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文檔簡介
第九節(jié)函數(shù)模型的應用
【課標標準】1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)增長速度的差異2理解“對數(shù)增
長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義3會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題
的變化規(guī)律.
必備知識夯實雙基
知識梳理
1.指數(shù)、對數(shù)、幕函數(shù)性質(zhì)比較
函數(shù)
y=a?a>i)y=logx(β>l)y=xn(n>0')
性質(zhì)a
在(0,+∞)±
單調(diào)________單調(diào)________單調(diào)遞增
的增減性
增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)
隨X的增大逐漸表現(xiàn)為隨X的增大逐漸表現(xiàn)為
圖象的變化隨〃值變化而各有不同
與平行與平行
2.常見的函數(shù)模型
函數(shù)模型_______________________函數(shù)解析式_______________________
一次函數(shù)模至一_____________兀v)=αr+b(α,為常數(shù),4W0)______________
反比例函數(shù)模型ΛΛ)=??(?,〃為常數(shù)且ZWO)
2
二次函數(shù)模型fix)=ax+bx+c(afb,C為常數(shù),ɑ≠0)
指數(shù)函數(shù)模型一7U)=b1+c(mb,C為常數(shù),bW0,公>0且4Wl)
對數(shù)函數(shù)模疝^b,C為常數(shù),∕τ≡0,α>0且α≠l)
基函數(shù)模型一,1
J(x)=ax+h(a9〃為常數(shù),0≠0)
[常用結(jié)論]
I.函數(shù)Kr)=;+第>0,b>0,x>0)在區(qū)間(0,上單調(diào)遞減,在區(qū)間[聞,+∞)±
單調(diào)遞增.
2.“直線上升”是勻速增長,其增長量固定不變;“指數(shù)增長”先慢后快,其增長量
越來越大,常用“指數(shù)爆炸”來形容;“對數(shù)增長”先快后慢,其增長量越來越小.
夯實雙基
1.思考辨析(正確的打“,錯誤的打“X”)
(1)基函數(shù)增長比直線增長更快.()
(2)不存在xo,使a*。<Xo<logαΛo.()
(3)在(0,+8)上,隨著X的增大,y="(α>l)的增長速度會超過并遠遠大于y=d(a>l)
的增長速度.()
(4)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y=α〃+c(αW0,b>0,人Wl)增長速度越來越快的形象
比喻.()
2.在某個物理實驗中,測量得變量X和變量y的幾組數(shù)據(jù),如下表:
X0.500.992.013.98
y—0.990.010.982.00
則對X,y最適合的擬合函數(shù)是()
A.y-2xB.y-x2~↑
C.y=2x~2D.γ=log2X
3.(教材改編)當生物死亡后,其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原
來的一半,這個時間稱為“半衰期”.當死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一
時,用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測
不到,則它至少要經(jīng)過個“半衰期”.
2
4.(易錯)已知y(x)=x,g(x)=2',Zz(X)=Iog2X,當χe(4,+8)時,對三個函數(shù)的增長
速度進行比較,下列選項中正確的是()
A.J(X)>g(x)>h(x)
B.g(x)>∕(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>fix)
D.J(x)>h(x)>g(x)
5.(易錯)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,
則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為.
關(guān)鍵能力?題型突破
題型一二次函數(shù)模型
例1某企業(yè)采用新工藝,把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)
品.已知該單位每月的處理量最少為300噸,最多為600噸,月處理成本y(元)與月處理量
x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=》?-200x+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可
利用的化工產(chǎn)品價值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?
(2)該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則國家至少需要補
貼多少元才能使該單位不虧損?
題后師說
二次函數(shù)是常用的函數(shù)模型,建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的值域或最值.解決實際
中的優(yōu)化問題時,一定要分析自變量的取值范圍.利用配方法求最值時,一定要注意對稱軸
與給定區(qū)間的關(guān)系:若對稱軸在給定的區(qū)間內(nèi),可在對稱軸處取最值,在離對稱軸較遠的端
點處取另一最值;若對稱軸不在給定的區(qū)間內(nèi),最值都在區(qū)間的端點處取得.
