2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第十章 第七講　正態(tài)分布 學(xué)案

第七講正態(tài)分布

■雙基自測

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一正態(tài)曲線及其性質(zhì)

I(尢—

(1)正態(tài)曲線：函數(shù)式幻=不藕e——斤一，χ∈(-oo,+∞),其中實(shí)數(shù)〃和

a(c>o)為參數(shù).我們稱函數(shù)yu)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲

線，簡稱正態(tài)曲線.期望為〃、標(biāo)準(zhǔn)差為。的正態(tài)分布通常記作X?N3,M).

(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：①曲線位于》軸_?^,與X軸不相交；②曲線是單

峰的，它關(guān)于直線X=Ll對(duì)稱:③曲線在2口_處達(dá)到峰值志；④曲線與X

軸之間的面積為」一；⑤當(dāng)。一定時(shí)，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化

而沿著X軸平移;⑥當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由α確定,α越小，曲線越“瘦高”，

表示總體的分布越連里一；。越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越上遨

知識(shí)點(diǎn)二正態(tài)分布

(1)正態(tài)分布的定義及表示.

若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為TU)=￡岔e-&方x∈R,則稱隨

機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X?N(μ,o2).

特別地，當(dāng)〃=0,片1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即X?MO,1).

(2)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值(3c原則)：

①PR-σ≤X≤ju+⑻-0.6827:

②Ps-2cWXW"+2α)-0.9545:

③P(Zz-3σ≤X≤∕z+3σ)≈0.9973.

3σ原則：主要用于判定產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，機(jī)器運(yùn)行是否正常等，也就是

說3c之外的概率是小概率事件，如果發(fā)生了說明產(chǎn)品不合格、機(jī)器運(yùn)行不正常

等.

歸納拓展

對(duì)于正態(tài)分布M?,σ2),由X=〃是正態(tài)曲線的對(duì)稱軸知

(I)P(X=P(XJI)=0.5；

(2)對(duì)任意的a有P(X<〃一α)=P(X>〃+。)；

(3)P(X<xo)=1-P(XeXo);

(4)P(α<X<∕?)=P(X<h)-P(XWa).

注：在X服從正態(tài)分布，即X?Na，σ2)時(shí)，要充分利用正態(tài)曲線的關(guān)于直

線對(duì)稱和曲線與X軸之間的面積為1.

雙基自測

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“義”)

(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定?(J)

(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，

方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小.(√)

(3)正態(tài)分布中的參數(shù)〃和C完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)〃是正態(tài)分布的均

值，。是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.(√)

(4)若X?Mo,1),則KX<—；)<&?；).(X)

題組二走進(jìn)教材

2.(選擇性必修3P87T2)某市高二年級(jí)男生的身高X(單位：Cm)近似服從正態(tài)

分布N(170S),貝IJp(?65<χ≤180)=0.8186.

a”-JP(170-5<X<170+5)P(170-10<X<170+10)

［解析］P(165<X≤180)=------------2-------------+--------------2--------------=

0.6827+0.9545

=0.8186.

2

題組三走向高考

3.(2022?新高考Il卷)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NQ,σ2),且P(2<X≤2.5)

=0.36,則P(X>2.5］=0.14.

［解析］因?yàn)閄?N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=P(X>2)

-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.

4.(2015?湖北)設(shè)X?M/”，/)，Y?Ng￡),這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如

圖所示，下列結(jié)論中正確的是(C)

A.

B.P(X≤σ2)≤P(X≤σι)

C.對(duì)任意正數(shù)3P(XWz)NP(YWf)

D.對(duì)任意正數(shù)3P(X2∕)2P(ye∕)

［解析］由正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)可知，X?N(μι,σι),Y?NQn,成)的密

度曲線分別關(guān)于直線X=μux=〃2對(duì)稱，因此結(jié)合題中所給圖象可得，⑷<〃2,

所以P(y?〃2)<P(ye〃i),A錯(cuò)誤；又X?N(μι,σ?)的密度曲線較Y~N(μ2,￡)

的密度曲線“瘦高”，所以⑦<σ2,所以P(XWe)>P(XWm),B錯(cuò)誤；對(duì)任意正

數(shù)3P(X≤∕)2P(Y≤t),P(X2t)WP(Y》f),C正確,D錯(cuò)誤.

