2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第一章 第六講　基本不等式 學(xué)案

第六講基本不等式

?雙基自測(cè)SHl

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一重要不等式

a2+b2^2ab（a,bGR）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）.

知識(shí)點(diǎn)二基本不等式我W等（均值定理）

（1）基本不等式成立的條件：α>O,匕〉0；

（2）等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)厘時(shí)等號(hào)成立;

（3）其中號(hào)叫做正數(shù)α,C的算術(shù)平均數(shù)，的叫做正數(shù)α,b的幾何平均

知識(shí)點(diǎn)三利用基本不等式求最大、最小值問(wèn)題

（D如果X,y∈（O,+8）,且孫=p（定值），

那么當(dāng)』=y一時(shí),x+y有最小值2√λ（簡(jiǎn)記：“積定和最小”）

（2）如果X,y∈（0,+8）,且χ+y=s（定值）,

V2

那么當(dāng)x=y時(shí)，孫有最大值了（簡(jiǎn)記：“和定積最大”）

歸納拓展

常用的幾個(gè)重要不等式

（l）a+b^2-4ah（a>0,比>0）.（當(dāng)且僅當(dāng)α=Z?時(shí)取等號(hào)）

2

（α,AeR）.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

2

（3）（空IW工要（α,b∈R）.（當(dāng)且僅當(dāng)α=b時(shí)取等號(hào)）

（4）^+τ≥2（α,。同號(hào)）.（當(dāng)且僅當(dāng)a=人時(shí)取等號(hào)）.

≤/+序

-?-（ɑ,">0當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）?

雙基自測(cè)

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J"或‘'x")

(1)不等式，+反22"與皇2迎有相同的成立條件.(X)

(2)y=x+(的最小值是2.(X)

(3)函數(shù)/)=sinx+忌;，尤∈(θ,馴勺最小值等于4.(×)

SillJi\乙)

(4)若a>O,則〃+點(diǎn)的最小值為2g.(×)

(5)?！?且y>0”是的充要條件.(X)

yχ

題組二走進(jìn)教材

2.泌修1P46T3改編)若x>O,y>O,且x+y=18,則底的最大值為(A)

A.9B.18

C.36D.81

［解析］因?yàn)閤+y=18,所以??∕^≤g2=9,當(dāng)且僅當(dāng)尤=y=9時(shí)，等號(hào)成

立.

3.(必修1P48習(xí)題Tl改編)若x<O,則尤十%D)

A.有最小值，且最小值為2

B.有最大值，且最大值為2

C.有最小值，且最小值為一2

D.有最大值，且最大值為一2

［解析］因?yàn)閄V0,所以一X>0,-x+±22,當(dāng)且僅當(dāng)X=-I時(shí)，等號(hào)成

立，所以x+=≤-2.

4.(必修1P48練習(xí)T2改編)若函數(shù)./U)=x+占(x>2)在x=α處取最小值，

則α=(C)

A.1~?^y∣2B.1~?~y∣3

C.3D.4

［解析］因?yàn)閄>2,所以√(x)=x+-4=(%—2)+二)+222、/(X—2)?τ~7

人44N?∣√vN

當(dāng)且僅當(dāng)占,

2=4,x―2=即光=3時(shí)，等號(hào)成立.故α=3.

題組三走向高考

5.(多選題)(2022?新高考卷∏)若X,y滿足f+y2一孫=1,則(BC)

A.%+y≤1B.x+y2-2

C.√+∕≤2D.x2+y2^l

((+y)2

［解析］對(duì)于A,B：由/+y2-Xy=1，得(x+y)2-3孫=1,又孫=-4—-

Q_y)2圻N,_1_、2J(X+>)2(χ-y)2］削(χ+y>q3(x_y>a+yp

4，所以(x+>)3［4—4_|_1葭即1-4+4T4，

所以-2Wx+yW2,所以A不正確，B正確；

對(duì)于C,D：由x1+y1-χy=l,得x1+y2-1=xy≤^-y^-,當(dāng)且僅當(dāng)X=y

時(shí)取等號(hào)，所以f+VW2,所以C正確，D不正確.綜上可知，選BC.

