方程與不等式中的方案設(shè)計(jì)問題（新背景）-2023年中考數(shù)學(xué)（教師版含解析）

專題06方程與不等式中的方案設(shè)計(jì)問題（新背景）

根據(jù)方程（組）、不等式（組）的整數(shù)解、函數(shù)等模型，對實(shí)際問題中的方案進(jìn)行比

較來確定最優(yōu)方案來解決問題。

方案設(shè)計(jì)題一般過程是：

①閱讀，弄清問題背景和基本要求；

②分析，尋找問題的數(shù)量關(guān)系，找到與其相關(guān)的知識；

③建模，由分析得出的相關(guān)知識建立方程模型、不等式（組）模型或函數(shù)模型;

④解題，求解上述建立的方程、不等式或函數(shù)，結(jié)合實(shí)際確定最優(yōu)方案.

√

1.2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，三名航天員平安歸來，神舟

十三號任務(wù)取得圓滿成功.飛箭航模店看準(zhǔn)商機(jī)，推出了“神舟”和“天宮”模型.己知每個(gè)“神

舟”模型的成本比“天宮”模型多10元，同樣花費(fèi)100元，購進(jìn)“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模

型多5個(gè).

⑴“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？

⑵飛箭航模店計(jì)劃購買兩種模型共200個(gè)，且每個(gè)“神舟”模型的售價(jià)為30元，“天宮''模型

的售價(jià)為15元.設(shè)購買“神舟”模型4個(gè)，銷售這批模型的利潤為W元.

①求W與a的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出。的取值范圍);

②若購進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的g,則購進(jìn)“神舟”模型多少個(gè)時(shí)，銷售

這批模型可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

【答案】⑴“天宮”模型成本為每個(gè)10元，“神舟”模型每個(gè)20元

(2)①w=5α+1000②購進(jìn)“神舟”模型50個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得最大利潤，最大利潤

為1250元

【分析】(1)根據(jù)總數(shù)，設(shè)立未知數(shù)，建立分式方程，即可求解.

⑵①設(shè)“神舟”模型。個(gè)，則“天宮”模型為(200-加個(gè)，根據(jù)利潤關(guān)系即可表示W(wǎng)與4的關(guān)系

式.

②根據(jù)購進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的;，即可找到α的取值范圍，利用一

次函數(shù)性質(zhì)即可求解.

(1)

解：設(shè)“天備'模型成本為每個(gè)X元，貝廠神舟”模型成本為每個(gè)(x+10)元.

+汨ι°0ιθθU

依題息得-T=-Ir5.

解得X=10.

經(jīng)檢驗(yàn)，X=I()是原方程的解.

答："天宮”模型成本為每個(gè)10元，“神舟”模型每個(gè)20元;

⑵

解：①:“神舟”模型。個(gè),則“天宮”模型為(200-a)個(gè).

.?.w=(30-20)α+(15-10)(2∞-α)=5a+10∞.

②?購進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的：.

<2≤—(200-α).

解得：α≤5().

w=5a+1000.

%=5>0.

.?.當(dāng)α=5O0寸，‰=5x50+1000=1250(元).

即：購進(jìn)“神舟”模型50個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得利潤.最大利潤為1250元.

【我思故我在】本題考查了分式方程、一次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系，建立方程，

不等式，函數(shù)模型.

2.某商店經(jīng)銷甲、乙兩種商品，現(xiàn)有如下信息：

信息1：甲乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)之和是3元.信息2：甲商品零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)多2元，

乙商品零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)的2倍少1元.信息3：按零售單價(jià)購買甲商品3件和乙商品2

件，共付了15元.請根據(jù)以上信息，解答請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)求甲、乙兩種商品的零售單價(jià)；

(2)該商店平均每天賣出甲商品500件和乙商品400件.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲種商品零售單價(jià)每

降0.1元，甲種商品每天可多銷售100件.商店決定把甲種商品的零售單價(jià)下降皿，”>0)元.在

不考慮其他因素的條件下，當(dāng)機(jī)為多少時(shí)，商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的總利潤為

1900元？

【答案】(1)甲商品的零售單價(jià)為3元，乙商品的零售單價(jià)為3元

(2)m為0.5或1

【分析】(1)設(shè)甲商品的零售單價(jià)為X元，乙商品的零售單價(jià)為y元，根據(jù)題意表示出兩商品

的進(jìn)貨單價(jià)，然后根據(jù)按零售單價(jià)購買甲商品3件和乙商品2件，共付了15元，列方程組

求解；

(2)把甲種商品的零售單價(jià)下降〃?，可多賣甲商品IoOXM■件，根據(jù)總利潤為1900元，列方

程求解.

(1)

解：設(shè)甲商品的零售單價(jià)為X元，乙商品的零售單價(jià)為y元，

則甲商品的進(jìn)價(jià)為(x-2)元，乙商品的進(jìn)價(jià)為罟，

y+1_

由題意得，?x~+~2~=，

3x+2y=15

(x=3

解得：，，

Iy=3

答：甲商品的零售單價(jià)為3元，乙商品的零售單價(jià)為3元；

(2)

把甲種商品的零售單價(jià)下降皿可多賣甲商品IOOXy7件，

甲種商品的進(jìn)貨單價(jià)為：3-2=1(元)，乙種商品的進(jìn)貨單價(jià)為：子=2(元)

則利潤為：(500+1(X)X言卜(3-m-l)+400x(3-2)=1900,

解得："4=0.5,Zn2=1.

