2023屆全國甲卷+全國乙卷高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)13 極坐標與參數(shù)方程解答題30題含答案

2023屆全國甲卷+全國乙卷高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提分復(fù)習(xí)資料專題13極坐標與參

數(shù)方程解答題30題

1.（河南省洛陽市第八高級中學(xué)2023屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試理科數(shù)學(xué)試題）在直角坐標系Xoy中，

x=-l+?∣3t

直線/的參數(shù)方程為-α為參數(shù)）.以坐標原點為極點，》軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C

j=√rJr

的極坐標方程為戶=,一”.

1+2sιn?

（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線/的普通方程；

（2）設(shè)/與C相交于A,B兩點，點P是C上任意一點，求AP4B面積最大時點P的坐標.

2.（河南省聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三核心模擬卷（上）文科數(shù)學(xué)（三））在平面直角坐標系XQy中，直線/

X=T,

的參數(shù)方程為α為參數(shù)），以原點O為極點，R軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極

y=?∣r5-2t

坐標方程為夕2cos2。+3=0.

（1）求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）已知點P（θ4）,直線/與曲線C相交于點"，N,求向+血的值.

3.（陜西省寶雞教育聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（五）文科數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標

系尤。），中，直線/的參數(shù)方程為一Cα為參數(shù)），以坐標原點為極點，χ軸正半軸為極軸建立極坐標系，

[y=2t

曲線C的極坐標方程為"（l+sin2θ）=2.

（1）求直線/的一般式方程和曲線C的標準方程；

⑵若直線/與曲線C交于A,B兩點，點P（LO）,求IF?∣P8∣的值.

4.（河南省汝州市2022屆高三5月模擬考試理科數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系XQy中，曲線Cl的參數(shù)方

X=—4產(chǎn)

程為"C為參數(shù)），以坐標原點O為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程

y=4t

為夕=2COS6.

（1）求曲線Cl與C2的直角坐標方程;

（2）已知直線/的極坐標方程為。=α[peR,O<α<]J,直線/與曲線C∣,G分別交于M,N（均異于點。）

兩點,若黑H，求

5.（四川省成都市溫江區(qū)2022屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（文）試題）在平面直角坐標系XQy中，已知直線/

的參數(shù)方程為1.C為參數(shù)，α為常數(shù)且α≠g）,在以原點。為極點，X軸的非負半軸為極軸

的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為：∕√-2PSino-4=0.

（1）求直線/的直角坐標方程和曲線C的普通方程；

（2）點P（U）,直線/與曲線C交于AB兩點，若倒=2|叫求直線/的斜率.

6.（江西省部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期一輪復(fù)習(xí)驗收考試（2月聯(lián)考）數(shù)學(xué)（文）試題）在平面直角坐標

系Xoy中，曲線C的參數(shù)方程是（f為參數(shù)），以坐標原點O為極點，X軸的非負軸為極軸建立

極坐標系，直線，的極坐標方程為PCOSe-20sinO=l.

（1）求曲線C的普通方程及直線/的直角坐標方程；

（2）若把直線/向上平移a（α>0）個單位長度后與曲線C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.

7.（廣西玉林、貴港、賀州市2023屆高三聯(lián)合調(diào)研考試（一模）數(shù)學(xué)（文）試題）在平面直角坐標系Xoy

（X=—1+f

中，直線/的參數(shù)方程為C為參數(shù)），以坐標原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，

[y=1l+f

曲線C的極坐標方程為0=J~os2θ+2-

（1）求曲線C的直角坐標方程；

（2）若直線/與曲線C交于A,B兩點，求∣AB∣.

8.（河南省部分重點中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期2月開學(xué)聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知曲線G的參數(shù)方程

fx=2cos/L

為C..α為參數(shù)），以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸，曲線G的極坐標方程為0cosθ=-√L

[y=2+2smf

（1）求曲線G的極坐標方程；

（2）求曲線G與曲線G的交點的極坐標.

