2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 3-1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 學(xué)案

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.能利用基本初等函

數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，能求簡

單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如Xar+與的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).

必備知識?夯實雙基

知識梳理

1.導(dǎo)數(shù)的概念

⑴函數(shù)y=∕(x)在X=XO處的導(dǎo)數(shù)記作或.

P...............Ayf(XO+?Λ-)-/(XO)

即1〃x。)=螞±=螞--------晨---------

⑵函數(shù)y=∕U)的導(dǎo)函數(shù)/(χ)=y'=如'°’.

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y(x)在點Xo處的導(dǎo)數(shù)/(xo)的幾何意義是曲線y=√(x)在點P(XO，州)處的

.相應(yīng)的切線方程為.

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

___________基本初等函數(shù)______________________________導(dǎo)函數(shù)____________________

__________LX)=C(C為常數(shù))_________________________/(x)=..______________________

∕x)=xn("GQ*)/⑴=________

√(x)=sinX_______________/(χ)=________________

y(x)=cosX_______________/(X)=一._......一________________

fix)=ar(a>0且α≠1)_______________/(χ)=________________

______________於)=3_____________________________/(X)=________________________

fix)—IogUx(x>0,4>0且4≠1)_______________/(χ)=________________

Xx)=InX(X>0)_______________/(X)=________________________

4.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若/(x),g(x)存在，則有：

⑴[∕U)±g(x)Y=.

(2)伏x)g(x)[=.

f(X)

(3)[^77ΓJ-(g(χ)wo).

(4)[?Λx)J,=(C為常數(shù)).

5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)"=g(x)在X處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=∕(g(x))在X處可導(dǎo)，且y'-f{u)?g?x).

I常用結(jié)論]

1.曲線的切線與曲線的公共點不一定只有一個，而直線與二次曲線相切時只有一個公共

點.

2.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).

f(X)

3lΓτ∞1%7Mo)?

夯實雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“x”)

(1)導(dǎo)函數(shù)/(X)的定義域與函數(shù)式X)的定義域相同.()

(2?(XO)與伏X°)]’表示的意義相同.()

(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點.()

(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.()

2.(教材改編)某跳水運(yùn)動員離開跳板后，他達(dá)到的高度與時間的函數(shù)關(guān)系式是刀Q)=IO

一4.9尸+8(距離單位：米，時間單位：秒)，則他在0.5秒時的瞬時速度為()

A.9.1米/秒B.6.75米/秒

C.3.1米/秒D.2.75米/秒

3.(教材改編)曲線y=f+:在點(1,4)處的切線方程為.

4.(易錯)已知函數(shù)/(X)=InX-∕j(l)e'+2,則貝1)=()

A.上+2B.--+2

e+1e+1

C.2D.-2

5.(易錯)過原點與曲線y=(χ-1)3相切的切線方程為.

關(guān)鍵能力題型突破

題型一導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算

例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

(Dy=M+；+3)；

⑵於尸鬻+Hf

(3)y=2*+sin∣cos|；

(4)?∕ω=τ??

題后師說

■｛一乘積形式：先展開化為多看式的形式，再藕

r

-ΛJ分式冊式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函

導(dǎo)［數(shù)或校為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)

的-｛對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)］

運(yùn)

算

根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)*的形式，再求丁

方-1I

法J三角形式：先利用三角座等變換將函數(shù)化簡，再'

〕［求導(dǎo)__________________

復(fù)合函數(shù)：碗定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求打

鞏固訓(xùn)練1

(1)函數(shù)./U)=√2x+1的導(dǎo)函數(shù)了(X)=()

A.2√2x+1B.-^=

√2x+l

JC2√21^+lD√?1ML

(2)函數(shù)y=sin(3x+；)的導(dǎo)數(shù)為()

A.cos(3x÷-)B.3cos(3x+-)

44

C.-cos(3x÷-)D.3sin(3x÷-)

44

(3)已知函數(shù)y(x)的導(dǎo)函數(shù)是/(x),且滿足7U)=H(l)+ln?,則川)=

題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義

例2已知函數(shù)次尤)=2InX—X.

(1)求曲線y=∕U)在X=2處的切線方程；

(2)求曲線y=∕(x)過點(0,0)的切線方程.

題后師說

一

切點，

syJ為

點P(X

kt

.?RU

”曲線

求“在

求z

√(?),

率為A

切或斜

型

的切

,y)處

P(.r

曲一點

00

切線

的一條

有唯一

段我方程

?if)

(?roX

的為.C

切

則

線上，

若在曲

蚊

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點尸和

要分在

檢

首先

”曲或

方求“過

美

況

兩種情

點，

尸

酷點

一點

程y≡≠x)上

型

在

是否

切

.Χ)的

代.“?

曲線

。不在

若點

上

曲線

線方程

點，

要談切

一上，則

法”

定切點

即“待

2

訓(xùn)練

鞏固

)

(

方程為

的切線

O))處

0,火

在點(

+e'

=含

數(shù)於)

擬]函

朝陽模

?遼寧

023

(l)[2

÷l

=2x

B.y

÷l

=3x

A.y

=x+?

D.y

+l

y=%

C.

方程

線/的

則直

切，

*)相

y=y

曲線

,且與

-1)

點(0,

線/過

若直

nx.

=XI

?x)

知函數(shù)

(2)已

.

為

應(yīng)用

意義的

數(shù)幾何

三導(dǎo)

題型

圍

值或范

參數(shù)的

一求

角度

)

值為(

數(shù)0的

則實

切，

X相

—2In

y=