重慶市渝北中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題-1

渝北中學(xué)20232024學(xué)年高三10月月考質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（全卷共四大題22小題，總分150分，考試時(shí)長120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級填寫清楚.2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰.3.請按題號順序在答題卡的相應(yīng)區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在試卷和草稿紙上答題無效.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分別求得集合與集合,再根據(jù)交集運(yùn)算即可求解.【詳解】集合即由交集運(yùn)算可得故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式與指數(shù)不等式的解法,交集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2.已知向量，，若，則（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以即，所以，所以，故選:D.3.若等比數(shù)列，前項(xiàng)和，且，為與的等差中項(xiàng)，則公比（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，求得和，結(jié)合，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋傻?，解得，又因?yàn)闉榕c的等差中項(xiàng)，可得，解得，所以，可得.故選：B.4.“萊洛三角形”是機(jī)械學(xué)家萊洛研究發(fā)現(xiàn)的一種曲邊三角形，轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)的設(shè)計(jì)就是利用了萊洛三角形，轉(zhuǎn)子引擎只需轉(zhuǎn)一周，各轉(zhuǎn)子便有一次進(jìn)氣、壓縮、點(diǎn)火與排氣過程，相當(dāng)于往復(fù)式引擎運(yùn)轉(zhuǎn)兩周，因此具有小排氣量就能成就高動力輸出的優(yōu)點(diǎn).另外，由于轉(zhuǎn)子引擎的軸向運(yùn)動特性，它不需要精密的曲軸平衡就可以達(dá)到非常高的運(yùn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速.“萊洛三角形”是分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段囫弧組成的曲邊三角形（如圖所示）.設(shè)“萊洛三角形”曲邊上兩點(diǎn)之間的最大距離為4，則該“萊洛三角形”的面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)圖形特征求得，從而，再求出扇形ABC的面積，最后根據(jù)“萊洛三角形”面積與扇形面積之間的關(guān)系求出其面積即可.【詳解】由題意可知等邊三角形的邊長為4，即,所以扇形ABC的面積等于以A為圓心，為半徑的圓的面積的，故扇形ABC的面積，又，該“萊洛三角形”的面積為.故選：B.5.若，則為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】∵，，∴.又∵，，∴，∴又∵，∴故選C.點(diǎn)睛：在三角化簡求值類題目中，常?？肌敖o值求值”，“給值求角”的問題，遇見這類題目一般的方法為——配湊角：即將要求的式子通過配湊，得到與已知角的等量關(guān)系，進(jìn)而用兩角和差的公式展開求值即可.在求解過程中注意結(jié)合角的范圍來確定正余弦的正負(fù)！6.在中，，，，為上一點(diǎn)，為的平分線，則（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用余弦定理求出，再利用等面積法結(jié)合三角形的面積公式可得AD的長度.【詳解】已知，所以，解得，接下來通過等面積法進(jìn)行求解：，，即，即，解得.故選：A.7.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性比較大?。驹斀狻拷猓毫詈瘮?shù)，則，因?yàn)槎x域?yàn)榈氖瞧婧瘮?shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，所以在上為單調(diào)遞增，，，，因?yàn)?，所以，根?jù)在上單調(diào)遞增，所以．即．故選：D．8.已知函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)，不等式總成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將所求不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，可知該函數(shù)在上為增函數(shù)，由此可得出，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，，即，其中，令，其中，則.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，解題的關(guān)鍵就是將所求不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合新函數(shù)的單調(diào)性來求解.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.關(guān)于平面向量，有下列四個(gè)命題，其中說法正確的是（）A.向量，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底B.若點(diǎn)G是的重心，則C.若，則或D.若向量，，則向量在向量上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】由基底的概念即可判斷A，由三角形重心的定義即可判斷B，由平面向量數(shù)量積的定義即可判斷C，由投影向量的概念即可判斷D.