答：當(dāng)所為0.5或1時(shí)，商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的總利潤為1900元.

【我思故我在】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意,設(shè)出未知數(shù),

找出合適的等量關(guān)系，列方程求解.

3.夏季即將來臨，空調(diào)的銷售逐漸火起來，某商行去年7月份銷售某品牌4型號空調(diào)總額

為32萬元，由于原材料漲價(jià)，今年該型號空調(diào)銷售單價(jià)比去年提高了400元.若今年7月

份與去年7月份該型號空調(diào)銷售量相同，則今年7月份該型號空調(diào)的銷售總額將增加25%.

該品牌4,B兩種型號空調(diào)的進(jìn)貨和銷售價(jià)格表如下：

A型號B型號

進(jìn)貨價(jià)格(元/臺(tái))11001400

銷售價(jià)格(元/臺(tái))今年的銷售價(jià)格2400

(1)求今年7月份該品牌A型號空調(diào)的銷售單價(jià)；

(2)商行準(zhǔn)備購入該品牌A型號空調(diào)和B型號空調(diào)共400臺(tái)，且B型號空調(diào)進(jìn)貨數(shù)量不超過

A型號空調(diào)數(shù)量的2倍，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批空調(diào)獲利最多？

【答案】(1)2000元

(2)4型號空調(diào)134臺(tái)，B型號空調(diào)266臺(tái)

【分析】(1)設(shè)去年7月份A型空調(diào)每臺(tái)銷售價(jià)X元，那么今年7月份A型空調(diào)每臺(tái)銷售(X

+400)元，根據(jù)銷售總額和每輛銷售價(jià)列出方程，即可解決問題；

(2)設(shè)今年7月份進(jìn)A型空調(diào)“臺(tái)，則B型空調(diào)(400-m)臺(tái)，獲得的總利潤為y元，先求出機(jī)

的范圍，構(gòu)建一次函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)解決問題.

⑴

解：設(shè)去年7月份該品牌A型號空調(diào)銷售價(jià)為每臺(tái)X元，那么今年7月份A型號空調(diào)每臺(tái)銷

售(x+400)(元)，

320000320000(1+25%)

根據(jù)題意得------=---------------,

X%+400

解得：X=I600,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1600是原方程的解，

當(dāng)X=I6(X)時(shí)，x+4(X)=2(XX),

答：今年7月份該品質(zhì)A型號空調(diào)銷售價(jià)為每臺(tái)2000元：

(2)

解：設(shè)進(jìn)該品質(zhì)A型號空調(diào)臺(tái)，則B型號空調(diào)(400-W)臺(tái)，獲得的總利潤為y元，

根據(jù)題意得400-血，2〃?，解得：，九.1333,

.γ=(2000-ll∞)∕M+(2400-14∞)(4∞-m)=-l∞w+4000∞,

機(jī)的系數(shù)一I(X)<0,

隨機(jī)的增大而減小，

.?.當(dāng)“=134時(shí),可以獲得最大利潤，

答：進(jìn)貨方案是4型號空調(diào)134臺(tái)，8型號空調(diào)266臺(tái).

【我思故我在】本題考查「一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用以及解一元一次不等式，解題

的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量，列出關(guān)于X的分式方程；(2)根據(jù)總利潤=單輛利潤X

購進(jìn)數(shù)量，找出W關(guān)于〃，的函數(shù)關(guān)系式.

4.2022年杭州亞運(yùn)會(huì)會(huì)后，吉祥物“江南憶”很受歡迎，非常暢銷.小李用1200元批發(fā)了

一批吉祥物銷售,很快售完,他又用1200元批發(fā)同樣的吉祥物銷售，由于批發(fā)價(jià)上漲了20%,

因此第二批吉祥物的數(shù)量比第一批少了10個(gè).

(1)求每個(gè)吉祥物的批發(fā)原價(jià)是多少？

(2)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每個(gè)吉祥物的售價(jià)為40元時(shí)，每周可售出30個(gè).小李為了增加銷量，決定

降價(jià)促銷，若售價(jià)每降低1元，每周的銷量可增加5個(gè)，每個(gè)吉祥物需要扣除2元的小店運(yùn)

營成本.求當(dāng)吉祥物的售價(jià)為多少時(shí)每周的利潤最大?最大利潤是多少?(吉祥物的進(jìn)價(jià)全部

按漲價(jià)后的價(jià)格計(jì)算).

【答案】(1)每個(gè)吉祥物的批發(fā)原價(jià)是20元；

(2)當(dāng)吉祥物的售價(jià)為36元時(shí)每周的利潤最大，最大利潤是500元.

