一中（西校區(qū)）高三上學期期中考試數學（理）試題

集寧一中西校區(qū)20202021學年第一學期期中考試高三年級理科數學試題本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘命題人：滑雪審核人：王文輝第I卷（選擇題共60分）選擇題（每小題5分，共12小題，共60分）1．若集合，，則（）A． B． C． D．2．若，則（）A． B．0 C．1 D．23．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數，例如：他們研究過圖①中的由于這些數能表示成三角形，將其稱為三角形數；類似地，將圖②中的這樣的數稱為正方形數．下列數中既是三角形數又是正方形數的是()A．189 B．1024C．1225 D．13784．函數的圖象大致為（）A．B．C． D．5．已知則的大小關系為（）6．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．7．已知奇函數在上單調遞減，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．8．記Sn為等比數列{an}的前n項和．若，則=（） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–19．已知函數（且）的圖象恒過定點A，若點A在直線上，其中，則的最小值為（）A． B． C．2 D．410.若是以O為圓心，半徑為1的圓的直徑，C為圓外一點，且.則（）A．3B．C．0D．不確定，隨著直徑的變化而變化11.已知函數且恒成立，則實數的取值范圍是（）12.若函數，則函數的零點個數為（）A．3 B．4 C．5 D．6填空題（每小題5分，共4小題，共20分）13.若關于x的不等式在區(qū)間上有解，則實數a的取值范圍為________.14.已知向量，，，且A，B，C三點共線，則k的值是________.15.若函數存在兩條均過原點的切線，則實數a的取值范圍是________.16.關于函數f（x）=有如下四個命題：①f（x）的圖像關于y軸對稱．②f（x）的圖像關于原點對稱．③f（x）的圖像關于直線x=對稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號是__________．解答題（本大題共6個題，共70分）17.（10分）設函數f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝.(1)求φ；(2)畫出函數y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象．18.（12分）已知，中，角，，所對的邊為，，.（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）若，，求周長的取值范圍.19.（12分）已知數列的前項和為，滿足，.（1）求數列的前項和；（2）令，求的前項和.20．（12分）設是數列的前n項和，已知，⑴求數列的通項公式；⑵設，求數列的前項和．21.（12分）已知函數.（1）求函數的最大值；（2）對任意，不等式恒成立，求整數的最小值.22.（12分）已知函數.（1）若，證明：當時，；（2）若在有兩個零點，求的取值范圍.集寧一中西校區(qū)20202021學年第一學期期中考試高三年級理科數學試題答案選擇題BDCAAB，DBCAAB。二、填空題13.14.15.16.②③B.解：因為集合，，所以.D解：因為，所以，所以，所以C解：三角形數的通項公式是，正方形數的通項公式是，所以兩個通項都滿足的是，三角形數是，正方形數是．A解：函數的定義域為，因為，所以為偶函數，所以排除C,D,又因為當時，，當時，，所以排除B，故選：A.A解：因為所以.6.B解：因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．D解：根據題意，為奇函數且，則，又由在上單調遞減，則在上，，在上，,又由為奇函數，則在上，，在上，，則的解集為的解集為；或，分析可得：或，故不等式的解集為；故選D．8.B解：設等比數列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.9.C解：令，，，∴，點在直線上，則，即，∵，，∴，∴，當且僅當，即時等號成立．故選：C．10.A解：如圖，，故選：A.A解：不妨設可得令則在區(qū)間上單調遞減，所以在區(qū)間上恒成立，當時，當時，，則，所以在區(qū)間上單調遞減，則，所以.B解：函數，的零點即的根，設，則，先解方程的根t，再計算的解.時得；時得.如圖所示，函數的圖像，方程和方程各有兩個解，即方程共有4個解，故的零點有4個.故選：B.二、填空題解：∵不等式在區(qū)間上有解，∴不等式在區(qū)間上有解，∴不等式在區(qū)間上有解，令，（），則，∴當時，，單調遞減，∴不等式在區(qū)間上有解，即,∴故答案為：14.解：，.因為A，B，C三點共線，所以共線，所以，解得.解：由題意得的定義域為，且，設切點坐標為，則過原點的切線斜率，整理得存在兩條過原點的切線，存在兩個不同的解.設，則問題等價于于存在兩個不同的交點，又當時，，單調遞增，.又當時，；當時，，若于存在兩個不同的交點，則.解得.16.②③解：對于命題①，，，則，所以，函數的圖象不關于軸對稱，命題①錯誤；對于命題②，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，所以，函數的圖象關于原點對稱，命題②正確；對于命題③，，，則，所以，函數的圖象關于直線對稱，命題③正確；對于命題④，當時，，則，命題④錯誤.故答案為：②③.三、解答題17.（10分）解：（1）∵，∴．∵，∴．（5分）（2）（5分）由知

0

0

1

0

故函數在區(qū)間上的圖象如圖所示．18.（1），；（2）解：（1），∴在上單調遞增，∴，（6分）（2），得，即，，則，而，由余弦定理知：，有，所以當且僅當時等號成立，而在中，∵周長，∴(12分）19.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【詳解】（Ⅰ）由，得，易見，時也適合該式，∴.（6分）（Ⅱ），.（6分）20.（1）（2）解：（1）因為，所以當時，兩式相減得，所以，當時，，，則所以數列為首項為，公比為的等比數列，故（4分）（2）由（1）可得所以故當為奇數時，當為偶數時，綜上（8分）21.（1）；（2）.解：（1）由得定義域為，又，由得；由得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減；因此；（6分）（2）由（1）知在上單調遞減，所以在上恒成立；即在上恒成立，令，則恒成立，所以，；因此，則，又對任意，不等式恒成立，為整數，所以