2022-2023學年云南省曲靖市師宗平高學校高一（下）期中數學試卷（含解析）

2022-2023學年云南省曲靖市師宗平高學校高一(下)期中數學

試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合4={x?x≥0},B={xEN?-1<X<2}f則4CB=()

A.{x∣x>—1}B.{x∣0≤X<2}C.{1}D.{0,1}

2.已知向量N=(—3,2),b=(l,x)?若一〃石,則％=()

A.IB.IC.-∣D.-|

3.已知復數Z=子，貝底的虛部為()

5.若要得到函數y=sin(2x-()的圖象，可以把函數y=cos6-2%)的圖象()

A.向左平移9個單位B.向左平移W個單位C.向右平移］個單位D.

?Ozt?

向右平移提個單位

o3

6.設α=0.3°?4,b=O.4?,c=Iog040.3,則α,b,C的大小順序為()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

7.已知函數/(x)的定義域為R,/(-X)+/(x)=0,/(x+l)是偶函數，/(I)=-I,則

/(2023)+/(2026)=()

A.0B.1C.-1D.2

8.師宗文筆塔，位于曲靖市師宗縣城東面文筆山上，為當代重建古塔，風水寶塔.今天我們

所看到的

文筆塔為1997年重建而成，2011年，師宗縣以文筆塔為中心，始建師宗文筆山主題公園，名

為文筆

公園.如圖，為測量文筆塔的高度，我校高一某學生取了從西到東相距74(單位：米)的A,B兩

個

觀測點，在4點測得文筆塔在北偏東60。的點。處（4B,D在同一水平面上），在B點測得文筆塔

在北

偏西30。，塔頂C的仰角為45。，則文筆塔的高度CO（單位：米）為（）

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列命題正確的是（）

A.若α>b,則αc?>bc2B.若a>網，則α?>b2

C.若α>b,則ar3>b3D.若Ial>b,則α2>b2

10.若對任意x∈4,X-EA,則稱4為“影子關系”集合，下列集合為“影子關系”集合的

是（）

A.{-l,l}B.{∣,2}C.{x∣x2>1}D.{x∣x>0}

11.已知函數/（x）=ISinXl+cosx,則下述結論正確是（）

A./（x）是偶函數B./（x）的周期是兀

C.函數f（%）的圖象關于直線X=Tr對稱D.f（x）的值域為［-1,

12.在△4BC中，角4,B,C的對邊分別為α,b,c,有如下命題，其中正確的是（）

A.若sin24=sin2B,則4ABC為等腰三角形

B.若Sina>sinB,則A>B

C.若前?通>0，則△4BC是鈍角三角形

D.若α3+∕73=c3,則為銳角三角形

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知函數外x)=｛款°),則用潮的值為.

14.己知tαnα=3,則頻嚏+崢+兀)=.

2sina

15.已知向量五=(1,2),b=(-2,4)-則向量為在向量方上的投影向量為(用坐標表示

).

16.已知meR,復數(3J∏2—8m—3)+(τ∏2—4m+3)i是純虛數，則Zn=.

四、解答題(本大題共7小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

解關于％的不等式：

(1)—X2+4x-4<0；

(2)二>0.

`7X-S

18.(本小題6.0分)

向量五與方的夾角為120。且I為I=4,忸|=2,求：

①五.石;

②α+b)?0-25?

19.(本小題6.0分)

已知￡=(1,2),b=(1,-1).若。為24+b與的夾角，求。的值.

20.(本小題12.0分)

己知α∈[0,τr],向量沅=(Sina,cosa)和亢=(cosa,cosa).

(I)若布和元共線，求ɑ.

(∏)是否存在α,使得記1(沆+元)？若存在，求出ɑ,若不存在，請說明理由.

21.(本小題12.0分)

在C中，角4,B,C所對的邊分別是α,b,c,已知(a+c)(a-C)=b(b+c).

(I)求角4的大??；

(2)在下列三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答.若b=3,c=4,點

。是BC邊上的一點，且,求線段40的長.

①40是△4Be的中線；

②AD是44BC的角平分線；

③BD=2CD.

A

22.(本小題12.0分)

已知定義在R上的奇函數f(x)=畚4(其中m,n為常數).

2+n

(I)求實數血，九的值；

(2)求不等式/(/(%))+/(；)<0的解集.