【分析】(1)設(shè)每個(gè)吉祥物的批發(fā)原價(jià)是X元，則漲價(jià)后每個(gè)吉祥物的批發(fā)價(jià)是(1+20%)X元,

根據(jù)用1200元批發(fā)同樣的吉祥物銷售，第二批吉祥物的數(shù)量比第一批少了10個(gè)列出方程,

解方程即可；

(2)設(shè)每個(gè)吉祥物降價(jià)。元，根據(jù)每周利潤=單個(gè)利潤X銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的

性質(zhì)求最值即可.

【詳解】(1)解:設(shè)每個(gè)吉祥物的批發(fā)原價(jià)是X元，則漲價(jià)后每個(gè)吉祥物的批發(fā)價(jià)是(1+20%)X

元，

根據(jù)題意得：-T-Ejr0

解得：X=20,

經(jīng)檢驗(yàn)尸20是原方程的根，

答：每個(gè)吉祥物的批發(fā)原價(jià)是20元；

(2)解：設(shè)每個(gè)吉祥物降價(jià)0元，利潤為W元，

則w=(30+50)(40-α-1.2X20—2)=-5/+40α+420=-5(。-4)2+500,

V-5<0,

當(dāng)α=4時(shí)，W有最大值，最大值為500,

此時(shí)，40-α=40-4=36,

答：當(dāng)吉祥物的售價(jià)為36元時(shí)每周的利潤最大，最大利潤是500元.

【我思故我在】本題考查二次函數(shù)和分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系寫出函數(shù)解析式

和方程.

5.夏季來臨，某商場準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種空調(diào)，其中甲種空調(diào)比乙種空調(diào)進(jìn)價(jià)每臺(tái)少500

元，用40000元購進(jìn)甲種空調(diào)數(shù)量與用50000元購進(jìn)乙種空調(diào)數(shù)量相同.該商場計(jì)劃一次性

從空調(diào)生產(chǎn)廠家購進(jìn)甲、乙兩種空調(diào)共100臺(tái)，其中乙種空調(diào)的數(shù)量不超過甲種空調(diào)的2

倍.若甲種空調(diào)每臺(tái)售價(jià)2400元，乙種空調(diào)每臺(tái)售價(jià)3000元.請解答下列問題：

(1)求甲、乙兩種空調(diào)每臺(tái)的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

(2)設(shè)購進(jìn)甲種空調(diào)X臺(tái)，100臺(tái)空調(diào)的銷售總利潤為)，元，求出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式及

自變量X的取值范圍；

(3)該商店購進(jìn)甲、乙兩種空調(diào)各多少臺(tái)才能使銷售總利潤最大，最大利潤是多少？

【答案】(1)甲、乙兩種空調(diào)每臺(tái)的進(jìn)價(jià)分別是2000元和2500元

⑵y=-100x+50000,寸4x≤lOO,且X為整數(shù)

(3)商店購進(jìn)甲種空調(diào)34臺(tái)，乙種空調(diào)66臺(tái)，才能使總利潤最大，最大利潤是46600元

【分析】⑴設(shè)甲種空調(diào)每臺(tái)的進(jìn)價(jià)加元，則乙種空調(diào)每臺(tái)的進(jìn)價(jià)(機(jī)+500)元，根據(jù)“用40000

元購進(jìn)甲種空調(diào)數(shù)量與用50000元購進(jìn)乙種空調(diào)數(shù)量相同''列分式方程求解即可；

(2)直接根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)“從空調(diào)生產(chǎn)廠家購進(jìn)甲、乙兩種空調(diào)共100臺(tái),

其中乙種空調(diào)的數(shù)量不超過甲種空調(diào)的2倍”求取值范圍；

(3)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)作答即可.

【詳解】(1)解：設(shè)甲種空調(diào)每臺(tái)的進(jìn)價(jià)，"元，則乙種空調(diào)每臺(tái)的進(jìn)價(jià)(m+500)元,

40000_50000

由題意得:

mm+500

解得〃2=2(X)0,

經(jīng)檢驗(yàn)m=2000是原分式方程的解,

"2+500=2500,

答：甲、乙兩種空調(diào)每臺(tái)的進(jìn)價(jià)分別是2000元和2500元.

⑵解：根據(jù)題意，y與X之間的函數(shù)關(guān)系式為：

y=(24∞-200O)X+(3(XX)-25∞)(100-x)=-IOOx+50000,

???乙種空調(diào)的數(shù)量不超過甲種空調(diào)的2倍，

Λ100-x≤2x,

解得x≥,

又?.?χ≤100,

1∩n

自變量X的取值范圍是詈≤x≤100,且X為整數(shù).

(3)解:在y=TOOx+50000中,

：Z=-IoO<0,

隨X的增大而減小，

1ɑɑ

XV—≤X<1OO,且X為整數(shù)

.?.x=34時(shí)，y取得最大值，最大值為—l(X)x34+5(XXX)=466(X),

此時(shí)IOo-X=IoO-34=66,

答：商店購進(jìn)甲種空調(diào)34臺(tái)，乙種空調(diào)66臺(tái)，才能使總利潤最大，最大利潤是46600元.

