2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 2-9 函數(shù)模型的應(yīng)用 學(xué)案

第九節(jié)函數(shù)模型的應(yīng)用

【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)增長速度的差異2理解“對數(shù)增

長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義3會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題

的變化規(guī)律.

必備知識夯實雙基

知識梳理

1.指數(shù)、對數(shù)、幕函數(shù)性質(zhì)比較

函數(shù)

y=a?a>i)y=logx(β>l)y=xn(n>0')

性質(zhì)a

在(0,+∞)±

單調(diào)________單調(diào)________單調(diào)遞增

的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)為隨X的增大逐漸表現(xiàn)為

圖象的變化隨〃值變化而各有不同

與平行與平行

2.常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型_______________________函數(shù)解析式_______________________

一次函數(shù)模至一_____________兀v)=αr+b(α,為常數(shù)，4W0)______________

反比例函數(shù)模型ΛΛ)=??(?,〃為常數(shù)且ZWO)

2

二次函數(shù)模型fix)=ax+bx+c(afb,C為常數(shù)，ɑ≠0)

指數(shù)函數(shù)模型一7U)=b1+c(mb,C為常數(shù)，bW0,公>0且4Wl)

對數(shù)函數(shù)模疝^b,C為常數(shù)，∕τ≡0,α>0且α≠l)

基函數(shù)模型一,1

J(x)=ax+h(a9〃為常數(shù)，0≠0)

［常用結(jié)論］

I.函數(shù)Kr)=；+第>0,b>0,x>0)在區(qū)間(0,上單調(diào)遞減，在區(qū)間［聞，+∞)±

單調(diào)遞增.

2.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量

越來越大，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.

夯實雙基

1.思考辨析(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)基函數(shù)增長比直線增長更快.()

(2)不存在xo，使a*。<Xo<logαΛo.()

(3)在(0,+8)上，隨著X的增大，y="(α>l)的增長速度會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=d(a>l)

的增長速度.()

(4)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y=α〃+c(αW0,b>0,人Wl)增長速度越來越快的形象

比喻.()

2.在某個物理實驗中，測量得變量X和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：

X0.500.992.013.98

y—0.990.010.982.00

則對X,y最適合的擬合函數(shù)是()

A.y-2xB.y-x2~↑

C.y=2x~2D.γ=log2X

3.(教材改編)當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原

來的一半，這個時間稱為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一

時，用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測

不到，則它至少要經(jīng)過個“半衰期”.

2

4.(易錯)已知y(x)=x,g(x)=2',Zz(X)=Iog2X,當(dāng)χe(4,+8)時，對三個函數(shù)的增長

速度進(jìn)行比較，下列選項中正確的是()

A.J(X)>g(x)>h(x)

B.g(x)>∕(x)>h(x)

C.g(x)>h(x)>fix)

D.J(x)>h(x)>g(x)

5.(易錯)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,

則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為.

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一二次函數(shù)模型

例1某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)

品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量

x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=》?-200x+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可

利用的化工產(chǎn)品價值為100元.

(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補(bǔ)

貼多少元才能使該單位不虧損？

題后師說

二次函數(shù)是常用的函數(shù)模型，建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的值域或最值.解決實際

中的優(yōu)化問題時，一定要分析自變量的取值范圍.利用配方法求最值時，一定要注意對稱軸

與給定區(qū)間的關(guān)系：若對稱軸在給定的區(qū)間內(nèi)，可在對稱軸處取最值，在離對稱軸較遠(yuǎn)的端

點(diǎn)處取另一最值；若對稱軸不在給定的區(qū)間內(nèi)，最值都在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.

鞏固訓(xùn)練1

某類產(chǎn)品按工藝共分10個檔次，最低檔次產(chǎn)品每件利潤為8元.每提高一個檔次，每

件利潤增加2元.用同樣工時，可以生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品60件，每提高一個檔次將少生產(chǎn)3

件產(chǎn)品，則每天獲得利潤最大時生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是()

A.7B.8C.9D.10

題型二分段函數(shù)模型

例2[2023?河南濮陽模擬]今年，我國某企業(yè)為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計劃在2024

年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī).通過市場分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本250萬,

IOx2+IOOx+1000,O<X<40

每生產(chǎn)x(千部)手機(jī),需另投入成本R(X)萬元,且Ra)=

701x+U■吧—8450,x≥40

?X

由市場調(diào)研知，每部手機(jī)售價0.7萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完.