6.(2020?江蘇，12)已知5∕y2+y4=i(χ,.∈R),則/十V的最小值是；

22222

［解析］由5χJ+y4=l知yW0,.?.χ2=-^^,.?.χ+γ=-^f-+y='5y∕

=方+與22艱4當(dāng)且僅當(dāng)親=,即尸斗上卷時(shí)取“=”?故/

4

+y2的最小值為之

7.(2019?天津，13)設(shè)尤〉0,y>0,x+2y=4,則。+DF)`十1)的最小值為

χy4-

I副研］(x+l)(2y+l)2xy+x+2y+l2xy+55

［解析］-----------=-------------=------

ljxyxyxy=2+—xy.

Vx>0,y>0,/.4=x+2y^2y∣x?2y9解得0<xyW2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2,即尤=2且y=l時(shí)”=”成立.

此時(shí).二2+,22+?=?,

xy2xy22

站(χ+l)(2y+l)必曰I估工9

故----------的取小值為不

Ay乙

考點(diǎn)一利用基本不等式求最值——多維探究

角度1配湊法

例1(1)(2022?長(zhǎng)沙模擬)設(shè)04?|,則函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值為(C)

29

⑵若x<3，則於)=3x+1+亞立有(C)

A.最大值OB.最小值9

C.最大值一3D.最小值一3

⑶Q022?天津模擬涵數(shù)y—1)的最小值為上

(4)(2023.沈陽(yáng)模擬)若Oa＜；,則y=x?∣1一41的最大值為

［解析］(l)y=4x(3—2x)=2?2x?(3—2x)

2工+3-2￡9

2,

3?,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x,即X=W時(shí)取等號(hào),

39

??當(dāng)X=W時(shí)，ymax-2,

(2)Vχ<∣,/.3χ-2<0,

9

y(x)=3x—2+匯與+3

~Q—3x)+至<+3

≤-2ΛJ(2—3Λ)-2-3V+3=-3.

9

當(dāng)且僅當(dāng)2-3x=丁丁，

2-3X

即無(wú)=_'時(shí)取.

(3)因?yàn)閤>—1,則x+l>O,

訴W[(χ+l)+4][(χ+D+1]

所以y=不1

(X+1)2+5(X+1)+4

x+1

4

=α+D+干+5

-Wl)?T+5=9,

4

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=-?,即x=l時(shí)等號(hào)成立，

X十71

所以函數(shù)的最小值為9.

(4)V0<x<∣,

二y=x?∣i-4x2=??∕Λ2(1-4x2)=^4Λ2(1—4x2)生~~,

當(dāng)且僅當(dāng)4X2=1-4X2,

即無(wú)=乎時(shí)取等號(hào)，

則y=x?∣1-Ax1的最大值為

名師A撥MINGSHIDIANBO

拼湊法求最值的技巧

(1)用均值定理求最值要注意三個(gè)條件：一正、二定、三相等.“一正”不

滿足時(shí)，需提負(fù)號(hào)或加以討論，“二定”不滿足時(shí)，需變形，“三相等”不滿足

時(shí)，可利用函數(shù)單調(diào)性.

(2)求乘積的最值.同樣要檢驗(yàn)“一正、二定、三相等"，如例(2)的關(guān)鍵是

變形，湊出積為常數(shù).

角度2常數(shù)代換法求最值

21

例2(1)已知正數(shù)X,y滿足x+2y=4,則彳+2的最小值為二

?y

Q1

(2)已知正數(shù)x,y滿足：+；；=1,則x+2y的最小值為」

χy

［分析］(2)先利用乘常數(shù)法或消元法，再利用基本不等式求解最值.

［解析］⑴汨=(沼卜+2/冷卜+'子)制(4+2耒用=2.

當(dāng)且僅當(dāng)A*≡p{XJ4=［；］：'時(shí)取等號(hào).

(2)解法一：x+2y=(^+^?(x+2y)=10+^+-^^10+2^^11=18,當(dāng)且

/!+y=1*fx=12,

僅當(dāng)［I6v即f=3時(shí)“=”成立’故"+2y的最小值是18.