9.（河南省部分名校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測理科數(shù)學(xué)試題）在直角坐標系XOy中,

X=cι-?—/,

2

直線/的參數(shù)方程為Q為參數(shù)，4eR）.以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標

y=2a+旦r

V2

系，曲線C的極坐標方程為0=2COSe.

（1）寫出直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）若曲線C上有且只有一個點到直線/的距離為√J-1,求實數(shù)”的值.

10.（江西省南昌市2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）在平面直角坐標系X。），中，直線/的參

X=2+r,X=4+2COS0

數(shù)方程為為參數(shù)曲線C的參數(shù)方程為）二3+2Sine（°為參數(shù)），以坐標原點為極點，

X軸非負半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求C的極坐標方程；

（2）設(shè)點M（2,l）,直線/與曲線C相交于點AB,求IMAl?∣Λffi∣的值.

11.（甘肅省蘭州市第五十七中學(xué)2022-2023學(xué)年第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文科）試題）在直角坐標系xθy

1

X=m+——

中，曲線C的參數(shù)方程為:（加為參數(shù)）.以坐標原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標

y=tn-----

m

系，直線/的極坐標方程為"。Sine-0cos9-b=O.

（1）求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標方程；

（2）已知點P（0,l）,直線/與曲線C交于A,8兩點，求向+屏［的值.

12.（2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（五）理科數(shù)學(xué)試題（全國卷））在直角坐標系Xoy中，曲

線C的參數(shù)方程為「一丁C為參數(shù)），以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，己知直線

J=〃

/的極坐標方程為夕CoS（9-5）一向=0.

（1）曲線C與坐標軸交于A,B兩點,求直線48的極坐標方程；

（2）若/與曲線C有公共點，求,〃的取值范圍.

13.（河南省駐馬店市環(huán)際大聯(lián)考“逐夢計劃”2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期考試數(shù)學(xué)（文科）試題）在直角坐

1

x=t+-

標系xθy中，曲線C的參數(shù)方程為?C為參數(shù)），以坐標原點極點，以X軸正半軸為極軸建立極坐

y=t——

標系，直線/的極坐標方程為與SinO-PeoS。-有=0.

（1）求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標方程:

11

（2）若直線與曲線C交于4,8兩點，點P的坐標為（0,1）,求?PA?+iPB?的值.

14.（陜西省西安工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第六次適應(yīng)性考試理科數(shù)學(xué)試題）在直角坐

X—2cos0?

標系xθy中，曲線Cl的參數(shù)方程為CC（。為參數(shù)），以坐標原點。為極點，X軸的正半軸為極

y=2+2Sm夕

軸建立極坐標系.

（1）點戶為Cl上任意一點，若。P的中點Q的軌跡為曲線C?,求G的極坐標方程;

⑵若點”，N分別是曲線G和G上的點，且。WLON,求IoMFMoN『的值.

15.（陜西省咸陽市2023屆高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題）在直角坐標系KQy中，直線/的參數(shù)方程為

1√2

LG為參數(shù)），以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方

y=2+g

2

程為夕=4Sin6.

⑴寫出曲線C的直角坐標方程;

（2）設(shè)直線，與曲線C交于AB兩點,若P（l,2）,求+∣P8∣的值.

16.（山西省呂梁市2022屆高三三模理科數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系Xoy中，曲線Cl的參數(shù)方程為

［IX）二-32C+OS36Z?/為參數(shù)）?以坐標原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程

^θ=φ[p≡R).

（1）求G的極坐標方程；

⑵設(shè)G與Cz交于ΛΛN兩點，若QM+∣ON∣=4√Σ,求G的直角坐標方程.

17.（山西省晉中市2022屆高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)（文）試題）在平面直角坐標系X。），中，直線/的參

X=-2+fcos0,r、

數(shù)方程為（，為參數(shù)，SeO,萬），以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸，建立極坐標

y=-√r3+fsιn°

系，圓C的極坐標方程為夕=4COS（e+g）.

