2023-2024屆新高考一輪復(fù)習人教A版 第五章 第一講　平面向量的概念及其線性運算 學案

第五章平面向量與復(fù)數(shù)

第一講平面向量的概念及其線性運算

知識梳理?雙基自測

知識梳理

知識點一向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的是

度_(或稱模).

(2)零向量：長度為O的向量叫做零向量,其方向是任意的,零向量記作

O.

(3)單位向量：長度等于1個單位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量:平行向量又叫共線向

量.規(guī)定：O與任一向量平行.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.

知識點二向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律

力

(1)交換律：

一三角形一法則g-?-b-b-?^a；

加法求兩個向量和的運算

(2)結(jié)合律：

-α*(a+5)+c=a+()+c)

_平行四邊形一法則

向量a加上向量b的

?

相反向顯叫做α與a-b=

減法

b的差，即a+(-b)“十(一?

_三角形—法則

=a-b

(1)模：M=囚M；設(shè)九"是實數(shù).

實數(shù)2與向量α的積

數(shù)乘(2)方向：(l)Λ(∕<a)=(λμ)a

是一個向量記作λa

當2>0時，/Ia與a的(2)a，+〃)a=2a+〃a

方向相同；(3)∕l(α+A)=2α+

當λ<0時，加與Q的Xb.

方向.相反.；

當2=0時，Aa=O

知識點三共線向量定理

向量α(α≠O)與力共線，當且僅當存在唯一一個實數(shù)人使歸四

歸納拓展

1.零向量與任何向量共線.

2.與向量α(αW0)共線的單位向量端.

3.若存在非零實數(shù)九使得屈=AA號或宿=2反'或位7=2比，則A,B,C

三點共線.

4.首尾相連的一組向量的和為0.

5.若尸為AB的中點，則舁=氐宓+而.

6.若a、5不共線，且2α="b,則2=〃=0.

雙基自測

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“義”)

(1)向量就是有向線段.(X)

(2)Ial與向是否相等，與α,b的方向無關(guān)?(√)

(3)若。〃。，b//c,則a〃c.(X)

(4)若向量屈與向量⑦是共線向量，則A,B,C,D四點在一條直線上.(X)

(5)當兩個非零向量α,方共線時，一定有Z>=%”,反之成立.(J)

題組二走進教材

2.(必修2P22T4改編)化簡部+說)一病一?=(B)

A.ADB.0

C.BCD.DA

［解析］AB+BD-AC-CD=AD-(AC+CD)=AD-AD=O.

3.（必修2Pi5T3改編）向量e/,e2,a,）在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,

向量。一/,等于（C）

A.—4eι-Iei

B.~2eι~4e2

C.Cι~3e2

D.3eι~β2

［解析］由圖可知a=-4e2,b=-(eι+ei)^.'.a-b-e?-3re2,故選C.

4.（必修2P∣4例6改編）如圖所示，在平行四邊形ABCo中，下列結(jié)論中錯

誤的是（C）

?.AB=DC

B,AD+AB=AC

C-AB-AD=BD

D,AD+CS=0

［解析］由協(xié)一Ab=訪=一由），故C錯誤.

題組三走向高考

5.（2020.新高考II,3,5分）若。為aABC的邊AB的中點，則宓=（A）

A.2CD-CAB.lrC?~CD

C.2CD+CAD.2CA+CD

［解析］：。為AABC的邊AB的中點，

ΛCb=^（CA+Cβ）,，西=2⑦一瓦故選A.

6.(2015?新課標2,13,5分)設(shè)向量4,萬不平行，向量2α+Z＞與α+2Z＞平行,

則實數(shù)一

［解析］:ɑ`〃不平行，.?.α+2)≠0,由題意可知存在唯一實數(shù)〃?，使得以

+b=m(a-?-2b),即(4一機)?α=(2∕"-1)。，

λ一m=O解得%=今

2w-l=0

?互動探究

考點一向量的基本概念——自主練透

例1(1)(多選題)(2023.臨沂模擬)下列命題中的真命題是(BC)

A.若⑷=步則a=b

B.若A,B,C,。是不共線的四點，則“福=比”是“四邊形ABCO為

平行四邊形”的充要條件

C.若a=b,b=c,則Q=C

D.α=A的充要條件是Ml=Ibl且a〃Z＞

(2)設(shè)”,8都是非零向量，下列四個條件，使土自成立的充要條件是(D)

A.ct~~bB.α=2Z＞

C.Q〃〃且MI=I勿D.α〃〃且方向相同

［解析］(I)A不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.

