（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)《第6講　函數(shù)的奇偶性》理（含解析） 蘇教版

A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練(時(shí)間：45分鐘滿分：80分)一、填空題(每小題5分，共35分)1．(2011·大綱全國(guó)卷改編)設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝2x(1－x)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝________.解析feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2).答案－eq\f(1,2)2．(2011·蘇北四市調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝eq\f(2,2x＋1)＋m為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝________.解析由題意，得f(0)＝0，所以eq\f(2,20＋1)＋m＝0，即m＝－1.答案－13．(2011·南通無錫調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且周期為3，f(－1)＝－1，則f(2011)＝________解析因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)，f(－1)＝－1，所以f(1)＝1，f(2011)＝f(3×670＋1)＝f(1)＝1.答案14．(2011·蘇錫常鎮(zhèn)揚(yáng)調(diào)研)已知奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－2對(duì)稱，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x，則f(－9)＝________.解析由題意，得f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(－4－x)，所以f(－9)＝f(－4＋9)＝f(5)＝－f(－5)＝－f(1)＝－2.答案－25．(2011·鹽城市檢測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)＞1，f(2)＝eq\f(2a－3,a＋1)，則a的取值范圍是________．解析因?yàn)閒(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以eq\f(2a－3,a＋1)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＜－1，即eq\f(2a－3,a＋1)＋1＜0，eq\f(3a－2,a＋1)＜0，解得－1＜a＜eq\f(2,3).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))6．(2011·揚(yáng)州市沖刺)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在[－1,1]上是單調(diào)增函數(shù)，又f(－1)＝－1，則滿足f(x)≤t2＋2at＋1對(duì)所有的x∈[－1,1]及a∈[－1,1]都成立的t的取值范圍是________．解析由題意，f(x)max＝f(1)＝－f(－1)＝1，所以t2＋2at＋1≥1，即t2＋2at≥0對(duì)a∈[－1,1]恒成立，t＝0時(shí)，顯然成立；t≥0時(shí)，由t≥－2a恒成立，得t≥2；t＜0時(shí)，由t≤－2a恒成立，得t≤－2.綜上，得t≤－2或t＝0或t≥2.答案(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)7．(2011·南通無錫調(diào)研)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式eq\f(fx－f－x,x)＜0的解集為________．解析因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，所以由eq\f(fx－f－x,x)＝eq\f(2fx,x)＜0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,fx＜0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜0，,fx＞0.))因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，所以由f(x)＜f(1)，得0＜x＜1.又f(x)是奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，所以由f(x)＞f(－1)，得－1＜x＜0.綜上所述，－1＜x＜0或0＜x＜1.答案(－1,0)∪(0,1)二、解答題(每小題15分，共45分)8．設(shè)f(x)＝ex＋ae－x(a∈R，x∈R)．(1)討論函數(shù)g(x)＝xf(x)的奇偶性；(2)若g(x)是個(gè)偶函數(shù)，解不等式f(x2－2)≤f(x)．解(1)a＝1時(shí)，f(x)＝ex＋e－x是偶函數(shù)，所以g(x)＝xf(x)是奇函數(shù)；a＝－1時(shí)，f(x)＝ex－e－x是奇函數(shù)，所以g(x)＝xf(x)是偶函數(shù)．a(chǎn)≠±1，由f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，得g(x)＝xf(x)是非奇非偶函數(shù)．(2)當(dāng)g(x)是偶函數(shù)時(shí)，a＝－1，f(x)＝ex－e－x是R上的單調(diào)增函數(shù)，于是由f(x2－2)≤f(x)得x2－2≤x，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.9．(2011·山東省萊蕪測(cè)試)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝2x－3·2－x.(1)當(dāng)x＜0時(shí)，求f(x)的解析式；(2)若f(x)＝eq\f(1,2)，求x的值．解(1)當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(－x)＝2－x－3·2x，又f(x)是奇函數(shù)，f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝2－x－3·2x，即當(dāng)x＜0時(shí)f(x)＝－2－x＋3·2x.(2)當(dāng)x＜0時(shí)，－2－x＋3·2x＝eq\f(1,2)，即6·22x－2x－2＝0.解得2x＝eq\f(2,3)或2x＝－eq\f(1,2)(舍)，所以x＝1－log23.當(dāng)x＞0時(shí)，2x－3·2－x＝eq\f(1,2)，即2·22x－2x－6＝0.解得2x＝2或2x＝－eq\f(3,2)(舍去)．所以x＝1.綜上可得x＝1－log23或x＝1.10．已知函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，常數(shù)a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；(2)若函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2對(duì)任意x∈(－∞，0)∪(0.＋∞)，有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，常數(shù)a∈R)，若x＝±1，則f(－1)＋f(1)＝2≠0；∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)為非奇非偶函數(shù)．(2)設(shè)2≤x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝xeq\o\al(2,1)＋eq\f(a,x1)－xeq\o\al(2,2)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x1－x2,x1x2)[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上為增函數(shù)，必須f(x1)－f(x2)＜0恒成立．∵x1－x2＜0，x1x2＞4，即a＜x1x2(x1＋x2)恒成立．又∵x1＋x2＞4，∴x1x2(x1＋x2)＞16.∴a的取值范圍是(－∞，16]．B級(jí)綜合創(chuàng)新備選(時(shí)間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1．(2011·南師大附中模擬)已知函數(shù)f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數(shù)，則k的值為________．解析由f(－x)＝f(x)，得log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，即2kx＝log4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋4x,4x)))－log4(4x＋1)＝log4eq\f(1,4x)＝－x，所以k＝－eq\f(1,2).