【我思故我在】本題考查了列分式方程求解，列一次函數(shù)關(guān)系式，求自變量取值范圍，一次

函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.2022年北京冬奧會(huì)點(diǎn)燃了人們對冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情，各種有關(guān)冬奧會(huì)的紀(jì)念品也一度脫

銷.某實(shí)體店購進(jìn)了甲、乙兩種紀(jì)念品各30個(gè)，共花費(fèi)1080元.已知乙種紀(jì)念品每個(gè)進(jìn)價(jià)

比甲種紀(jì)念品貴4元.

(1)甲、乙兩種紀(jì)念品每個(gè)進(jìn)價(jià)各是多少元？

(2)這批紀(jì)念品上架之后很快售罄.該實(shí)體店計(jì)劃按原進(jìn)價(jià)再次購進(jìn)這兩種紀(jì)念品共100件，

銷售官網(wǎng)要求新購進(jìn)甲種紀(jì)念品數(shù)量不低于乙種紀(jì)念品數(shù)量的：(不計(jì)其他成本).已知甲、

乙紀(jì)念品售價(jià)分別為24元/個(gè)，30元/個(gè).請問實(shí)體店應(yīng)怎樣安排此次進(jìn)貨方案，才能使銷

售完這批紀(jì)念品獲得的利潤最大？

【答案】(1)甲種紀(jì)念品每件進(jìn)價(jià)是16元，乙種紀(jì)念品每件進(jìn)價(jià)為20元

(2)購進(jìn)甲種紀(jì)念品25件，乙種紀(jì)念品75件時(shí)利潤最大

【分析】(1)設(shè)甲種紀(jì)念品每件進(jìn)價(jià)是X元，乙種紀(jì)念品每件進(jìn)價(jià)為y元，找出等量關(guān)系，根

據(jù)題意列出方程組即可求解；

(2)設(shè)新購甲種商品布件，則乙種商品為(IOO-W)件，設(shè)銷售完這批紀(jì)念品獲得的利潤為卬

元,根據(jù)題意即可得到W與X之間的函數(shù)關(guān)系式；再根據(jù)，〃的取值與一次函數(shù)的性質(zhì)即可求

解.

(1)

解：設(shè)甲種紀(jì)念品每件進(jìn)價(jià)是X元，乙種紀(jì)念品每件進(jìn)價(jià)為y元，

一[30(x+y)=1080

由題意得\''，

[九+4=y

%=16

解得

y=20

答：甲種紀(jì)念品每件進(jìn)價(jià)是16元，乙種紀(jì)念品每件進(jìn)價(jià)為20元.

(2)

設(shè)新購甲種紀(jì)念品，〃件，則乙種紀(jì)念品為(IOO-機(jī))件，設(shè)銷售完這批紀(jì)念品獲得的利潤為W

元.

由題意可得：/M>∣(100-wj),解得m≥25

Λ25≤m≤l(X)

w=(24-16)m+(30-20)(100-∕n)=-2∕M+10∞.

V-2<0,

，卬隨的增大而減小，且25≤機(jī)≤100,

當(dāng)加=25時(shí)，VV有最大值，此時(shí)l00-m=75.

答：購進(jìn)甲種紀(jì)念品25件，乙種紀(jì)念品75件時(shí)利潤最大.

【我思故我在】本題主要考查了列方程組解決實(shí)際問題、一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找

到數(shù)量關(guān)系列出方程組或函數(shù)關(guān)系式.

7.某服裝店銷售4、B兩種服裝，它們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表，若老板進(jìn)A種服裝20套和B

種服裝30套，則需資金18000元；若老板進(jìn)A種服裝30套和B種服裝40套，則需要資金

25000元.

種類AB

進(jìn)價(jià)(元/套)Clh

售價(jià)(元/套)480660

(1)求A、B兩種衣服每套的進(jìn)價(jià)；

(2)若老板用不超過36000元的資金進(jìn)4、8兩種服裝共100套，則老板按售價(jià)賣出這100套

服裝的最大利潤是多少？

(3)根據(jù)市場情況，老板在11月份按售價(jià)可賣A種服裝14套.假設(shè)老板按售價(jià)每套A種服

裝每降價(jià)10元，就可多賣出一套A種服裝，請問當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，老板在11月份賣A

種服裝獲得的利潤最大.

【答案】(1)4衣服每套的進(jìn)價(jià)為300元，B衣服每套的進(jìn)價(jià)為400元

(2)22800元

(3)當(dāng)售價(jià)定為460元時(shí)，老板在11月份賣A種服裝獲得的利潤最大

【分析】(1)根據(jù)題意“進(jìn)A種服裝20套和3種服裝30套，則需資金18000元；若老板進(jìn)A

種服裝30套和8種服裝40套，則需要資金25000元”，列出關(guān)于人的二元一次方程組，

解方程組即可；

(2)設(shè)老板進(jìn)了4服裝X套，則進(jìn)了8服裝(IOo-X)套，根據(jù)題意列不等式

300x+400(100-x)≤36000,解得x≥40,設(shè)售賣服裝的利潤為W,列出函數(shù)解析式

W=-80x+26000,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)x=40時(shí)，銷售利潤最大，進(jìn)而確定利潤最

大值；

⑶設(shè)多賣出m套，則總共賣出(14+〃?)套，售價(jià)為(480-10M元，可得此時(shí)售賣A服裝的利

潤為W'=-10(加-2)2+2560,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)加=2時(shí)，11月份賣A種服裝獲得

的利潤最大，即可確定A種服裝的售價(jià).

