抽象函數(shù)的解題方法與技巧

抽象函數(shù)的解題方法與技巧摘要：抽象函數(shù)是沒(méi)有具體的解析式，只給出它的一些特征、性質(zhì)或一些特殊關(guān)系式的函數(shù)。因而顯得特別抽象。所以解決抽象函數(shù)問(wèn)題需要從函數(shù)的本質(zhì)出發(fā)，考慮其定義，性質(zhì)，加之解決抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)常用的技巧——賦值法，換元法等。盡可能使抽象函數(shù)變得不再抽象。關(guān)鍵詞：抽象函數(shù)；性質(zhì)；求值；解析式；解題方法；技巧Problem-solvingmethodsandskillsofabstractfunctionsXueJieSchoolofMathematicsandStatistics,SouthwestUniversity,Chongqing400715,ChinaAbstract::abstractfunctionisnotanalytictypespecific,givenonlythefunctioncharacteristics,itsnatureorsomespecialrelationship.Soitisespeciallyabstract.Sotosolvetheabstractfunctionproblemsneedfromtheviewoffunctionessence,consideringitsdefinition,nature,andsolvetheabstractfunctionproblemscommonlyusedtechniques--assignmentmethod,substitutionmethodetc..Asfaraspossibletomaketheabstractfunctionisnolongerabstract.Keywords:abstractfunction;property;evaluation;analyticmethod;problemsolvingskills;提出問(wèn)題的背景抽象函數(shù)問(wèn)題是函數(shù)中的一類綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，這類問(wèn)題通過(guò)對(duì)函數(shù)性質(zhì)結(jié)構(gòu)的代數(shù)表述，能夠綜合考查學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的理解和接受能力，考查對(duì)函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，考查學(xué)生的抽象思維和對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力，考查學(xué)生對(duì)于一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識(shí)，因而成為近幾年高考命題的熱點(diǎn)。由于抽象函數(shù)問(wèn)題只給出函數(shù)所滿足的一般性質(zhì)或運(yùn)算法那么，沒(méi)有明確的表示形式，因其抽象性和綜合型，對(duì)學(xué)生而言有較大的難度。因此有必要對(duì)抽象函數(shù)的解題方法和技巧進(jìn)行歸納總結(jié)。抽象函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)〔1〕定義域：函數(shù)的定義域指自變量的取值范圍。所以對(duì)抽象函數(shù)，而言，其定義域均指的是的取值范圍。對(duì)于和，其中和的地位是等價(jià)的，故取值范圍是一樣的。〔2〕值域：函數(shù)的值域指函數(shù)值的取值范圍。那么具有相同對(duì)應(yīng)關(guān)系的兩個(gè)抽象函數(shù)和，它們的值域是相同的。〔3〕函數(shù)三性：即奇偶性，對(duì)稱性，周期性。利用函數(shù)三性可根據(jù)局部函數(shù)的圖像描繪出整個(gè)定義域上的函數(shù)圖像，進(jìn)而從函數(shù)的圖像上更直觀的研究函數(shù)。奇偶性：函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，假設(shè)滿足，,那么稱是奇函數(shù)；假設(shè)滿足，,那么稱是偶函數(shù)。如果奇函數(shù)的定義域包含原點(diǎn)，那么一定有。對(duì)稱性：函數(shù)的對(duì)稱性分軸對(duì)稱和中心對(duì)稱。假設(shè)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么有。假設(shè)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，那么有。周期性：假設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)镈，滿足,，那么就說(shuō)該函數(shù)是周期函數(shù)，T為函數(shù)的一個(gè)周期。函數(shù)三性之間的聯(lián)系：=1\*GB3①函數(shù)是奇函數(shù)等價(jià)于函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；函數(shù)是偶函數(shù)等價(jià)于函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱。=2\*GB3②如果函數(shù)具有兩種形式的對(duì)稱性，那么函數(shù)就一定是周期函數(shù)；如果函數(shù)是周期函數(shù)，且具有一種對(duì)稱性，那么函數(shù)就一定具有另一種相應(yīng)的對(duì)稱性。