吉林省長春市2023屆高三下學(xué)期5月四模數(shù)學(xué) 含解析

長春市2023屆高三質(zhì)量監(jiān)測(四)

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共4頁.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形

碼粘貼區(qū).

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體

工整、筆跡清楚.

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草

稿紙、試卷上答題無效.

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.

5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合"={",5-"4,'={3,2α+l},AD'={2,3,4,5},則(),

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)并集的結(jié)果，分類討論當(dāng)2a+l=2、2α+l=5時集合A、8的情況，即可求解.

【詳解】A={a,5-4,4},B={3,2a+l},AB={2,3,4,5),

11O

當(dāng)2a+l=2即。=一時，A={-,-,4},β={3,2),不符合題意；

222

當(dāng)2Λ+1=5即a=2時，A={2,3,4},8={3,5},此時Au5={2,3,4,5}.

所以α=2.

故選：B.

2.函數(shù)/(x)=gx-sinx的圖象可能是

【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析：因為/(-x)=—gx+sinx=-(；x-sinx)=-/(x),所以/(X)為奇函數(shù)，故排除B、

D；當(dāng)X=一工時，/(χ)=l×(--)-sin(-^)=-^+->0>故排除C,故選A.

424482

考點：1、函數(shù)圖象；2、函數(shù)的奇偶性.

3.已知復(fù)數(shù)iz=l+5i,則復(fù)數(shù)z+N=().

A.-10B.10C.-2D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運算規(guī)則和共規(guī)復(fù)數(shù)的定義求解.

【詳解】iz=l+5i,.?.z=-i(l+5i)=5-i,z=5+i,.?.z+z=10；

故選：B.

4.某高中社會實踐小組為課題“高中生作業(yè)情況研究”進(jìn)行周末作業(yè)時長調(diào)研，利用課間分別對高一、高二、

高三年級進(jìn)行隨機采訪，按年級人數(shù)比例進(jìn)行抽樣，各年級分別有效采訪56人、62人、52人，經(jīng)計算各

年級周末作業(yè)完成時間分別為(平均)3小時、3.5小時、4.5小時，則估計總體平均數(shù)是().

A.3.54小時B.3.64小時C3.67小時D.3.72小時

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)定義求解.

【詳解】三個年級抽樣人數(shù)的總時長=56x3+62x3.5+52x4.5=619,

三個年級抽樣人數(shù)的平均時長=619÷(56+62+52)=3.64,

根據(jù)樣本估計總體，，總體的平均時長約為3.64(小時)；

故選：B.

5.設(shè)〃?，n∈{-2,-l,0,l,2,3}.曲線C：，加+"=1,則下列說法正確的為()

A.曲線C表示雙曲線的概率為LB.曲線C表示橢圓的概率為L

56

C.曲線C表示圓的概率為AD.曲線C表示兩條直線的概率為(

【答案】B

【解析】

【分析】先求出使得方程表示雙曲線、橢圓、圓和直線包括的方法總數(shù)，再由古典概率的公式代入各選項

即可得出答案?

【詳解】對于A,當(dāng)加<0時;曲線C表示雙曲線,

則當(dāng)機>0,〃<0時，有C；?C；=6種，當(dāng)〃z<0,">0時，有C；?C；=6種,

121

所以曲線C表示雙曲線的概率為氏T=§,故A不正確;

對于B,當(dāng)機>0,〃>0,〃??！?，曲線C表示橢圓，所以有A；=6種,

61

曲線C表示橢圓的概率為反Γ=q,故B正確;

對于C,當(dāng)加=〃>0,曲線C表示圓，有3種情況,

31

曲線C表示圓的概率為KK=不，故C不正確；

對于D,當(dāng)m=0,”>0或機>0,n=0,曲線C表示兩條直線，

當(dāng)加=0,〃>0時，有3種情況，當(dāng)相>0,〃=0時，有3種情況，共6種情況,

61

曲線C表示兩條直線的概率為Tπk=2,故D不正確.

C6C66

故選：B

6.我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服號影算法”在《大衍歷》中建立了唇影長/與太陽天頂距

8（0°<6<90。）的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上最早的一整正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可知，辱影長度

/等于表高〃與太陽天頂距夕正切值的乘積，即∕=atand,對同一“表高”兩次測量，第一次和第二次太陽

天頂距分別為a、B,若第一次的“唇影長”是“表高”的3倍，且tan（a-0=g,則第二次喝影長”是“表

高”的（）倍.

