2023年高考數(shù)學(xué)練習(xí)壓軸題（新高考版）08 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）問題）（全題型壓軸題） （解析版）

專題08一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

(利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)問題)(全題型壓軸題)

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)問題

①判斷零點(diǎn)(根)的個(gè)數(shù)

②已知零點(diǎn)(根)的個(gè)數(shù)求參數(shù)

③已知零點(diǎn)(根)的個(gè)數(shù)求代數(shù)式的值

①判斷零點(diǎn)(根)的個(gè)數(shù)

1+xlnxx>0

1.(2022?福建?廈門一中高二期中)已知函數(shù)F(x)=C1,1<0,則函數(shù)的

24—X

3

零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.0C.3D.2

【答案】D

當(dāng)x>0時(shí)，1+xlnx-x-l=0,得InX=1,即x=e,成立，

當(dāng)x≤0時(shí)，2H—X3—X—1=0.得一/―x+l=0,

33

設(shè)g(x)=?∣χJχ+l,(x≤0),

g，(X)=X2-l=(x+D(x-I)=0,得X=-I或X=I(舍)，

當(dāng)Xe(Yo,-1)時(shí)，.x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(-l,0)時(shí)，g<x)<O,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

所以X=T時(shí)，函數(shù)取得最大值，g(-l)=∣>0,g(0)=l>0,g(-3)=-5<0,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，3,-1),存在1個(gè)零點(diǎn)，

綜上可知，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).

故選：D

2.(2022?黑龍江?哈爾濱市第六中學(xué)校一模(理))函數(shù)"I)=/*-1在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不可

能是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

f?x)=2xeax+αr2eav=x(2+0x)eαv,

若a=0,則/(J)=1,有兩個(gè)零點(diǎn)，

2

若QHO,由/'(X)=O得X=O或X=—,

a

22

若〃>0,在x<-一或。>0時(shí)，f(x)>0,一一<x<0時(shí)，f,(x)<0,

aa

22

所以/(刈在(TO,—4)和(0,+8)上遞增，在(—4,0)上.遞減，

aa

24

極小值A(chǔ)。)=TvO,極大值/(一一)=FT，/(l)=ert-l>0,/*)在(0,+∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，

aa~e

224

時(shí)，/(--)=÷τ-l=0,/O)在(-,O)上只有一個(gè)零點(diǎn)，這樣共有2個(gè)零點(diǎn)；

eaɑe

224

時(shí)，/(--)=÷τ-l<0,/(x)在(-8,0)上無零點(diǎn)，這樣共有1個(gè)零點(diǎn)；

eaae

224

0<Q<一時(shí)，/(――)=^--l>0,X->_為時(shí)，y=x2eax→0,因此/(幻<0,

eaae'7

22

所以f(x)在(-∞,—)和(,。)上各有,個(gè)零點(diǎn),共有3個(gè)零點(diǎn).

aa

由此不需要再研究。<0的情形即可知只有D不可能出現(xiàn)，

故選：D.

3?(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且r(x)=2%∕+∕(x),

若/⑴=e,則函數(shù)g(x)=∕(x)-4的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

因?yàn)?'(%)=2xe"+/(x),

x

所以-/(X)=2xe9

則∣2H[=f'(χ)-"χ)=2χ,

ICe'

所以g=∕+c,即/(χ)=(χ2+c)/,

因?yàn)?(l)=e,

所以“l(fā))=(l+c)e=e,解得c=0,

所以F(X)=XV,

則g(x)=de'-4,

所以g'(x)=e*x(x+2),

當(dāng)x<-2或x>0時(shí)，g'(x)>O,當(dāng)一2<x<0時(shí)，g'(x)<O,

所以當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)g(x)取得極大值4卜々-1)<O,

當(dāng)尤=O時(shí),函數(shù)g(x)取得極小值-4<0,

又當(dāng)x→?+∞時(shí)，g(χ)→+∞,

所以函數(shù)g(x)=∕(x)-4的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,

故選：B

4.(2022?廣西?欽州一中高二期中(理))函數(shù)/(X)=/+/+χ+°的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.1或2C.2或3D.1或2或3

【答案】A

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=d+χ2+x+C,

所以/(x)=3d+2x+l,因?yàn)閍=4-12=-8<0,

所以/(x)>0,

從而f(?)=X3+X2+x+c在R上單調(diào)遞增，

乂當(dāng)x→YO時(shí)，/(χ)→-8,當(dāng)X―時(shí)，/(χ)→+∞,

由零點(diǎn)存在定理得：函數(shù)/(x)=V+χ2+χ+c有且只有一個(gè)零點(diǎn).