【詳解】(1)解：由題意可得，

J20“+30b=18000“/∣a=300

[30α+40b=25000'8"'(。=400'

則A衣服每套的進(jìn)價(jià)為300元，B衣服每套的進(jìn)價(jià)為400元；

⑵設(shè)老板進(jìn)了A服裝X套，則進(jìn)了8服裝(Ioo-X)套，

根據(jù)題意可得300x+400(100-x)≤36000,解得χ≥40,

設(shè)售賣服裝的利潤為W,

則有W=(480-300)x+(660-400)(1∞-X)=-80x+26000,

所以，當(dāng)x=40時(shí)，銷售利潤最大，

利潤最大值為W=-8()×40+26(XX)=228(X)元；

(3)設(shè)多賣出冊套，則總共賣出(14+m)套,售價(jià)為(48O-IOm)元,

此時(shí)利潤為W'=(14+m)(480-IOm-300),

=-IOw2+40w+2520

=-10(∕n-2)2+2560,

即當(dāng)加=2時(shí)，11月份賣A種服裝獲得的利潤最大，

此時(shí)售價(jià)為480-IOx2=460元.

【我思故我在】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用、不等式的應(yīng)用、-次函數(shù)和二次函

數(shù)的應(yīng)用等知識，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

8.近幾年，全社會(huì)對空氣污染問題越來越重視，空氣凈化器的銷量也在逐年增加.某商場

從廠家購進(jìn)了A,B兩種型號的空氣凈化器，兩種凈化器的銷售相關(guān)信息如表：

A型銷售數(shù)量(臺(tái))3型銷售數(shù)量(臺(tái))總利潤(元)

5102500

1052750

(1)每臺(tái)A型空氣凈化器的銷售利潤是元;每臺(tái)B型空氣凈化器的銷售利潤是元；

(2)該商場計(jì)劃一次購進(jìn)兩種型號的空氣凈化器共80臺(tái)，其中B型空氣凈化器的進(jìn)貨量不少

于A型空氣凈化器的2倍，為使該商場銷售完這80臺(tái)空氣凈化器后的總利潤最大，那么應(yīng)

該購進(jìn)A型空氣凈化器臺(tái)；B型空氣凈化器臺(tái).

(3)已知A型空氣凈化器的凈化能力為300田/小時(shí)，B型空氣凈化器的凈化能力為200//小

時(shí).某長方體室內(nèi)活動(dòng)場地的總面積為300濘，室內(nèi)墻高3%該場地負(fù)責(zé)人計(jì)劃購買7臺(tái)

空氣凈化器，每天花費(fèi)30分鐘將室內(nèi)空氣凈化一新，如不考慮空氣對流等因素，他至少要

購買A型空氣凈化器多少臺(tái)？

【答案】(1)200,150

(2)26,54

(3)4臺(tái)

【分析】(1)設(shè)每臺(tái)A型空氣凈化器的銷售利潤是X元，每臺(tái)B型空氣凈化器的銷售利潤是y

元，根據(jù)“A型銷售5臺(tái)的利潤+8型銷售10臺(tái)的利潤=2500元”和“A型銷售10臺(tái)的利潤+8

型銷售5臺(tái)的利潤=2500元”列出二元一次方程組求解；

(2)根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的性質(zhì)求最值；

(3)設(shè)要購買A型空氣凈化器b臺(tái),根據(jù)“30分鐘A型空氣凈化器的凈化體積+8型空氣凈化

器的凈化體積小于等于長方體室內(nèi)活動(dòng)場地的總體積''列不等式求解.

(1)

設(shè)每臺(tái)A型空氣凈化器的銷售利潤是X元，每臺(tái)8型空氣凈化器的銷售利潤是y元，

,[5x+10y=2500IX=200

根據(jù)題意得：解得：,.n

[10x+5y=2750[y=150

故答案為：200,150；

(2)

設(shè)購進(jìn)〃臺(tái)A型空氣凈化器，總利潤為卬元,

貝I」：W=200^+150(80-a)=50a+\2000,

,.?S0-a≥2a,

“2

.*.G≤26—,

3

的最大值為：26,

隨α的增大而增大，

當(dāng)α=26時(shí)，W有最大值，

此時(shí).80-?=54,

故答案為：26,54；

(3)

設(shè)要購買A型空氣凈化器。臺(tái),

由題意得：150b+100(7-b)2300x3,

解得：b≥4,

所以人的最小值為：4,

答：至少要購買A型空氣凈化器4臺(tái).

【我思故我在】本題考查了方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用及不等式的應(yīng)用，理解題意是解

題的關(guān)鍵.