257

A.1B.-C.一D.-

322

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可得tanα=3,tang—，）=；,再根據(jù)tan力=tan[e—（α-月）]結(jié)合兩角差的正切公

式即可得解.

【詳解】由題意可得tana=3,tan（e—￡）=；,

8.已知正方體A5C。一A'8'C'。'的棱長為1,點M,N分別為線段AB',AC上的動點，點T在平面

BCC'B'內(nèi)，則?mt?+WTl的最小值是()

A.√2B.C.旦D.1

32

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)A點關(guān)于BC的對稱點為E,M關(guān)于BB'的對稱點為M',則最小值為直線EB'與AC之間

的距離，利用等積法可求此最小距離.

【詳解】解：A點關(guān)于BC的對稱點為E,M關(guān)于88'的對稱點為"'，

記d為直線EB1與AC之間的距離，則IMTI+∣NT∣=∣M7∣+∣NT閆MMed,

由B'EHD'C,d為E到平面ACD'的距離，

≡VD,ACE=I×I×^C=∣×I×I=P

而％'-ACE=%-ACD'=gx"x=W"'故4=^^,

故選：B.

【點睛】方法點睛：空間中動線段的距離和的最值問題，可以類比平面中的距離和的最值處理利用對稱

性來處理于轉(zhuǎn)化，另外異面直線間的公垂線段的長度可利用點到平面的距離來處理.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中有多個選項

是符合題目要求的.

9.若d—的展開式中第5項與第6項的二項式系數(shù)相等，則下列說法正確的是().

I2x)

A.n=9B.展開式中各項系數(shù)和為一匚

512

211

C.展開式中常數(shù)項為7D.展開式中各二項式系數(shù)和為

16256

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)二項式定理以及二項展開式系數(shù)的性質(zhì)，運用賦值法和二項式展開項公式求解.

【詳解】因為第5項和第6項是相鄰的兩項，；.〃=9,A正確；

令X=1,則有。一，］=」一，B正確；

12)512

9rr83r

Tr+i=q(√)'f-?=q(-l)?2^.χ'^，.?.r=6,常數(shù)項7；S,C正確；

二項式系數(shù)之和=2"=512，錯誤；

故選：ABC.

10.有兩批種子，甲批種子15粒，能發(fā)芽的占80%,乙批種子10粒，能發(fā)芽的占70%,則下列說法正

確的有().

34

A.從甲批種子中任取兩粒，至少一粒能發(fā)芽的概率是丁

35

7

B.從乙批種子中任取兩粒，至多一粒能發(fā)芽的概率是不

47

C.從甲乙兩批中各任取一粒，至少一粒能發(fā)芽的概率是前

19

D.如果將兩批種子混合后，隨機抽出一粒，能發(fā)芽的概率為一

25

【答案】ACD

【解析】

【分析】由題意可知甲批有12粒發(fā)芽，乙批有7粒發(fā)芽.結(jié)合古典概率的概率公式、對立事件的概率公式

以及組合數(shù)的性質(zhì)計算，依次判斷選項即可.

【詳解】甲批種子15粒，能發(fā)芽的占80%,乙批種子10粒，能發(fā)芽的占70%,

則甲批有15x80%=12粒發(fā)芽，乙批有10x70%=7粒發(fā)芽.

A：從甲批種子任取2粒，至少1粒能發(fā)芽的概率為P=I-舁=當(dāng)，故A正確；

C^535

C2(21(2lo

Li

B：從乙批種子任取2粒，至多1粒能發(fā)芽的概率為P=U+W=77,故B錯誤；

Cf0。15

C1C147

C：從甲、乙批兩種種子中各取1粒，至少1粒能發(fā)芽概率為P=I-K/=京，故C正確；

CkCL19

將兩批種子混合后，隨機抽取粒能發(fā)芽的概率為+=,故D正確.

D：1P=1

C25C25

故選：ACD.

11.下列命題中正確的是().

A.已知隨機變量XN(〃Q2),且滿足P(XW6)=P(XN2),則〃=4

B.已知一組數(shù)據(jù)：7,8,4,7,2,4,5,8,6,4,則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是6

C.已知隨機變量X則D(3X-1)=24

D.某學(xué)校有A,B兩家餐廳，某同學(xué)第1天午餐時間隨機地選擇一家餐廳用餐，如果第1天去A餐廳，

那么第2天去A餐廳的概率為0.8,如果第一天去B餐廳，那么第2天去B餐廳的概率為0.4,則該同學(xué)

第2天去8餐廳的概率為0.3

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的3b原則，即可求解判斷A；根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可判斷B；根據(jù)二項分布

方差的性質(zhì)計算即可判斷C；根據(jù)條件概率和全概率公式計算即可判斷D.

