安徽省皖中名校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（A卷）含解析

2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)（A卷）

考生注意：

L本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色.墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.

3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)

應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色.墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.

4.本卷命題范圍：人教版必修第二冊(cè)第六章——第八章第4節(jié).

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

L若復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足z?（2-i）=i（i是虛數(shù)單位），則Z=（）

2.等邊ABC的邊長(zhǎng)為1,則AB?BC=（）

3.一貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15，與燈塔S相距4海里，隨后貨輪按北偏西30的

方向，以每小時(shí)20（、后-JW）海里的速度航行30分鐘后到達(dá)N處.又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向，則

a=（）

A.20B.40C.40-20√3D.40+20√3

4.如圖，在正六邊形ABer）EF中，DE+AF—CB-BE=（）

A.0B.ADC.BED.CF

5.已知圓錐的頂點(diǎn)為4,過(guò)母線(xiàn)4&AC的截面面積是2JL若ABKC的夾角是60，且母線(xiàn)AC的長(zhǎng)是

高的2倍，則該圓錐的體積是（）

八.（4萬(wàn)+6,B.2√2Λ-C.4√2^D.12√2Λ-

6.己知向量α是非零向量，〃是單位向量，4,0的夾角為120，且α,（α+b）,則卜―〃|=（）

7.如圖，一條河的南北兩岸平行.游船在靜水中的航行速度匕的大小為Iokm/h,水流的速度2的大小為

4km∕h.設(shè)匕與乙所成的角為6（°<θ<π）,若游船要從A點(diǎn)航行到正北方向上位于北岸的碼頭B點(diǎn)

處，貝IIeoSe=（）

8.設(shè)直三棱柱ABC-AAG的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積是40%的球面上，且

則此直三棱柱的表面積是（）

45=AC=A41,N5AC=120,

A.16+8√3B.8+12QC.8+16&D.J6+12√3

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得O分.

9.設(shè)Z是復(fù)數(shù)，5是其共軌復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）

A.若z=5,則z∈RB.若z+N>O,貝IJlZl>0

C.若z+'eR,則回=1D.若國(guó)=2,則z?5=4

Z

10.在三棱錐A—BCD中，6,后分別是,.8。。加4。的重心.則下列命題中正確的有（）

A.直線(xiàn)BGAE共面B.直線(xiàn)AG,BE相交

C匕-GBC=5VA-OBCD.AB=3GE

IL在uA3C中，角A,8,C的對(duì)邊分別是a,0,c,a=3,b=7,且SinB=也，則COSC的值可以是

2

)

12.如圖，P為ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，角A,B,C的對(duì)邊分別為“,仇c,則總有優(yōu)美等式

Spβc-PA+SPACPB+SPM?PC=O成立?此結(jié)論稱(chēng)為三角形中的奔馳定理?由此判斷以下命題中正確

的有（）

區(qū)

A.若ABC是等邊三角形，P為A6C內(nèi)任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P到三邊8C,C4,AB的距離分別是

h[,h1J%,則有%?Λ4+4.P3+4?PC=0

B.若尸為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA+PB+PC=O,則尸是，ABC的內(nèi)心

12

C.若尸為.ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AP=WAB+—4C,則SPBC:S%c:SPAB=2:1:2

D.若ABC的垂心P在ABC內(nèi)，AD,BE,CF是ABC的三條高，則

PDPEPF

——PA+——PB+——PC=O

ADBECF

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量口=（3,6）1=（-1，6.若α〃/,,則實(shí)數(shù)X的值是.

14.在二AβC中，AB=（COS24,cos66）,AC=（2cos69,2cos21）,則角A的大小是.

,X-T

15.設(shè)點(diǎn)。是eABC外接圓的圓心，AC=I,AO?BC=-2,則出上的值是.

SinB

16.依次連接棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A與GA六個(gè)面的中心，得到的多面體的體積是.

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）

一1

如圖，在-ABC中，AN=]AC,點(diǎn)尸是線(xiàn)段BN上一點(diǎn).

（1）若點(diǎn)P是線(xiàn)段BN的中點(diǎn)，試用AB和AC表示向量AP；

3

（2）若AP=—AB+∕/AC,求實(shí)數(shù)加的值.

11

18.（12分）

已知復(fù)數(shù)z∣=3-∕√+（加-j?i,z?="+sine+（cos6-j?i,其中i是虛數(shù)單位，m,χ∕,6（∈R.

（1）若Zl為純虛數(shù)，求加的值；

（2）若z∣=Z?,求〃的取值范圍.

19.（12分）

如圖，在長(zhǎng)方體ABCo-A4GA中，AGCgA=α,BQc截面ABG=P.

（1）確定點(diǎn)P的位置；

（2）若AB=3,BC=4,CG=6,求線(xiàn)段OP的長(zhǎng).

20.（12分）

在-ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,4c,且向量加=（a-c,?∣）和向量〃=（WJGa）互相垂

直.