B正確.AB=DC,二I荏I=|皮)且油〃反，又A,B,C,。是不共線的

四點，,四邊形ABC。為平行四邊形；反之，若四邊形ABCQ為平行四邊形，

則I屈|=|比屈〃前且屈，比方向相同，因此屈=皮.

C正確???Z=b,...a,D的長度相等且方向相同，又方=c,二瓦C的長度

相等且方向相同，:.a,C的長度相等且方向相同，故α=c.

D不正確.當α〃〃且方向相反時，即使Ial=步也不能得到。=5，故Ial=

向且?！ǚ植皇荙=Z＞的充要條件，而是必要不充分條件.故選BC

(2忘表示a方向的單位向量，因此言=j?的充要條件是且。與D同向.

名師點被MINGSHIDIANBO

(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).

(3)平行向量就是共線向量，二者是等價的；但相等向量不僅模相等，而且

方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量.

(4)非零向量。與合的關(guān)系是：言是α方向上的單位向量.

IalIal

考點二向量的線性運算—多維探究

角度1向量加、減法的幾何意義

例2設(shè)非零向量Q,?滿足∣α+8∣=∣α一回,則(A)

A.al.bB.?a?=?b?

C.a∕∕bD.∣α∣>l?∣

［解析］解法一：利用向量加法的平行四邊形法則.

在QABC。中，設(shè)矗=α,AD=b,

由∣α+例=M一例知，?AC?=?DB?,

從而四邊形ABC。為矩形，≡PABA-AD,故αJL瓦

解法二：?,?a+b?=?a-b?,

Λ∣a+?∣2=∣α-6∣2.

：.a1-?-b1+2ab=a1+b1-2ab.

??α?A=O.??α-L

角度2向量的線性運算

例3(2022?青島質(zhì)檢)在AABC中，BD=^BC,若筋=α,AC=b,則Ab=(A)

A.∣α÷∣Z>B.?a+^b

12,21,

C.^ja-^bD.?ɑ-?ft

［解析］解法一：如圖，過點0分別作AC,AB的平行線交AB,AC于點E,

F,則四邊形AEZA7為平行四邊形，所以屐)=戲+4方.因為渲>=:慶?，所以崩=

∣Aδ,AF=?λC,所以量)=■1麴+1■屐7=至+；。，故選A.

解法二：Ab=ΛB÷?b=AB÷^BC=Aβ÷^(AC-AS)=∣AB÷∣AC=∣α÷∣6,

故選A.

角度3根據(jù)向量線性運算求參數(shù)

例4(2023.濟南模擬)如圖，在平行四邊形ABa)中，口是BC的中點，CE=

-2DE,若訪=X筋+詼，則x+y=(C)

Λ

A6

?B.

1D.1

C-

6-3

［解析］因為四邊形ABC。是平行四邊形,

所以屈=反，AD=BC,

因為走=一2勵，所以反)=一g反=一/

連接AF,在AAEF中，

所以辟=育+4>=曲一疝+屈+游

=—∣AS-AE>+AB+^BC=∣Aβ-

又因為浙=X/布+)疝,

2l1

--故

y-X-6-

3,2,+y

名帥A披MINGSHIDIANBO

平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略

⑴考查向量加法或減法的幾何意義.

(2)求已知向量的和或差.一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差

用三角形法則；求首尾相連的向量的和用三角形法貝I.

(3)與三角形綜合，求參數(shù)的值.求出向量的和或差，與已知條件中的式子

比較，求得參數(shù).

(4)與平行四邊形綜合，研究向量的關(guān)系.畫出圖形，找出圖中的相等向量、

共線向量，將所求向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解.