（1）求圓C的直角坐標方程；

⑵設(shè)網(wǎng)-2,-⑹，若直線/與圓C相交于A,B兩點，求慳的最大值.

18.（江西省贛州市2023屆高三下學(xué)期階段性考試數(shù)學(xué)（理）試題）在平面直角坐標系Xoy中，曲線C的

IX=2+3cosa

參數(shù)方程為一。.'（α為參數(shù)），以坐標原點0為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直

[y=3sιnα

線/的極坐標方程是2pcos6-psin8-l=0.

（1）求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標方程；

（2）若直線/與曲線C交于A,B兩點，點P（0,T）,求向+向的值.

19.（全國名校大聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三第六次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）在直角坐標系XQy中，曲線C的參數(shù)

X=2cos2r,

方程為｛rα為參數(shù)），以。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為

y=√3sιn∕

Sin（O++/n=0.

（1）求/的直角坐標方程；

（2）若/與C有公共點，求機的取值范圍.

20.（甘肅省張掖市某重點校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（理）試題）在直角坐標系Xay中，

,X=?∣3+t

直線/的參數(shù)方程為Lα為參數(shù)），以坐標原點。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，

y=-2+√3r

曲線C的極坐標方程為0sin?。=4cos。.

（1）求直線/的普通方程與曲線C的直角坐標方程；

（2）己知點P的直角坐標為（2,0）,過點P作直線/的垂線交曲線C于。、E兩點（。在X軸上方），求

1I

兩-網(wǎng)的值?

21.（新疆烏魯木齊地區(qū)2023屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)（理）試題）在平面直角坐標系X。），中，已知直

fx=l+cos0

線/：χ+y=l與曲線C.a（。為參數(shù)）.以坐標原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標

[y=sιn”

系.

（1）求直線/和曲線C的極坐標方程;

（2）在極坐標系中，已知射線，”:e=0S>0）與直線/和曲線C的公共點分別為A,B,當

3∣=2∣O4∣時,求ɑ的值.

22.（新疆部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期2月大聯(lián)考（全國乙卷）數(shù)學(xué)（理）試題）在直角坐標系XOy中，

曲線C的參數(shù)方程為-G為參數(shù)），以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線/

=2sιnf

的極坐標方程為0pcos（g-（）+%=O.

（1）寫出直線/的直角坐標方程；

⑵設(shè)曲線C與X軸的交點為A,8（點A在點B的左側(cè)），若直線/上存在點M,滿足IA例=在|幽，求實

數(shù)，〃的取值范圍.

23.（江西省重點中學(xué)協(xié)作體2023屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）在平面直角坐標系中，已知

222

曲線G：χ+y=r（θ<r<D,c2：]+丁=1，尸，Q分別為曲線G和曲線上的動點，且IPQl的

最小值為1-也，以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系.

2

（1）求"和C?的極坐標方程；

（2）若射線/與c∣,G在第一象限分別交于A,B兩點,且∣A8∣=q,求/的極坐標方程.

24.（江西省景德鎮(zhèn)市2023屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（文）試題）在平面直角坐標系中，曲線C∣:

fx=cosa-IV=3x

（。為參數(shù)）經(jīng)過伸縮變換，C得到曲線。2,在以坐標原點為極點，X軸的正半軸為極軸的

[γ=sina

極坐標系中，直線/的極坐標方程為2。CoSe+"osin。=6曲.

（1）求曲線G的普通方程;

（2）設(shè)點尸是曲線G上的動點，求點P到直線/距離d的最小值.

25.（2022屆四川省綿陽市高三第三次診斷性測試數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在極坐標系中，曲線C/是以

C1（4,0）為圓心的半圓，曲線C2是以為圓心的圓，曲線C/、C2都過極點。

（1）分別寫出半圓C/,C2的極坐標方程;

（2）直線/：，=q（夕eR）與曲線C/,C2分別交于M、N兩點（異于極點O）,P為C2上的動點，求△PMN

面積的最大值.