5.(2021.全國新高考II)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布Ml。，σ2),下列

結(jié)論中不正確的是(D)

A.C越小，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.0越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.a越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.q越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等

［解析］對(duì)于A,σ2為數(shù)據(jù)的方差，所以。越小，數(shù)據(jù)在〃=10附近越集中，

所以測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；

對(duì)于B,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測量大于10的概

率為0.5,故B正確；

對(duì)于C,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于

10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y量結(jié)果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,10.3)

的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在(9910.2)的概率與落在(I(Mo.3)的概率不同，

故D錯(cuò)誤.故選D.

?互動(dòng)探究

考點(diǎn)一正態(tài)分布的性質(zhì)—自主練透

例1（1）（2023?廣東佛山南海區(qū)、三水區(qū)聯(lián)考）李明上學(xué)有時(shí)坐公交車,

有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析

得到，假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)丫都服從正態(tài)分布，X?N（μ6）,Y?

Na2.22）.X和y的分布密度曲線如圖所示.

則下列結(jié)果正確的是（C）

A.D(X)=6

B.μι>μ2

C.P(XW38)<P(YW38)

D.P(X≤34)<P(y≤34)

(2)(2022.河北唐山模擬)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，隨機(jī)變量Y

服從正態(tài)分布ML1)，且P(X>l)=0?1587,則P(1<Y<2)=(B)

A.0.1587B.0.3413

C.0.8413D.0.6587

［解析］(1)由題意知。(X)=36,A錯(cuò);由圖知〃ι=30,.2=34,.?√Z1<M2,B

錯(cuò)；又P(X≤34)>P(XW30)=g=P(YW34),D錯(cuò).故選C.事實(shí)上

1—P(JUI一8≤X≤∕∕ι+8)

P(X≤38)=1--------——2------——

1,P(∕∕∣-8≤x≤∕∕ι+8)

=2+2

lP(∕∕ι-12≤X≤^1+12)

W尹2

=打如WWl=P曄38).

（2）由正態(tài)曲線的性質(zhì)知，隨機(jī)變量x、丫的正態(tài)曲線形狀相同，（如圖）.

由題意P(y>2)=P(X>l)=0.1587,

ΛP(l<y<2)=O.5-O.1587=0.3413.

故選B.

名幃A撥MINGSHIDIANBO

對(duì)X?N〃，，）中的〃，。的意義不清楚，特別是對(duì)〃的認(rèn)識(shí)不清楚，就會(huì)在

解題時(shí)無從下手，導(dǎo)致隨便給出一個(gè)結(jié)果.這里〃是隨機(jī)變量X的均值，。是標(biāo)

準(zhǔn)差，X="是正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱軸.

涉及多條正態(tài)曲線問題常用正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)分布的概率為常數(shù)

（3。原則）進(jìn)行互化.

〔變式訓(xùn)練1〕

（2022.廣東深圳一模）已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)a。）=］聶e—與沙

（x∈R,i=l,2,3）的圖象如圖所示，則（D）

A.μ1<μ2=μ3,σ?=σ2>σ3

B.∕Z∣>∕Z2=43,m=rr2473

C.μτ=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3

D.μ?<μ2=μ3,σ?=σ2<σ3

［解析］由圖可知，μ2=μ3>μ?,

排除B、C；

又?.力越大曲線越矮胖，

/.σ3>σ2,排除A.

故選D.

考點(diǎn)二正態(tài)分布——多維探究

角度1正態(tài)曲線的對(duì)稱性

*例2(2023?黑龍江哈爾濱質(zhì)檢)某市有30000人參加階段性學(xué)業(yè)水平檢

測，檢測結(jié)束后的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布M120,/),若P(IoOWXWI20)=

0.495,則成績在140分以上的大約為150人.

［解析］由題意，考試的成績X服從正態(tài)分布M120,σ2).