23.(本小題12.0分)

夏季來臨，氣溫升高，是學生溺水事故的高發(fā)期.為有效預防學生溺水事件的發(fā)生，增強學生

防溺水的安全防范意識，提高學生的自護自救能力，減少安全事故的發(fā)生，切實保護學生的

生命安全，學校組織各班召開了防溺水安全教育主題班會.某地一河流的岸邊觀測站位于點C

處(離地面高度忽略不計)，觀察到位于點C西南方向且距離為100Crn的點4處有一名釣友，

正目不轉睛地盯著其東偏北15。方向上點B處一個正在岸邊玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水

.已知BC的距離為IOom,假設4B,C三點在同一水平面上.

(1)求此時釣友與小孩之間的距離.

(2)若此時釣友到點C處比到點B處的距離更近，且在孩子落水的瞬間釣友跳進河里開始以

2.8m∕s的速度救援，與此同時孩子在水流的作用下以2m∕s的速度沿北偏東15。方向移動，由

于釣友平時缺乏鍛煉受耐力限制，最多能持續(xù)游600τn,試問釣友這次救援是否有成功的可能？

若有可能，求釣友救援成功的最短時間；若不能，請說明原因.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：???B={x€N∣-1<X<2}={0,l}.所以4nB={x?x≥0}∩[0,l)={0,l]?

故選：D.

由題注意到集合B中元素XeN,即可直接求得.

本題考查集合的交集運算，未注意到集合B中元素X6N是易錯點，屬基礎題.

2.【答案】D

【解析】解:向量3=(-3,2),b=(l,x),a∕∕b>

?—3%—2=0,

解得X=4

故選：D.

利用向量平行的性質直接求解.

本題考查向量平行的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：???z=*=?=。二?"=-i2+i=1+i,

???z=1-i,

則5的虛部為一L

故選：B.

利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由共輸復數的概念求得5,則答案可求.

本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：由/(X)=

則/■(一X)=2空2工=~2X-2~X=-f(x>

可得/(X)是奇函數，排除ZC選項;

24

當X=I時，可得/(I)=匯τ=E>0,圖象在X軸上方，排除。，

L~2

故選:B.

判斷函數的奇偶性，再帶入特殊點即可選出答案.

本題考查了函數圖象的判斷，奇偶性的應用，屬于基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：要得到函數y=sin(2x-》的圖象，

可以把函數y=CoSG-2x)=sin2x的圖象向右平移3個單位即可.

LO

故選：D.

由題意，利用函數丫=4§比(3%+0)的圖象變換規(guī)律，得出結論.

本題主要考查函數y=AsinCωx+@)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎題.

6.【答案】A

【解析】解：???α=O.3o?4<O.3o?3<O.403<O.4o=1,

■■a<b,

C=IOgOm0.3>logo.40.4=1,

??a<b<c.

故選：A.

利用有理指數基與對數的運算性質比較a,b,C與O和1的大小得答案.

本題考查對數值的大小比較，考查有理指數基與對數的運算性質，是基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：由/(x+l)是偶函數，f(l-x)=/(l+x),則/(2-X)=f(x),

又f(τ)+f(x)=0√(x+4)=/[2-(X+4)]=/(-X-2)=-f(x+2)=-/([2-(x+2)])

-/-(-X)=∕(x),

所以f(x)是周期函數，周期為4,

對于/(-%)+/(X)=0,令X=0,得/(O)=0,則/(2)=/(0)=0,

所以f(2023)+/(2026)=/(506×4-1)+/(506×4+2)=/(-1)+/(2)=-/(1)=1.

故選:B.

由函數的奇偶對稱性推得f(x)是周期為4的函數，并求得f(2)=/(O)=0,最后利用周期性求目標

函數值.

本題主要考查函數奇偶性與周期性的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意可得NZMB=30。，?ABD=60o,NCBD=45。，ZjWB=90。，

CD1平面4BD,

可得CO=BD,

在RtZkABD中，AB=2BD=74,所以BC=37,

即CD=37.

故選：C.

由題意可得NDAB,?ABD,?CBD,乙4。B的大小，再由直角三角形中，30。的角所對的角的性質

可得BD的大小，即求出CD的大小.

本題考查三角形中的性質的應用，屬于基礎題.

9.【答案】BC

【解析】解：對于4若c=0,貝IJaC2=兒2,故A錯誤；

對于8,若α＞∣b∣,

則ɑ＞0,

故∣ɑ∣＞網，兩邊平方，可得&2＞爐，故B正確；

對于C,因為y=/在R上單調遞增，

所以若α＞b,則＞廬，故C正確；

對于D,若∣α∣＞匕，不妨設a=0,b=—2,顯然不滿足。2＞。2,故力錯誤.

故選：BC.