26.（河南省新鄉(xiāng)市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)（理）試題）在直角坐標系XQy中，直線/的

X——2H—t

2尤=3CoSOC

參數(shù)方程為，α為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為ISsina為參數(shù)）,以坐標原點為

y=烏r

2

極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線C的極坐標方程;

（2）已知點尸的極坐標為（2㈤，/與曲線C交于AB兩點，求（阿+曬[）2.

27.（貴州省興義市頂效開發(fā)區(qū)頂興學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題）在直角坐標系XOy

JC=2cosα

中，曲線G的參數(shù)方程為y=2+2sinα”為參數(shù)）,”是G上的動點，點P滿足OP=<OM,點尸的

軌跡為曲線g.以。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

⑴求G和Q的極坐標方程；

（2）直線9=]SeR）與G的異于極點的交點為A,與G的異于極點的交點為8,求∣A3∣.

28.（四川省綿陽南山中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期九月月考文科數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系XQV中，

fC2√5

直線/的參數(shù)方程為r.G為參數(shù)），以坐標原點O為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐標

√5t

rτr

系，曲線C的極坐標方程是爐=4pcos9+5.

（1）求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程：

,、11

⑵若直線/與曲線C交于AB兩點，點P（-2,0）,求西+畫的值.

29.（貴州省貴陽市2022屆高三適應(yīng)性考試（二）數(shù)學(xué)（文）試題）在平面直角坐標系Xoy中，以。為極

TT

點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線C的極坐標方程為。=2Cos。，0e(θ?).

(1)直接寫出曲線C的直角坐標方程，若以。為參數(shù)，寫出曲線C的參數(shù)方程；

⑵若點M在曲線C上，且點M到點N(3,0)的距離為6,求點M到原點。的距離.

30.(內(nèi)蒙古通遼市2022屆高三4月模擬考試數(shù)學(xué)(理科)試題)在直角坐標系XO)，中，曲線G的參數(shù)方

γ=Λ,t~

程為一，‘α為參數(shù))，以。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為

y=4t

√2psin^+^-l=0,且兩曲線G與C2交于M,N兩點.

⑴求曲線G，G的直角坐標方程；

(2)設(shè)尸(2,T),求歸MHPMI?

專題13極坐標與參數(shù)方程解答題30題

1.(河南省洛陽市第八高級中學(xué)2023屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試理科數(shù)學(xué)試題)在直角坐

x=-ι+R

標系XOy中，直線/的參數(shù)方程為.α為參數(shù)).以坐標原點為極點，X軸正半軸

j=√r3f

,3

為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為P-=IJ.

1+2sιn^6*

(1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線/的普通方程；

(2)設(shè)/與C相交于A,B兩點，點P是C上任意一點，求J%β面積最大時點P的坐標.

【答案】⑴￡+9=1；x-y+?=0.

3

【分析】(1)利用極坐標和直角坐標之間的轉(zhuǎn)化公式可求曲線C的直角坐標方程，消去參數(shù)f

可求直線/的普通方程；

(2)利用點到直線的距離公式和三角函數(shù)的最值討論.

3

【詳解】(1)由p2=IC.，“，得p2+2Q2sin20=3.

1÷2sιn"6∕

將P?=f+V,PSine=y代入上式，得］~+y2=1,

所以曲線C的直角坐標方程為E+V=l.

3

x=-l+y/it

由Lα為參數(shù))，消去參數(shù)，得直線/的普通方程為χ-y+ι=o.

y=K

γ—JaPQC/y

(2)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為N(?為參數(shù))，

y=sina

點P的坐標為(J5cosα,sinα),

2sinβ+1

則點P到直線/的距離,∣√3cosα-sinα+l∣(^-).