//-(7=2Li-2σ=2u-3σ=2〃=4u=4〃=4

【詳解】A：或《或《解得VC或4I或＜2，所以

χz+cr=61〃+2Cr=614+3b=6σ=2[σ-!σ=-

I3

〃=4,故A正確；

B：這組數(shù)據(jù)為2,4,4,4,5,6,7,7,8,8,60%xl0=6,所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為?=6.5,故B錯

2

誤；

22sR

C：由題意得D(X)=I2x-x(l--)=-,所以。(3X—l)=9Q(X)=9x-=24,故C正確；

3333

D：設(shè)A表示“第1天去A餐廳用餐”，設(shè)表示“第2天去A餐廳用餐”，

設(shè)為表示“第1天去3餐廳用餐”，設(shè)層表示“第2天去B餐廳用餐”，

則P(A)=P(BI)=0.5,P(A2∣A)=0.8,P(B2∣Bl)=0.4,則P(B2?Al)=l-P(A2?Al)=0.2,

所以P(82)=P(A)P(即A)+P(4)P(g∣4)=0.5x0.2+0.5x04=03,故D正確.

故選：ACD.

1(1>

12.己知正項數(shù)列｛α,,｝的前〃項和為S“，且有S,,=］區(qū),+丁，則下列結(jié)論正確的是().

A.a｝=-B.數(shù)列｛S,,｝為等差數(shù)列

?.S366D.+%+04?

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)題意和4=5“一Sg("≥2)可得S；-S,3=1,結(jié)合等差數(shù)列的定義可證明｛S；｝是以1

為首項，公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而5“=6、%=冊-JR,結(jié)合選項依次判斷即可.

【詳解】A：S”=:(4+」-),當(dāng)〃=1時，1=4=：(%+-!"),由勺>0解得q=l,故A錯誤；

2an2a]

B：Sn=-(αn+—),當(dāng)〃≥2時,all=S11-Snj,則S“=7(S〃-Szιτ+1~?--),

Zan2?n^?,,-l

整理得s；—sj∣=ι,又s?=%+/=?%+')、%>。解得々2=&—1,

得§2=&，有S；-S：=S；-/=1,符合上式，

所以｛S；｝是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，故B錯誤；

C：由選項B的分析可知S；=l+5-1)X1=〃，由α,,>0解得S”=M，

所以%=A=6,故C正確；

所以=S,,-S"_1=y[n—Jn-1,

D：由選項C的分析可知S”=，則a”=Sn—S“_\=品--1,

所以4,=J5-1,ai=Λ∕3—?>∕2>a4=2—y∣3,得生+/+%=1，故D正確

故選：CD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知α=log坐曰，〃=c=ln∕,則。，b,C的大小關(guān)系為.

【答案】c<a<h

【解析】

【分析】由對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到(0,1),b>?,C=-∣,從而得到大小關(guān)系.

【詳解】因為y=ι°g*χ在(o,+8)上單調(diào)遞減，1>。>去，

故α=logjgg<Iog遮g=1且α=Iog亞g>IOg亞1=0，所以αG（0,1）,

3233323

故c<a<b.

故答案為：c<a<b

4∕74∕4+4

14.若α,0∈R,ab>O,則+7"的最小值為

ab

【答案】8

【解析】

433

分析】?a+“〃4+J4竺4a+幺h+4上,然后利用基本不等式求解即可.

abbaab

【詳解】因為必>0,

3

而N4"+∕√+44Q3h4C府，4zl,4oIj4C

回了以------------=-----1------1-----≥2J-----------1-----=4cιhH-----≥2J4QZ?,—=8，

abbaabNbaababVab

當(dāng)且僅當(dāng)叱=O,497=之即。2=立/=0時等號成立，

baab2

故答案為：8

15.已知不等式(av—lnx)[f—(q+ι)χ+ι]之。對任意%>0恒成立，則實數(shù)4的取值范圍是

【答案】?,?

e

【解析】

【分析】

設(shè)〃X)=這一In%,g(x)=d-(α+ι)χ+ι,對實數(shù)。的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)

/(χ)的單調(diào)性與最值，根據(jù)己知條件列出關(guān)于實數(shù)。的不等式(組)，綜合可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】設(shè)/(x)="-lnx,其中x>0,則/(X)=a」="I設(shè)g(x)=x2—(a+l)x+l.

