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文檔簡介
由于等同于因分析”.相同的.所以有人把“數(shù)學(xué)分析”也稱為“無窮小此函數(shù)極限的性質(zhì)與無窮小量的性質(zhì)在本質(zhì)上是§2.3無窮小量與無窮大量
極限為0的變量稱為無窮小量,簡稱無窮小。一、無窮小量
注無窮小量是一個變量,不要與很小的數(shù)混淆。顯然,無窮小量是有界量.而有界量不一定是無窮例如:小量.二、無窮小的性質(zhì)
有限個無窮小的代數(shù)和還是無窮小。無窮小與有界變量的積是無窮小。常數(shù)與無窮小之積是無窮小。有限個無窮小的積還是無窮小。性質(zhì)1:性質(zhì)2:推論:性質(zhì)3:利用性質(zhì)3可以求某些變量的極限無窮小除以極限不為零的變量,其商仍是無窮小。性質(zhì)4:解:例:
下面的運算:在附近發(fā)生無限密集的振動,其振幅被兩條直線所限制.-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1思考:
lim
y=A的充分必要條件是變量y
可以表示成A與一個無窮小之和。*證:無窮小與變量極限的關(guān)系必要性
若lim
y=A,則
>0,總有那么一個時刻,在那時刻之后,恒有|y-A|<
成立。記y-A=a,
則a是一個無窮小,即:y=A+a
y可以表示成
A與一個無窮小之和。充分性
若y=A+a,其中a是一個無窮小。則
>0,總有那么一個時刻,在那時刻之后,恒有|a|<
成立。而a=y–A,于是|y-A|<
成立,所以,lim
y=A。三、無窮小的比較
雖然無窮小都是以零為極限的變量,但不同的無窮小趨于零的速度不一定相同。三、無窮小的比較
雖然無窮小都是以零為極限的變量,但不同的無窮小趨于零的速度不一定相同。為了刻畫這種快慢程度,引入無窮小階的概念。定義:例1:
例2:
練習(xí):與均為時的無窮小量,卻不能按照前面討論的方式進行階的比較.這是因為是一個無界量,并且注:不是任何兩個無窮小量都可作階的比較.例如四、無窮大
例:
注注無窮大量是一個變量,不要與很大的數(shù)混淆。
一個無窮大量,其絕對值在其變化過程中可以任意大。因此,無窮大可有如下定義:
若
正數(shù)M(無論多么大),變量y
在某變化過程中,總有那么一個時刻,在那時刻之后,恒有|y|>M
成立,則稱變量y
在該變化過程中為無窮大。練習(xí):作業(yè)習(xí)題二(P73)5.6.(3)(4)7.(3)(4)復(fù)習(xí)一.無窮小量有限個無窮小的代數(shù)和還是無窮小。無窮小與有界變量的積是無窮小。常數(shù)與無窮小之積是無窮小。有限個無窮小的積還是無窮小。性質(zhì)1:性質(zhì)2:推論:性質(zhì)3:
極限為0的變量稱為無窮小量,簡稱無窮小。C=1為等價無窮小.無窮小量的比較二、無窮大
在自變量的某一變化趨勢下,若函數(shù)f(x)的絕對值無限的增大,則稱f(x)為無窮大量.一、極限的性質(zhì)
§2.5極限的運算法則
性質(zhì)1(惟一性)
若
存在,則極限是惟一的.性質(zhì)2(局部有界性)
若
存在,則函數(shù)f(x)在
x0的某空心鄰域內(nèi)有界.
性質(zhì)3(局部保號性)
若,且A>0(或A<0),則在x0的某空心鄰域內(nèi)恒有f(x)>0(或f(x)<0).
性質(zhì)4若,且在x0的某空心鄰域內(nèi)恒有
f(x)≥0(或f(x)≤0),則A≥0(或A≤0).
性質(zhì)5
若,且在x0的某空心鄰域內(nèi)恒有f(x)≥g(x)則A≥B.法則1:
說明:下面的法則對x
x0
及x
時都成立。二.
極限的運算法則
若limf(x)=A,limg(x)
=B,則
lim(f(x)
g(x))存在,且有
lim(f(x)
g(x))
=limf(x)
limg(x)=A
B。推論:若有限個變量的極限均存在,則它們代數(shù)和的極限等于各個變量極限的代數(shù)和。
法則2:若limf(x)=A,limg(x)=B,則lim(f(x)g(x))存在,且有l(wèi)im(f(x)g(x))
=limf(x)?
limg(x)=A?
