2023年高考數(shù)學(xué)練習(xí)壓軸題（新高考版）12 三角函數(shù)（全題型壓軸題） （解析版）

專題12三角函數(shù)(全題型壓軸題)

三角函數(shù)(全題型壓軸題)

①三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

②函數(shù)y=ASin(<υx+o)的圖象變換

③三角函數(shù)零點(diǎn)問題(解答題)

④三角函數(shù)解答題綜合

①三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.(2022?上海市向明中學(xué)高三開學(xué)考試)直線y=1與函數(shù)/(X)=2sinQx-的圖像在y軸右側(cè)交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為22、、%，下列結(jié)論：①小-撲-2CoS2x；②f(χ)在[僵]上

是減函數(shù)；③八生、、可為等差數(shù)列；④4+4+?+4z=34π.其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)F(X)=2sin(2x-￡),所以

=2sin(2(x-^)-^J=2sinf2Λ?--^?^≠-2cos2x,

故①錯(cuò)誤；

當(dāng)Xe]],哥，2x-f∈[??,因?yàn)閥=2sinx在口空]上不單調(diào)，故②錯(cuò)誤；

6IZJ66363

因?yàn)閥=l與/(χ)=2sin(2L圖像在y軸右側(cè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為外4、、4，

即2sin(2X-E)=1,解得x=+E或+E,Z∈Z,

TT

因?yàn)椋?gt;0,所以=工，出=τ+π,%=7^+π,，不是等差數(shù)列,

6262

故③錯(cuò)誤；

TLTrTr7L

因?yàn)閃=37，%=二+W4=77+元，，

6262

所以4+氏++6)=7+5+(7+2+(5+2+÷(~÷5×Jr)÷(―÷5×Ti)

=Ξ×6+Ξ×6+2×(l+2+3+4+5)×π=34π,故④正確.故A,B,D錯(cuò)誤.

62

故選：C.

2.(2022?上海交大附中高三開學(xué)考試)己知/(x)=SinlX∣+∣SinXl+cos∣x∣+∣COSX|,給出下述四個(gè)

結(jié)論：

①y=/(χ)是偶函數(shù)；②y=/(χ)在［py］上為減函數(shù)；

③y=fM在(萬,2萬)上為增函數(shù);④y=f(X)的最大值為2√∑.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①(?④B.①③④c.①②③D.①④

【答案】D

【詳解】解：對(duì)于①，易得/(X)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

因?yàn)?(一%)=SinITl+∣sin(-x)∣+cos∣Tl+1CoS(-x)I=sin∣x∣÷∣-sinx∣+∞s∣x∣+∣cosx∣

=SinlX∣+∣SinXl+cos∣x∣+∣COSXl=/(x),所以y="r)是偶函數(shù)，故正確;

對(duì)于②和③，因?yàn)楱Mf-‰sin∣-∣+∣sin-∣+cos∣-∣+∣cos-1=-^-÷^---^-÷-^-=0,

I4)44442222

7%I

-yl÷cosl+lcosY

且"<?<苧<所以在

y=f(χ)不是減函數(shù)，在(肛2萬)也不是增函數(shù)，故②，③錯(cuò)

642

誤;

對(duì)于④，當(dāng)2kτr≤x<^÷2攵肛左∈N時(shí)，/(?)=SinIX∣+1SinXl+cos∣x∣+1COSXl

=si∏Λ+sinx+cosx+cosx=2(sinx+cosx)=2&sin(x+；),

因?yàn)?Z%≤x<工+2Aτr,Z￡N,所以工+2?ττ≤x+工<互+2?ττ,Z∈N,

2444

所以亭≤sin[x+()≤l,所以2≤∕(x)≤2√∑;

當(dāng)耳+2kπ<x<π+2kπ,A∈N時(shí)，f(x)=sin∣x∣+1sinx∣÷cos∣?∣+1cos?|

=sinx+sinx+cosx-cosx=2sinx,

因?yàn)?+2卜?！躼<πjt-2kτr,左∈N,

所以O(shè)<sinx≤l,所以0v∕(x)≤2;

3萬

當(dāng)乃+2kπ<x<—+2kπ,k∈N時(shí),/(x)=sin∣Λ∣÷∣sinx∣÷cos∣%∣÷∣cosx?