故選:A.

5.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))方程(x+l)e'="(α>0)解的個(gè)數(shù)為()

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

設(shè)f(x)=(X+1)/,所以∕,(χ)=ex+(x+l)ex=(x+2)ex,

當(dāng)x>-2時(shí)，/'(X)>0,函數(shù)/(χ)單調(diào)遞增，

當(dāng)x<—2時(shí)，/'O)<0,函數(shù)/3單調(diào)遞減.

所以/(x)*=-e-2=-[<0,

e

當(dāng)x→-8∏寸，/(χ)<0,當(dāng)x→?+∞時(shí)，f(x)>0.

因?yàn)棣?gt;0,

所以方程(x+l)e'="(α>0)解的個(gè)數(shù)為1.

故選：C

6.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)(理))若函數(shù)/(*)=/+涼+云+，有極值點(diǎn)x∣,%,且f(x∣)=x∣,

則關(guān)于X的方程3(∕(x))2+2,∕(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.3或4D.3或4或5

【答案】B

函數(shù)/(x)=χ3+α√+云+。有極值點(diǎn)飛/2，

則/'(x)=3x2+2ax+6,且玉,三是方程3Y+2Or+6=0的兩個(gè)根，

不妨設(shè)不<當(dāng)，由3(/(功2+24(幻+匕=0可得/(尢)=%或/")=*2，

,

易得當(dāng)xe(-∞,x)(Λ2,+∞)時(shí)，∕(x)>0,F(X)單調(diào)遞增，

當(dāng)Xe(Xl,x2)時(shí)，/'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

又〃入)=%，則可畫出〃x)的大致圖象如下：

如圖所示，滿足/(x)=X或“X)=々有3個(gè)交點(diǎn)，

即關(guān)于X的方程3(∕(x))2+24(x)+b=O的不同實(shí)根有3個(gè).

故選：B.

7.(2022?河南?沈丘縣第一高級(jí)中學(xué)高二期末(文))已知函數(shù)/(x)=lnx.

21

(1)當(dāng)x∈[l,+∞)時(shí)，證明：函數(shù)/(χ)的圖象恒在函數(shù)g(`)=]/-]/的圖象的下方;

⑵討論方程/(χ)+依=O的根的個(gè)數(shù).

【答案】(1)證明見解析

(2)答案見解析

【解析】

1?C

⑴設(shè)F(x)=∕(x)-g(x)=lnx+-x2--x3,其中x≥l,

MI、1?X2—2X3+1X2-X3-(??-?)(I—x)(2x2÷x+1)

貝IJF(x)=-÷x-2x1=-------------=-----------1------L=2-----LA------------L<O，

XXXX

在區(qū)間［L+∞)上，尸(力單調(diào)遞減，

121

X,.?F(1)=--<O,即x∈［l,+a)時(shí)，F(xiàn)(x)<0,/.lnx<-x3--x2,

???在區(qū)間［l,+∞)上函數(shù)/(X)的圖象恒在函數(shù)g(χ)的圖象的下方.

(2)由/(x)+H=O得InX=-右，即&=一處，

X

令MX)=則=令〃”)=0,得x=e,

當(dāng)x>e時(shí)，//(x)>0,MX)單調(diào)遞增,當(dāng)O<x<e時(shí),k'(x)<O,MX)單調(diào)遞減，

MX)在x=e處取得最小值〃(e)=-L(X)NMe)=-L

ee

1IIn-

又當(dāng)%>e時(shí),一一vθ,當(dāng)X=一時(shí),--盧=e>0,有零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)有唯一的零點(diǎn)％=1,

Xe

e

(力=-∕(x>0)的大致圖象如圖所示，

.?.當(dāng)上<-1時(shí)，方程/(力+h=0的根的個(gè)數(shù)為0;

e

當(dāng)Z=-I或A≥0時(shí)，方程f(x)+丘=0的根的個(gè)數(shù)為1；

e

當(dāng)—！<%<0時(shí)，方程/(x)+丘=0的根的個(gè)數(shù)為2.

e

8.(2022?云南?曲靖一中高二期中)已知函數(shù)"x)=41nx-a.

⑴當(dāng)α=l時(shí)，求函數(shù)〃x)的圖象在點(diǎn)T(IJ(I))處的切線的方程.

