必修二立體幾何較難題

1.四面體ABCD四個(gè)面的重心分別為E、F、G、H，那么四面體EFGH的外表積與四面體ABCD的外表積的比值是〔〕A)B)C)D)

如圖，連接AF、AG并延長與BC、CD相交于M、N，

由于F、G分別是三角形的重心，

所以M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，

且AF：AM=AG：AN=2：3，

所以FG：MN=2：3，

又MN：BD=1：2，所以FG：BD=1：3，

即兩個(gè)四面體的相似比是1：3，

所以兩個(gè)四面體的外表積的比是1：9；應(yīng)選C．如圖，平面α∥平面β∥平面γ，兩條直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)．AC＝15cm，DE＝5cm，AB︰BC＝1︰3，求AB，BC，EF的長設(shè)平面α‖β,A、C∈α,B、D∈β直線AB與CD交于S，假設(shè)AS=18,BS=9,CD=34,那么CS=?68/3或68與空間四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面共有多少個(gè)?七個(gè)你可以把它想象成一個(gè)三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)各對應(yīng)一個(gè)有四個(gè)，兩條相對棱對應(yīng)一個(gè)共三組相對棱因此有三個(gè)總共有七個(gè)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=?！?〕設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD⊥平面PAD；

〔2〕求四棱錐P-ABCD的體積解：〔1〕證明：在中，由于，，，

所以

故

又平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，

又平面，

故平面平面。〔2〕過作交于O，

由于平面平面，

所以平面

因此為四棱錐的高，

又是邊長為4的等邊三角形

因此

在底面四邊形中，，，

所以四邊形是梯形，

在中，斜邊邊上的高為，

此即為梯形的高，

所以四邊形的面積為

故?！?008福建〕(6)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,那么BC1與平面BB1D1DA. B. C. D..〔15〕如圖，二面角的大小是60°，線段.，與所成的角為30°.那么與平面所成的角的正弦值是.19．〔本小題總分值12分〕如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1⊥BD?！?〕證明：DC1⊥BC；〔2〕求二面角A1－BD－C1的大小?！窘馕觥俊?〕在中，，得：，同理：，得：。又DC1⊥BD，，所以平面。而平面，所以?！?〕解法一：〔幾何法〕由面。取的中點(diǎn)，連接，。因?yàn)椋?，因?yàn)槊婷妫悦?，從而，又DC1⊥BD，所以面，因?yàn)槠矫?，所以。由，BD⊥DC1，所以為二面角A1－BD－C1的平面角。設(shè)，，那么，， 在直角△，，，所以。因此二面角的大小為。(2007)2、(北京市西城區(qū)2012年4月高三抽樣測試)以下四個(gè)正方體圖形中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形的序號(hào)是〔〕A.=1\*GB3①、=3\*GB3③B.=1\*GB3①、=4\*GB3④C.=2\*GB3②、=3\*GB3③D.=2\*GB3②、=4\*GB3④答案：B3、(吉林省吉林市2012屆上期末)三棱錐P—ABC的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M、N分別在BC和PO上，且CM=x，PN=2CM，試問下面的四個(gè)圖像中哪個(gè)圖像大致描繪了三棱錐N—AMC的體積V與x的變化關(guān)系〔〕〔〕答案：AABCD是平行四邊形,點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn),M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證:AP∥GH.平面α過正方形ABCD-A1B1C1D1的三個(gè)頂點(diǎn)B,D,A1,α與底面A1B1C1D1的交線為L,那么L與B1D1的位置關(guān)系？如圖，正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一點(diǎn)P，Q，且AP=DQ。求證：PQ∥面BCE4以下各圖是正方體或正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，那么四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()．空間三條直線，其中一條和其他兩條都相交，那這三條直線中的兩條能確定的平面?zhèn)€數(shù)是多少假設(shè)三條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，那么可以確定一個(gè)或三個(gè)平面；假設(shè)這三條直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，那么可以確定一個(gè)或三個(gè)平面。假設(shè)這三條直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，那么可確定以一個(gè)平面。答案：一個(gè)或三個(gè)線面平行的判定定理證明線面平行的判定定理是：假設(shè)平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與這個(gè)平面平行。