=SinX-SinX+cosX-CoSX=O；

3ττ

?-—÷2kπ<x<2π+2kπ,k∈N時(shí)，f(x)=sin∣x∣+∣sinx∣+cos∣x∣+∣cosX∣

2

=sinx-sinx+cosx+∞sx=2cosx,

3萬

因?yàn)?--1-2kπ≤X<2π+2k兀,ZeN,

2

所以O(shè)≤cosx<l,所以0≤∕(x)<2,

所以，綜上所述，當(dāng)x20時(shí)，f(x)的最大值為2√∑,由于f(x)為偶函數(shù)，所以當(dāng)x<0時(shí)，/(x)的

最大值也為2√∑,故y=∕(χ)的最大值為2√∑,故④正確；

故選：D

2sin(2τLV-2πβ)-√3,x<6f

3.(2022?廣東汕頭?高三階段練習(xí))已知函數(shù)"x=1V,,,\(αeR),若"x)

一χ2+2(α+l)x-(∕+6),χ≥“'

在區(qū)間(0.+8)內(nèi)恰好有7個(gè)零點(diǎn)，則”的取值范圍是()

【答案】D

【詳解】解：當(dāng)"VO時(shí)，對(duì)任意x>0,/(x)=-χ2+2(α+l)x-(∕+6)在(0,+司內(nèi)最多有2個(gè)零點(diǎn),

不符題意；

所以4>0,

當(dāng)眾。時(shí)，y=-χ2+2(α+l)x-(∕+6),開口向下，對(duì)稱軸為x=α+l,所以函數(shù)在3,。+1)上單調(diào)遞

增，在［α+l,+8)上單調(diào)遞減，

所以Nmax=2α-5,

又因?yàn)楫?dāng)x=α?xí)r，y=2α-6;

當(dāng)2a-5<0,即“<?∣時(shí)，y=-x。+2(α+l)x-(/+6)在［4,+8)內(nèi)無零點(diǎn),

所以/(x)=2sin(27LC-2π4)-石在(O,O)內(nèi)有7個(gè)零點(diǎn)，

即sin2π(x-α)=立在(0，。)內(nèi)有7個(gè)零點(diǎn)，

2

因?yàn)?<x<α,所以一QVX—。<0,-2τuz<2π(x-^)<0,

.23π/_22兀11,23

所rr以κ-F-≤-2?！?zt解7jzw得-<a≤—,

3336

又因?yàn)棣?lt;g,

所以無解；

當(dāng)2a-5=0,即4=一時(shí)，

2

495

>=-》2+23+］?-(/+6)=-r+7*-彳在［萬,+8)內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn),

/(X)=2sin(27Lr-5π)-#在(0,1)內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn),

即sin2πx=——?在(Oq)內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn),

22

由三角函數(shù)的性質(zhì)可知此時(shí)sin2πx=-正在（0$內(nèi)只有4個(gè)零點(diǎn),

不符題意;

2α-5>0即∣時(shí),

當(dāng)<α43

2a-6≤0

y=-χ2+2(α+i)χ-(∕+6)=-f+8χ-15在［α,+<≈)內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn),

所以/(?)=2sin(2τtx-2πa)-Λ∕3=2sin2π(x-a)-43在(。,〃)內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn),

即sin2π(尤-a)=—?在(OM)內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn),

2

因?yàn)?<x<4,所以一Q<X—α<0,-2τuz<2π(x-tz)<O,

廠一、［17兀，C16π.8/7

所以-≤-2τuz<-—-,解nz得w—<a≤—,

3336

又因?yàn)間<α≤3時(shí)，

Q17

所以；<α≤g

36

當(dāng)2〃一6>0,即α>3時(shí)，

丁=一/+2（。+1）“一（。2+6）在［。,+8）內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，

所以/（尤）=2sin（2τ0;-2πα）一代在（（）,〃）內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，

即sin2π（x-α）=*在（OM）內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn),

因?yàn)?<x<α,所以一α<x-Q<0,-2πcι<2π（X-Λ）<0,

,22π,c17π-.17,11

所crr以κ---≤-2πcι<,解ztz得ιz—<a≤-,

3363

又因?yàn)椤?gt;3,

所以3<a≤*

綜上所述,。的取值范圍為:佟斗左鼻.

136」\3_

故選：D.