=3\*GB3③一般結(jié)論：=1\*romani假設(shè)〔為常數(shù)〕，那么是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期。=2\*romanii假設(shè)〔常數(shù)〕，那么是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期。=3\*romaniii假設(shè)，那么是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期。=4\*romaniv假設(shè)的圖像關(guān)于兩條直線，對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期。=5\*romanv假設(shè)的圖像關(guān)于點(diǎn)和對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期。=6\*romanvi假設(shè)的圖像關(guān)于兩條直線及點(diǎn)對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期?！?〕單調(diào)性：函數(shù)的定義域?yàn)镈，對(duì)于任意的，，當(dāng)時(shí)，都有=1\*GB3①，那么就說(shuō)在此區(qū)間上是增函數(shù)；=2\*GB3②，那么就說(shuō)在此區(qū)間上是減函數(shù)。對(duì)抽象函數(shù)，由于解析式未知，所以要證明其單調(diào)性，一般只能考慮定義法。在關(guān)于抽象函數(shù)不等式問(wèn)題的解決中，單調(diào)性起到重要的作用。3.涉及抽象函數(shù)的問(wèn)題類型3.1求抽象函數(shù)的定義域：〔1〕的定義域，求的定義域；〔2〕求假設(shè)干個(gè)函數(shù)進(jìn)行四那么運(yùn)算后所得到的新函數(shù)的定義域。3.2求抽象函數(shù)的值域：〔1〕函數(shù)的值域，求的值域；〔2〕函數(shù)的值域，求的值域；〔3〕函數(shù)滿足的某些關(guān)系式或條件，求的值域。3.3求抽象函數(shù)的函數(shù)值：〔1〕函數(shù)滿足的某些關(guān)系式或條件，根據(jù)條件可以求得的周期，求函數(shù)在某一特定點(diǎn)的函數(shù)值；〔2〕函數(shù)滿足的某些關(guān)系式或條件，根據(jù)條件求不出的周期，求函數(shù)在某一特定點(diǎn)的函數(shù)值。3.4求抽象函數(shù)的解析式：〔1〕表達(dá)式，求的解析式；〔2〕的某些性質(zhì)或滿足某些條件，求的解析式。3.5與函數(shù)單調(diào)性，周期性，奇偶性相關(guān)的問(wèn)題：〔1〕判斷函數(shù)的單調(diào)性，周期性，奇偶性；〔2〕解不等式問(wèn)題；〔3〕函數(shù)存在性問(wèn)題。4.解決抽象函數(shù)問(wèn)題的方法技巧4.1定義域〔1〕的定義域，求的定義域。該類問(wèn)題需明確兩點(diǎn)：一是明確函數(shù)定義域的定義〔指自變量的取值范圍〕；二是明確在同一對(duì)應(yīng)法那么下，和的取值范圍是一樣的。例1.假設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?那么函數(shù)的定義域?yàn)榉治觯喝缜八觯瘮?shù)和函數(shù)的定義域都是指的取值范圍，而非和的取值范圍。并且和的取值范圍是一樣的。因而可根據(jù)中的取值范圍是，求解出的取值范圍，即的取值范圍，再?gòu)闹薪獬龅娜≈捣秶此蠖x域。解：由的定義域?yàn)?，可知，，故，解得，的定義域?yàn)?〔2〕求假設(shè)干個(gè)函數(shù)進(jìn)行四那么運(yùn)算后所得到的新函數(shù)的定義域。該類問(wèn)題的解決依然首先要明確函數(shù)的定義域是使得函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，所以求得新函數(shù)的定義域要在使得組合前每個(gè)函數(shù)有意義的根底上，還保證組合后的新函數(shù)也有意義，也就是取各個(gè)函數(shù)定義域的交集。但有一點(diǎn)需要注意，假設(shè)該運(yùn)算是商的形式，還要保證處于分母位置的函數(shù)不為0。例2.假設(shè)的定義域?yàn)椋敲吹亩x域?yàn)榻猓河?，的定義域?yàn)?，根?jù)例1的求法可求得:的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，從而的定義域?yàn)椋礊?。?.函數(shù)，，，求以下函數(shù)的定義域：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.分析：第=1\*GB3①、=2\*GB3②問(wèn)的兩個(gè)新函數(shù)整理后都不再含分式，所以其定義域會(huì)誤認(rèn)為分別是實(shí)數(shù)集和非負(fù)實(shí)數(shù)集，其實(shí)不然。這里需要注意，雖然在組合成新函數(shù)時(shí)，原函數(shù)的分母被抵消或約掉，但是仍然要保證每個(gè)原函數(shù)都有意義，故在求新函數(shù)的定義域時(shí)，必須先分別求出每個(gè)函數(shù)的定義域，再做交集。而第=3\*GB3③問(wèn)中的新函數(shù)在前面所述的根底上還要再注意一點(diǎn)，分母不能為0，所以還要要求不為0。解：由，定義域是；定義域是；定義域是.所以=1\*GB3①的定義域是=；=2\*GB3②的定義域是=；=3\*GB3③,，的定義域是,的定義域是,令，得，令的定義域是.4.2值域〔1〕函數(shù)的值域，求的值域；該類問(wèn)題一般采用換元法：即在中令=，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為函數(shù)的定義域，求值域的問(wèn)題，此時(shí)是一個(gè)具體的函數(shù)，其值域可利用不等式，單調(diào)性，求導(dǎo)等方法進(jìn)行求解。