二考試的成績X的正態(tài)密度曲線關(guān)于X=120對(duì)稱，

VP(100<X<120)=0.495,

.?.P(100<X<140)=2×0.495=0.99,

/.P(X>140)=P(X<100)=^×(1-0.99)=0.005,

該市成績在140分以上的人數(shù)為0.005×30000=150.

角度2確定正態(tài)曲線的對(duì)稱軸

A例3(2022.福建模擬)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),若P(X<3)

+P(XWl)=I,則“=2.

［解析］因?yàn)閄服從正態(tài)分布M/∕,σ2),所以P(X<3)+P(XB3)=1,

所以P(X≤1)=P(X23),由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知對(duì)稱軸為X=2,所以〃=

2.

角度3三個(gè)常用數(shù)據(jù)

例4(2023.廣東六校聯(lián)考)我們將服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨

機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量.概率論中有一個(gè)重要的結(jié)

論：若隨機(jī)變量Y?B(〃，p),當(dāng)〃充分大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量Y可以由正態(tài)隨機(jī)

變量X來近似地替代，且正態(tài)隨機(jī)變量X的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量r的期

望和方差相同.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667?1754)在1733年證明了寸這個(gè)結(jié)

論是成立的，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家拉普拉斯(1749?1827)在1812年證明了這

個(gè)結(jié)論對(duì)任意的實(shí)數(shù)p∈(0,l］都成立，因此，人們把這個(gè)結(jié)論稱為棣莫弗一拉普

拉斯極限定理.現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣900次，利用正態(tài)分布估算硬幣正面

向上次數(shù)不少于420次的概率為(A)

2

(附：若X?N(μ,σ),則P(∕z-σ≤X≤jt∕+σ)^0.6827,Pg2eWXWμ+

2σ)≈0.9545,PaL3aWXW〃+3*0.9973)

A.0.97725B.0.84135

C.0.65865D.0.02275

［解析］拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣900次，設(shè)硬幣正面向上次數(shù)為X,則X?

0900,，，

E(X)=叩=450,D(X)=W(I—p)=225,

由題意，X?N(μ,/)，且

幺=E(X)=450,σ2=D(X)=225=152,

因?yàn)镻(∕∕-2σ≤X≤∕z+2σ)≈0.9545,

即P(450-2×15≤X≤450+2×15)^0.9545,

所以利用正態(tài)分布估算硬幣正面向上次數(shù)不少于420次的概率為P(X≥420)

∩9545

=P(X≥450-2×15)≈?^—+0.5=0.97725.故選A.

名帥A撥MINGSHIDIANBO

關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法

(1)熟記P@一σ<XWμ+σ),P(μ—2o<XWμ+2σ),P(μ~3σ<X^μ+30)的值；

(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與X軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關(guān)于

直線X=〃對(duì)稱，從而在關(guān)于X=〃對(duì)稱的區(qū)間上概率相等;②P(X<4)=1—P(XNa),

P(X<μ~d)=P(X^μ+d).

〔變式訓(xùn)I練2〕

(1)(角度1)(2022.江蘇調(diào)研)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(l,σ2),且P(X<4)

=0.9,則P(-2<X<1)=(C)

A.0.2B.0.3

C.0.4D.0.6

(2)(角度2)(2023?江蘇蘇州外國語學(xué)校模擬)已知隨機(jī)變量。?Na,σ2),PQW4)

=；,P(<f>3)=∣,P(3<4≤5)=∣一

⑶(角度3)(2023?江蘇南京調(diào)研)已知隨機(jī)變量X?Nd］),則P(8<X<10)

的值約為(A)

附：若Y?NQI,σ2),貝UP(∕∕-σ<y<^+σ)^0.6827,P(χ∕-2σ<y<∕∕+2σ)^0.954

5,P(μ-3σ<Y<μ+3σ)≈0.9974.

A.0.0215B.0.1359

C.0.8186D.0.9760

［解析］⑴由P(X<4)=0?9,得P(X24)=O?1.

又正態(tài)曲線關(guān)于x=l對(duì)稱.

則P(XW—2)=P(X24)=0.1,

”,1—P(X≤-2)—P(X24)U3

所以P(—2<X<1)=--------------γ-------------=0.4.故選C.