4.（2022?上海?高三開學(xué)考試）聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù)，純音的數(shù)學(xué)模

型是函數(shù)y=Asin。/,我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型

是函數(shù)/(x)=SinX+gsin2x,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有()

①的圖象關(guān)于直線X=兀對(duì)稱；②"x)在上是增函數(shù)；

③“χ)的最大值為苧；④若〃%)/⑸=W，則禺FL號(hào).

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】①因?yàn)?(2π-x)=sin(2π-x)+gsin2(2π-x)=-sinx-gsin2x=-/(X),

所以/(x)的圖象不關(guān)于直線x=兀對(duì)稱，錯(cuò)誤；

②∕,(X)=∞SX+COS2X=2∞S2X+COSX-1=(2COSX-1)(COSΛ+1),

當(dāng)Xe一夕(時(shí)，cosx≥*,則/'(x)>0,

所以/(x)在-未：上是增函數(shù)，正確；

③因?yàn)閥=sinx的周期為2"，y=gsin2x的周期為乃，所以f(x)=SinX+；sin2x的周期為2萬，不

妨取一個(gè)周期［0,2句上求其最值，

令/'(x)=0得COSX=;或COSX=-1,當(dāng)x∈(θ,q)或Xe(與,2^時(shí)，^<cosx<l,此時(shí)/'(x)>0,

所以/(x)在(0高和摟,2%)上遞增，當(dāng)Tmq)時(shí)，-l≤cosx<∣,此時(shí)f(x)≤O,但不恒為

零，所以F(X)在上遞減，又./'(5)>"0)=∕(2π)>/(9),所以

d、/兀、.41.243石..、/5兀、.5π1.1043Λ∕3「「1、IFr總

χ==sιn+sιn=,=sin-+sin_=f

/()≡x?ττ9^r??Trr?^—一T所以正確；

④若/⑺〃々)=W=乎X,平］，不妨取,㈤=乎，〃當(dāng))=-￥,

/兀C13Λ∕3/5兀C13+rj

囚為?l~÷2mττI=———,fI-?-+2〃7I=———,〃?,〃∈Z,

2

所以NT2L=77Γ,正確?

故選：C.

5.(2022?安徽?蕪湖一中模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=CoSlX|-2∣sinx∣,以下結(jié)論正確的是()

A.兀是f(x)的一個(gè)周期B.函數(shù)在0,y單調(diào)遞減

C.函數(shù)F(X)的值域?yàn)椋?右,1］D.函數(shù)/(x)在［-2π,2π∣內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)

【答案】C

【詳解】因?yàn)?(W+n)≠∕(2),所以A錯(cuò)誤;

當(dāng)Xe0,y，/(x)=COSX-2sinx==>j5cos(x+φ),其中

c°sP=不'sine=存，不妨令。為銳角，所以］<e<］,所以e≤χ+e≤T+",因?yàn)辄c(diǎn)+夕>兀，

所以B錯(cuò)誤；

因?yàn)?π是函數(shù)F(X)的一個(gè)周期，可取一個(gè)周期［0,2兀］上研究值域，^∣xe［0,π］,

CoSX-ISinX

/(x)=cosx-2sinx==&cos(X+9)，φ≤x+φ<τt+φ,所以

?f5cosπ</(Λ)<>∣5cosφ,即F(X)∈；因?yàn)?(x)關(guān)于X=J對(duì)稱,所以當(dāng)xe［π,2τr］時(shí)

/(x)∈l-√5,l］,故函數(shù)/O)在R上的值域?yàn)椋?如,1］,故C正確；

因?yàn)楹瘮?shù)/O)為偶函數(shù)，所以在區(qū)間［-2π,2jt］上零點(diǎn)個(gè)數(shù)可通過區(qū)間［0,2兀］上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由

y=sin∣x∣,y=2∣cosx∣在［0,2π］圖像知由2個(gè)零點(diǎn)，所以在區(qū)間［-2兀,2兀］上零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，所以

D錯(cuò)誤.

故選:C.