B。推論1:若有限個變量的極限均存在,則它們的乘積的極限等于各個變量極限的乘積。
推論2:常數(shù)因子可以提到極限號外,即:lim
cy=clim
y
(c
為常數(shù))。推論3:如果
n
為正整數(shù),且limy存在,則:法則3:若lim
f(x)=A,limg(x)
=B0,則存在,如果
n
為正整數(shù),且limy存在,則:解:例1:一般,設(shè)有多項式函數(shù)當(dāng)x
x0
時,多項式函數(shù)的極限恰為函數(shù)在x0
處的值。則解:例2:
一般,設(shè)有理分式函數(shù)為,其中P(x)、Q(x)都是多項式,如果(注:對于有理分式函數(shù),首先要驗證分母極限是否為零。)例3:
注
對有理分式函數(shù)的極限,若分母極限為零,而分子極限不為零,則可直接斷定該極限為無窮大。解:例4:
解:先把分子分母同除以x2,然后再求極限。
例5:
解:先把分子分母同除以x3,然后再求極限。<例6:
解:先把分子分母同除以x3,然后再求極限。<ai
(i=0,1,2,…,s)bj
(j=0,1,2,…,t)常數(shù),s,t
為非負整數(shù)。其中:結(jié)論:例7:
解:型對,分解因式,分子、分母約去無窮小因子,再求極限。例8:
解:例9:
解:項數(shù)無限,需先整理。例10:
解:例11:
解:由此可得k=-3。準(zhǔn)則1:§2.5極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限
一、極限存在準(zhǔn)則
兩邊夾準(zhǔn)則
若在某變化過程中,三個變量x、y、z總有關(guān)系y
x
z,且
lim
y=lim
z=A,則
lim
x=A。例.證明證:利用兩邊夾定理.且由練習(xí):解:利用兩邊夾定理.且由定義:設(shè)有數(shù)列準(zhǔn)則2:單調(diào)、有界數(shù)列必有極限。作業(yè):習(xí)題二
P688(4)(6);9(1)(5);10。13(3)(7)(9)(13)。二、兩個重要極限
解:例1:
解:例2:
解:例3:解:例4:例5:
解:例6:
解:幾個練習(xí)解:1.左極限存在,右極限存在,不存在.這是重要極限2常用的另一種形式.注意:例7:
解:例8:解:例9:
解:例10:
解:例11:
解:
設(shè)有本金A0,年利率為
r,則該資金到第一年度末的本利和為:A1=A0(1+r)。例12:連續(xù)復(fù)利的計算
以A1為第二年度的本金,則到第二年度末的本利和為:A2=A1(1+r)=A0(1+r)2。
依次繼續(xù)下去,至第
t年度末的本利和為:
At
=A0(1+r)t。
如果將一年分為n期計息,則每期利率為r/n,第一
年末的本利和為(復(fù)利n次):An
=A0(1+r/n)n。
若期數(shù)無限增大,即令n
,則t年后本利和為:說明:(1)這種將利息記入本金重復(fù)計算復(fù)利的方法稱為連續(xù)復(fù)利。(2)其他實際問題例如人口增長、林木增長、細菌繁殖、放射元素衰變等也類似于該模型。
依次類推,t年后的本利和為(復(fù)利nt次):
An(t)
=A0(1+r/n)nt。練習(xí):計算極限解:關(guān)于等價無窮小在求極限中的應(yīng)用,有如下定理.證定理
定理設(shè)函數(shù)f,g,h在內(nèi)有定義,且證所以例1解所以定理告訴我們,在求極限時,乘積中的因子可用等價無窮小量代替,這是一種很有用的方法.例2解只有乘積或商當(dāng)中才能用,和、差當(dāng)中不能用解練習(xí)1:解練習(xí)2:補充練習(xí)求下列極限①②③解:①②③④四.極限的運算法則
若limf(x)=A,limg(x)
=B,則
lim(f(x)
g(x)),lim(f(x)g(x))存在,且有
lim(f(x)
g(x))=limf(x)
limg(x)=A
B;
lim(f(x)g(x))=limf(x)?
limg(x)=A?
B;若B≠0,則以上結(jié)論都可以推廣到有限項.復(fù)習(xí):1.一般,設(shè)有理分式函數(shù)為,其中P(x)、Q(x)都是多項式,如果ai
(i=0,1,2,…,s)bj
(j=0,1,2,…,t)常數(shù),s,t
為非負整數(shù)。其中:4.幾個等價的無窮小量準(zhǔn)則1:5.極限存在準(zhǔn)則
夾擠準(zhǔn)則
若在某變化過程中,三個變量x、y、z總有關(guān)系y
x
z,且
lim
y=lim
z=A,則
lim
x=A。準(zhǔn)則2:單調(diào)、有界數(shù)列必有極限。這是重要極限2常用的另一種形式.幾個等價的無窮小量
在很多實際問題中,變量的變化常常是“連續(xù)”不斷的.例如,氣溫隨時間而變化著,當(dāng)時間的改變極為微小時,氣溫的改變也極為微小,這就是說,氣溫是“連續(xù)變化”的.自然界的許多“連續(xù)變化”的現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映,就是函數(shù)的連續(xù)性.這一節(jié)里,我們將運用極限來定義函數(shù)的連續(xù)性.下面先介紹函數(shù)增量的概念.§2.6函數(shù)的連續(xù)性
一、函數(shù)的連續(xù)性
1、改變量(增量)注:改變量可正、可負、可為零
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