質(zhì)=-^耳

又直線/與C相交于A,8兩點，IABl為定值，

所以當ɑ=-?時，點尸到直線/的距離最大，為隨，此時的面積最大，

62

所以當.PAB面積最大時點P的坐標為

2.（河南省聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三核心模擬卷（上）文科數(shù)學(xué)（三））在平面直角坐標

X=T,

系Xoy中，直線/的參數(shù)方程為α為參數(shù)），以原點。為極點，X軸的正半軸

y=r?j5-2t

為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為√cos20+3=0.

（1）求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）已知點r（θ,j?,直線/與曲線C相交于點M,N,求向+血的值.

【答案】（1）2%-y+√5=0,χJ∕+3=0;（2）2.

【分析】（1）利用加減消元法、二倍角的余弦公式，結(jié)合極坐標與直角坐標互化公式進行

求解即可；

（2）把直線/的普通方程化成標準參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義進行求解即可.

x=-t,

【詳解】解：（1）由《”.2J為參數(shù))所以y=正+2x.

則直線的普通方程為：2x-y+番=0；由"cos2e+3=0,

所以夕2(cos2(9-sin2e)+3=0

又PCOs。=x,QCOSe=y,

所以f-y2+3=0,

則曲線C的直角坐標方程為：x2-y2+3=0.

_√5

（2）由（1）可知：直線/的參數(shù)方程標準形式為Lα為參數(shù))，

y=正+^t

5

將該方程代入曲線C的直角坐標方程化簡可得：3r+20/+10=0.

Δ=202-4×3X10=280>0.

設(shè)點M,N所對應(yīng)的參數(shù)分別為4，L，

所以j+弓=-^,，也=可，則4<0，芍<0，

所以-L_+?+'=-P+]=-三=2

所以畫IPNl聞團LJ品'

3.（陜西省寶雞教育聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（五）文科數(shù)學(xué)試題）

fx=Z+l

在平面直角坐標系XoV中，直線/的參數(shù)方程為CC為參數(shù)），以坐標原點為極點,

l>=2r

X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為夕2（l+siι√0）=2.

（1）求直線/的一般式方程和曲線C的標準方程;

（2）若直線，與曲線C交于A,8兩點，點P（1,O）,求IPAHPBI的值.

【答案】⑴2-。，f÷r=h

嗚

【分析】（1）對于直線/消去參數(shù)f即可求得一般方程，對于曲線C,運用.A，

P2=χ2+y2,即可求得標準方程；

（2）由于點P在直線/上，直線/的參數(shù)方程，橢圓C聯(lián)立方程，運用韋達定理即可求解.

【詳解】ɑ）直線/的參數(shù)方程為「=；%為參數(shù)）,消去r,化為一般式方程為2x-y-2=0,

[y=2f

曲線C的極坐標方程為加（l+sin*）=2,

?

p1+P2sin2=2X2÷y2+y2=2,化為標準方程為=1；

X=-t,+l2

fx=r÷l5代入工+

（2）設(shè)直線/的參數(shù)方程為C（/為參數(shù)），即r/=1,

Iy=2，2√5,2-

9”2.5

得｝+不1=°—鼠

則1叫IPBI==問卷

4.（河南省汝州市2022屆高三5月模擬考試理科數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系XO），中，

曲線G的參數(shù)方程為卜G為參數(shù)），以坐標原點。為極點，X軸正半軸為極軸建立

y=4t

極坐標系，曲線C2的極坐標方程為P=2cosO.

⑴求曲線Cl與C2的直角坐標方程；

（2）已知直線/的極坐標方程為。=α（peR,0<α<5],直線/與曲線C∣,C?分別交于M,N

（均異于點。）兩點，若瑞=4,求α.

22

【答案】（1）曲線G的直角坐標方程為/=-4x,曲線C2的直角坐標方程為x+y-2x=0,

π

⑵a/

【分析】（I）G的參數(shù)方程消參可求出G的直角坐標方程；G的極坐標方程同乘。，把

22

X=PCOSe,P=X+V代入C?的極坐標方程可求出C2的直角坐標方程.