（1）求角C的大?。?/p>

（2）若.ABC的周長(zhǎng)是3+JJ,CA?BC=-3,求.ABC外接圓的半徑.

21.（12分）

三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐往往稱(chēng)為直三棱錐，在直三棱錐A-BCD中，A&AC、A。兩兩垂直.

（1）設(shè)直三棱錐A—BCD外接球的半徑為R,證明：R={2BC2+2CD?+2DB?；

4

（2）若直三棱錐A—BCD外接球的表面積為64%，求SABC+SA。。+SADB的最大值.

22.（12分）

15√3

如圖，某學(xué)校有一塊平面四邊形ABeZ）空地，已知A。+CO=8,NAOC=120,且S

ADC4

a+bsinA-sinC

(2)設(shè)...ABC的角A,8,C的對(duì)邊分別是α,b,c,且滿(mǎn)足，現(xiàn)要在.4?C內(nèi)做一個(gè)

cSinA-SinB

最大的圓形花圃，求這個(gè)最大圓形花圃的面積.

高一數(shù)學(xué)(A卷)參考答案

題號(hào)123456789101112

答案CBAABABDABDABDCDACD

i(2+i)2i-l12.

1.【解析】z==-g+gi.故選C.

2-i(2-i)(2+i)5

??1

2.【解析】AB?BC=l×l×cosl20=——.故選B.

2

仰=20(#—0卜0.5=10(#—0).在JVfiVS中，。忘)。=20-故

3.【解析】

sinlO5sin30

選A.

4.【解析】DE+A/一CB-BE=8A+A/一(C3+8E)=B/一CE=O.故選A.

5.【解析】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是/,則;∕2.sin60=2√3,∕=2√2,高是正,圓錐底面半徑是卡.于是該

圓錐的體積是?π?(√6)2?√2=2岳.

6.【解析】因?yàn)棣罦?(α+人),所以d?(α+b)=O,即ɑ?+α?O=OJaI2-■!?∣α∣=0,Ia=，.

v'22

『也.故選A.

于是Ia-b∣2=a1-st-b2-Iah-b2+3β2=-?a-b

412

42?π\(zhòng)2

7.【解析】如圖，Sina=—=一.因此COSe=COS—+a?=-sina一二.故選B.

105\2J

V?

2/77

8.【解析】設(shè)AB=AC=AA=2機(jī).因?yàn)镹BAC=120，所以∕AC5=30.于是:-=2r(「是

sιn30

AABC外接圓的半徑），∕?=2m?又球心到平面ABC的距離等于側(cè)棱長(zhǎng)AA∣的一半，所以球的半徑為

?^(2m)2+m2=小m?所以球的表面積為4兀(小m)*=4()乃，解得m=母.因此

Aβ=AC=A41=20,BC=2指.于是直三棱柱的表面積是

(4√2+2√6)×2√2+2×→2^×2λ^sinl20=16+12后故選D.

9.【解析】對(duì)A,Q+/?i=a—Z?i=Z?=O=>zeR.A正確.對(duì)3,α+?i+α-bi=Q>0=>∣z∣>0A.B正

.,11(Qz?Yn

確.對(duì)C,zH—=Q+/?id-------------=Q—.-÷b—.-I∈H,

ZI√2?2JI∣22

a+biα+ya+b)

On。=?；?+〃=],c不正確.對(duì)°,z-z=a2+b2HzI2=4,。正確.故選ABD.

10.【解析】由于G,E分別是~BCD,.ACO的重心，所以分別延長(zhǎng)BG,AE交CD

于中點(diǎn)F.因此A正確.因?yàn)?6:65=2:1,AE:EF=2:1,

所以BG:GF=AE:EF=2:1,因此GE〃AB.直線(xiàn)AG,3E相交，8正確.

因?yàn)镚是Ba）的重心，所以SGBC=<S"8C?因此匕.GBC=；匕“BC?C不正確?

因?yàn)镚E〃/U?,所以AB:GE=BT7:6/=3:1.因此A3=3GE刀正確.故選ABD.

11.【解析】因?yàn)镾inB=也，所以CoSB=±L于是72=02+32-6CXL或72=c2+32-6cχ

222

724-172-I--S211

解得c=8,或c=5?因此CoSC=土上~或COSC=U^~'=U.故選Cd.