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，則，即，則不能作為平面內(nèi)的基底，故A錯(cuò)誤；如圖所示，連接并延長交于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得，則，，所以，故B正確；因?yàn)?，若，則或或，故C錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄?，，則向量在向量上的投影向量為，故D正確；故選：BD10.（多選）函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.該函數(shù)的圖象可由的圖象向左平行移動個(gè)單位長度得到【答案】AC【解析】【分析】觀察圖象可得函數(shù)的最小值，周期，且，由此可求函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)對稱性、單調(diào)遞減區(qū)間和左右平移知識即可一一判斷．【詳解】觀察圖象可得函數(shù)，，的最小值為，故設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由圖象知，則，故，故A正確；由可得，又，所以，所以，因，故B錯(cuò)誤；由，可得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，取知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，故C正確；的圖像向左平移個(gè)單位后得到，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11.已知數(shù)列滿足，則（）A. B.的前10項(xiàng)和為150C.的前11項(xiàng)和為14 D.的前16項(xiàng)和為168【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)遞推公式得，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可判斷AB，根據(jù)并項(xiàng)求和可判斷C，根據(jù)正負(fù)去絕對值以及等差數(shù)列求和可判斷D.【詳解】由得：當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，故，當(dāng)時(shí)，也符合，故，對于A,，故A正確，對于B，的前10項(xiàng)和為，故B錯(cuò)誤，對于C，的前11項(xiàng)和為，故C正確，對于D，當(dāng)，解得，所以，所以的前16項(xiàng)和為，故D正確，故選：ACD12.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，，且當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，C.D.若，則恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】由對稱性判斷A，利用對稱性求得值后，結(jié)合已知等式求得時(shí)的函數(shù)表達(dá)式判斷B，由已知確定函數(shù)的周期性，然后計(jì)算函數(shù)值的和判斷C，作出兩函數(shù)與的圖象，由圖象確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)（注意在處需要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)），判斷D．【詳解】因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于中心對稱，從而的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于中心對稱，所以，解得．所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即．?dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以的周期?，又，，，，，，，，所以故C正確；令，即，畫出與的圖象，如圖所示：因?yàn)?，時(shí)，，，，由周期性知，，則，，即，時(shí)，的切線斜率大于的切線斜率，所以兩函數(shù)圖象在區(qū)間上除了有公共點(diǎn)外，在區(qū)間上還有一個(gè)公共點(diǎn)，因此兩函數(shù)圖象共有5個(gè)交點(diǎn)，所以恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知向量，的夾角為，且，，則等于______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求解，再根據(jù)數(shù)量積的應(yīng)用與運(yùn)算律求解的值即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，的夾角為，且，所以，則故答案為：.14.在中，角，，的對邊分別為，，，已知，則角的大小為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理將角化為邊，然后利用余弦定理公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意知：在中，，根據(jù)正弦定理得：，化簡得：，即，由余弦定理可得，又因?yàn)?，所以故答案為?15.已知，，且，則的最小值為________.【答案】##【解析】【分析】利用等式條件，變形，再利用基本不等式求最小值.【詳解】由，可得，因?yàn)?，可得，，?dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立.所以的最小值為.故答案為：16.已知函數(shù)，，，在內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則的所有可能取值構(gòu)成的集合是__________．【答案】【解析】【詳解】在內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，若最小正周期為，又，則，即，，解得：，又，或；，，關(guān)于中心對稱，，解得：；當(dāng)時(shí)，，又，；當(dāng)時(shí)，，又，或；綜上所述：的所有可能取值構(gòu)成的集合為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)值的問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)和對稱性確定函數(shù)的最小正周期與區(qū)間長度之間的關(guān)系，由此可構(gòu)造不等式求得的值.