6.(2022?浙江金華第一中學(xué)高一階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)在R上滿足f(-X)+f(x)=0,且χ>0時(shí)，

/(x)=-(Ix+sina?+?x+2sina∣)+∣sina(--≤α≤?y)對(duì)任意的XeR,都有/(x-3√3)≤/(x)恒成

立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

π7π

A.[0,π]

6,τ

【答案】D

13

【詳解】令f=smae［-l,l］,當(dāng)x>0時(shí)，，/(x)=-(∣Λ+∕∣+∣x+2r∣)+-Z,

若fZO,則當(dāng)x>0時(shí)，/(χ)=χ+3f,當(dāng)χ<0時(shí)?，f(x)=-f(-x)=x-3t,/(0)=0,

函數(shù)y=/*-3√J)的圖象是由y=/(%)的圖象向右平移訪個(gè)單位而得，

顯然y=f(x)的圖象總在y=f(x-3#)的圖象的上方，即f(x-3百)≤∕(x)恒成立，因此

Sina=￡≥0,

-x,O<x<-t

若fvθ,當(dāng)％≥0時(shí)，f(x)=<t-t<x<-2ty因F(X)為奇函數(shù),函數(shù)/O)在R上的圖象,如圖,

x+3t,x≥-2t

把y=∕(x)的圖象向右平移個(gè)單位得y=∕(χ-3√J)的圖象，要Vx∈R,/(X-36)4F(X)恒成

立，

當(dāng)且僅當(dāng)射線y=x-3r(x≤2f)經(jīng)平移后在射線y=x+3f(x≥-2r)及下方，于是得-3r-3r≤34，則

--≤Z<0.

2

綜上得f≥-3,即Sina≥-3，而-］≤e≤^,解得-g≤α≤冬，

222233

所以實(shí)數(shù)α的取值范圍為［-彳TT三4TE］.

故選：D

7.(2022?云南楚雄?高一期末)設(shè)函數(shù)/(x)=CoS(妙-/10>0),已知〃x)在［0,π］上有且僅有4

個(gè)零點(diǎn)，現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：

^IQ25、

①。的取值范圍是;

L66)

②/(χ)的圖像與直線y=1在(0,π)上的交點(diǎn)恰有2個(gè)；

③“X)的圖像與直線y=T在(0,兀)上的交點(diǎn)恰有2個(gè)：

上單調(diào)遞減.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①②B.①③C.②③D,①④

【答案】A

O?jτ??/rr，Tr

【詳解】當(dāng)x∈［0,π］時(shí)，πr-y∈［-y,π^-y］,因?yàn)椤υ冢?,π］上有且僅有4個(gè)零點(diǎn),

所以W≤πG-M<W?,解得F≤G<g,故①iE確；

23266

9Tt2ττ

又由以上分析可知，函數(shù)V=COSX在［-1,7Uy-胃］上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，

JT兀兀

且qS≤πo97-1q7<;,則在［-2《,7；7t)上，y=cosx出現(xiàn)兩次最大值，

23232

此時(shí)函數(shù)y=cosx的大致圖像如圖示：

即y=∕(x)在(0,兀)上兩次出現(xiàn)最大值1，即?-專取0,2兀時(shí)，y=∕(x)取最大值,

故y=/(χ)的圖像與直線y=1在(0,n)上的交點(diǎn)恰有2個(gè)，故②正確；

I十、“/八、r2K,2兀2兀、571,2兀7兀

由于當(dāng)Xe(O,π)時(shí)l，Ttx------∈(------,πω----),一≤πω------<—,

333232

2τr2τr

當(dāng)πx-q=n時(shí)，y="x)取最小值T,由于以是否取到而不確定，

故y="χ)的圖像與直線y=τ在(0㈤匕的交點(diǎn)可能是I個(gè)或2個(gè)，故③錯(cuò)誤；

ππ,2πωπ2πωπ2π

當(dāng)XW時(shí)，ωx--—∈

4,24323)

r?i`j19,25c,rκ,ωπ2πnIEGM2兀17π

因?yàn)?WG<=?,所以一；------>0,----≤-----------<-----?

6Γ643122312

故等的值不一定小于π,

上不一定單調(diào)遞減，故④錯(cuò)誤.

故選：A.