⑵己知ɑ≤4,討論函數(shù)/(x)的圖象與直線y=x-2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】(i)y=χ-2;(2)答案不唯一，具體見解析.

⑴當(dāng)α=l時(shí)，/(x)=lnx-l,/'(?)??,?=∕,(1)=1.

/(I)=-I,切點(diǎn)為T(LT).

所以，所求的切線的方程為y-(-l)=lχ(χ-l),即y=χ-2.

⑵a=0時(shí)，函數(shù)/(χ)W)(X>0)的圖象就是X軸正半軸，與直線y=χ-2有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

aWO時(shí),聯(lián)立y=/(x)="lnx-α與y=x-2消去y得χ-qInX+4-2=0.

設(shè)g(x)=x-4lnx+α-2,則短(X)=^-^?(x>0).

當(dāng)α<0時(shí)，g,(x)>O,g(x)在(0，+8)上遞增，g(l)=α-l<O,g(e)=e-2>0,因此g(x)有一個(gè)零

點(diǎn).

當(dāng)0<α≤4時(shí)，令g'(x)=O得x=",當(dāng)0<x<α?xí)rg'(x)<O,x>α?xí)rg'(x)>O,則g(x)在(0,α)上

遞減,在(4,+s)上遞增，g(x)min=g(a)=2a-alna-2.當(dāng)x>0,x→0時(shí)g(x)->+co,x→?+∞時(shí)

g(x)→+8.

設(shè)Mf)=2-lnf-2,則MI)=O,"S=I-Inf,Λ,(e)=O,0<∕<el?A,(r)>O,e<∕≤4時(shí)”(r)<0,

Mf)在(0,e)上遞增、在(e,4］上遞減，

3

∕2(4)=6-41∏4=2(lne-In16)>0.

所以，α=l時(shí)g(x)rain=g(I)=0；0<α<l時(shí),g(x)min=h(a)<∕?(I)=0；l<α≤4時(shí),g(x)mit,=

∕z(α)>∕ι(l)=O.

綜上可知，

α≤0或a=l時(shí)，公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)1；

0<“<l時(shí)，公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)2；

l<α≤4時(shí)，公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)0.

②已知零點(diǎn)(根)的個(gè)數(shù)求參數(shù)

Inx、1

—,x≥-

λe

1.(2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/O)=2,,設(shè)關(guān)于X的方程

ee1

----X——,x<-

22e

∕2(χ)+4(X)-I=OgeR)有機(jī)個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則，”的所有可能的值為()

A.3B.4C.2或3或4或5D.2或3或4或5或6

【答案】A

根據(jù)題意作出函數(shù)/(X)的圖象：(2)=匕乎，當(dāng)Xe%e),函數(shù)(單調(diào)遞增，

當(dāng)xG(e?)時(shí),函數(shù)用單調(diào)遞減，所以V

金2e1已2已

函數(shù)---X—，X<一時(shí)單調(diào)遞減，所以---X—∈(―∞,-e),

22e22v7

對(duì)于方程∕2(x)+4(x)-l=0(αeR),令∕=f(x),則/+g-l=O,所以A=∕+4>O,

?tx+Z9=-a

即方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根內(nèi)>。>，2,且,，

當(dāng):≥工時(shí)，-e≤Z2<0,3個(gè)交點(diǎn)；

e

當(dāng)0<4<J時(shí)，L<-e,也是3個(gè)交點(diǎn);

e

2.(2022?河南?高二階段練習(xí)(文))若函數(shù)/(X)=一廠;x+1-α有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是()

【答案】C

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=-.；+1一有三個(gè)零點(diǎn),所以關(guān)于X的方程/(x)=0有三個(gè)根.

A

令g(x)=--J+I貝U/(X)=二卜2_工一2).

eC

所以當(dāng)xw(-8,-l)時(shí),有g(shù)'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)xe(-l,2)時(shí)，有g(shù)<x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(2,?κo)時(shí),有g(shù)<x)>O,g(x)單調(diào)遞增.