①當(dāng)a≤0時，/(力<0對任意的》?0恒成立，此時，函數(shù)/(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x21時，/(x)≤/(l)=fl-l<0,

對于函數(shù)g(x)=f—(a+l)χ+l,該函數(shù)的對稱軸為直線X=等<1,

函數(shù)g(x)在［1,內(nèi))上單調(diào)遞增，當(dāng)工21時，g(x)≥g⑴=l-a>0,

所以，當(dāng)x2l時，/(x)g(x)<O,不合乎題意；

②當(dāng)a〉0時，令/'(x)=0,可得X=L列表如下:

a

?(1)

X一,+oo

(哂aIQ√

/’3—0+

/(x)、極小值Z

所以,"x)min=U=lTn)=l+lna.

l+lna<O時，即當(dāng)0<a<，時，g［(1=則不合乎題

⑴當(dāng)/

是、；

(ii)當(dāng)/L］=l+lnaZ0時，即當(dāng)aN，時，則g［，］=上(≥0,此時a≤l,即工≤a≤l.

對于函數(shù)g(x)=f-(a+l)χ+l,Δ=(tz+l)2-4=(a-l)(a+3)≤0,

所以,當(dāng)χ>0時，/(χ)≥0,g(x)≥0,則/(x)g(x)≥0對任意的x>O恒成立.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是?,l

e

故答案為：?,?

e

【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解:

(1)Vx∈￡),m≤f(x)θm≤f(x)n^n；

(2)Vx∈D.m≥/(x)<=>m≥/(^)nιax；

(3)3x∈D,m</(x)nκιx；

(4)BxeD,m>f(?)/(?^)min.

16.已知圓。的圓心在拋物線％2=2點(/?>0)上運動，且圓C過定點A(0,p),圓。被X軸所截得的弦

為MN,^?AM?=m,∣AN∣=n,則竺+二的取值范圍是

nm

【答案】[2,2√Σ]

【解析】

,即可表示出圓C的方程,從而求出∣M∕V∣,再設(shè)NM4N=，，由題意知〃"?=煦

【分析】設(shè)Cx0,

/77H

再由。的范圍求出一+一的取值范圍.

nm

/2、2

故圓C的方程(x-/y+丁一區(qū)

I2PJ

令y=0有(x-x。)。+—iy=xθ+-?--?o+p1>

故(X-Xo)2=/?,解得Xl=XO+p,x2=x0-p,

故IMM=Ixl-X2∣=2p.

1

設(shè)ZMAN=θ,因為SAMN=；IAMI?IAJV∣?Sinθ=；IOA∣?IMM=p,

所以〃掰=二匕,又由余弦定理可得病+〃2-2相〃COSe=4p2,

sin。

所以m2+n2=4∕72+—^7—cos，=4〃2(1H——--),

SineIIaneJ

2

224p\1+—!—∣sin0

所以帆nm+n<tanJ~?八小CfT?/八/。\，

—+—=----------=-------------------------=2(Sine+cos6)=2√2sin(6+45。)

nmmn2P

因為0°<e≤90°,所以I≤sin(e+45O)≤1,所以當(dāng)且僅當(dāng)8=45。時，原式有最大值2企，

故答案為：［2,2企］

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是首先求出∣MN∣的值，再利用解三角形的知識得到，曲=篇、

/+”2=4/(1+—二］,將式子進(jìn)行三角轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

VtanJ

四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)/(X)=JGSin<υx+2COS2彳+m的最小值為一2.

(1)求函數(shù)“力的最大值；

(2)把函數(shù)y="χ)的圖象向右平移S個單位，可得函數(shù)y=g(χ)的圖象，且函數(shù)y=g(χ)在

6。

7C

0,-上為增函數(shù)，求①的最大值.

O

【答案】(1)2

(2)4

【解析】

【分析】⑴化簡函數(shù)為/(x)=2SinS+￡+1+機，再根據(jù)函數(shù)/(x)的最小值為一2求解;

(2)利用平移變換得到g(x)=2sinox的圖象，再由y=g(x)在0,-上為增函數(shù)求解.

