線的定義以及余弦定理.訓(xùn)練1（1）已知P是雙曲線C：x22－y2＝1右支上一點(diǎn)，直線l是雙曲線C的一條漸近線.P在l上的射影為Q，F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點(diǎn)，則｜PF1｜＋｜PQ｜的最小值為（DA.1 B.2＋15C.4＋155 D.22＋解析設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，因?yàn)椋黀F1｜－｜PF2｜＝22，所以｜PF1｜＝22＋｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PQ｜＝22＋｜PF2｜＋｜PQ｜.當(dāng)且僅當(dāng)Q，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線，且P在Q，F(xiàn)2之間時(shí)，｜PF2｜＋｜PQ｜最小，且最小值為點(diǎn)F2到直線l的距離.點(diǎn)F2到直線l的距離d＝1，故｜PQ｜＋｜PF1｜的最小值為22＋1，故選D.（2）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為23.解析解法一不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜F1F2｜22｜PF1||PF解法二由題意可得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22－y22＝1，所以可得b2＝2，由雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式S△PF1F2命題點(diǎn)2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2（1）已知定點(diǎn)F1（－2，0），F(xiàn)2（2，0），N是圓O：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M，線段F1M的垂直平分線與直線F2M相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程是（B）A.x2＋y23＝1 B.x2－yC.x23＋y2＝1 D.x23－解析如圖，當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，連接ON，PF1.因?yàn)椋麿N｜＝12｜F2M｜＝1，所以｜F2M｜＝2，由PN所在直線為線段MF1的垂直平分線，可得｜PF1｜＝｜PM｜＝｜PF2｜－｜F2M｜＝｜PF2｜－2，所以｜PF2｜－｜PF1｜＝2＜｜F1F2｜＝4.同理，當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，｜PF1｜－｜PF2｜＝2＜｜F1F2｜＝4.故點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線，對(duì)應(yīng)的方程為x2－y23（2）[2023天津高考]雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.過(guò)F2作其中一條漸近線的垂線，垂足為P.已知｜PF2｜＝2，直線PF1的斜率為A.x28－y24＝1 B.xC.x24－y22＝1 D.x解析解法一由題意可知該漸近線方程為y＝bax，直線PF2的方程為y＝－ab（x－c），與y＝bax聯(lián)立并解得x＝a2c，y＝abc，即P（a2c，abc）.因?yàn)橹本€PF2與漸近線y＝bax垂直，所以PF2的長(zhǎng)度即為點(diǎn)F2（c，0）到直線y＝bax（即bx－ay＝0）的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式得｜PF2｜＝bca2＋b2＝bcc＝b，所以b＝2.因?yàn)镕1（－c，0），P（a2c，abc），且直線PF1的斜率為24，所以abca2c＋c＝24，化簡(jiǎn)得aba2＋c2＝24，又b＝2解法二因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)F2向其中一條漸近線作垂線，垂足為P，且｜PF2｜＝2，所以b＝2，（雙曲線中焦點(diǎn)到漸近線的距離為b）再結(jié)合選項(xiàng)，排除選項(xiàng)B，C.若雙曲線方程為x28－y24＝1，則F1（－23，0），F(xiàn)2（23，0），漸近線方程為y＝±22x，由題意可知該漸近線方程為y＝22x，則直線PF2的方程為y=-2（x－23），與漸近線方程y＝22x聯(lián)立，得P（433，263），則kPF1＝2方法技巧求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法1.定義法先根據(jù)雙曲線定義確定a，b，c的值，再結(jié)合焦點(diǎn)的位置求出雙曲線方程.2.待定系數(shù)法（1）先確定焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由題中條件確定a2，b2的值；若不能確定焦點(diǎn)位置，可以設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1（mn＜0）.（2）常見設(shè)法①與雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為x2a2－y2b2＝λ（②與雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為x2a2－λ－y2訓(xùn)練2（1）[浙江高考]已知點(diǎn)O（0，0），A（－2，0），B（2，0）.設(shè)點(diǎn)P滿足PA-PB=2，且P為函數(shù)y＝34－x2圖象上的點(diǎn)，則｜A.222 B.4105 C.7 解析由｜PA｜－｜PB｜＝2＜｜AB｜＝4，知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支，點(diǎn)P的軌跡方程為x2－y23＝1（x≥1），又y＝34－x2，所以x2＝134，y2＝274，所以｜OP（2）與雙曲線x216－y24＝1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（32，2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212解析解法一設(shè)所求雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，則F1（－25，0），F(xiàn)225,0，則｜PF1｜－｜PF2｜＝（32+25）2+4－（32－25）2+4＝212=2a，∴解法二設(shè)所求雙曲線的方程為x216－λ－y24+λ＝1（－∵雙曲線過(guò)點(diǎn)P（32，2），∴1816－λ－44+λ＝故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212－y命題點