舉例說明即可判斷40；

根據不等式的基本性質即可判斷B；

根據幕函數的性質即可判斷C.

本題主要考查命題的真假判斷與應用，屬于基礎題.

10.【答案】ABD

【解析】解：對于集合{1,一1},當X=I時，1=1,當X=-I時，；=一1顯然符合題意；

對于集合J,2},X=2時，-=^,當X=；時，-=2,顯然符合題意；

［x?x>0},任取X>0,貝4>0,顯然符合題意；

{x?x2>1}={x∣x>1或X<—1},

取X=2時，∣?∕1,C不符合題意.

故選：ABD.

由已知定義，結合元素與集合的關系檢驗各選項即可判斷.

本題以新定義為載體，主要考查了元素與集合關系的應用，屬于基礎題.

11.【答案】ACD

【解析】解：函數f(x)=?sinx?+cosX的定義域為R,

而/(—X)=∣sin(-x)∣+cos(-x)=∣sinx∣+cosx=/(x),

則f(x)為偶函數,故A正確；

???r(o)=ι?/(兀)=一1，；,/(%)的周期不是兀，故B錯誤；

Vf(π+x)=∣sin(ττ+x)∣+cos(π+x)=ISinXl-cosx,

f(ττ—x)=∣sin(π—x)∣+cos(ττ—x)=ISinXl-cosx,

滿足f(τr+x)=/(ττ-X)恒成立，

所以函數/(x)的圖象關于直線X=Tr對稱，故C正確；

當0≤X≤兀時，f(x)=sinx+cosx=√^^2sin(x+力，≤x+≤y,-1≤/(χ)≤√-2,

又由C選項知函數/(x)的圖象關于直線X=兀對稱，

故可知函數f(x)在區(qū)間［0,2兀］上的值域為［-1,/2，

V/(x+2τr)=/(x).故函數/'(x)的值域為［-l,√^^∑］,故。正確.

故選：ACD.

人由奇偶性的定義判斷；B項，可代入特殊值判斷；C項，/(π+x)=∕(π-x),可得/"(x)的圖象

關于直線X=兀對稱；。項，分段討論函數的值域.

考查三角函數的圖象與性質，屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：由sin2A=sin2B可得24=2B或24+2B=兀,

所以4=B或A+B=*A錯誤；

若SinA>sin8,則α>b,所以力>B,B正確;

若彳？?方>0，則C為鈍角，4ABC是鈍角三角形，C正確；

。項：a3+b3=c3,則C最大，

ι=φ3+φ3<φ2+?)2-

??.a2+b2>c2,...C為銳角，又知C為最大角，

.,?△ABC為銳角三角形，。正確.

故選：BCD.

由己知結合正弦函數性質，正弦定理，三角形大邊對大角及向量數量積定義分別檢驗各選項即可

判斷.

本題主要考查了正弦定理，放縮法，向量的數量積，屬于中檔題.

13.【答案】?

4

【解析】解：函數f(x)=｛簧*Oj°)，

???∕φ=Iog3^=-2,

/[f?)l=∕(-2)=2-2=∣.

故答案為：?.

推導出f(g)=Zo%2=-2，從而/[/()]=/(-2),由此能求出結果.

本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用.

14.【答案W

【解析】解：因為tαnα=3,

所以cos(α一5)+COS(α+Tr)_sina—cosa_tana-1_1

2sina2sina2tana3

故答案為：?.

先根據誘導公式化簡，再弦化切，即可求解.

本題主要考查三角函數的同角公式，屬于基礎題.

15.【答案】(一|急

【解析】解：向量為=(L2),3=(-2,4),

則向量萬在向量方上的投影向量為：

∣α∣cos<α,K)?A=∣α∣?^?i∣i=^?h=?h=?(-2,4)=(-∣4)?

故答案為：(―|,§.

利用投影向量的定義結合平面向量數量積的坐標運算可求得向量2在向量B上的投影向量.

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎題.

16.【答案】一：

【解析】解：(3m2—8m—3)+(m2—4τn+3)i是純虛數，

(3m2-8m-3=0解得皿=—.

(m2-4m÷3≠03

故答案為：—?.

直接由實部為0且虛部不為0求解得答案.

本題考查復數的基本概念，考查一元二次方程的解法，是基礎題.

17.【答案】解：(1)由一/+4%-4V0可得：%2-4%+4=(%-2)2>0,所以%≠2,故解集

為：｛x∣%≠2｝；

(2)蕓>0=蕓<0,等價轉化為(X-l)(x-5)<0,

解得1<X<5,

所以不等式的解集為｛x∣l<x<5｝.