（2）設(shè)M、N兩點的極坐標分別為（q,α）、（用。），用極徑的幾何意義表示出耨=4,

即月=42，解方程即可求出

【詳解】（1）解：G的參數(shù)方程為卜（/為參數(shù)），把V=16/代入X=Tr中可得，

y=4t

y2=-4χ,所以曲線G的直角坐標方程為V=-4x,

C2的極坐標方程為夕=2cose,即"=20cosO,所以曲線C2的直角坐標方程為

X2+y2-2x=0,

綜上所述：曲線G的直角坐標方程為丁=-4x,曲線C2的直角坐標方程為f+y2-2x=0,

（2）由（1）知，C］的極坐標方程為psiYe=-4cos。,

設(shè)ΛΛN兩點的極坐標分別為（8,a）、（p2,?）,

則PlSiT√a=-4cosa,p1=2cosa,由題意知0<a<5可得SinCR0,

?OM?

因為bW='所以?|=4々，

所以一:~1=4×2cosa,故Sin-a=—,所以Sina=或Sina=（舍）

sin-。222

所以a=：.

4

5.（四川省成都市溫江區(qū)2022屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（文）試題）在平面直角坐標系Xoy

fx=l+rcosaπ

中，已知直線/的參數(shù)方程為1.a為參數(shù)，a為常數(shù)且awg）,在以原點。為

極點，X軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為：。2_2PSine-4=0.

（1）求直線/的直角坐標方程和曲線C的普通方程；

⑵點P（I/），直線/與曲線C交于48兩點，若IpH=2|尸用，求直線/的斜率.

【答案】（I））=tana?（xT）+l;x2+y2-2y-4=0

⑵士1

【分析】（1）消參可以把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，根據(jù)極坐標和直角坐標的轉(zhuǎn)化，可將

極坐標方程化成直角坐標方程.（2）根據(jù)直線的標準參數(shù)方程的幾何意義以及韋達定理即可

求解CoSa=±也，進而可求tana.

2

x=l+rcosa

【詳解】（1）

y=l÷rsi∏6Z

=>y=tanσ?(x-l)+l,

p2-2psin<9-4=0^x2+y2-2γ-4=0;

⑵將lfx=l+rfcsoisnα,代,入…??一21=。得,產(chǎn)+如。S…=。，|?…t,+t?=-2cosσ，因為,

點、P在圓內(nèi)，故AB在點P兩側(cè)，由題意知，4=-2%因此3+g=-[,即包上立=一（，

r2tI2他2

故（-2CoSa）2=」,解得COSa=土立，進而&=tanα=±l因此斜率為±1.

-422

6.（江西省部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期一輪復(fù)習(xí)驗收考試（2月聯(lián)考）數(shù)學(xué)（文）試題）

在平面直角坐標系X。），中，曲線C的參數(shù)方程是C為參數(shù)），以坐標原點。為

極點，X軸的非負軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為0cos6-2PSine=1.

（1）求曲線C的普通方程及直線/的直角坐標方程；

（2）若把直線/向上平移”（α>0）個單位長度后與曲線C有公共點，求實數(shù)4的取值范圍.

【答案】（1）曲線C的普通方程為丫=9/+]丫+。；直線/的直角坐標方程為x-2y-l=0.

424

⑵[*）

【分析】（1）曲線C的參數(shù)方程消參可得普通方程，直線/運用極坐標和直角坐標轉(zhuǎn)換公

式即可化為直角坐標方程；

（2）求出平移后的直線方程，與曲線方程聯(lián)立方程組，由方程組有解，求實數(shù)α的取值范

圍.

r-I-1

【詳解】（1）由x=2f—1得f=m，

所以y=產(chǎn)+l=（Ξil]+I=!/+，》+?,

所以曲線C的普通方程為y=Jf+:x+=?

424

由夕COSe=X,QSin〃=y得直線/的直角坐標方程為x-2y-l=0.