鞏固訓練1
某類產(chǎn)品按工藝共分10個檔次,最低檔次產(chǎn)品每件利潤為8元.每提高一個檔次,每
件利潤增加2元.用同樣工時,可以生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品60件,每提高一個檔次將少生產(chǎn)3
件產(chǎn)品,則每天獲得利潤最大時生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是()
A.7B.8C.9D.10
題型二分段函數(shù)模型
例2[2023?河南濮陽模擬]今年,我國某企業(yè)為了進一步增加市場競爭力,計劃在2024
年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機.通過市場分析,生產(chǎn)此款手機全年需投入固定成本250萬,
IOx2+IOOx+1000,O<X<40
每生產(chǎn)x(千部)手機,需另投入成本R(X)萬元,且Ra)=
701x+U■吧—8450,x≥40
?X
由市場調(diào)研知,每部手機售價0.7萬元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機當年能全部銷售完.
(1)求2024年的利潤W(X)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千部)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)2024年產(chǎn)量為多少(干部)時,企業(yè)所獲利潤最大?最大利潤是多少?
題后師說
(1)分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同,可以先將其當作幾個問題,
將各段的變化規(guī)律分別找出來,再將其合到一起,要注意各段自變量的范圍,特別是端點值.
(2)構(gòu)造分段函數(shù)時,要力求準確、簡潔,做到分段合理不重不漏.
鞏固訓練2
[2023?安徽安慶模擬]由中國發(fā)起成立的全球能源互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展合作組織于2021年3月18
日在京舉辦中國碳達峰碳中和成果發(fā)布暨研討會.會議發(fā)布了中國2030年前碳達峰、2060
年前碳中和、2030年能源電力發(fā)展規(guī)劃及2060年展望等研究成果,在國內(nèi)首次提出通過建
設中國能源互聯(lián)網(wǎng)實現(xiàn)碳減排目標的系統(tǒng)方案.為積極響應國家節(jié)能減排的號召,某企業(yè)計
劃引進新能源汽車生產(chǎn)設備,通過市場調(diào)查分析:全年需投入固定成本2500萬元.每生產(chǎn)
10χ2+300x,OVX<40,
M百輛)新能源汽車,需另投入成本Ca)萬元,且Ca)=25oo,
1OOlx+?-^-12600,x≥40
X
由市場調(diào)研知,每輛車售價10萬元,且生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.
(1)請寫出利潤L(X)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式(利潤=收入一成本);
(2)當年產(chǎn)量為多少百輛時,該企業(yè)所獲利潤最大?并求出最大利潤.
題型三指數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型
例3某同學對航天知識有著濃厚的興趣,通過查閱資料,他發(fā)現(xiàn)在不考慮氣動阻力和
地球引力等造成的影響時,火箭是目前唯一能使物體達到宇宙速度,克服或擺脫地球引力,
進入宇宙空間的運載工具.早在1903年齊奧爾科夫斯基就推導出火箭的最大理想速度公式:
v=ωln也,被稱為齊奧爾科夫斯基公式,其中。為噴流相為火箭的速度,,處和〃”分別是
n?
火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動機熄火(推進劑用完)時的質(zhì)量,也被稱為火箭的質(zhì)量比.
n?
(1)某火箭的初始質(zhì)量為160噸,噴流相對火箭的速度為2千米/秒,發(fā)動機熄火時的火
箭質(zhì)量為40噸,求該火箭的最大理想速度(保留2位有效數(shù)字);
(2)根據(jù)現(xiàn)在的科學水平,通常火箭的質(zhì)量比不超過10.如果噴流相對火箭的速度為2千
米/秒,請判斷該火箭的最大理想速度能否超過第一宇宙速度7.9千米/秒,并說明理由.(參
考數(shù)據(jù):ln2≈=≡0.69)
題后師說
在解決對數(shù)型函數(shù)或指數(shù)型函數(shù)的實際問題時經(jīng)常會解對數(shù)不等式或進行對數(shù)與指數(shù)
的互化.