⑵已知隨機(jī)變量4?M∕z,σ2),Pe≤4)=畀〃=4,因?yàn)镻(3<<fW4)=看一T=

12

y所以P(3<0W5)=2P(3<4W4)=τ

(3)由題意知P(8≤X≤10)

P(/z-3(τWXW∕z+3(τ)-3(∕∕~~2(7WXW∕Z+2(T)

0.9974-0.9545

Qo.0215.故選A.

考點(diǎn)三正態(tài)分布的綜合應(yīng)用

A例5(l)(2022?河北部分學(xué)校聯(lián)考)含有海藻碘濃縮液的海藻碘鹽，是新

一代的碘鹽產(chǎn)品.海藻中的碘80%為無機(jī)碘，10%?20%為有機(jī)碘，海藻碘鹽兼

備無機(jī)碘和有機(jī)碘的優(yōu)點(diǎn).某超市銷售的袋裝海藻碘食用鹽的質(zhì)量X(單位：克)

服從正態(tài)分布N(400,4),某顧客購買了4袋海藻碘食用鹽，則至少有2袋的質(zhì)量

超過400克的概率為(A)

'11C3

?-ieB-4

55

C.8D.16

(2)(2022.山東青島二模)為調(diào)查禽類某種病菌感染情況,某養(yǎng)殖場每周都定期

抽樣檢測禽類血液中A指標(biāo)的值.養(yǎng)殖場將某周的5000只家禽血液樣本中A

指標(biāo)的檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪成如下頻率分布直方圖

①根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這5OOO只家禽血液樣本中A指標(biāo)值的中位數(shù)

(結(jié)果保留兩位小數(shù))；

②通過長期調(diào)查分析可知，該養(yǎng)殖場家禽血液中A指標(biāo)的值X服從正態(tài)分

布N(7.4,2.632).

(i)若其中一個(gè)養(yǎng)殖棚有1000只家禽，估計(jì)其中血液A指標(biāo)的值不超過

10.03的家禽數(shù)量(結(jié)果保留整數(shù))；

(ii)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把發(fā)生概率小于1%的事件稱為小概率事件，通常認(rèn)為小

概率事件的發(fā)生是不正常的.該養(yǎng)殖場除定期抽檢外，每天還會(huì)隨機(jī)抽檢20只，

若某天發(fā)現(xiàn)抽檢的20只家禽中恰有3只血液中A指標(biāo)的值大于12.66,判斷這

一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況是否正常，并分析說明理由.

參考數(shù)據(jù)：

φ0.022753^0.00001,0.97725l7^0.7;

②若X?N(μ,σ2),則

7,Cu-σ≤X≤∕∕+σ)≈0.6827；

P(∕z-2σ≤X≤∕∕+2σ)^0.9545.

［解析］⑴因?yàn)閄(單位：克)服從正態(tài)分布N(400,4),所以P(X>400)=T?

設(shè)4袋海藻碘食用鹽中質(zhì)量超過400克的袋數(shù)為匕則丫?，，則至少

有2袋的質(zhì)量超過400克的概率為1—P(X=O)—P(X=I)=I—11——c(l—，

⑵①由2義(0.02+0.06+0.14)=0.44,2X(0.02+0.06+0.14+0.18)=0.8,

可得中位數(shù)在區(qū)間［7,9)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為X,

則2×(0.02+0.06+0.14)+(χ-7)×0.18=0.5,解得XQ7.33.

②(i)由X?N(7.4,2?632),可得

P(7.4-2.63≤X≤7.4+2.63)=P(4.77≤X≤10.03)≈0.6827,

.P(4.77≤X≤10.03),

則P(X≤10.03)=---------2----------i+0.5≈0.84135,

1000X0.84135=841.35^841只.

(ii)P(7.4—2×2.63≤X≤7.4+2×2.63)=P(2.14≤X≤12.66)≈0.9545,

1—09545

P(X>12?66)心---廣，=0.02275,隨機(jī)抽檢20只相當(dāng)于進(jìn)行20次獨(dú)立重復(fù)實(shí)

驗(yàn)，

設(shè)恰有3只血液中A指標(biāo)的值大于12.66為事件B,

則P(B)=C%X0.022753×(1-0.02275)17≈0.00798<1%,

所以這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況不正常.