9.冰墩墩是2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)的吉祥物,將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合,

頭部外殼造型取臼冰雪運(yùn)動(dòng)頭盔，裝飾彩色光環(huán)，整體形象酷似航天員，雪容融是2022年

北京冬季殘奧會(huì)的吉祥物，其以燈籠為原型進(jìn)行設(shè)計(jì)創(chuàng)作，主色調(diào)為紅色，面部帶有不規(guī)則

的雪塊，身體可以向外散發(fā)光芒，某超市看好冰墩墩、雪容融兩種吉祥物造型的鑰匙扣掛件

的市場價(jià)值，經(jīng)調(diào)查冰墩墩造型鑰匙扣掛件進(jìn)價(jià)每個(gè)機(jī)元，售價(jià)每個(gè)16元；雪容融造型鑰

匙扣掛件進(jìn)價(jià)每個(gè)〃元，售價(jià)每個(gè)18元.

(注：利潤率利=蒜潤XIoo%)

/2g

冰墩墩雪容融

(1)該超市在進(jìn)貨時(shí)發(fā)現(xiàn)：若購進(jìn)冰墩墩造型鑰匙扣掛件10個(gè)和雪容融造型鑰匙扣掛件5個(gè)

需要共170元;若購進(jìn)冰墩墩造型鑰匙扣掛件6個(gè)和雪容融造型鑰匙扣掛件10個(gè)共需要200

元.求機(jī)，”的值.

(2)該超市決定每天購進(jìn)冰墩墩、雪容融兩種吉祥物鑰匙扣掛件共100個(gè)，且投入資金不少

于1160元又不多于1168元，設(shè)購買冰墩墩造型鑰匙扣掛件X個(gè)，求有哪幾種購買方案

(3)在(2)的條件下，超市在獲得的利潤W(元)取得最大值時(shí)，決定將售出的冰墩墩造型鑰匙

扣掛件每個(gè)捐出2。元，售出的雪容融造型鑰匙扣掛件每個(gè)捐出α元給當(dāng)?shù)馗＠海粢?/p>

證捐款后的利潤率不低于20%.請直接寫出ɑ的最大值.

【答案】(I)IO，14

(2)有3種購買方案：①購買冰墩墩造型鑰匙扣掛件58個(gè)，購買雪容融造型鑰匙扣掛42個(gè)，

②購買冰墩墩造型鑰匙扣掛件59個(gè)，購買雪容融造型鑰匙扣掛41個(gè)，③購買冰墩墩造型鑰

匙扣掛件60個(gè)，購買雪容融造型鑰匙扣掛40個(gè)

⑶1.8

【分析】(1)由購進(jìn)冰墩墩造型鑰匙扣掛件1()個(gè)和雪容融造型鑰匙扣掛件5個(gè)需要共170元;

購進(jìn)冰墩墩造型鑰匙扣掛件6個(gè)和雪容融造型鑰匙扣掛件10個(gè)共需要200元，得

?0m+5n=170

即可解得團(tuán)的值是10,〃的值是14：

6W÷10∕7=200

⑵根據(jù)題意得I0/Λ+1G4I(1O0O0-TX篙)>1116608'可解得有3種方案；

⑶W=(16—10)x+(18—14XIooT)=2x+400,由一次函數(shù)性質(zhì)可得印最大為

2x60+4(X)=52()(元)，再根據(jù)題意即可解答.

(1)

購進(jìn)冰墩墩造型鑰匙扣掛件10個(gè)和雪容融造型鑰匙扣掛件5個(gè)需要共170元；購進(jìn)冰墩

墩造型鑰匙扣掛件6個(gè)和雪容融造型鑰匙扣掛件10個(gè)共需要200元,

Iom+5〃=170

6m+1Ozi=200

加=10

解得

〃二14

答：機(jī)的值是10,"的值是14；

(2)

10Λ-+14(100-X)>1160

根據(jù)題意得：<

10Λ+14(100-X)≤1168

解得58≤x≤6O,

X為整數(shù)，

.?.x可取58,59,60,

，有3種購買方案：

①購買冰墩墩造型鑰匙扣掛件58個(gè)，購買雪容融造型鑰匙扣掛42個(gè),

②購買冰墩墩造型鑰匙扣掛件59個(gè)，購買雪容融造型鑰匙扣掛41個(gè),

③購買冰墩墩造型鑰匙扣掛件60個(gè)，購買雪容融造型鑰匙扣掛40個(gè);

(3)

VK=(16-10)x+(18-14)(l∞-x)=2x+4∞,

2>0,

W隨X增大而增大，

.?.x=60時(shí)，W最大=2x60+400=520(元)，

此時(shí)購買冰墩墩造型鑰匙扣掛件60個(gè)，購買雪容融造型鑰匙扣掛40個(gè)，

依題意得：60(16-2π)+40×(18-t7)-60×10-40×14≥(60×10+40×14)×20%,

解得：ɑ≤1.8.

答："的最大值為1.8.

【我思故我在】本題考查了二元一次方程組，一元一次不等式組和一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本

題的關(guān)鍵是讀懂題目意思，列出方程組，不等式組及函數(shù)關(guān)系式.

10.為降低空氣污染，漂河市公交公司決定全部更換節(jié)能環(huán)保的燃?xì)夤卉?，?jì)劃購買A

型和B型兩種公交車共10輛，其中每臺(tái)的價(jià)格，年載客量如表：

A型B型

價(jià)格（萬元/輛）ab

年均載客量（萬人/年/輛）60100

若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公

交車1輛，共需350萬元.