8?(2022?四川樂山?高一期末)向量∕∏=(x,y)(x≥O,y≥O),∣m∣=l,M=(1,1)M=質(zhì)?〃，則

T=Qvj-2"?∣)的取值范圍是()

A.[-l,+∞)B.l-4√2,-5]

C.[-4√2,+∞)D.[-9,÷x)

【答案】B

【詳解】解：即""=l,x≥O,y≥O,設(shè)〃，=(CoSaSin9),，e0,|,

^a=m?n=>∕2sinθ+-

4

團(tuán)q0用,?（號(hào)團(tuán)sin(夕+爭(zhēng)團(tuán)α∈[l,7∑],

又“e[∣典,y=x+-在[1,點(diǎn)]上單調(diào)遞減，所以yπra=3,ymill=2也.

2[2夜-1,2],0L+--1')∈[9-4^,4].

團(tuán)。+——1∈

a

0T∈[-4√2,-5],

故選：B.

9.（2022?山西?忻州一中模擬預(yù)測(cè)（文））定義：設(shè)不等式/（x）>0的解集為4若4中只有唯一整

數(shù)，則稱Z為"和諧解集若關(guān)于X的不等式SinX+cosx>2,nr+kinX-CoSX在（0,乃）上存在“和諧解

集"，則實(shí)數(shù)"?的取值范圍為（）

A.[——,cosl）B.（-----,cos1]C.[cos2,cosl]D.[cos2,sin2]

【答案iA2

【詳解】解：不等式SinX+cosx>2wu+KinX-COSΛ∣UJ^化為minkinx,cosx}>∕nr.

由函數(shù)y=min{sinx,cosx}得min{sinx,co<a}>tnx只有一個(gè)整數(shù)解，這唯一整數(shù)解只能是X=1,

因?yàn)辄c(diǎn)A（l,cosl）,B（2,cos2）是y=min{sinx,cosx}圖像上的點(diǎn)，所以上注,,CCOSL

所以數(shù)〃?的取值范圍為[=,cosl）.

故選：A.

10.（2022?天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)二模）設(shè)。eR,函數(shù)

2sin?(Dx+-,x>0,

g(x)=ωx.若/(X)在上單調(diào)遞增，且函數(shù)/（X）與g（x）的圖象

31

一X~+4。XH--,X<0,

122

有三個(gè)交點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

【答案】B

【詳解】解：當(dāng)xe[θ,g]時(shí)，+

_2√0L0Z0J

上單調(diào)遞增,

所以"一半≤?~;,解得:≤G≤?∣,

2sin工≥L

I62

又因函數(shù)〃x）與g*）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，

所以在X￡（-8,0）上函數(shù)/（X）與g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

41

即方程X在xe(-,0)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

即方程3∕+6s+l=O在XW(YO,0)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

Δ=36iy2-12>0

-co<0,解得3?且,

所以《

3,3

—×0'+6<w×0+l>0

12

當(dāng)06時(shí),

π

當(dāng)x20時(shí)，令/(x)-g(x)=2sinCOXH---ωx,

6

山/(χ)-g(χ)=ι>o,

W萬5π八lπ

；：］COXH---=---時(shí)，COX=----,

623

7τr

此時(shí),/(x)-g(x)=2---<0,

結(jié)合圖象，所以x≥0時(shí)，函數(shù)/(x)與g(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),

綜上所述，<we-^,?∣.

\-

故選：B.

11.(2022?安徽?高三開學(xué)考試)有下列命題：

①函數(shù)N=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)；

②函數(shù)/(x)=cos(gx+^)+√Σ的最小正周期為玩；

③直線X=無為函數(shù)f(x)=Sin(cosx)+cosX圖像的一條對(duì)稱軸;

④函數(shù)/(?)=ISin%I+cosx的值域?yàn)椋?1,√Σ］.

其中所有正確命題的序號(hào)為.

【答案】③④

【詳解】對(duì)于①，由y=ta∏x的圖像(如圖)易知①錯(cuò)；

I兀+?∣2=cos^x+π+-j+

對(duì)于②，因?yàn)?(x+3π)=cos§(%+3勸+^

134)Y陪x+J

而/(x)=COs,x+j+√Σ，β"?(x+3π)κ∕(x),故3兀不是/(x)的一個(gè)周期，故②錯(cuò)；

對(duì)于③，/(兀-X)=sin(cos(π-X))+cos(π-X)=sin(-cosx)-cosX=-sin(cosx)-cosxt

/(π+x)=sin(cos(π+x))÷cos(π+x)=sin(-cosx)-cosx=-sin(cosx)-cosx,所以/(π-X)=/(π+x)t

故X=兀為∕")的一條對(duì)稱軸，故③對(duì)；

對(duì)于④，當(dāng)2?π≤x≤π+2Zπ,Z∈Z時(shí)，sinx>0,?,?f(?)=Isinx∣÷cos?=sinx+cosx=^sinx+-,