名帥A撥MINGSHIDIANBO

解決正態(tài)分布問題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

若隨機(jī)變量X?N伽，σ2),則

(1)對(duì)稱軸x=〃；

(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ?,

(3)分布區(qū)間.利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由小σ,分布區(qū)間的

特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3。特殊區(qū)間，從而求出所求概率

〔變式訓(xùn)練3〕

(1)(2023.安徽AlO聯(lián)盟開學(xué)摸底)已知某次考試的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布

2

N(100,σ2)(σ>0),且P(80<X<120)=],現(xiàn)從這次考試隨機(jī)抽取3位同學(xué)的數(shù)學(xué)

成績，則這3位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績都在(IOo,120)內(nèi)的概率為吉

(2)(2023?山東“學(xué)情空間”教研共同體聯(lián)考)《中國制造2025》是經(jīng)國務(wù)院

總理李克強(qiáng)簽批，由國務(wù)院于2015年5月印發(fā)的部署全面推進(jìn)實(shí)施制造強(qiáng)國的

戰(zhàn)略文件，是中國實(shí)施制造強(qiáng)國戰(zhàn)略第一個(gè)十年的行動(dòng)綱領(lǐng).制造業(yè)是國民經(jīng)濟(jì)

的主體，是立國之本、興國之器、強(qiáng)國之基.發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，

堅(jiān)持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強(qiáng)國的生命線.某制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，發(fā)現(xiàn)生

2

產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量差都服從正態(tài)分布Mw,σ),并把質(zhì)量差在@一

Ο,〃+(7)內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質(zhì)量差在(//+(7,〃+2(7)內(nèi)的產(chǎn)品為一*等品，其余范

圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理.優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品.現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的

正品和廢品中隨機(jī)抽取1OOO件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:

①根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)X；

②根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100,用樣本

平均數(shù)噎作為〃的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S作為。的估計(jì)值，求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品

為正品的概率.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)

(參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量C服從正態(tài)分布N(∕∕,σ2),則：P(〃一α<<f≤4+σ?)≈=≈0.682

7,P(^-2σ<^≤∕∕+2σ)?≈0.9545,P(∕∕-3σ<?≤jtz+3σ)≈0.9973.)

③假如企業(yè)包裝時(shí)要求把3件優(yōu)等品和5件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢

員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品的件數(shù)為X,

求X的分布列以及期望值.

［解析］(1)由題意得，該正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為X=//=100,VP(80<X<120)

_2

=y

.?.P(100<X<120)=∣,...3位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績都在(IOo,120)的概率為

1

=27-

(2)①由頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式，

-46+5656+6666+76

可得EIX=0.010×10×-2—+0.020×10×-上—+0.045×10×—5—十

76+86,86+96

0.020×10×-2—+0.005×10×―—=70.

②由題意可知，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100,即樣本方差a=ιoo,

所以標(biāo)準(zhǔn)差5≈√P=ιo,

所以隨機(jī)變量X?N(70,1()2).

可得該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率:

P=P(60<X<90)=P(60<X<70)+P(70<X<90)=∣(0.6827+0.9545)=0.8186.

(3)由題意，隨機(jī)變量X所有可能為0,1,2,3,

則P(X.ofy-n-CiCi-15

貝IJP(X—0)—α一28'P(XT)一奠一28'

C4Cg15CmCg1

P(X=2)=^δΓ=否P(X=3)=f=%

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X0123

51515丁

P

2S285656

所以隨機(jī)變量X的期望

E(X)=0×?÷1×^f+2×77÷3×?=^.