線面平行的定義是：假設(shè)直線與平面沒有公共點(diǎn)，那么稱此直線與該平面平行。

證明：設(shè)直線a‖直線b，a不在平面α內(nèi)，b在平面α內(nèi)。用反證法證明a‖α。

假設(shè)直線a與平面α不平行，那么由于a不在平面α內(nèi)，有a與α相交，設(shè)a∩α=A。

那么點(diǎn)A不在直線b上，否那么a∩b=A與a‖b矛盾。

過點(diǎn)A在平面α內(nèi)作直線c‖b，由a‖b得a‖c。

而A∈a，且A∈c，即a∩c=A，這與a‖c相矛盾。

于是假設(shè)錯(cuò)誤，故原命題正確?！卜醋C法〕例題2從正方體的棱和各個(gè)面上的對角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在直線都是異面直線，求k的最大值．解答考察如下圖的正方體上的四條線段AC，BC1，D1B1，A1D，它們所在直線兩兩都是異面直線．又假設(shè)有5條或5條以上兩兩異面的直線，那么它們的端點(diǎn)相異且個(gè)數(shù)不少于10，與正方體只有8個(gè)頂點(diǎn)矛盾．故K的最大值是4．練習(xí)1在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱的中點(diǎn)、6個(gè)面的中心及正方體的中心共計(jì)27個(gè)點(diǎn)中，問共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多少解答兩端點(diǎn)都為頂點(diǎn)的共線三點(diǎn)組共有個(gè)；兩端點(diǎn)都為面的中心共線三點(diǎn)組共有個(gè)；兩端點(diǎn)都為各棱中點(diǎn)的共線三點(diǎn)組共有個(gè)，且沒有別的類型的共線三點(diǎn)組，所以總共有個(gè)．例題3在單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線A1B上存在一點(diǎn)P使得AP+D1P最短，求AP+D1P解答將等腰直角三角形AA1B沿A1B折起至，使三角形與四邊形A1BCD1共面，聯(lián)結(jié)，那么的長即為AP+D1P的最小值，所以，練習(xí)3單位正方體ABCD-A1B1C1D1的對棱BB1、D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，BE=D1F=〔〕．設(shè)EF與AB所成的角為，與BC所成的角為，求的最小值．解答當(dāng)時(shí)，．不難證明是單調(diào)減函數(shù)．因此的最小值為．例十七、〔2000年全國聯(lián)賽一試〕一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，假設(shè)正四面體的棱長為，那么這個(gè)球的體積是．分析：由正四面體的圖象的對稱性可知，內(nèi)切球的球心必為正四面體的中心，球與各棱相切，其切點(diǎn)必為各棱中點(diǎn)，考查三組對棱中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，即為內(nèi)切球的球心，所以每組對棱間的距離即為內(nèi)切球的直徑，于是有：ROEDCROEDCAPB練習(xí)：同樣可用體積法求出棱長為的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑．分析可知，正四面體的內(nèi)切球與外接球球心相同，將球心與正四面體的個(gè)頂點(diǎn)相連，可將正四面體劃分為四個(gè)全等的正三棱錐，于是可知內(nèi)切球的半徑即為正四面體高度的四分之一，外接球半徑即為高度的四分之三．故只要求出正四面體的高度即可．又：，所以，．例二十三、〔1991年全國聯(lián)賽一試〕設(shè)正三棱錐P—ABC的高為PO，M為PO的中點(diǎn)，過AM作與棱BC平行的平面，將三棱錐截為上、下兩個(gè)局部，試求此兩局部的體積比．FEOFEOMDCBAPHG所作的平行于BC的平面交平面PBC于EF，由直線與平面平行的性質(zhì)定理得：EF∥BC，連接AE，AF，那么平面AEF為符合要求的截面．作OH∥PG，交AG于點(diǎn)H，那么：OH=PG．；故：；于是：．8、如果空間三條直線a，b，c兩兩成異面直線，那么與a，b，c都相交的直線有(A)0條(B)1條(C)多于1的有限條(D)無窮多條解：在a、b、c上取三條線段AB、CC、AD，作一個(gè)平行六面體ABCD—ABCD，在c上取線段AD上一點(diǎn)P，過a、P作一個(gè)平面，與DD交于Q、與CC交于R，那么QR∥a，于是PR不與a平行，但PR與a共面．故PR與a相交．由于可以取無窮多個(gè)點(diǎn)P．應(yīng)選D．3.設(shè)四棱錐的底面不是平行四邊形,用平面去截此四棱錐,使得截面四邊形是平行四邊形,那么這樣的平面()(A)不存在(B)只有1個(gè)(C)恰有4個(gè)(D)有無數(shù)多個(gè)例一、〔1991年全國聯(lián)賽一試〕由一個(gè)正方體的三個(gè)頂點(diǎn)所能構(gòu)成的正三角形的個(gè)數(shù)為〔A〕4；〔B〕8；〔C〕12；〔D〕24．分析：一個(gè)正方體一共有8個(gè)頂點(diǎn)，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，構(gòu)成正三角形的邊必須是正方體的面對角線．考慮正方體的12條面對角線，從中任取一條可與其他面對角線構(gòu)成兩個(gè)等邊三角形，即每一條邊要在構(gòu)成的等邊三角形中出現(xiàn)兩次，故所有邊共出現(xiàn)次，而每一個(gè)三角形由三邊構(gòu)成，故一共可構(gòu)成的等邊三角形個(gè)數(shù)為個(gè)．例1在桌面上放著四個(gè)兩兩相切、半徑均為r的球，試確定其頂端離桌面的高度；并求夾在這四個(gè)球所組成圖形空隙中與四個(gè)球均相切的小球的半徑．(2012重慶)9.設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，和，且長為的棱與長為的棱異面，那么的取值范圍是〔A〕A.B.C.D.〔2010全國〕(6)直三棱柱中，假設(shè)，，那么異面直線與所成的角等于〔C〕(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°6.C【命題意圖】本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法.【解析】延長CA到D，使得，那么為平行四邊形，就是異面直線與所成的角，又三角形為等邊三角形，過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線a，使a與棱AB,AD,AA1所在直線所成的角都相等，這樣的直線aA)1條B〕2條C〕3條D〕4條(2010重慶)〔9〕到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)(D)〔A〕只有1個(gè)〔B〕恰有3個(gè)〔C〕恰有4個(gè)〔D〕有無窮多個(gè)11．如圖，M是正方體的棱的中點(diǎn)，給出以下命題=1\*GB3①過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線、都相交；=2\*GB3②過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線、都垂直；=3\*GB3③過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線、都相交；=4\*GB3④過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線、都平行.其中真命題是：A．=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④B．=1\*GB3①=3\*GB3③=4\*GB3④C．=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④D．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③如圖