TrC,7137cC,

.一+2EWX+一≤—+2Λπ,

444

.*.—Sin1%+≤1,二.-1≤f(x)≤Λ∕2；

當(dāng)一7t+2E≤x≤2Λπ次eZ時(shí)，sinx<0,?-?/(x)=Isinx∣+cosΛ=-sinx+cosx=-?J1sinj,

--^-+2kπ≤x——≤—+2kπ,√,—1≤sin^x+^^≤`(?)—：綜上,f(?r)e|^—l>V2J,故

④對(duì).

故答案為：(3)(4).

12.(2022?湖北嚷陽五中高三開學(xué)考試)如圖，正方形A88的邊長(zhǎng)為10米，以點(diǎn)/為頂點(diǎn)，引出

放射角為m的陰影部分的區(qū)域，其中NE48=x,14X4：,記AE,AF的長(zhǎng)度之和為/(?).則“x)

0

的最大值為__________.

【答案】10√6

【詳解】由題設(shè)，AE=絲=—旦，

COSxCOSx124

而440=ZEAB+㈤Pe亨莒，故ZDAF=(-xe/,夕,

AD10

ΛF-T_

所以一,π~π,

COS(y-X)COS(y-X)

1

妗卜/(x)=10(—+

練匚，COSX

8畤T)12^~4,

,/T.20VJsin(x+為

2,JO3Αcosx+√3Sinx_3

所以?。?∣o?

7COSX+石SinXCoSX(CoSX+石Sinx)sin(2x+—)÷1

62

令，=Sin(X+()衣,1],貝IJ

?-24、..Tt_Tt、..71、

1-cos(2x4----)1-cos(—F2x4—)l+sin(2x4—)

2?、,冗、

t=sm~(x+y)=3_26_6，

222

〃、乙、20√3

#拽,1］上遞減,

所以sin(2x+f)=2產(chǎn)—1,故f(x)=8(t)=~~j-在fe]

6It——4

2t

20√3

所以7(x)∏rn=g")max===10√6]π

√6+√22，此時(shí)X=—或X=一

124

2√6+?^

故答案為：10λ∕^"

13.（2022?河南?新蔡縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)

手，若方程/⑺=在（（），乃）上的解為，占，則

π2I4

f(x)=COSX--c-os?-?/?cosX+

2J

CoS(X-X2)=

【答案】I

/7ZT

【詳解】f(?)=sinXcosX-(1+cos2x)÷?-

=-sin2x-^^cos2x=sin(2x--)?令2x-f=1+Aττ,(R∈Z),

22332

SnlζJT2

得/(X)的對(duì)稱軸方程為X=五+3,伏eZ),X€(o,球時(shí)，/(x)=]>0的

Sτr

解為4X2,結(jié)合圖像一定有X∣+X2=2x==?STT二%=ST?T72,代回得：

12oo

5TT7r2

cos(x-??)=cos(------2X)=sin(2x——),又?Xe(0,乃)時(shí)f(X)=一的

162233

,,-

解為牛/??/(?)=sin(2x2-y)=I??∞s(x1?)=∣

2

故答案為：j

14.（2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試）已知函數(shù)/（x）=2sin（s+s）（o>0,∣同/的部分圖象如圖所示,

lπ

<O的最小正偶數(shù)X為.

357TTt3424

【詳解】由圖可知Wp=彳，即Ty所以〃=2；

由五點(diǎn)法可得2x3+9=、，即0=：

所以F(x)=2sin(2x+?).

?3π7Tr

因?yàn)镾in=-1，/(—)=2sin(5^?)=0；

6

7π

所以由/(%)+/VO可得OVFa)V1；

∕ω÷∕3

π

由0<25皿(2/+1)<1,gp0<sinf2x+?j<-t

32

TTπSTTTt

團(tuán)2kπ<2x+-<2kπ+—,Z∈Z或2kπ+—<2x+-<2kπ+π,Z￡Z,

3663

解得女兀一三<x<Zπ---,kEZχ?Zτt+3<xvAπ+PM∈Z,

61243

?,1-rzs5π1lπ.p5π4π

令k=\,可得—<x<――或—<x<—,

61243

所以最小正偶數(shù)五為4.