⑴求人（的值:

（2）如果該公司購買A型和3型公交車的總費(fèi)用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在

該線路的年均載客總和不少于680萬人次.請你利用方程組或不等式組設(shè)計(jì)一個(gè)總費(fèi)用最少

的方案，并說明總費(fèi)用最少的理由.

【答案】（l）a=100,6=150

（2）A型公交車8輛，B型公交車2輛

4+28=400

【分析】（1）根據(jù)表格中條件，列出對應(yīng)的二元一次方程組,解方程組即可求得

2<z+b=350

結(jié)果;

（2）根據(jù)題意設(shè)購買A型公交車X輛，則8型公交車（10-x）輛，可列出對應(yīng)的一元一次不等

IOOX+150(10-x)≤1200

式組＜,解得6≤x≤8,可知X取值為:6、7、8,分別對三種情況

60x+100(10-x)≥680

求值比較即可.

⑴

a+2b=400

解：由題意列方程組為:

2α+b=350'

α=100

解得:

?=l5θ;

⑵

總費(fèi)用最少的方案為：購買A型公交車8輛，B型公交車2輛，理由如下,

設(shè)購買A型公交車X輛，則B型公交車（10-司輛，

[100x+150(10-x)≤1200

根據(jù)題意列不等式組為：∣60x+100(kx)≥680

解得：6≤x≤8,

為正整數(shù)，.?.x取值為：6、7、8,

當(dāng)x=6時(shí)，購買總費(fèi)用為：60x6+100(10-6)=1200(萬元)，

當(dāng)x=7時(shí)，購買總費(fèi)用為：60x7+100(10-7)=1150(萬元)，

當(dāng)x=8時(shí)，購買總費(fèi)用為：60X8+100(10-8)=1100(萬元)，

即x=8時(shí)，費(fèi)用最少，此時(shí)10-x=2,

答：總費(fèi)用最少的方案為：購買4型公交車8輛，8型公交車2輛.

11.小剛的爸爸在兩個(gè)學(xué)校門口開了兩家文具店(分別簡稱甲店、乙店).一天，小剛的爸爸

購進(jìn)了A、B兩種文具各10箱，預(yù)計(jì)每箱文具的盈利情況下表：

4種文具B種文具

甲店/(元/箱)1117

乙店/(元/箱)ah

(1)如果甲店按照A種文具5箱、B種文具5箱配貨，那么小剛的爸爸甲店能盈利元.

(2)如果乙店按照A種文具3箱、B種文具7箱配貨，可盈利118元；如果乙店按照A種文

具8箱、B種文具2箱配貨，可盈利98元.請求出乙店A、B兩種文具每箱分別盈利多少元？

(3)在甲、乙兩店各配貨10箱，且保證乙店盈利不小于100元的條件下，請你設(shè)計(jì)出使小剛

的爸爸盈利最大的配貨方案，并求出最大盈利為多少？

【答案】⑴140

(2)乙店A、2兩種文具每箱分別盈利9元/箱，13元/箱，

(3)甲店配A種文具3箱，8種文具7箱.乙店配A種文具7箱，8種文具3箱.最大盈利

254元

【分析】(I)根據(jù)表格數(shù)據(jù)，甲店A種文具盈利11元/箱，8種文具盈利17元/箱，列出算式

進(jìn)行計(jì)算即可求解；

(2)根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；

(3)設(shè)甲店配A種文具X箱，分別表示出配給乙店的A文具，B文具的箱數(shù)，根據(jù)盈利不小于

IlO元，列不等式求解，進(jìn)一步利用經(jīng)銷商盈利=4種文具甲店盈利xx+8種文具甲店盈利

×(10-X)+A種文具乙店盈利x(10-x)+B種文具乙店盈利XX；列出函數(shù)解析式利用函數(shù)性質(zhì)求得

答案即可.

(1)

解：依題意，如果甲店按照4種文具5箱、B種文具5箱配貨，那么小剛的爸爸甲店能盈利：

11x5+17x5=(11+17)x5=140(元)

故答案為：140

(2)

解：依題意([3。+726X=8118

.?.乙店A、B兩種文具每箱分別盈利9元/箱，13元/箱，

(3)

設(shè)甲店配A種文具X箱，則甲店配8種文具(IO-X)箱，

乙店配A種文具(IO-X)箱，乙店配8種文具IO-(Io-X)=X箱.

V9×(10-x)+13x≥100,

??X—2~，

2

經(jīng)銷商盈利為W=IlX+17x(10-x)+9x(10-x)+13x=-2x+260.

V-2<0,

W隨X增大而減小，

?.?χ為正整數(shù)，

，當(dāng)x=3時(shí)，W值最大.

甲店配4種文具3箱，8種文具7箱.乙店配4種文具7箱，8種文具3箱.

最大盈利：-2×3+260=254(元).

【我思故我在】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)

際運(yùn)用，找出題目蘊(yùn)含的不等關(guān)系與等量關(guān)系解決問題.

