天津市南開中學高三上學期第一次月考數(shù)學試題

天津市南開中學2021屆高三年級第一次月考數(shù)學學科試題一、選擇題（本大題共9小題，共45分）1．已知集合，，則（）A．B．C．D．2．對于實數(shù)a，b，c，“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．設(shè)，則（）A．B．C．D．4．函數(shù)的零點一定位于區(qū)間（）A．B．C．D．5．函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C．D．6．如圖，在矩形中，，點E為的中點，點F在邊上，若，則的值是（）．A．B．1C．D．27．定義在上的奇函數(shù)滿足，當時，，則（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)，若在區(qū)間上有m個零點，則（）．A．4042B．4041C．4040D．40399．若曲線與曲線存在公切線，則實數(shù)a的取值范圍（）．A．B．C．D．二、填空題（本大題共6小題，共30分）．10．已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則________．11．的展開式的常數(shù)項是________．（用數(shù)字作答）12．已知函數(shù)，若，則實數(shù)x的取值范圍是_________．13．已知函數(shù)，當時，則函數(shù)的最大值與最小值之和是________．14．已知函數(shù)的最小值為，則實數(shù)m的值為_________．15．已知，函數(shù)，，若有4個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．三、解答題（本大題共5小題，共75分）．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．（本小題14分）已知函數(shù)的周期為．（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，且，求的值．17．（本小題15分）已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求a的值；（2）解不等式；（3）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．18．（本小題15分）如圖，平面，，，，，點E，F(xiàn)，M分別為，，的中點．（1）求證：平面；（2）求銳二面角的大??；（3）若N為線段上的點，且直線與平面所成的角為，求線段的長．19．（本小題15分）已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求a的值；（2）若對于任意都有成立，試求a的取值范圍；（3）記．當時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍．20．（本小題16分）已知函數(shù)，其中．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，斜率為k的直線l與函數(shù)的圖象交于兩點，，其中，證明：；（3）是否存在，使得對任意恒成立？若存在，請求出k的最大值；若不存在，請說明理由．天津市南開中學2021屆高三數(shù)學第一次月考參考答案一、選擇題123459789DBCBDCABD二、填空題10．11．24012．13．614．15．三、解答題16．解：（1），∵，∴．∴，解得∴的遞增區(qū)間為（2）∵∴∴∵∴∴∴17．解：（1）∵為奇函數(shù)∴∴∴（2）∵∴，解得所以不等式的解集為（3）因為不等式對任意恒成立，所以對任意恒成立，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以．18．（1）連接，因為，所以，又因為，所以為平行四邊形．由點E和M分別為和的中點，可得且，因為，F(xiàn)為的中點，所以且，可得且，即四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因為平面，，可以建立以D為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標系．依題意可得，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得．設(shè)銳二面角的平面角為∴，所以．所以，二面角的大小為．（3）設(shè)，即，則．從而．由（2）知平面的法向量為，由題意，，即，整理得，解得或，因為所以，所以，．19．（1）直線的斜率為，函數(shù)的定義域為．因為，所以，所以，（2）由解得；由解得．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最小值．因為對于任意都有成立，所以即可．∴，即，解得，所以a得取值范圍是．（3）依題意得，則，由解得，由解得．函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，所以，解得．所以b的取值范圍是．20．（1）因為，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當時，時，，在上單調(diào)遞增，時，，在上單調(diào)遞減,綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）當時，，所以，所以，要證，即證，因為，即證，令，即證，令，由（1）知，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即；綜上可得，即；（3）由已知得，即為，即，令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，，即，矛盾