6.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（原卷版）

6.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理考法一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理【例1】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谥校┩瓿梢豁?xiàng)工作，有兩種方法，有6個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)第二種方法，從這10個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（

）A．6種 B．10種 C．4種 D．60種【一隅三反】1．（2023秋·廣東佛山）5名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)舉行的3個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇聽(tīng)其中的1個(gè)講座，且甲乙聽(tīng)同一個(gè)講座，則不同選擇的種數(shù)是．2．（2023·北京）一項(xiàng)工作可以用兩種方法完成．有5人只會(huì)用第一種方法完成，另有4人只會(huì)用第二種方法完成．從中選出1人來(lái)完成這項(xiàng)工作，共有多少種不同的選法？3．（2023·云南）音樂(lè)播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任選一首歌曲進(jìn)行播放，有多少種不同的選法？考法二分步乘法計(jì)數(shù)原理【例21】（2023春·新疆烏魯木齊）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，則不同游覽方案的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【例22】（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）2022年北京冬奧會(huì)的順利召開(kāi)，激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的興趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺(tái)滑雪這四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中任選一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，則不同的選法共有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種【一隅三反】1．（2023春·安徽池州·高二校聯(lián)考期中）“聲東擊西”是游擊戰(zhàn)爭(zhēng)的一種戰(zhàn)術(shù)：聲東可以擊東、南、西、北中的任意一個(gè)方向，以此靈活地打擊或消滅敵人.同樣還有“聲南擊北”等不同的戰(zhàn)術(shù)，由此可知這類(lèi)戰(zhàn)術(shù)中打擊或消滅敵人的方法總數(shù)為（

）A．16 B．12 C．4 D．32．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為（

）A．72 B．108C．144 D．1963．（2023·湖南）某校在藝術(shù)節(jié)期間需要舉辦一場(chǎng)文娛演出晚會(huì)，現(xiàn)要從3名教師、4名男同學(xué)和5名女同學(xué)當(dāng)中選出若干人來(lái)主持這場(chǎng)晚會(huì)（任一人都可主持）．(1)如果只需一人主持，共有多少種不同的選法？(2)如果需要教師、男同學(xué)和女同學(xué)各一人共同主持，共有多少種不同的選法？考法三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合運(yùn)用【例3】（2023秋·山東臨沂·高二校考階段練習(xí)）集合，，，，5，6，，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【一隅三反】1．（2023春·陜西榆林·高二?？计谥校┤鐖D所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之間建有，，，，五個(gè)水閘，若上游有充足的水源但下游沒(méi)有水，則這五個(gè)水閘打開(kāi)或關(guān)閉的情況有（

）A．種 B．種 C．種 D．種2．（2023春·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）口袋中裝有8個(gè)白球和10個(gè)紅球每個(gè)球有不同編號(hào)，現(xiàn)從中取出2個(gè)球．(1)至少有一個(gè)白球的取法有多少種？(2)兩球的顏色相同的取法有多少種？3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路．那么，從甲地到丁地，如果每條路至多走一次，且每個(gè)地點(diǎn)至多經(jīng)過(guò)一次，有多少種不同的走法？考法四數(shù)字型【例4】（2023湖南）用0，1，…，9這十個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿(mǎn)足下列條件的數(shù)?(1)三位整數(shù);(2)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù);(3)小于500的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù);(4)小于100的無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).【一隅三反】1．（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）由0，1，2，3，5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有（

）．A．42個(gè) B．48個(gè) C．54個(gè) D．120個(gè)2．（2023春·上海）用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字．(1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的號(hào)碼？(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(4)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？4．（2023春·浙江寧波·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）用0，1，2，3，，9這十個(gè)數(shù)字.(1)可組成多少個(gè)三位數(shù)？(2)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(3)可組成多少個(gè)小于500且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？考法五涂色【例51】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（

）A．240 B．360 C．480 D．600【例52】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上1種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色．如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法數(shù)為（

）A．240 B．300C．420 D．480【一隅三反】1．（2023春·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某小區(qū)物業(yè)在該小區(qū)的一個(gè)廣場(chǎng)布置了一個(gè)如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個(gè)區(qū)域．現(xiàn)有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰的區(qū)域（有公共邊）不能布置相同的花卉，且每個(gè)區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（

）A．720種 B．1440種 C．1560種 D．2520種2．（2023春·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期中）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現(xiàn)有5種顏色可供選擇，則不同的涂色方法的有(

)種A．540 B．360 C．300 D．4203．（2023·湖北）如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為（）A．192 B．420 C．210 D．72一、單選題1．（2022春·安徽安慶·高二安慶一中?？计谥校┈F(xiàn)有10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（