（2）把直線/向上平移“a>0）個單位長度后所得直線的方程為x-2（y-a）-l=0,即

X—2y+2a—1=0,

115

y=—χ2H—X+-

由：424,消去y得χ2=4α-7,

x-2y+2a-[=O

方程組有解，所以α≥<,即實數(shù)”的取值范圍是?^+∞]-

7.（廣西玉林、貴港、賀州市2023屆高三聯(lián)合調(diào)研考試（一模）數(shù)學(xué)（文）試題）在平面

直角坐標系Xoy中，直線/的參數(shù)方程為,=J+fC為參數(shù)），以坐標原點為極點，X軸

的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為夕=J―-—.

VCOS2，+2

（1）求曲線C的直角坐標方程；

（2）若直線/與曲線C交于A,B兩點,求∣AB∣.

【答案】（1）^+^=1

26

⑵#

（X=QCOSe

【分析】（I）對曲線C的極坐標方程變形后，利用".C求出答案；

[y=psιn6,

[M

X=+——t

2

（2）將直線的參數(shù)方程化為r,聯(lián)立橢圓方程后，利用，的幾何意義求弦長.

y=l+2

【詳解】⑴P=舄^變形為P266

COS2。+22COS2^-1+2'

即"=6,

因為，.八，故2尸+廠+丁=6,

y=PSIn夕

A?2V?

即土+乙=1；

26

0

fx=-l+z,x≈-l+1Tz

（2）1變形為｛/，

Iy=I+f,√2

V=1H------1

I2

Y2y2L

與三+2_=1聯(lián)立得：『一"τ=0,

26

?fcz1+r2=^,?=-l,

2

故IABI=，-Z21=??（z,+Z2）-4rlZ2=√2+4=?/e.

8.（河南省部分重點中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期2月開學(xué)聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知曲

fx=2COSf

線G的參數(shù)方程為Cc.α為參數(shù)），以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸，曲

[y=2+2Smf

線C2的極坐標方程為PCoSe=-B

（I）求曲線G的極坐標方程；

⑵求曲線Cl與曲線C?的交點的極坐標.

【答案】（I）0=4sin6;

C5π

【分析】（1）將G的參數(shù)方程化成普通方程，再化成極坐標方程即可；

（2）將C?的極坐標方程化成普通方程，解出兩曲線的直角坐標交點，再化成極坐標即可.

IX=2cost

【詳解】（1）解：一。α為參數(shù)）化為普通方程為d+（y—2）2=4,

整理得G：χ2+r-4y=o,

?x=pcosθ,、

把《?A代入f+y2-4y=0,

[y=psιnθ

可得夕=4Sine,

即G的極坐標方程為P=4sinθ.

（2）解：曲線g的直角坐標方程為X=-√L

當交點坐標為（-6,1）時，化為極坐標為J,；

則G與C2的交點的極坐標為（2石,I）和（2,黑）.

9.（河南省部分名校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測理科數(shù)學(xué)試題）在直角

1

1=。+萬/，

坐標系Xoy中，直線/的參數(shù)方程為也（，為參數(shù)，α∈R）.以坐標原點為極點，

X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為P=2cose.

(1)寫出直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)若曲線C上有且只有一個點到直線/的距離為√J-1,求實數(shù)〃的值.

[答案]⑴y=瓜+卜-⑹"，(l)2+y2=]

(2)-6√3-9^2√3+3.

【分析】(1)對于直線/的參數(shù)方程，利用加減消元法可消掉參數(shù)f,得到普通方程；對于

曲線C的極坐標方程，兩邊乘以夕即可求得其直角坐標方程.

(2)求出圓心到直線的距離dJ?-6"M,然后利用圓的特征可得dτ=G-i,即

2

可求出答案

I

x=a+-t

2

【詳解】(1)由，α為參數(shù),Q∈R)消去力，得y=6(x-。)+2。,

y=2α+g

2

所以直線/的普通方程為V=瓜+(2-孫.

由夕=2COS6,得p2=2pcos9.