Q1rr

解法二(消元法)：由：+;;=1,得y=----由y>0=>〉0,又x>0=>x>8,

XyX—oX-o

9Y2(χ-8)+1616=(尤-提+

則x+2y=尤+口=尤+=X+2+8)+

x-8x-S

10^2Λ/(Λ-8)?-?+10=18,當(dāng)且僅當(dāng)χ-8=-??,即x=12(x=4舍去)，y

\1X—oX—o

=3時(shí)，"="成立，故x+2y的最小值為18.

名師點(diǎn)被MINGSHIDIANBO

常數(shù)代換法的技巧

(1)常數(shù)代換法就是利用常數(shù)的變形以及代數(shù)式與'T'的積、商都是自身的性

質(zhì)，通過(guò)代數(shù)式的變形構(gòu)造和式或積式為定值，然后利用基本不等式求最值.

(2)利用常數(shù)代換法求解最值應(yīng)注意：①條件的靈活變形，常數(shù)化成1是代

數(shù)式等價(jià)變形的基礎(chǔ)；②利用基本不等式求最值時(shí)“一正、二定、三相等”的檢

驗(yàn)，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)解.

角度3消元法

例3已知x>0,y>0,x+2>y+xy=9,則x+3y的最小值為迅—.

［解析］解法一：(換元消元法)

.、2

由已知得9—(九+3y)=；.光?3y≤gjgT,

當(dāng)且僅當(dāng)X=3y,即X=3,y=l時(shí)取等號(hào).

即(x+3y)2+12(x+3y)-10820,

令x+3y=f,則>0且P+12/—10820,

得『26,即x+3y的最小值為6.

解法二：(代入消元法)

9-3y

由x+3y+孫=9,得X=]+),,

所以?甘9—3y9—3y+3y(l+y)

卜3尸不一

9+3/3(l+y)2-6(l+y)+12

=]+y=?+y

12/12^

=3(l+y)+ττr622λy3(l+y>ττr6

=12—6=6,

12

當(dāng)且僅當(dāng)3(l+y)=干，即y=l,x=3時(shí)取等號(hào),

所以x+3y的最小值為6.

［引申］本例條件不變，求孫的最大值.

［解析］解法一：9一孫=x+3y22小石，

.'.9~xy^2??∣3xy,

令標(biāo)>=t,.'.t>0,

Λ9-∕2≥2√3r,gpz2+2√3r-9≤0,

解得0<f≤√5,

.'.y∣xy^-?∣3,/.xγ≤3,

當(dāng)且僅當(dāng)尤=3y,即X=3,y=l時(shí)取等號(hào)，

/.xy的最大值為3.

解、出一..9—3)，

解法一：?X=1,

ι+y

9-3y9y—3y2

?'?產(chǎn)百尸=Hy

-3(y+l)2++S+l)—12

y+ι

=—3(y+l)—幣+15

≤-2嘲3。+1)鑿+15=3?

12

當(dāng)且僅當(dāng)3(rM)=j吉，即y=l,x=3時(shí)取等號(hào).

'.xy的最大值為3.

［思維升華］(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用

基本不等式.

(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，

利用常數(shù)'T'代換的方法；三是消元法.

〔變式訓(xùn)練1〕

(1)(角度1)已知函數(shù)犬X)=W?［+χ］χ>,,則.共幻的最小值為|_.

一14

(2)(角度2)(2023?寧夏銀川一中月考)已知正數(shù)x、y滿足尤+y=l,則；：+H

?1I-y

的最小值為(B)

9

A.2B.2

C.-yD.5

21

(3)(角度2)(2023?濟(jì)寧模擬)已知正數(shù)加，〃滿足機(jī)+2〃=8,則立+［的最小值

為」_,等號(hào)成立時(shí)機(jī)，〃滿足的等量關(guān)系是加=2〃.