）A．15種 B．31種 C．24種 D．23種2（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．18 B．36C．72 D．483．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在替工5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）A．120 B．420 C．300 D．以上都不對(duì)4．（2024·安徽）中國(guó)是世界上最早發(fā)明雨傘的國(guó)家，傘是中國(guó)勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，..，8，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．1050種 B．1260種 C．1302種 D．1512種5．（2022春·北京東城·高二統(tǒng)考期末）算盤(pán)是中國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明，迄今已有2600多年的歷史.現(xiàn)有一算盤(pán)，取其兩檔（如圖一），自右向左分別表示十進(jìn)制數(shù)的個(gè)位和十位，中間一道橫梁把算珠分為上下兩部分，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下四珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖二算盤(pán)表示整數(shù)51）.若撥動(dòng)圖1的兩枚算珠，則可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．8 C．10 D．156．（2023·廣東梅州）用標(biāo)有1克，5克，10克的砝碼各一個(gè)，在一架無(wú)刻度的天平上稱(chēng)量重物，如果天平兩端均可放置砝碼，那么可以稱(chēng)出的不同克數(shù)（正整數(shù)的重物）有多少種?（

）A．10 B．11 C．12 D．137.（2023福建）若、，，，且，則平面上的點(diǎn)共有（

）．A．21個(gè) B．20個(gè) C．28個(gè) D．30個(gè)8.（2023·福建廈門(mén)）元旦來(lái)臨之際，某寢室四人各寫(xiě)一張賀卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（

）A．6種 B．9種 C．11種 D．23種二、多選題9．（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）下列正確的是（

）A．由數(shù)字1，2，3，4能夠組成24個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B．由數(shù)字1，2，3，4，能夠組成16個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)C．由數(shù)字1，2，3，4能夠組成64個(gè)三位密碼D．由數(shù)字1，2，3，4能夠組成28個(gè)比320大的三位數(shù)10.（2023·廣東佛山）現(xiàn)有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項(xiàng)活動(dòng)需派人參加，則下列命題中正確的是（

）A．只需1人參加，有16種不同選法B．若需老師、男生、女生各1人參加，則有120種不同選法C．若需1名老師和1名學(xué)生參加，則有39種不同選法D．若需3名老師和1名學(xué)生參加，則有56種不同選法11．（2022春·廣東湛江·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)字，由它們組成四位數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè)B．組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有96個(gè)C．組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有66個(gè)D．組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有28個(gè)12．（2023春·浙江嘉興·高二校考階段練習(xí)）如圖，用種不同的顏色把圖中四塊區(qū)域涂上顏色，相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則（

）A．B．當(dāng)時(shí)，若同色，共有48種涂法C．當(dāng)時(shí)，若不同色，共有48種涂法D．當(dāng)時(shí)，總的涂色方法有420種三、填空題13．（2024·北京）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有種.14．（2022春·山東煙臺(tái)·高二萊州市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，要給地圖上、、、四個(gè)區(qū)域分別涂上種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，不同的涂色方案有種．15．（2024·江蘇）用5種不同的顏色給如圖標(biāo)有A，B，C，D的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，且相鄰（有公共邊）兩部分不同顏色，則不同的涂色方法共有.16．（2023春·湖北十堰·高二?？茧A段練習(xí)）如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有種（用數(shù)字作答）.解答題17．（2023·廣西）某市的有線(xiàn)電視可以接收中央臺(tái)12個(gè)頻道、本地臺(tái)10個(gè)頻道和其他省市46個(gè)頻道的節(jié)目．(1)當(dāng)這些頻道播放的節(jié)目互不相同時(shí)，一臺(tái)電視機(jī)共可以選看多少個(gè)不同的節(jié)目？(2)如果有3個(gè)頻道正在轉(zhuǎn)播同一場(chǎng)球賽，其余頻道正在播放互不相同的節(jié)目，一臺(tái)電視機(jī)共可以選看多少個(gè)不同的節(jié)目？18．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）書(shū)架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，5本不同的語(yǔ)文書(shū)，6本不同的英語(yǔ)書(shū)．(1)從這些書(shū)中任取一本，有多少種不同的取法？(2)從這些書(shū)中取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各一本，有多少種不同的取法？(3)從這些書(shū)中取不同科目的書(shū)共兩本，有多少種不同的取法？19．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在300和800之間，有多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)？20．（2023秋·山東臨沂·高二?？茧A段練習(xí)）從1，2，3，4，5這5個(gè)整數(shù)中，允許重復(fù)地取出3個(gè)數(shù)a，b，c，構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)X＝100a+10b+c．（1）X有多少個(gè)？其中偶數(shù)多少個(gè)？（均用數(shù)字作答）（2）將所有的X從小到大排列，第75個(gè)X是多少？21．（2023·廣州）（1）如圖是某校的主要設(shè)施平面圖，現(xiàn)用不同的顏色作為各區(qū)域的底色，為了便于區(qū)分，要求相鄰區(qū)域不能使用同一種顏色．若有6種不同的顏色可選，問(wèn)有多少種不同的著色方案？（2）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的