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的對稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若將的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）對稱中心，單調(diào)遞減區(qū)間（2）最小值為，最大值為2.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡可得，再代入正弦函數(shù)的對稱中心與單調(diào)遞減區(qū)間求解即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與最值求解即可.【小問1詳解】，令，則，故的對稱中心為.令，即的單調(diào)遞減區(qū)間為【小問2詳解】由題意，，故，，則.故在上最小值為，最大值為2.18.在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由，，成等比數(shù)列，列式解得（舍去）或，進(jìn)而得；再由數(shù)列的前n項(xiàng)和，得，且，進(jìn)而得；（2）由（1）得，利用分組求數(shù)列的前n項(xiàng)和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則，，∵，，成等比數(shù)列，，即，整理得，解得（舍去）或，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，滿足上式，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，，.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，也考查了數(shù)列的分組求和的方法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．19.第22屆亞運(yùn)會于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行，這是我國第三次舉辦亞運(yùn)會．為迎接這場體育盛會，杭州市某社區(qū)決定舉辦一次亞運(yùn)會知識競賽，要求每組參賽隊(duì)伍由兩人組成，競賽分為預(yù)賽和決賽，其中預(yù)賽規(guī)則如下：①每組隊(duì)伍先從A，B兩類問題中選擇一類，并由兩位選手從中各隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，答錯(cuò)的選手本輪競賽結(jié)束；答對的選手再從另一類問題中隨機(jī)抽取一個(gè)問題進(jìn)行回答，無論答對與否，本輪競賽結(jié)束；②若在本輪競賽中每組隊(duì)伍的兩名選手合計(jì)答對問題的個(gè)數(shù)不少于3個(gè)，則可進(jìn)入決賽．市民甲與乙組成“夢幻”隊(duì)參加了這次競賽，已知甲答對A類中每個(gè)問題的概率均為0.7，答對B類中每個(gè)問題的概率均為0.5，乙答對A類中每個(gè)問題的概率均為0.4，答對B類中每個(gè)問題的概率均為0.8．（1）若“夢幻”隊(duì)先回答A類問題，記X為“夢幻”隊(duì)答對問題的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）為使“夢幻”隊(duì)進(jìn)入決賽的概率最大，“夢幻”隊(duì)?wèi)?yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．【答案】（1）分布列見解析，期望為（2）應(yīng)選擇先回答類問題，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得的可能取值為0，1，2，3，4，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的計(jì)算公式，即可求解；（2）由（1）求得先回答類問題，“夢幻”隊(duì)能進(jìn)入決賽的概率為，再求得先回答類問題，“夢幻”隊(duì)能進(jìn)人決賽的概率為，結(jié)合，即可得到答案.【小問1詳解】解：根據(jù)題意得的可能取值為0，1，2，3，4，則，，，，，所以的分布列為012340.180.23403340.140.112則．【小問2詳解】解：由（1）可知，若先回答類問題，則“夢幻”隊(duì)能進(jìn)入決賽的概率為：；若先回答類問題，記“夢幻”隊(duì)答對問題的個(gè)數(shù)為，則，，則“夢幻”隊(duì)能進(jìn)人決賽的概率為，所以，所以為使“夢幻”隊(duì)進(jìn)人決賽的概率最大，“夢幻”隊(duì)?wèi)?yīng)選擇先回答類問題．20.如圖，四邊形ABCD中，已知，.（1）若ABC的面積為，求ABC的周長；（2）若，，，求∠BDC的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，結(jié)合余弦定理可得，由ABC的面積為可得，后由余弦定理可得AC即可得周長；（2）由（1）結(jié)合，，可設(shè)，則，后由正弦定理可得，即可得答案.【小問1詳解】由余弦定理，在中，.又，，則.又ABC的面積為，則.則，則ABC的周長為.【小問2詳解】由（1）可知，又，，四邊形內(nèi)角和為，則.設(shè)，則.在中，由正弦定理，.在中，由正弦定理，.消去，得.因，則，則.則.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）若存在極大值點(diǎn)，且極大值不大于，求a的取值范圍．【答案】（1）最大值為（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、最值的關(guān)系求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，結(jié)合參數(shù)不同的取值范圍求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，故的最大值為．【小問2詳解】，，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，符合題