(diǎn)3雙曲線的幾何性質(zhì)角度1漸近線例3（1）[2022北京高考]已知雙曲線y2＋x2m＝1的漸近線方程為y＝±33x，則m＝解析依題意得m＜0，令y2－x2－m＝0，得y＝±1－mx＝±33（2）[2021新高考卷Ⅱ]已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的離心率e＝2，則雙曲線C的漸近線方程為y解析e＝ca＝1+（ba）2＝2，得ba＝3，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±方法技巧（1）求雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的漸近線方程的方法：令x2a2－y2b2＝0，即得兩漸近線方程為（2）在雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±ba滿足關(guān)系式角度2離心率例4（1）[2021全國(guó)卷甲]已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，則C的離心率為（A）A.72 B.132 C.7 解析設(shè)｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，則｜F1F2｜＝m2+9m2－2×3m×m×cos60°＝7m（2）雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)A的直線交雙曲線C于另一點(diǎn)B，當(dāng)BF⊥AF時(shí)滿足｜AF｜＞2｜BF｜，則雙曲線離心率A.（1，2） B.（1，32C.（32，2） D.（1，3+解析由BF⊥AF，可得｜BF｜＝b2a，又｜AF｜＞2｜BF｜，｜AF｜＝a＋c，所以a＋c＞2·b2a，即a＋c＞2·c2－a2a，即a2＋ac＞2（c2－a2），兩邊同時(shí)除以a2，整理可得2e2－e－3<0，又e所以雙曲線離心率e的取值范圍是（1，32）（3）[2023新高考卷Ⅰ]已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，F(xiàn)1A⊥F1B，F(xiàn)解析解法一由題意可知，F(xiàn)1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），設(shè)A（x1，y1），B（0，y0），所以F2A＝（x1－c，y1），F(xiàn)2B＝（－c，y0），因?yàn)镕2A＝－23F2B，所以x1－c＝F1A＝（83c，－23y0），F(xiàn)1B＝（c，y0），因?yàn)镕1A⊥F1B，所以F1A·F1B＝0，即因?yàn)辄c(diǎn)A（53c，－23y0）在雙曲線C上，所以25c29a2－4y029b2＝1，又y02＝4c2，所以25c29a2－16c29b2＝解法二由前面解法一得A（53c，－23y0），y02＝4c2，所以｜AF1｜＝（53c＋c）2＋（－23y0）2＝64c29＋4y029＝64c29＋16c29＝45c3，｜AF2｜＝（53c方法技巧1.求雙曲線的離心率的方法（1）直接利用公式求離心率：e＝ca＝1+（2）利用雙曲線的定義求離心率：在焦點(diǎn)三角形F1PF2中，設(shè)∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，則e＝ca＝｜F1（3）構(gòu)造關(guān)于a，b，c的齊次式求離心率：由已知條件得出關(guān)于a，b，c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解.2.求雙曲線離心率的取值范圍的方法（1）借助平面幾何圖形中的不等關(guān)系求解，如焦半徑｜PF1｜∈[c－a，＋∞）或｜PF1｜∈[a＋c，＋∞）、三角形中兩邊之和大于第三邊等；（2）考慮平面幾何圖形的臨界位置，建立關(guān)于a，c的不等關(guān)系求解.角度3與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題例5（1）[全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝a與雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn).若△ODE的面積為8，則A.4 B.8 C.16 D.32解析由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±bax.因?yàn)镈，E分別為直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線的交點(diǎn)，所以不妨設(shè)D（a，b），E（a，－b），所以S△ODE＝12×a×｜DE｜＝12×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝22時(shí)等號(hào)成立.所以c≥4，2c≥8，所以C的焦距的最小值為（2）已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A1，A2，F(xiàn)為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，B為虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，若在線段BF上（不含端點(diǎn)）存在兩點(diǎn)P1，P2，使得∠A1P1A2＝∠A1P2A2＝π2A.（1，5+12） B.（1，C.（0，5+12） D.（3+1解析不妨設(shè)點(diǎn)F為雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸正半軸上，則F-c，0,B0，b,直線BF的方程為bx－cy＝－bc.如圖所示，以O(shè)為圓心，A1A2為直徑作圓O，則P由題意可知b＞a，bcb2＋c2＜a，即b＞a方法技巧求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題的方法1.幾何法：如果題中給出的條件有明顯的幾何特征，那么可以考慮用圖形的性質(zhì)來(lái)求解，特別是用雙曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求解.2.代數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)或不等式，利用函數(shù)或不等式的性質(zhì)求解.訓(xùn)練3（1）[2023綿陽(yáng)二診]設(shè)雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，A，B兩點(diǎn)在雙曲線C上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若｜AB｜＝2｜OF｜（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），｜BF｜＝3｜AFA.6x±2y＝0 B.2x±6y＝0C.2x±3y＝