(1)求2024年的利潤W(X)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千部)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)2024年產(chǎn)量為多少(干部)時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？

題后師說

(1)分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個問題，

將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起,要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.

(2)構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準(zhǔn)確、簡潔，做到分段合理不重不漏.

鞏固訓(xùn)練2

[2023?安徽安慶模擬]由中國發(fā)起成立的全球能源互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展合作組織于2021年3月18

日在京舉辦中國碳達(dá)峰碳中和成果發(fā)布暨研討會.會議發(fā)布了中國2030年前碳達(dá)峰、2060

年前碳中和、2030年能源電力發(fā)展規(guī)劃及2060年展望等研究成果，在國內(nèi)首次提出通過建

設(shè)中國能源互聯(lián)網(wǎng)實現(xiàn)碳減排目標(biāo)的系統(tǒng)方案.為積極響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，某企業(yè)計

劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場調(diào)查分析：全年需投入固定成本2500萬元.每生產(chǎn)

10χ2+300x,OVX<40,

M百輛)新能源汽車，需另投入成本Ca)萬元，且Ca)=25oo，

1OOlx+?-^-12600,x≥40

X

由市場調(diào)研知，每輛車售價10萬元，且生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.

(1)請寫出利潤L(X)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式(利潤=收入一成本)；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少百輛時，該企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.

題型三指數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型

例3某同學(xué)對航天知識有著濃厚的興趣，通過查閱資料，他發(fā)現(xiàn)在不考慮氣動阻力和

地球引力等造成的影響時，火箭是目前唯一能使物體達(dá)到宇宙速度，克服或擺脫地球引力,

進(jìn)入宇宙空間的運(yùn)載工具.早在1903年齊奧爾科夫斯基就推導(dǎo)出火箭的最大理想速度公式:

v=ωln也，被稱為齊奧爾科夫斯基公式，其中。為噴流相為火箭的速度，，處和〃”分別是

n?

火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動機(jī)熄火（推進(jìn)劑用完）時的質(zhì)量，也被稱為火箭的質(zhì)量比.

n?

（1）某火箭的初始質(zhì)量為160噸，噴流相對火箭的速度為2千米/秒，發(fā)動機(jī)熄火時的火

箭質(zhì)量為40噸，求該火箭的最大理想速度（保留2位有效數(shù)字）；

（2）根據(jù)現(xiàn)在的科學(xué)水平，通?；鸺馁|(zhì)量比不超過10.如果噴流相對火箭的速度為2千

米/秒，請判斷該火箭的最大理想速度能否超過第一宇宙速度7.9千米/秒，并說明理由.（參

考數(shù)據(jù)：ln2≈=≡0.69）

題后師說

在解決對數(shù)型函數(shù)或指數(shù)型函數(shù)的實際問題時經(jīng)常會解對數(shù)不等式或進(jìn)行對數(shù)與指數(shù)

的互化.

鞏固訓(xùn)練3

（l）［2023?河南鄭州模擬］在核酸檢測時，為了讓標(biāo)本中DNA的數(shù)量達(dá)到核酸探針能檢測

到的閾值，通常采用PCR技術(shù)對DNA進(jìn)行快速復(fù)制擴(kuò)增數(shù)量.在此過程中，DNA的數(shù)量

X,,（單位：μg∕μL）與PCR擴(kuò)增次數(shù)〃滿足X,,=XoX1.6",其中Xo為DNA的初始數(shù)量.已知

某待測標(biāo)本中DNA的初始數(shù)量為0.1μg∕μL,核酸探針能檢測到的DNA數(shù)量最低值為

10μg∕μL,則應(yīng)對該標(biāo)本進(jìn)行PCR擴(kuò)增的次數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：Ig1.6≈0.20,In

1.6Qo.47）（）

A.5B.10

C.15D.20

（2）［2023?山東荷澤模擬］某地為踐行“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)保理念，大力展開