〔變式訓練1〕

(1)(角度1)(2022.湖北宜昌一中月考)已知a,b是兩個非零向量，且∣α+例=Ia

+?b?,則下列說法正確的是(D)

A.α÷6=0

B.a=b

C.α與方共線反向

D.存在正實數(shù)九使”=勸

(2)(角度2)(2022.長沙模擬)如圖，在梯形ABCo中，BC=2AD,DE=EC,

設(shè)麗=α,BC=Z>,則旗=(D)

⑶(角度3)(2023.長春調(diào)研)在aABC中，延長BC至點M使得BC=ICM,

連接AM,點N為AM上一點且俞=；篇/,^AN=λAB+μAC,貝(］%+〃=(A)

A.ξB.2

C.-2D.—?

［解析］(1)因為4,方是兩個非零向量，且∣α+"=∣α∣+制，所以。與〃共線

同向，故D正確.

(2)解法一：如圖所示，取BC的中點E連接AF,因為3C=2AO,所以AO

=CF,AD//CF,所以四邊形ADb為平行四邊形，貝UA尸〃C。，所以Cb=成.

因為OE=Ee,所以■=Tc力=昴,所以麗=比+C?=冊+品=就+；(或一

,故選D.

解法二：如圖，連接BD,

因為DE=EC,

2,2,32

131?

=2或+彳比=∕α+/,故選D.

⑶由題意，知俞=；川》=；(矗+說/)=；貓+gx'或■林+；(府*—施)=

—^4B+^AC,又俞=法方+//A還，所以A=—',〃=；，則2+〃=：.故選A.

考點三共線向量定理及其應(yīng)用——師生共研

例5設(shè)兩個非零向量。與萬不共線.

(1)若屈=α+b,BC=2a+Sb,CD=3(a~b),求證：A,B,。三點共線；

(2)試確定實數(shù)匕使人+6和Q+歷共線.

［分析］(1)利用向量證明三點共線時，首先要證明兩個非零向量共線，然后

再說明兩向量有公共點，這時才能說明三點共線；

(2)利用共線向量定理求解.

［解析］(1)證明：'.'AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),

.?BD=BC+CD=2a+Sb+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.

：.AB,國)共線，

又：它們有公共點B,

.?.A,B,D三點共線.

(2)'."ka+b與a~?^kb共線，

二存在實數(shù)九使Aα+b=∕i（α+劭）,

即ka+b=λa+λkb.

：.(k—λ)a=(λk—1)6.

■：a,8是不共線的兩個非零向量,

7:-2=0,

解得A=±L

.止-1=0,

［引申］本例(2)中，若kz+方與α+H＞反向，則k=—1；若kι+Z＞與α+

初同向，則％=—一.

［解析］由本例可知ka-irb與a-?^kb反向時2＜0,從而k=-1；kajrb與a

十奶同向時尢＞0,從而左=L

名幃點披MINGSHIDIANBO

平面向量共線的判定方法

⑴向量。與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實數(shù)2,使要注意

通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想

的運用.

(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共

線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.

〔變式訓I練2〕

(1)(2022?濟南模擬)已知向量Q,?不共線,?c=λa+b,d=a+(2λ~↑)b,

若C與d共線反向，則實數(shù)2的值為(B)

A.1B.—2

C.1或一TD.-1或一；

(2)已知向量α,b,C中任意兩個都不共線，并且α+5與C共線，分+c與a

共線，那么a+)+c等于(D)

A.aB.b

C.cD.0

［解析］(1)由于C與d共線反向，則存在實數(shù)%使c="(A＜0),

于是x,a+6=k［a+(2λ—1)6］,

整理得筋+5=Az+(2λk~k)b.

λ=k,

由于α,b不共線，所以有

2λk一k—1,

整理得2乃一2—1=0,解得2=1或/=一；.

又因為Z<0,所以2<0,故人=一故選B.

(2)解法一：?.?Q+力與C共線，.>"+)=AIC.①

又?.P+c與α共線，.?.8+c=22α.②

由①得：b=λ?c-a.

.*.?+c-Zic—Q+C=(2I+I)C—a=λ2d.

2ι+l=0,Pll=11

：.\即V9

，2=11,122=-1.

?'α+b+c=—c+c=O.故選D.

解法二：①一②得a-c=λ?