答案－eq\f(1,2)2．若偶函數(shù)f(x)在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞減，則不等式f(－1)＜f(lgx)的解集是________．解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)＝f(|x|)，于是由f(－1)＜f(lgx)，得f(1)＜f(|lgx|)，又由f(x)在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞減得f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，所以有|lgx|＞1，即lgx＜－1或lgx＞1，解得x＜eq\f(1,10)或x＞10.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,10)))∪(10，＋∞)3．(2011·南通無錫調(diào)研)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝1－2－x，則不等式f(x)＜－eq\f(1,2)的解集是________．解析若x＞0，則由f(x)＝1－2－x＜－eq\f(1,2)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＞eq\f(3,2)，這與x＞0時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＜1矛盾．若x＜0，則由f(x)為奇函數(shù)，得f(x)＝－f(－x)＝－1＋2x＜－eq\f(1,2)，得2x＜eq\f(1,2)＝2－1，解得x＜－1.答案(－∞，－1)4．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于f(x)的判斷：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱；③f(x)在[0,1]上是增函數(shù)；④f(x)在[1,2]上是減函數(shù)；⑤f(2)＝f(0)．其中正確的序號(hào)是________．解析∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋1＋1)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期為2的函數(shù)，①正確．又∵f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(2－x)，∴y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，②正確．又∵f(x)為偶函數(shù)且在[－1,0]上是增函數(shù)，∴f(x)在[0,1]上是減函數(shù)．又∵對(duì)稱軸為x＝1，∴f(x)在[1,2]上為增函數(shù)，f(2)＝f(0)，故③④錯(cuò)誤，⑤正確．答案①②⑤5．函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)有相同的定義域，且都不是常值函數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任何x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)g(－x)＝1，且當(dāng)x≠0時(shí)，g(x)≠1，則F(x)＝eq\f(2fx,gx－1)＋f(x)的奇偶性為________．解析因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，g(－x)＝eq\f(1,gx)，所以F(－x)＝eq\f(2f－x,g－x－1)＋f(－x)＝eq\f(－2fx,\f(1,gx)－1)－f(x)＝eq\f(2fxgx,gx－1)－f(x)＝eq\f(2fxgx－2fx＋2fx,gx－1)－f(x)＝2f(x)＋eq\f(2fx,gx－1)－f(x)＝eq\f(2fx,gx－1)＋f(x)＝F(x)．所以F(x)是偶函數(shù)．答案偶函數(shù)6．已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足條件feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝－f(x)，且函數(shù)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))為奇函數(shù)，給出以下四個(gè)命題：①函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))對(duì)稱；③函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)；④函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，其中真命題的序號(hào)為________(寫出所有真命題的序號(hào))．解析①由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝－f(x)，得f(x＋3)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)，所以①正確．②由y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))為奇函數(shù)，得f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))對(duì)稱，所以②不正確．③由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(3,4)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，得f(x)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(3,2)))，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝－f(x)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，所以f(x)是偶函數(shù)，③正確．由③正確知④不正確．答案①③二、解答題(每小題15分，共30分)7．(2011·鹽城市檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1＋ax2,x＋b)(a≠0)是奇函數(shù)，并且函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3)．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的值域．解(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\f(1＋ax2,x＋b)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)．所以eq\f(1＋a－x2,－x＋b)＝－eq\f(1＋ax2,x＋b).因?yàn)閍≠0，所以－x＋b＝－x－b.所以b＝0.又函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3)，所以f(1)＝3.所以eq\f(1＋a,1＋b)＝3.因?yàn)閎＝0，故a＝2.(2)由(1)知f(x)＝eq\f(1＋2x2,x)＝2x＋eq\f(1,x)(x≠0)．當(dāng)x＞0時(shí)，2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2x·\f(1,x))＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝eq\f(1,x)，即x＝eq\f(\r(2),2)時(shí)取等號(hào)．當(dāng)x＜0時(shí)，(－2x)＋eq\f(1,－x)≥2eq\r(－2x·\f(1,－x))＝2eq\r(2).所以2x＋eq\f(1,x)≤－2eq\r(2).當(dāng)且僅當(dāng)－2x＝eq\f(1,－x)，即x＝－eq\f(\r(2),2)時(shí)取等號(hào)．綜上可知，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－∞，－2eq\r(2)]∪[2eq\r(2)，＋∞)．8．(2011·泰興重點(diǎn)中學(xué)調(diào)研)設(shè)f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－mx,x－1)))為奇函數(shù)，g(x)＝f(x)＋loga[(x－1)(ax＋1)](a＞1，且m≠1)．(1)求m的值；(2)求g(x)的定義域；(3)若g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(3,2)))上恒正，求a的取值范圍．解(1)f(x)是奇函數(shù)，f(x)＝－f(－x