O_

【小問1詳解】

解：/(X)=GSinωx+2COS2修+m,

=?/?sin^?+cos6yχ+1+,

=2sinωx+?+1+/77.,

I6

函數(shù)/(x)的最小值為-2

.*.-2+1+m——29

解得加=T,

則/(X)=2sin1°x+^?),

，函數(shù)/(x)的最大值為2.

【小問2詳解】

由(1)可知：把函數(shù)/(x)=2sin[s+5]向右平移三個單位,

V6J6a>

可得函數(shù)y=g(x)=2siwυx的圖象.

y=g(χ)在0?上為增函數(shù),

O

；?函數(shù)g(x)的周期T=

.?.ω,,4,即”的最大值為4.

18.已知數(shù)列｛向｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且4+%=10，%=4.

(1)求｛叫的通項公式;

白1n

(2)求證：∑---<τ-z

Ea.+4,+ι2?+2

【答案】(1)q

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件求出卬和4,再寫出｛4｝的通項公式；

(2)先運用縮放法，再利用裂項相消法證明.

【小問1詳解】

設(shè)JZ的公差為d(d>0),

??Jci]—Jα,Id=2-d,??"?^[a?+d=2+d,

??4+%=lO,，(2—dy+(2+d)2=10解得d=l或d=T(舍)，瓜=1,

二T=i^+(4-l)d="'?"?an=02；

【小問2詳解】

?：q+4+∣=z2+(/+I)2=2i2+2z+l>2z(z+l),

11

a,+a,+12?zz+1

19.現(xiàn)有兩個口袋，A口袋中有m個球，一部分是紅球，另一部分是白球，從中取出一個球恰好是白球的

2

概率為8口袋中有6個球，4個紅球，2個白球.若將兩個口袋混合在一起，從中取出一個球，恰好

4

是白球的概率為一.

9

(1)若甲從B口袋中每次有放回地取一個球，直到取到白球停止，則恰好第三次后停止的概率；

(2)甲乙兩人進(jìn)行游戲，由第三人從兩個口袋中各取一個球，若同色甲勝，否則乙勝，通過計算說明這

個游戲?qū)扇耸欠窆剑?/p>

(3)從B口袋中一次取3個球，取到一個白球得2分，取到一個紅球得1分，求得分的期望.

4

【答案】(1)—

27

(2)游戲不公平(3)4

【解析】

【分析】(1)利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式即可求出結(jié)果;

(2)求出分別從AB口袋中各取出一個球是紅球的概率P(R)和P(4)，第三人從兩個口袋中各取一

球是同色球的事件為

D1D2+?瓦,再利用互斥事件有一個發(fā)生的概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率即可求出結(jié)果；

(3)利用條件直接求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，再利用均值的定義即可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

H2

-=

3-

m3

加=

設(shè)A口袋中有〃個白球，則由題知＜2+4

7'm2--

6+9

2

設(shè)事件與表示從8口袋中第d=1,2,)次取出的是紅球，則有P(g)=§(i=l,2,),

設(shè)事件C表示從B口袋中有放回的各取1球恰好第3次后停止，

則P(C)=P(4與瓦)=P(4)P(8J(1-P(鳥))=∣χ∣χg=,?

【小問2詳解】

設(shè)事件。表示從A口袋中取出一個球是紅球，P(。)=；，

2

5

。2表示從B口袋中取出一個球是紅球，Z(D2)=-,

事件E表示第三人從兩個口袋中各取一球是同色球，有

P(E)=P(22+A4)=P0W+P(QA)=P(A)P(4)+P(A)P(O2)=斐+壽=巧

‰-*/

所以游戲不公平.

【小問3詳解】

設(shè)X表示從B口袋中一次取3個球的得分，則X的可取值為3,4,5,

有P(X=3)=3=LP(X=4)=年=3,P(X=5)=年=L

v7v7v,

e?O5Oe?5Oe?5

131

從而E(X)=3xM+4xg+5x《=4.

20.在三棱錐P—ABC,底面UWC是邊長為4的正三角形，平面B4C_L平面ABC,且Q4=PC?

(1)若PA=Ji6,求證：平面平面PBC；

(2)若POI底面ABC,垂足為O,PO=2,求平面PBC與平面Q45夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵-

7

【解析】

【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得HPLHB、HPLHC,

建立如圖空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法分別求出平面布2和平面PBC的法向量〃、機，結(jié)合〃.m=O即可證

明;

(2)由(1),根據(jù)向量法分別求出平面以8和平面PBC的法向量小〃2,結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算即可

求解.