植樹造林.假設(shè)一片森林原來的面積為。畝，計劃每年種植一些樹苗，且森林面積的年增長

率相同，當(dāng)面積是原來的2倍時，所用時間是10年.為使森林面積至少達(dá)到6α畝，至少需

要植樹造林年（精確到整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：Ig2=0.3010,Ig3=0.4771）

第九節(jié)函數(shù)模型的應(yīng)用

必備知識?夯實雙基

知識梳理

1.遞增遞增y軸X軸

夯實雙基

?.(D×(2)×⑶J(4)×

2.解析：根據(jù)X=O.50,尸一0.99,代入計算，可以排除A；根據(jù)x=2.01,y=0.98,

代入計算，可以排除B,C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=log2x,可知D滿足題意.

故選D.

答案：D

3.解析：設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1,則經(jīng)過〃個“半衰期”后的含量

為(3"，由($"<焉,得〃210.所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，

則它至少需要經(jīng)過10個“半衰期”.

答案：案

4.解析：在同一坐標(biāo)系內(nèi)，根據(jù)函數(shù)圖象變化趨勢，當(dāng)x∈(4,+8)時，增長速度由

大到小依次為g(x)>fix)>h(x).

故選B.

答案：B

5.解析：設(shè)原來的生產(chǎn)總值為“，平均增長率為X,

則α(l+p)(l+q)=α(l+x)2,

解得l+x=J(p+l)(q+1)，

即x=√(p+l)(q+I)-1.

答案：J(p+l)(q+1)—1

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析：⑴由題意可知：y=#-200x+80000(300WXW600),

每噸二氧化碳的平均處理成本為

y=x+8o^o_2OO≥2亟—200=200,

X2Xy∣2X

當(dāng)且僅當(dāng)==%2U,即χ=400時，等號成立，

該單位每月處理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低.

(2)該單位每月的獲利：

,Ax)=IOOA-QX2-200x+80000)=-i(χ-300)2-35000,

因300WxW600,函數(shù)./U)在區(qū)間[300,600]上單調(diào)遞減，

從而得當(dāng)x=300時，函數(shù)次尤)取得最大值，即於)max=∕(300)=-35000,

所以該單位每月不能獲利，國家至少需要補(bǔ)貼35000元才能使該單位不虧損.

鞏固訓(xùn)練1解析：由題意，當(dāng)生產(chǎn)第人檔次的產(chǎn)品時，每天可獲利潤是生產(chǎn)件數(shù)與每

件的利潤的乘積為y≈[8+2(?-1)][60-3(k-1)]=-6?2+108?+378(1≤?≤10),配方可得)，

=一6/一9>+864,.?.當(dāng)&=9時,獲得利潤最大.

故選C.

答案：C

例2解析：(1)當(dāng)Oa<40時，W(X)=700X-(IaX2+IOOx+1000)-250=—Iox2+60Qx

-1250；

當(dāng)x240時，W(X)=700r-(701x+吧詈-8450)—250=一。+絲詈)+8200；

(-IOx2+600x-1250,0<x<40

.?.W(x)=/10000、Crcc；

一(x+-)+8200,x≥40

⑵若04<40,Wa)=-10(χ-30)2+7750,

當(dāng)x=30時，川(戲皿=7750萬元；

若x240,MX)=-(X+i^^)+8200W8200—2Jx?i^^=8000,

當(dāng)且僅當(dāng)X=I即X=IOO時，W(X)max=8000萬元>7750萬元.

綜上，2024年產(chǎn)量為100千部時，利潤最大為8000萬元.

鞏固訓(xùn)練2解析：(1)當(dāng)(XX<40時，L(x)=10×IOOx-10X2-300A-2500

=-∣0x2+700χ-2500;

當(dāng)x>40時，La)=IoXlOOx—lOolX-^^+12600—2500=10100-(x+^-∣^);

,(-IOx2+700x-2500,0<x<40,

所以L(X)=/2500、

10100-(x+≡^Lx≥40.

⑵當(dāng)0<x<40時，L(X)=-IO(X—35/+9750,

當(dāng)x=35時，Z,(35)=9750；

當(dāng)x>40時，L(X)=IO100-(x+^-∣^)≤10100-2Jx