(4)(角度3)(2022?百校聯(lián)盟尖子生聯(lián)考)己知α,?∈R?且。+2匕=出?一16,

則ab的最小值為(B)

A.16B.32

C.64D.128

［解析］(l)?.?2x>l,Λχ-∣>0,

2111

+-+

式*)=2x-l+%=-JΛ22

x~2

113

當(dāng)且僅當(dāng)一LY=即X=M時(shí)取“.

x~2

*x)的最小值為|.

(2)?.%+y=l,所以x+(l+y)=2,

19

所以--

X2

'4x_l+yX=y

當(dāng)且僅當(dāng)?i+y—X,即當(dāng)I?時(shí)取等號(hào)，

J+y=l,k]

14Q

??士+￡的最小值為看故選B.

X1+y2

口

1包1

-++7-

⑶因?yàn)閙+2n=8,所以弓+X"鏟^8機(jī)8

（4+2\^^）=*4+4）=1,當(dāng)且僅當(dāng)彗=々,即機(jī)=4,"=2時(shí)等號(hào)成立,

（4）α∕>-16=α÷2?≥2√20?,令7>0,

則產(chǎn)一2y∣2t—16?0=>t2'=4y[i,

故abN32,即成的最小值為32.（當(dāng)且僅當(dāng)α=8,b=4時(shí)取等號(hào)）故選B.

考點(diǎn)二利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題——師生共研

例4（2022?湖北孝感模擬）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一,

其中第九章“勾股”中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開(kāi)門.出東

門一十五里有木.問(wèn)出南門幾何步而見(jiàn)木？”其算法為：從東門向南走到城角的

距離，乘從南門向東走到城角的距離，乘積作被除數(shù)，以樹(shù)距離東門的距離作除

（9×∣）×（×∣）

數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即設(shè)出南門X里見(jiàn)到樹(shù)，則―?7Z若

一小城，如圖所示，出東門1200步有樹(shù)，出南門750步恰好能看到此樹(shù)，則該

小城的周長(zhǎng)的最小值為（注：1里=300步XD）

A.2回里B.4回里

c.6√I5里D.8√T5里

［解析］因?yàn)?里=300步，則由題圖知￡3=1200步=4里，GA=750步

EF-GF

=2.5里.由題意得GA=S,則EF?GE=EBGA=4X2.5=10,所以該小城

LD

的周長(zhǎng)為4（EF+GF）28√旗而=8√而（里），當(dāng)且僅當(dāng)EE=GF=√I5（里）時(shí)等號(hào)

成立.故選D.

名師點(diǎn)撥MINGSHIDIANBO

利用基本不等式求解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，設(shè)出變量，注意變量應(yīng)

滿足實(shí)際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求

得函數(shù)的最值.

〔變式訓(xùn)I練2〕

（2022?濟(jì)南模擬）單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容

量”，與道路設(shè)施、交通服務(wù)、環(huán)境、氣候等諸多條件相關(guān)，假設(shè)某條道路一小

時(shí)通過(guò)的車輛數(shù)N滿足關(guān)系N=O五;1曲,其中尚為安全距離，。為車速

（m∕s）.當(dāng)安全距離而取30m時(shí)，該道路一小時(shí)“道路容量”的最大值約為（B）

A.135B.149

C.165D.195

、，1OOOu1OOO11OOO

［解析］由題意得,TV=------------------z--------=-------------------------------------------.----

0.7U+0.3V2+3007+03。+即0.7+2√0.3×30

F49,當(dāng)且僅當(dāng)0.3。=掌即。=10時(shí)取“="，所以該道路一小時(shí)“道路容

量”的最大值約為149.故選B.

基本不等式的綜合應(yīng)用

角度1基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問(wèn)題

C-LQ

例5設(shè)等差數(shù)列｛&｝的公差為d,其前〃項(xiàng)和是S“若α∣=d=l,則」「的

Cln

最小值是

AlL.n(l+n)

［解析］Z=Gl+(〃一l)d=72,Sn=2

所以空=Ftm

n

16

“2?

.?nι∣4

C-LQQ

當(dāng)且僅當(dāng)〃=4時(shí)取等號(hào)，所以