2×7×372×7×314

12.【解析】對(duì)AMABC是等邊三角形，設(shè)其高為/?,則

SPBCe?SABC.SPCA=與?SABC.SPAB=與?SABL代入奔馳定理就得到，

nnn

PΛCB

hy?PA.+It,?PB+hτt?PC=0?A正確.對(duì)B,由與PA+PB+PC=O得，S.PBC=~SPA，P是

121/\2/\

—ABC的重心.8不正確.對(duì)C,AP=-AB+-AC=-(PB-PA)+-(PC-PAj,即

2尸A+P6+2PC=O?與奔馳定理比較就得到，S「sc：SPAC：Sp"c=2：1：2.C正確.對(duì)。，P是

SPBCPDPD

一A6C的垂心，則不"=:有，因此SMC=一SABC?同理可得，

?ABCADAQ

,S4BC?代入得,

Spca=——SΛBCPAB=T^SSpbc?PA+SPAePB+Spab?PC=O,

DLLCr

竺?Λ4+竺?P6+竺PC=O.。正確.故選ACD.

ADBECF

13.【答案】-2【解析】因?yàn)?〃匕，所以3x=-6,x=-2.

14.答案】45【解析】因?yàn)?/p>

IABI=1,∣ACI=2,AB-AC=2cos24cos69+2cos66cos21=2cos45=V∑.

所以四=A3?AC=IABllAqCOSACoSA=亭，A=45"?

15.【答案】√5【解析】設(shè)點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，則

AOBC=(AD+DO)BC=ADBC=^AB+AC)(AC-AB)=^AC2-AB^^

即4-48]=_2,,同=7?.因此任￡=空=6.

2?/I1sinBAC

4

16.【答案】-【解析】依次連接棱長(zhǎng)為2的正方體ABCo-A與GA六個(gè)面的中心，得到的多面體是

正八面體，其體積是2xgx(√iTT)2χl=g.

17.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)P是線(xiàn)段BN的中點(diǎn)，且AN=LAC,

3

所以AP=g(A6+AN)=：(A6+；AC)=gA8+：AC.

3——----1

(2)因?yàn)锳P=二AB+mAC,且AN=—AC,

113

3

所以AP=—A3+3m√W.

11

38

因止匕—F3/7?—l,ιn——.

1133

18.【解析】(1)因?yàn)閆l為純虛數(shù),

3-m2-O

所以V解得m=-y∣3-

m-y∣3≠θ'

3-m2=μ+sinθ

(2)由z∣=Z2,得＜

〃LG=CoSe-

(1y7

因止匕〃=3—COSe2-sine=sin62-sin6+2=∣sin?！?—.

\2)4

17

因?yàn)橐籌WSineW1,所以當(dāng)Sine=I時(shí)，χ√min=-；

-7-

當(dāng)Sine=T時(shí)，"max=4,.故M的取值范圍是-A.

19.【解析】(1)PeDBl,DB∣u平面BBlD∣D,

所以PG平面BBIDlD.又PG平面ABG,

平面BgADc平面Λ,8Cl=BQI,根據(jù)公理2,得PeBQ,

即B,P,O1三點(diǎn)共線(xiàn)，所以P點(diǎn)為線(xiàn)段BlD與BO1的交點(diǎn).

(2)連接5。，再連接8O∣,交。用于點(diǎn)”.由(1)知點(diǎn)、P為BOl與BlD交點(diǎn).

DDi∕/BB∣,DD∣=BB1,.-.四邊形DQBBl為平行四邊形.

.??M是中點(diǎn).又。I是4A的中點(diǎn)，

21

所以點(diǎn)P是ABA用的重心，B?P=mB?M=3B?D.

又因?yàn)锳B=3,BC=4,CC∣=6,所以BID=屈.

故QP=》。=|府.

20.【解析】(1)因?yàn)椤?,”互相垂直，

所以=(α-c>α;C+g?(b-Q4)=0,

即a1-C2=?!^ab-b2,a1+Z?2-C2=6Clb.

由余弦定理得，CoSC=H+"Y=避勁=正.

2ah2ah2

71

因?yàn)镺VCV乃，所以C=一.

6

(2)因?yàn)镃A?3C=-3,

所以-GbCoS—=-3,ab=2>/3.

6

(\2

因止匕/+/一。？=扃匕就是2Rsin—=由ab，

I6√

(a+b)2-2ab-R2=j3ab,

即(3+JJ—K)?-48一R2=6,解得R=I.

故.ABC外接圓的半徑是1.

21.【解析】(1)由AB,AC,A。兩兩互相垂直，將之補(bǔ)成長(zhǎng)方體知，AB2+AC2+AD2=(2R)2.

即8R2=2AB2+2AC2+2AD2=(AB2+AC2)+(AC2+AZ>2)+(AD2+AB2)=βC2+CD2+DB1.

222

i,nyJ2BC+2CD+2DB

∏AA=------------------------------------------------------------

4

(2)由64%=47R2得，火=4.因此482+4。2+4。2=(2/?)2=64.

于是SARr+SArQ+SAQR=—×AB×ACH—×AC×ADH—×AD×AB

ADC.ACZ√ADti222

AB2+AC2AC2+AD2AD2+AB2AB2+AC2+AD2CC

?-------------+--------------+--------------=-----------------------=32.

4442

當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC=AD=還時(shí)取等號(hào)，

3

S