ZoZo?θ??O

幅后BIi翻杼

?素養(yǎng)提升

概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用

題型一概率與統(tǒng)計(jì)圖表的綜合應(yīng)用

2?例6(2023.上海八校聯(lián)考)研究表明，過量的碳排放會(huì)導(dǎo)致全球氣候變

暖等環(huán)境問題，減少碳排放具有深遠(yuǎn)的意義.中國明確提出節(jié)能減排的目標(biāo)與各

項(xiàng)措施，在公路交通運(yùn)輸領(lǐng)域，新能源汽車逐步取代燃油車是措施之一.中國某

地區(qū)從2015年至2021年每年汽車總銷量如圖，每年新能源汽車銷量占比如

表.(注：汽車總銷量指新能源汽車銷量與非新能源汽車銷量之和)

年份2015201620172018201920202021

新能源汽車

1.5%2%3%5%8%9%20%

銷量占比

(1)從2015年至2021年中隨機(jī)選取一年，求這一年該地區(qū)汽車總銷量不小

于5.5萬輛的概率；

(2)從2015年至2021年中隨機(jī)選取兩年，設(shè)X表示新能源汽車銷量超過0.5

萬輛的年份的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

［解析］(1)由汽車銷量圖得7年中有6年汽車總銷量不小于5.5萬輛，

則隨機(jī)選取一年，這一年該地區(qū)汽車總銷量不小于5.5萬輛的概率為當(dāng)

(2)由圖表得新能源汽車2015~2021年的銷量如下表:

年份2015201620172018201920202021

新能源汽

0.06150.1120.1680.2750.4560.541.16

車銷量

新能源汽車銷量超過0.5萬輛的年份有2個(gè),不超過0.5萬輛的年份有5個(gè),

則隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,

PfX_(n_c|_iom_ipc|__L

P(X-0)-c,-21,P(XT)_c?-2l,F(X-2)-C9-21,

所以X的分布列為

X012

1010丁

P

2\2\21

所以E(X)=O×∣γ+1×τγ+2×yr=?

乙?乙JL乙1/

題型二概率與回歸分析的綜合應(yīng)用

2?例7(2022.山東臨沂模擬)在疫情防控常態(tài)化的背景下，山東省政府各

部門在保安全、保穩(wěn)定的前提下有序恢復(fù)生產(chǎn)、生活和工作秩序，五一期間，文

旅部門在落實(shí)防控舉措的同時(shí)，推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費(fèi)者的積極回

應(yīng).下面是文旅部門在某地區(qū)推出六款不同價(jià)位的旅游套票，每款的套票價(jià)格

M單位：元)與購買人數(shù)M單位：萬人)的數(shù)據(jù)如下表：

城市展館鄉(xiāng)村特齊魯紅登山游園觀海

旅游類別

科技游色游色游套票套票套票

套票價(jià)格

394958677786

式元)

購買數(shù)量

16.718.720.622.524.125.6

y(萬人)

在分析數(shù)據(jù)、描點(diǎn)繪圖中，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)3助)(14W6)集中在一條直線附近,

其中w=lnXi,ω,=lny,

__6666

附：①可能用到的數(shù)據(jù);j?]0ift>i=75.3,j5[0i=24.6,jE](Wj=18.3,jE]θ7

=101.4.

②對(duì)于一組數(shù)據(jù)(初，。1),(02,①2),…，(Vn,ωn),其回歸直線。=∕w+α的

rbiωi—nvω

斜率和截距的最小二乘估計(jì)值分別為金=3-------一,a=ω-bv

rhj-nv1

Z=I

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于X的回歸方程；

(2)按照文旅部門的指標(biāo)測定，當(dāng)購買數(shù)量y與套票價(jià)格X的比在區(qū)間卜，7

上時(shí)，該套票受消費(fèi)者的歡迎程度更高，可以被認(rèn)定為“熱門套票”，現(xiàn)有三位

同學(xué)從以上六款旅游套票中，購買不同的三款各自旅游.記三人中購買“熱門套

票”的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望.