2222

將X=PCoSe,y=psin6代入，^x+y=2xfBP(x-l)+y=1,

所以曲線C的直角坐標方程為(x-l)2÷/=1.

(2)由(1)知曲線C是圓，其圓心為點(L0),半徑為1,

所以圓心C到直線/的距離為a=回”24=回島+24,

√3÷12

所以j=叵丑也_

2

則∣2"-島+叫=2技

所以2α-A=-36或2α-√Jα=√J,解得α=-6√J-9或α=2√J+3.

故實數(shù)a的值為-66-9或2√J+3.

10.(江西省南昌市2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題)在平面直角坐標系Xoy中，

x=2+t,[^x=4+2cos6

直線/的參數(shù)方程為-α為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為，c.0(。為參

y=l+√l3∕[y=3+2smθ

數(shù))，以坐標原點為極點，X軸非負半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求C的極坐標方程；

(2)設(shè)點M(2,l),直線/與曲線C相交于點48,求∣M4∣?∣MB∣的值.

【答案】（1）∕72-8pcos61-6psin6>+21=0;（2）4.

【分析】（1）直接利用參數(shù)方程直角坐標方程和極坐標方程之間的轉(zhuǎn)換求出結(jié)果.

（2）利用直線的參數(shù)方程的轉(zhuǎn)換，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】（1）由參數(shù)方程二;：，得普通方程（x-4f+（y-3）2=4,

所以極坐標方程P2-8PCOSO-6psin0+21=0.

x=2+t,,,

（2）設(shè)點A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為L，G，將JyT+后代入得（χ-4p+（y-3）2=4

得t2-（6+l）t+l=0所以t&=l,

X=2+'χ2f,

X=2+Z,2

直線上（t為參數(shù)）可化為

y=1+?j3t6C

y=1+—×2r

2

所以IMAHMBI=∣2t?。ゲ?卜山|=4.

【點睛】本題考查的知識要點：參數(shù)方程直角坐標方程和極坐標方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次

方程根和系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.

11.（甘肅省蘭州市第五十七中學(xué)2022-2023學(xué)年第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文科）試題）在直

1

X=/77+—

角坐標系Xoy中,曲線C的參數(shù)方程為：（m為參數(shù)）以坐標原點。為極點，X

y=m---

m

軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為?∣3psinθ-pcosθ-y∕3=0.

（1）求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標方程；

（2）已知點P（（U）,直線/與曲線C交于A,B兩點，求向+向的值.

【答案】（l）χ2-V=4,XS++=0

⑵且

5

【分析】（1）根據(jù)題意，消參即可得到曲線C的普通方程；分別將夕COSe=X,夕Sine=y代

入直線/的極坐標方程即可求解；

（2）法一：將直線方程與曲線方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，利用兩點間距離公式即可求解；

方法二：將曲線C的普通方程代入直線/的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義解求解.

1Γ=^J

x-m-?——tn+—+τ+2

mm

【詳解】（1）因為；，所以,

?=^Δ--

y=m-----y2m--m+2

mmm

所以χ2-y2=4.故曲線C的普通方程為χ2-y2=4.

因為0cos6=x,0sin6=y,所以=O.

故直線/的直角坐標方程為x-6y+6=0?

x-?∣3y+?∣3=0

（2）法一：由-

X2-y2=4

不妨取A

2

因為點P（O,1）,

所以IpH=√∏-ι,∣P8∣=√Π+1.

所以j?國?=赤I丁布1T_叵

一5

2

法二：因為點P（0,l）在直線/上，所以直線/的參數(shù)方程為,（/為參數(shù)），

V=?+-t

12

√3.

X-——t

2

代入χ2-V=4,得/一2/—10=0,

設(shè)4,8對應(yīng)的參數(shù)分別為4，f2,將，

y=?+-t

2

Δ=(-2)2-4×l×(-10)=44>0,

所以4+，2=2,rl√2=-10<0.

因為陷=I小IPM=同,

所以1111

網(wǎng)+網(wǎng)=KrFr3