故答案為：4.

②函數(shù)y=Asin(<yχ+o)的圖象變換

1.(2022?廣東茂名?高一期末)將函數(shù)/(x)=2SinX-I的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍,

再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，最后向左平移。@>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(')的圖象.若對(duì)任意

XIe吟-生0

,都存在超￡2,J,使得/(%)=g(%),則。的值可能是()

π5πC7π3π

A.一B.—C.—D.—

412124

【答案】C

TT

【詳解】由題，g(x)=2[2sin(x÷^)-l]-l=4sin(x+^)-3,又對(duì)任意內(nèi)€0，,，都存在

使得〃故在上的值域包含/(%)在上的值域.又當(dāng)

??∈--0xj=g(x2),g(x)-Mo0.y

2''

歸TC?.

χ∈時(shí)，/α)=2sin∕7e［Tl］,即g(x)在一不。上的值域包含［-川.又當(dāng)Xe--,0時(shí),

πTCTTπ

x+φe--+φ,φ,且g(x)=4sin(x+0)-3=1有解，故區(qū)間--+φ,φ包含X=不+2氏不,％∈Z,

乙2乙

3萬X+今

排除AB；又當(dāng)尹=7-時(shí)，g(x)=4sin-3∈[2Λ^-3,1],因?yàn)?√Σ-3>-l,故[2近-3,1]不

lπC?II7冗πl(wèi)π

包含［-1,1］不合題意排除D；當(dāng)夕=￡時(shí)g(x)=4sinX4-----3,此時(shí)X+IP五，故

12

gmin(x)=4Si哈-3<4si吟-3=-l,故此時(shí)g(x)在-∣,o上的值域包含［-U］滿足條件.綜上所述

S=最7yr滿足條件

故選：C

x+lnx,x>0

2.(2022?湖南?長(zhǎng)沙一中高一期中)設(shè)函數(shù)/(X)=sin1@工+7卜一乃≤X≤0有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則正

實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A?號(hào))/317、

B?(X

戶17CJ317,

cr?(XDyR

【答案】A

【詳解】山題，當(dāng)x>0時(shí)，"x)=x+lnx,顯然單調(diào)遞增，且f?=^-lnl0<0,/(2)=2+ln2>0,

所有此時(shí)“力有且只有一個(gè)零點(diǎn),

π

所有當(dāng)一萬≤x≤0時(shí)，/(x)=SinCOX+-有4個(gè)零點(diǎn)，令/(x)=0,即0x+(=b?,&eZ,解得

π.

----+kπ

X--------,k∈Z'

ω

由題可得一4≤x≤0區(qū)間內(nèi)的4個(gè)零點(diǎn)分別是2=0,-1,—2,—3,所以一4即在人=-3與Z=-4之間,

---3π

4≥-π

ω1317

即，,解得與≤°<4

π44

------4λ4

4<-π

ω

故選：A

3.(2022?云南昭通?高三期末(理))把y=sinx的圖象向左平移夕(O<e<τr)個(gè)單位，再把所得圖象

各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的T倍，再把所得圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到函數(shù)/S)的

[Hl對(duì)VXeR成立，則

圖象，若/S)≤

TT\冗

①/(X)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為,-

τ?O

②/O)的圖象向右平移皿心。)個(gè)單位得到的函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，則加的最小值為三；

③/(x)的對(duì)稱中心為(當(dāng)+展刀)(攵WZ)；

④若關(guān)于X的方程3"(x)F+∕(χ)+2=0在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則〃的取值范

圍為(-∞,-5).其中，

判斷正確的序號(hào)是()

A.①②B.①③C.③④D.①③④

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意得，函數(shù)經(jīng)過平移伸縮變換后的解析式為：/(x)=2sin(2x+夕)，

f(x)最值=/(g]，，2xg+夕=Z%+g,AeZ,解得e=kπ-2,kwZ,

\3√326

八5萬.以W「乃54〕,5萬「345^1.