鞏固訓練3
(l)[2023?河南鄭州模擬]在核酸檢測時,為了讓標本中DNA的數(shù)量達到核酸探針能檢測
到的閾值,通常采用PCR技術(shù)對DNA進行快速復制擴增數(shù)量.在此過程中,DNA的數(shù)量
X,,(單位:μg∕μL)與PCR擴增次數(shù)〃滿足X,,=XoX1.6",其中Xo為DNA的初始數(shù)量.已知
某待測標本中DNA的初始數(shù)量為0.1μg∕μL,核酸探針能檢測到的DNA數(shù)量最低值為
10μg∕μL,則應對該標本進行PCR擴增的次數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù):Ig1.6≈0.20,In
1.6Qo.47)()
A.5B.10
C.15D.20
(2)[2023?山東荷澤模擬]某地為踐行“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)保理念,大力展開
植樹造林.假設一片森林原來的面積為。畝,計劃每年種植一些樹苗,且森林面積的年增長
率相同,當面積是原來的2倍時,所用時間是10年.為使森林面積至少達到6α畝,至少需
要植樹造林年(精確到整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):Ig2=0.3010,Ig3=0.4771)
第九節(jié)函數(shù)模型的應用
必備知識?夯實雙基
知識梳理
1.遞增遞增y軸X軸
夯實雙基
?.(D×(2)×⑶J(4)×
2.解析:根據(jù)X=O.50,尸一0.99,代入計算,可以排除A;根據(jù)x=2.01,y=0.98,
代入計算,可以排除B,C;將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=log2x,可知D滿足題意.
故選D.
答案:D
3.解析:設該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1,則經(jīng)過〃個“半衰期”后的含量
為(3",由($"<焉,得〃210.所以,若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到,
則它至少需要經(jīng)過10個“半衰期”.
答案:案
4.解析:在同一坐標系內(nèi),根據(jù)函數(shù)圖象變化趨勢,當x∈(4,+8)時,增長速度由
大到小依次為g(x)>fix)>h(x).
故選B.
答案:B
5.解析:設原來的生產(chǎn)總值為“,平均增長率為X,
則α(l+p)(l+q)=α(l+x)2,
解得l+x=J(p+l)(q+1),
即x=√(p+l)(q+I)-1.
答案:J(p+l)(q+1)—1
關(guān)鍵能力?題型突破
例1解析:⑴由題意可知:y=#-200x+80000(300WXW600),
每噸二氧化碳的平均處理成本為
y=x+8o^o_2OO≥2亟—200=200,
X2Xy∣2X
當且僅當==%2U,即χ=400時,等號成立,
該單位每月處理量為400噸時,每噸的平均處理成本最低.
(2)該單位每月的獲利:
,Ax)=IOOA-QX2-200x+80000)=-i(χ-300)2-35000,
因300WxW600,函數(shù)./U)在區(qū)間[300,600]上單調(diào)遞減,
從而得當x=300時,函數(shù)次尤)取得最大值,即於)max=∕(300)=-35000,
所以該單位每月不能獲利,國家至少需要補貼35000元才能使該單位不虧損.
鞏固訓練1解析:由題意,當生產(chǎn)第人檔次的產(chǎn)品時,每天可獲利潤是生產(chǎn)件數(shù)與每
件的利潤的乘積為y≈[8+2(?-1)][60-3(k-1)]=-6?2+108?+378(1≤?≤10),配方可得),
=一6/一9>+864,.?.當&=9時,獲得利潤最大.
故選C.
答案:C
例2解析:(1)當Oa<40時,W(X)=700X-(IaX2+IOOx+1000)-250=—Iox2+60Qx
-1250;
當x240時,W(X)=700r-(701x+吧詈-8450)—250=一。+絲詈)+8200;
(-IOx2+600x-1250,0<x<40
.?.W(x)=/10000、Crcc;
一(x+-)+8200,x≥40
⑵若04<40,Wa)=-10(χ-30)2+7750,
當x=30時,川(戲皿=7750萬元;
若x240,MX)=-(X+i^^)+8200W8200—2Jx?i^^=8000,
當且僅當X=I即X=IOO時,W(X)max=8000萬元>7750萬元.
綜上,2024年產(chǎn)量為100千部時,利潤最大為8000萬元.
鞏固訓練2解析:(1)當(XX<40時,L(x)=10×IOOx-10X2-300A-2500
=-∣0x2+700χ-2500;
當x>40時,La)=IoXlOOx—lOolX-^^+12600—2500=10100-(x+^-∣^);
,(-IOx2+700x-2500,0<x<40,
所以L(X)=/2500、
10100-(x+≡^Lx≥40.
⑵當0<x<40時,L(X)=-IO(X—35/+9750,
當x=35時,Z,(35)=9750;
當x>40時,L(X)=IO100-(x+^-∣^)≤10100-2Jx
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