例4.假設(shè)函數(shù)的值域是，那么函數(shù)的值域是〔〕B、C、D、解：由于函數(shù)與函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，從而值域相同，所以的值域也是.令，那么，根據(jù)雙勾函數(shù)的圖像知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.；.因此，選B.〔2〕函數(shù)的值域，求的值域；與〔1〕類似，該類解法依然采用換元法：令=，那么題目轉(zhuǎn)化為的范圍，求的取值范圍，而的表達(dá)式，故只需解不等式即可。例5.假設(shè)函數(shù)的值域是，那么函數(shù)的值域是。解：令，由條件，，解該不等式得：，即〔3〕函數(shù)滿足的某些關(guān)系式或條件，求的值域；在處理該類問(wèn)題時(shí)，往往采用賦值法：即對(duì)某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值，尋找規(guī)律。這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。例6.設(shè)函數(shù)定義于實(shí)數(shù)集上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總成立，且存在，使得，求函數(shù)的值域。解：由題意，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有.令，有，或1.但假設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有==0.這與條件“存在，使得”矛盾..再令，有=.但假設(shè)存在某一實(shí)數(shù)使得=0，那么有，這與矛盾，故.的值域是.4.3函數(shù)值〔1〕函數(shù)滿足的某些關(guān)系式或條件，根據(jù)條件可以求得的周期，求函數(shù)在某一特定點(diǎn)的函數(shù)值。該類問(wèn)題通常利用函數(shù)周期性：根據(jù)條件求該函數(shù)的周期，利用周期及另外一點(diǎn)處的函數(shù)值可快速求值。例7.〔2009山東理〕定義在R上的函數(shù)滿足，那么=.分析：該題在時(shí)，的值均可求，觀其在時(shí)滿足的表達(dá)式可知周期是可求的。因而求出時(shí)的周期，將轉(zhuǎn)化為求的值，其中即可。解：時(shí)，，由前面所述一般結(jié)論中第=3\*romaniii個(gè)知，是以6為周期的周期函數(shù)。.例8.是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且.假設(shè)，求，的值。分析：題中在處的函數(shù)值，那么可由條件求函數(shù)的周期，進(jìn)而求值。解：，那么由前面所述一般結(jié)論中第=2\*romanii個(gè)知，是以8為周期的周期函數(shù)。==〔2〕函數(shù)滿足的某些關(guān)系式或條件，根據(jù)條件求不出的周期，求函數(shù)在某一特定點(diǎn)的函數(shù)值。該類問(wèn)題一般采用賦值法：通過(guò)觀察與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，尋找規(guī)律解題。賦值法是解此類問(wèn)題的常用技巧。例9.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，同時(shí)滿足以下條件：①；②，求，的值。分析：該求值問(wèn)題僅僅根據(jù)表達(dá)式無(wú)法求出的周期，故只能考慮進(jìn)行恰當(dāng)賦值。觀察的函數(shù)值，將其與待求的函數(shù)值產(chǎn)生聯(lián)系，注意到6與2,3的關(guān)系以及9與3的關(guān)系，便可迅速得到答案。解：由，對(duì)任意正實(shí)數(shù)都成立又，令，那么有，從而=，再令，那么有，從而=.例10.設(shè)是上的不減函數(shù)〔即對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，都有〕，且滿足：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.求的值.解：由，條件=1\*GB3①，=2\*GB3②，=3\*GB3③對(duì)任意都成立。故在=3\*GB3③中，令，有，從而.在=2\*GB3②中，令，有=.在=3\*GB3③中，令，有.又因?yàn)槭巧系牟粶p函數(shù)，所以在區(qū)間上，=.接下來(lái)反復(fù)利用=2\*GB3②和=3\*GB3③，可以得到由于，所以，所以=.4.4解析式〔1〕表達(dá)式，求的解析式。該類問(wèn)題通?？刹捎脙煞N方法：一是換元法。即令，從中將用表示出來(lái)，帶入中，可得到的表達(dá)式，也就是的解析式；二是配湊法。將配湊成以表示的代數(shù)式，從而進(jìn)行整體代換，即可求出的解析式。例11.,求.解:令,那么，，故.例12.，求。解:,令，那么，，.〔2〕的某些性質(zhì)或滿足某些條件，求的解析式。該類問(wèn)題通常有三種解決方法：一是待定系數(shù)法。在能夠確定函數(shù)類型的情況下，設(shè)出函數(shù)的解析式，根據(jù)條件列方程，求出各個(gè)參量；二是函數(shù)性質(zhì)法。主要是由函數(shù)奇偶性特點(diǎn)，求分段函數(shù)的解析式；三是賦值法。給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出的表達(dá)式。