【小問1詳解】

取AC的中點“，則"β,"C,連接〃P、HB,由Q4=PC,得HPLAC,

又平面∕?C1平面ABC=AC,HPU平面以C，所以平面ABC,

由HB、HCU平面ABC,得HPLHB，HP1HC,

以“為原點，”C方向為X軸，方向為y軸，“尸方向為Z軸，建立空間坐標(biāo)系，

由題意可得“C=2,HB=4BC2-HC2=2√3,HP=>JPA2-HA2=√6，

則W(0,0,0),P(0,0,√6),B(0,2√3,0),Λ(-2,0,0),C(2,0,0),

有PA=(-2,0,-√6),Pfi=(0,2√3,-√6),BC=(2,-2>^,0),

設(shè)平面PAB和平面尸8(7的一個法向量分別為"=(5,％，4)、〃2=02，%，22)，

n?PA--2xl-Λ∕6Z1=0m?BC=Ix2-2?∣3y2=0

n-PB-2y∣3yl-#Zl=Om-PB=2?∣3y2-y∕βz2=0

令XI=-α,X]=小,得X=Λ∕∑,ZI=2,y2=1,z2=√2,

所以〃=(--J6,?j2,2)?m=(yfi,?,?j2),有〃?"?=—>/6x5/3+?^7,×?+2>∕2=0，

即〃_Lm，故平面PLB，平面PBC.

【小問2詳解】

由⑴知，若0尸=2,則P(0,0,2),C(2,0,0),A(-2,0,0),β(θ,2^,θ),

有AB=Q,2后0),AP=(2,0,2),C8=(-2,26θ),CP=(-2,0,2),

設(shè)平面RIB、平面PBC一個法向量分別為％=*3，乃，23)、"：!=(χ4,y?4,z?4)，

nt-AP―2X3—2Z3-0n,?CB=-2x4+2?∣3y4=0

石％=°

nl-AB=2X3+2G?CP=-2x4+2z4=0

令X3=>∕3,x4=>Λ>得力=-Lz3=-6,”=Lz4=布，

所以〃∣=(6,T—6),H2=(ΛΛ,I,√3),

∣∕η?n2∣|3-1-3|^1

設(shè)平面∕?B與平面PBC夾角為。，得CoSe=

同?同√7?√77

所以平面AW與平面PBC夾角的余弦值為L.

7

a>h>O)的離心率為4,四個頂點構(gòu)成的四邊形面積為2立■

(1)求橢圓方程:

⑵若直線y=丘+，"交橢圓于A(Xl,y),B(x2,y2),且SAOB=與,求證才+尤為定值?

r2

【答案】(1)—+/=1

2

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由題意設(shè)α=",C=Mr>0),則h=f.代入菱形的面積公式求出，即可求解;

(2)直線方程聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示玉+/，玉々，由題意，結(jié)合弦長公式可得2，/2+1，

2

根據(jù)X；+考=(x,+x2)-2X,Λ2計算化簡即可求解.

【小問1詳解】

由橢圓的離心率為自，可設(shè)α=",c=r">0),則h=r.

四個頂點構(gòu)成的四邊形為菱形，其面積為S=--2a-2b=--2√2r-2t=20?=2√2,

22

r2

即，=1,即橢圓方程為：—+/=1.

2-

【小問2詳解】

2

SZiAOB=∣∣^∣?∣X,-Λ2∣=∣∣∕77∣?λ∕(x,+Λ2)-4x,X2,

2

聯(lián)立直線y="+加與橢圓三+y=I,消去y可得(1+2%2)+4ktτιx+—2=。，

2'

=(4km)2-4(1+2k2)(2nr-2)=16?2-Sm2+8>O,X+尤=—?,?,?,=一：

δ1-l+2?212↑+2k2

22

/CI1,?(-AhnY,2∕√-2ll√4)l-2∕n+2√2

得S△…加-4.討=Imj"2二=E'

整理得2*=2公+1，

.?-22/?2c(-AkiTt?2tτΓ—2

而用+χ=(%+%)―2苞々=|J^TJ-2-77^F=

所以x；+x；為定值.

(2)若方程/(力=左?恰有兩個根，求證：i<k<^-.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】