【解析】(1)將不等式轉化為/一4x+4>0即可得解；

(2)宏>0等價轉化為(x-l)(x-5)<0,可求解集.

本題考查了一元二次不等式及分式不等式的解法，屬于基礎題.

18.【答案】解：①已知向量五與方的夾角為120。且I磯=4,|石|=2，

則為?=∣α∣∣KIcos<a,b>=4x2x(—；)=—4；

②由已知可得0+b)?0-2E)=片一。石一2片=16+4—2x4=12?

【解析】①結合五7=IαHK∣cos<a,b>求解即可;

②由0+B)?G-2B)=芯一五?方一2片，然后結合已知條件求解即可.

本題考查了平面向量數量積的運算，屬基礎題.

19.【答案】解：?.?2R+I=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3).

??.?2a+b?=√32+32=3√-2>\a-b?=3>

(2a+h)?(a-6)=3×0+3×3=9.

_(21+分m-W_9_f2

,,COSU~?2a+b??a-b?~3√Ξ7^3-T'

Vθ∈[0,π],。/

【解析】由平面向量夾角的坐標表示直接計算即可.

本題考查平面向量的夾角的坐標運算，屬于基礎題.

20.【答案】解：(I)若記與元共線，貝IJSinaCOSa—cos2a=cosa(sina—cosa)=0,

.?.cosa=0或Sina—cosa=0>且a∈[0,τr],

(H)m+n=(Sina+cosa,2cosa^),

22

若記1(m+n),則沆■(m+n)=sina+sinacosa+2cosa=1+：s2a+∣sjn2a+1=

好sin(2a+；)+1=O'

???sin(2a+≡)=一備<-1,

???不存在a,使得記1(m÷n).

【解析】(I)記與五共線時，可得出CoSa(S山Q-COSa)=0,從而得出CoSa=0或Sina=cosa,

這樣根據a的范圍即可求出a的值；

(∏)假設存在a,使得記1(≡+H),從而得出記?(記+河)，然后進行向量坐標的數量積運算，并

根據二倍角的正余弦公式、兩角和的正弦公式即可得出sin(2α+9=-冷，顯然可得出：不存在

這樣的α?

本題考查了向量坐標的加法和數量積的運算，共線向量的坐標關系，二倍角的正余弦公式，兩角

和的正弦公式，正弦函數的值域，考查了計算能力，屬于基礎題.

21?【答案】①(或②或③)

【解析】解：(1)由(α+c)(α-C)=b(b+c),^b2+c2-α2=-be,

由余弦定理知，COSa=b+c2-a2=一工,

2bc2

因為0<4<兀，所以4=等

(2)選①，因為4。是△4BC的中線，

所以而=X荏+芯)，

21219

∣∣C+fD++6X134

所以I而|2=表荏2+*宿2+g超4-2-4-(-

所以AD=守.

選②，因為SAA8C=SgBD+S4ADC，

所以,bcsinA=-Z??ADsin-+-c?ADsin-y

CΛ4LΛ4

即5×3×4?sin—=—×3AD?sin-+—×4√4D?sin-,

解得AD=y

選③，因為B0=2CD,

所以萬=四+|(前-荏)E荏+1幅

所以I而∣2=有詬+∣前)2=；|荏『+前宿2+［荏.正

44一、

-1c2+.-6L22+,-hLc?cosΛ4=-16÷I4+y16×(/-1-)=2y8

故=W

(1)將已知條件整理成F+c2-α2=-bc,并由余弦定理，即可得解;

(2)選①，由而=；(四+而f),將其兩邊平方，并結合平面向量的數量積運算法則，即可得解;

選②，由S-BC=S-BD+SMDC，利用三角形的面積公式，代入數據，運算得解;

選③，根據平面向量的線性運算可得而=g而+1萬，將其兩邊平方，并結合平面向量的數量

積運算法則，即可得解.

本題考查解三角形，熟練掌握余弦定理，三角形面積公式，平面向量的運算法則是解題的關鍵，

考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

22.【答案】解：(1)因為/(x)是定義在R上的奇函數，

所以f(0)=0,即,二:"=0,所以Jn=1,

經檢驗符合題意，

故-X)=產率’

由/(-1)=-/(1),得'=_二±1,解得n=2,

1+n4÷n

經檢驗，符合題意，

所以m=1,n=2.

(2)由(1)得f(X)=高后=-j+?

令“2>?i，

Il2X1-2X2

λlJ∕(x2)一/(xl)=2合+1-