例13.是定義在上的奇函數(shù)，且在上是的一次函數(shù)，在上是的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，求函數(shù)的解析式。分析：由奇函數(shù)的性質(zhì)，要求是定義在上的奇函數(shù)，只需求得在上的解析式。根據(jù)題意，再把分成和兩個(gè)區(qū)間，而這兩個(gè)區(qū)間上的函數(shù)類型是的，故可利用待定系數(shù)法分別求出的解析式。解：由于在上是二次函數(shù)，且是它的最大值，故可設(shè)，，由，解得.，.而當(dāng)時(shí)，是一次函數(shù)，又是奇函數(shù)，故可設(shè)，，從上可知，解得.，.由于，所以當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.綜上可知，的解析式為例14.設(shè)的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集，且滿足條件,及,求的解析式。解：由于對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，故取,那么有，，，，.以上各式相加，有，從而，4.5單調(diào)性，周期性，奇偶性〔1〕判斷函數(shù)的單調(diào)性，周期性，奇偶性。該類問(wèn)題通常是判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性，周期性，奇偶性，采用方法一般是定義法：由定義出發(fā)，根據(jù)條件給出的結(jié)論適當(dāng)賦值或者進(jìn)行變換得出想要的結(jié)論。例15.函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不包括數(shù)0，對(duì)定義域中的任意數(shù)，在定義域中存在，使，，且滿足以下三個(gè)條件：=1\*GB3①是定義域中的數(shù)，或，那么；=2\*GB3②〔是一個(gè)正的常數(shù)〕；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，.證明：=1\*GB3①是奇函數(shù)；=2\*GB3②是周期函數(shù)，并求出它的一個(gè)周期；=3\*GB3③在內(nèi)為減函數(shù).分析：證明奇函數(shù)，由定義，只需證對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)，都滿足即可。該題中要緊扣條件=1\*GB3①給出的表達(dá)式，利用該表達(dá)式將和分別表示出來(lái)，進(jìn)而得出結(jié)論；證明周期函數(shù)，由定義，只需尋找一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有。注意到該題的條件=2\*GB3②中是一個(gè)正的常數(shù)，所以周期定與數(shù)有聯(lián)系，可以計(jì)算，等，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到周期；證明單調(diào)性，由定義，假設(shè)定義域內(nèi)的任意兩數(shù)，，需證明〔單調(diào)遞增〕或〔單調(diào)遞減〕。該題中要緊扣條件=3\*GB3③，結(jié)合條件=1\*GB3①，將置于區(qū)間內(nèi)，從而利用條件=3\*GB3③來(lái)判斷的符號(hào)，進(jìn)而得出結(jié)論。證明：=1\*GB3①是奇函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)，由題意，都存在定義域中的，使，且，根據(jù)條件=1\*GB3①，有，所以是奇函數(shù).=2\*GB3②是周期函數(shù)由，是函數(shù)定義域中的數(shù)，且，那么.設(shè)是定義域中任意一個(gè)數(shù)且，那么由條件=1\*GB3①，有，那么，故所以是周期函數(shù)，它的一個(gè)周期是.=3\*GB3③在內(nèi)為減函數(shù)根據(jù)題意可先證明在內(nèi)為減函數(shù)，然后再證明在內(nèi)為減函數(shù).設(shè)定義域內(nèi)任意兩數(shù)，那么，由條件=1\*GB3①，有，由于，所以，由條件=3\*GB3③，有，，，從而.故在內(nèi)為減函數(shù).下證在內(nèi)也是減函數(shù).設(shè)定義域內(nèi)任意兩數(shù)，那么，由上可知，由第=2\*GB3②問(wèn)知，，所以.故，所以.所以在內(nèi)也是減函數(shù).綜上可知，在內(nèi)為減函數(shù).〔2〕函數(shù)存在性問(wèn)題。該類問(wèn)題一般是求是否存在滿足某些條件的函數(shù)，采取方法函數(shù)方程法：即假設(shè)存在滿足條件的函數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求解函數(shù)。例16.證明：任何定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)都可以表示為是一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和.分析：如題所述，可將函數(shù)表示成兩個(gè)函數(shù)與之和，那么滿足奇函數(shù)的性質(zhì)，滿足偶函數(shù)的性質(zhì)，這樣即可建立，，分別與，之間的關(guān)系，兩個(gè)方程即可解出與.解：設(shè)函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù).那么就有，所以，=1\*GB3①，=2\*GB3②解這個(gè)方程組即得：；.例17.設(shè)函數(shù)對(duì)所有實(shí)數(shù)都滿