0<￠9<zr,..￠9=-—,?(?)=2sιn2x+---L∣X∈—,f=2%+—-∈—時(shí)，γ=2sinr在

oI6JZL36」6L22

y,γ上單調(diào)遞增,①正確；AX)的圖象向右平移小>0)個(gè)單位得到的函數(shù)是

y=2sinf2(x-Λ∏)+?^-'j=2sinf2x+?^--2∏7'j是一個(gè)偶函數(shù)，

則苧-2m=g+^r=>m="+g,k∈Z,機(jī)>O,.?.j%min=g，②錯(cuò)誤;

62266

^2x-v-=kπ^x=---,k∈Z,故③正確；

6212

STTπSτrTt

x∈√=2x+-∈0,—,y=2sinr,所以y∈[0,l],令s=/(X),s∈[O,l],則關(guān)于二的方

_123J66_

STTJT

程3"(x)f+叭x)+2=0在區(qū)間-石，-§上有兩個(gè)不相等的實(shí)根等價(jià)于3/+儂+2=0在[0,1]上

有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)g(s)=3s2+∕w+2,則函數(shù)與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)對(duì)稱軸為s=-《，實(shí)

?n,

0<——<1

6

g(0)=2>0

數(shù)〃滿足〈,解得:-5<n<-2√6,團(tuán)當(dāng)一5≤"<-2j^時(shí)滿足題意，④錯(cuò)誤

g⑴=5+zι≥0

故選：B.

4.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Sins+cos5+kin3x-CoSSI(o>0),則下列結(jié)論

錯(cuò)誤的是()

①O=I時(shí)，函數(shù)/(X)圖象關(guān)于X=W對(duì)稱；②函數(shù)“X)的最小值為2③若函數(shù)/(x)在-：,0上

單調(diào)遞增，則&?0,3］；④4,巧為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，若If(XJl+∣∕(W)I=4且卜-引的最小值

為兀，則口=2.

A.②③B.②④C.①③④D.②③④

【答案】B

2sinωx,sinωx≥cosωx

【詳解】由題設(shè)可得“X)=

2cosωx,sinωx<cosωx'

2sinr,sinr≥cosr

令r=5,設(shè)〃(/)=

2cos∕,sinr<cosr

CiTt..5萬

當(dāng)sinr≥cosf時(shí),2kπ+—≤∕≤2k1π+——Λ∈Z,?-√2≤∕z(r)≤2,

44

當(dāng)sint<cost時(shí)，2kτr——≤f≤2kτr+—,?∈Z,故—JΣ≤/2≤2,

故3)的最小值不是-2即/(x)的最小值不是-2,

而〃⑺的最大值為〃2kττ+=h(2kπ)=2,

2kπ+-

22kπ

故"力=/=h=2的最大值為2,其中2∈Z,

①ω

/

故②錯(cuò)誤.

因?yàn)镮fa)I+1/(切1=4,故Fa)="z)=2,

故IXI-X2Ln=M=%，故0=；，故④錯(cuò)誤.

當(dāng)G=I時(shí)，/(x)=sinx+cosx+∣sinx-cosΛ∣,

ππx?-?1+sin

則/~~x~~+COS-COS

=sinx÷cosx+∣sinx-cosx∣=∕(x),

故"X)的圖象關(guān)于直線X=(對(duì)稱，故①正確.

τr、冗

2sint2kπ+-≤t≤2kπ+-

944

又〃(r)=?其中AeZ,

2cost,2kπ-—<t≤2kπ+—

44

故在2kπ+^,2kπ+^上，Mr)為增函數(shù),

在2kπ+^,2kπ+^-上，咐為減函數(shù)，

在2kπ--,2kπ上，)為增函數(shù)，

TT

在2kπ,2kπ+-上為減函數(shù)，

_4_

當(dāng)X∈-?,θ時(shí)，?*Z=cox∈-~~^>θ,故一≥一當(dāng)即o∈(0,3],

4J4」44'」

故③正確.

故選：B

5.(2022?天津?二模)已知f(x)=2sin2(0x+(1-l(0>O),給出下列結(jié)論:

①若<X∕)=1,左2)=-1，且M-X2Imin=兀，則①=L

②存在0團(tuán)(0,2),使得ZW的圖象向左平移￡個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;

O

「4147^

③若/(x)在[0,2兀]上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則。的