[解析](1)；散點(diǎn)(外3)(1W∕W6)集中在一條直線附近，設(shè)回歸直線方程為

ΛΛΛ

co=bv+ci9

66

ι一1一1

由o=4ZS=4.1,ω=4∑ω∕=3.05,

z=li=?

n--

^Viω-nvω

Λj=?_________75.3—6義4.1)<3.051

b=~^-=101.4-6×4.12=2'

i=1

Λ-Λ^J

Q=G—而=3.05-]X4.1=1,

.I變量①關(guān)于0的回歸方程為ω=^v+l,

?Oj=InA7,Gj=Iny,??Iny=/InX+1,??y=eΛ^,

綜上，y關(guān)于X的回歸方程為y=ex,

1

~

VCΛ/^eIee-1

⑵由5=二一=1∈5,亍，解得49≤xW81,Λχ=49,58,67,77,

XX1;

Λ2

,鄉(xiāng)村特色游，齊魯紅色游，登山套票，游園套票為"熱門套票”，

則三人中購買“熱門套票”的人數(shù)X服從超幾何分布,X的可能取值為1,2,3,

ClC^1P(X=2)=CiCi=3C?1

P(X=I)=^δΓ=亍~CF5'P(X=3)=0=亍

.?.X的分布列為：

X123

?3?

P

555

131

E(X)=I×5÷2×?+3×5=2.

題型三概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用

?■例8(2023?山東青島調(diào)研)為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性,

某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機(jī)抽查了

男、女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：

鍛煉

性別

不經(jīng)常經(jīng)常

女生4060

2080

(1)根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別因素與學(xué)生體育鍛煉的

經(jīng)常性有無關(guān)聯(lián)；

(2)從這200人中隨機(jī)選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他

是男生的概率；

(3)為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，學(xué)校設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健

康體魄”的主題活動(dòng)，在該活動(dòng)的某次排球訓(xùn)練課上，甲、乙、丙三人相互做傳

球訓(xùn)練.已知甲控制球時(shí)，傳給乙的概率為東傳給丙的概率為:；乙控制球時(shí),

傳給甲和丙的概率均為1了丙控制球時(shí)，傳給甲的概率為本3傳給乙的概率為;1.

若先由甲控制球，經(jīng)過3次傳球后，乙隊(duì)員控制球的次數(shù)為X,求X的分布列與

期望E(X).

n(ad-bc)2

附：2=

(α+/?)(<?+cΓ)(a+c)(A+d)'

a0.0100.0050.001

Xa6.6357.87910.828

［解析］(1)令假設(shè)為”o：性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)聯(lián),

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到

a=??！?-20X6。產(chǎn)

60×140×100×100"°005'

根據(jù)小概率值α=0?005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷Ho不成立，即認(rèn)為性別因

素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.

(2)用A表示事件“選到經(jīng)常參加體育鍛煉的學(xué)生”，B表示事件“選到男

生，，則P㈤A)=跡=m=4

(3)由題知X的所有可能取值為0,1,2,

P(X=O)=∣×∣X∣=-j^,

2112131321111

P(χ=l)=-×5×-+-×-×-+-×-×-+-×-=-

21221111

P(X=2)=T×T×T÷-×-×7=^7.

所以X的分布列為：

X0~Γ2

~Γ1111

P

12T836

E(X)=0×ττ+1X普+2Xm=

12le369

題型四概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、數(shù)列的綜合應(yīng)用

2?例9(2023?云南昆明名校聯(lián)考)某運(yùn)動(dòng)員多次對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，他第一

3

次射擊擊中目標(biāo)的概率為W由于受心理因素的影響，每次擊中目標(biāo)的概率會(huì)受前

一次是否擊中目標(biāo)而改變，若前一次擊中目標(biāo)，下一次擊中目標(biāo)的概率為3本若

前一次未擊中目標(biāo)，則下一次擊中目標(biāo)的概率為去

(1)記該運(yùn)動(dòng)員第八次擊中目標(biāo)的概率為P",證明：]p〃一向?yàn)榈缺葦?shù)列，并

求出｛P"｝的通項(xiàng)公式；

(2)若該運(yùn)動(dòng)員每擊中一次得2分，未擊中不得分，總共射擊2次，求他總

得分X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

[解析](1)由題意，當(dāng)〃∈N*時(shí)，

3111

P,,+1=P,q+(?—P")-]=]+產(chǎn)”，

則P"+L,=/LM扣-D，又PLI=T，

???卜”一|)是首項(xiàng)為一卷公比為1的等比數(shù)列，

.?"H-?X*,

???P"=(-?XU"eN*)?