12.為綠化校園，我校決定購買甲、乙兩種樹苗對校園環(huán)境進(jìn)行改善.已知每棵甲種樹苗的

價(jià)格是乙種樹苗價(jià)格的1.5倍；購買甲種樹苗2棵，乙種樹苗3棵，共需24元.

(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價(jià)格分別是多少元？

(2)若學(xué)校計(jì)劃購買甲、乙兩種樹苗共240棵，設(shè)購買甲種樹苗的數(shù)量為，〃棵，購買樹苗的

總費(fèi)用為W元，求W關(guān)于機(jī)的函數(shù)表達(dá)式；

(3)在(2)的情況下，廠家對甲種樹苗打9折優(yōu)惠，乙種樹苗的價(jià)格不變，且購買總費(fèi)用不超

過1200元.則最多能購買甲種樹苗多少棵？

【答案】(1)甲種樹苗價(jià)格是6元，乙種樹苗價(jià)格是4元

⑵W=960+2m

⑶171棵

【分析】(1)設(shè)甲種樹苗的價(jià)格為X元，乙種樹苗的價(jià)格為y元，根據(jù)題意列出二元一次方程

組即可求解；

(2)甲種樹苗m棵，則購買乙種樹苗(24O-M棵，依據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；

(3)先求出甲種樹苗的現(xiàn)價(jià)，再依據(jù)題意列出W關(guān)于小的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)W≤1200列出關(guān)

于，”的不等式，即可求解.

(1)

設(shè)甲種樹苗的價(jià)格為X元，乙種樹苗的價(jià)格為y元，

根據(jù)題意有：

?x=1.5y

[2x+3y=24,

∣"x=6

解得：,，

[y=4

即甲種樹苗價(jià)格是6元，乙種樹苗價(jià)格是4元；

(2)

甲種樹苗，〃棵，則購買乙種樹苗(240-⑼棵，

則總費(fèi)用W≈6m+4×(240-m)=960+2∕n,

即W關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式為：Ψ=960+2∕n;

(3)

甲種樹苗價(jià)格打九折，則現(xiàn)價(jià)為：6x90%=5.4元，

則有W=54"+4x(240-"i)=960+l.4〃?，

VW≤1200,

960+1.4%V1200,

解得：∕π≤171-,

根據(jù)W為整數(shù)，可知，〃最大為171,

即最多可以購買171棵甲種樹苗.

【我思故我在】本題主要考查了二元一次方程組以及一元一次不等式的應(yīng)用，明確題意列出

二元一次方程組以及一元一次不等式是解答本題的關(guān)鍵.

13.某商店銷售A、B兩種品牌的書包，已知購買1個(gè)A品牌書包和2個(gè)B品牌書包共需550

元；購買2個(gè)A品牌書包和1個(gè)B品牌書包共需500元.

(1)求這兩種品牌書包的單價(jià)；

(2)某商店對這兩種品牌的書包給出優(yōu)惠活動(dòng)：A種品牌的書包按原價(jià)的八折銷售，8種品牌

的書包10個(gè)以上超出部分按原價(jià)的五折銷售.

①設(shè)購買X個(gè)A品牌書包的費(fèi)用為9元，購買X個(gè)8品牌書包的費(fèi)用為V元，請分別求出

y∣,”與X的函數(shù)關(guān)系式；

②學(xué)校準(zhǔn)備購買同一種品牌的書包，如何選擇購買更省錢？

【答案】(I)A品牌書包單價(jià)為150元,3品牌書包單價(jià)為200元;(2)①X=I50x0?8x=120x,

%/[20。0xx+(01<0x0<010()0。)；③―當(dāng)0<閆0時(shí)，》?如即選A品牌省錢，當(dāng)】。。<5。時(shí)，

y∣<y2,即選A品牌省錢，當(dāng)戶50時(shí)，yl=y2,即選A、B品牌一樣省錢，當(dāng)x>50時(shí)，y∕>

即選B品牌省錢.

【分析】(1)設(shè)A品牌書包單價(jià)為。元，B品牌書包單價(jià)為。元，根據(jù)題意，列出二元一次方

程組，即可求解：

(2)①根據(jù)題意直接列出函數(shù)解析式，即可；②分4鐘情況，比較y∣和y2的大小關(guān)系，即可.

【詳解】解：(1)設(shè)A品牌書包單價(jià)為。元，8品牌書包單價(jià)為6元，

[α+2?=550]α=150

根據(jù)題意得：,…解得：,

[2o+?=500[b-200

答：A品牌書包單價(jià)為150元，8品牌書包單價(jià)為200元;

(2)①根據(jù)題意得：X=I50x0.8元=120x,

j200x(0<x≤10)

γ2-[10×200+(x-10)×200×0.5=l∞x+1000(x>10)：

②當(dāng)0<爛10時(shí)，y∣<y2>即選A品牌省錢，當(dāng)10<x<50時(shí)，y∣<y2,即選4品牌省錢，

當(dāng)x=50時(shí)，y∣=y2>即選A、B品牌一樣省錢，當(dāng)x>50時(shí)?y∣>y>2>即選B品牌省錢.

【我思故我在】本題主要考查二元一次方程組以及一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，找出等量關(guān)系，列

出方程組和函數(shù)解析式，