33

(2)記4為第i次射擊擊中目標(biāo)，則由題意可得P(4)=g,P(A2[A1)=4.

P(A2∣Al)=1,

X可取到的值為0,2,4,且

------------------------------------121

,

P(X=0)=P(AiA2)=P(A2IAi)P(Ai)=2×5=5

P(X=2)=P(TrA2)+P(4石)

——————12137

+X,

=P(A2∣Ai)尸(Al)+P(A2∣AI)P(ΛI(xiàn))=2×545=20

339

P(X=4)=P(AIA2)=P(A2∣AI)P(AI)=4×5=20>

則X的分布列為:

X024

?79

P

52020

1795

.?.E(X)=0義^ξ+2X布+4Xm=5.

〔變式訓(xùn)I練4〕

⑴（2023?甘肅張掖診斷）某“雙一流”大學(xué)專業(yè)獎(jiǎng)學(xué)金以所學(xué)專業(yè)各科考試

成績作為評(píng)選依據(jù)，分為專業(yè)一等獎(jiǎng)學(xué)金（獎(jiǎng)金額3000元）、專業(yè)二等獎(jiǎng)學(xué)金（獎(jiǎng)

金額1500元）及專業(yè)三等獎(jiǎng)學(xué)金（獎(jiǎng)金額600元），且專業(yè)獎(jiǎng)學(xué)金每個(gè)學(xué)生一年最

多只能獲得一次.圖（1）是統(tǒng)計(jì)了該校2022年500名學(xué)生周課外平均學(xué)習(xí)時(shí)間頻

率分布直方圖，圖（2）是這500名學(xué)生在2022年周課外平均學(xué)習(xí)時(shí)間段獲得專業(yè)

獎(jiǎng)學(xué)金的頻率柱狀圖.

①求這500名學(xué)生中獲得專業(yè)三等獎(jiǎng)學(xué)金的人數(shù)；

②若周課外平均學(xué)習(xí)時(shí)間超過35小時(shí)稱為“努力型”學(xué)生，否則稱為“非

努力型”學(xué)生，列2X2列聯(lián)表并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生獲得專

業(yè)一、二等獎(jiǎng)學(xué)金與是否是“努力型”學(xué)生有關(guān)？

③若以頻率作為概率，從該校任選一名學(xué)生，記該學(xué)生2022年獲得的專業(yè)

獎(jiǎng)學(xué)金額為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望.

P(>Xa)0.100.050.0100.0050.001

Xa2.713.846.647?8810.83

7_______n(ad-bc?______

(a÷b)(c+d)(a÷c)(b+d),

(2)(2022.湖北恩施質(zhì)檢)某企業(yè)創(chuàng)新形式推進(jìn)黨史學(xué)習(xí)教育走深走實(shí),舉行兩

輪制的黨史知識(shí)競賽，初賽每部門派出兩個(gè)小組參賽，兩輪都通過的小組才具備

參與決賽的資格，該企業(yè)某部門派出甲、乙兩個(gè)小組，若第一輪比賽時(shí)兩組通過

的概率分別是辛4東2第二輪比賽時(shí)兩組通過的概率分別3是本3兩輪比賽過程相

互獨(dú)立.

①若將該部門獲得決賽資格的小組數(shù)記為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

②比賽規(guī)定：參與決賽的小組由4人組成，每人必須答題且只答題一次(與

答題順序無關(guān))，若4人全部答對(duì)就給予獎(jiǎng)金，若沒有全部答對(duì)但至少2人答對(duì)

就被評(píng)為“優(yōu)秀小組”.該部門對(duì)通過初賽的某一小組進(jìn)行黨史知識(shí)培訓(xùn)，使得

每個(gè)成員答對(duì)每題的概率均為M0<p<l)且相互獨(dú)立，設(shè)該參賽小組被評(píng)為“優(yōu)秀

小組”的概率為加)，當(dāng)P=Po時(shí)，加)最大，試求Po的值.

［解析］(1)①獲