因?yàn)間(T)=e,g(2)=-1?,

所以要使方程f(x)=O有三個(gè)根，只需-??<“<e.

e

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是I'

故選：C

Λlτιr-0r2(x>0)若“函數(shù)一小)有

3.(2022?浙江?赫威斯育才高中模擬預(yù)測(cè))已知。wR,函/(x)=,Ie*Hx≤0),

三個(gè)不同的零點(diǎn)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則。的取值范圍是()

C.(-∞,-e)o^0,-JD.(-∞,-e)u^0,-

【答案】B

InY

當(dāng)人>0時(shí)，xlnx-dx2=O,即InX—?=0,故α=-----,

X

令g(x)=2,貝Ijg，(X)=上段，令/(χ)=o,得x=e,

XX

當(dāng)(RX<e時(shí)，g'(x)>O,當(dāng)x>e時(shí)，g'(x)<O,

作出函數(shù)g(x)=膽的圖象如圖所示：

X

當(dāng)αV0時(shí)，方程〃=—有個(gè)實(shí)根；

JC

令e，+Or=0，顯然XWo,所以“=-《，

X

令MX)=-9，則A,(x)≈一(，；度>O在(一雙0)上恒成立,

則〃(χ)在(y,o)上遞增，且力(X)>0,

作出函數(shù)〃(九)=-.的圖象如圖所示：

由圖象知：當(dāng)0<“<?!?時(shí)，方程e，+Or=O在(-∞,())恰有一個(gè)實(shí)根，

e

即此時(shí)/O)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，

綜上，〃的取值范圍是(OjJ

故選：B

4.(2022?江西?模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)f(x)=(χ2-2e*)(x-m')有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值

范圍是()

2

A.(O,e^')B.(O,e^)C.(0,1)D.(O,e)

【答案】A

令/(x)=(x2-2ex)(x-aelJ=0,

所以V-2e*=0或x-αe'=0，

令g(x)=f_2et,則g，(X)=2(x-e*),

令MX)=2(x-e'),貝∣J"(x)=2(l-e'),

當(dāng)X€(Yo,0)時(shí)，Λ,(x)>O,MX)在(-8,0)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，Λ,(x)<O,/?(x)在(O,+∞)上單調(diào)遞減，

所以MX)≤∕ι(0)=-2<O即g'(x)<O,

2

所以g(x)在R上單調(diào)遞減，Xg(-l)=l-->O,8(0)=-2<0,

所以存在Xoe(T,0)使得g(?)=0,

所以方程X-ɑe`=0有兩個(gè)異T%的實(shí)數(shù)根，則。,

e

令MX)='則V(X)=M，

當(dāng)χ∈(y,l)時(shí),k'(x)>O,JI(X)在(一8,D上單調(diào)遞增;

當(dāng)Xe(I,+∞)時(shí),?,(x)<0,Z(X)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,且MX)>O?

所以A(X)≤%。)=,,

e

故選：A.

5.（2022?四川省綿陽南山中學(xué)高二期中（文））方程log：-y=0（α>0,4≠l）有兩個(gè)不相等實(shí)根,

則。的取值范圍是（）

（2、

A.（0,1）B.0,e7

\7

Z2\/2、

C.l,e7D.e；,+∞

【答案】C

方程log：-石印"。="。，〃^^。有兩個(gè)不相等實(shí)根二^^:二石^^^^^^口有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令

√Λ?=∕（r>0）,所以X=/,則log,j2=f,所以IogJ=；,所以y=IogJ與y=；的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

①當(dāng)0<“<ι時(shí)，如下圖可知y=log∕與y=；的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足.

②當(dāng)2時(shí),如下圖，當(dāng)尸/尸嗨X相切于點(diǎn)中吟＞所以y'=τ?

1_1

5=—jxO=&

則"°n",解得：2,所以要使y=log〃與y=T的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以”的取值范圍

yTOga?

6.(2022?河南南陽?高二期中(理))若關(guān)于X的方程l—x+2Xhlr—mt=。在區(qū)間((e)內(nèi)恰有兩個(gè)

相異的實(shí)根，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為()

A.(l-21n2,e-3]B.(l-21n2,等C.1l-21n2,?)D.(l-21n2,e-3)

【答案】D

依題意關(guān)于X的方程l-x+2JdnX-儂=0在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，

m=—+21nx-1,構(gòu)造函數(shù)/(x)=2+21nxT(!<x<e),

XX\ɑJ

\122x-l

“力=一7+丁丁，

所以〃x)在區(qū)間R，3/U)<(V(X)遞減；在區(qū)間，e[，fU)>0,/(?)遞增.

/^=2-21n2-l=l-21n2,

/(j)=e-2-l=e-3,/(e)=∣+2-l=,

所以∕%∈(l-21n2,e-3).

故選：D

7.(2022?遼寧?東北育才學(xué)校高二期中)方程;V+d-3x-α=0有三個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)”的取值

范圍是()

A?停9)B.C.(一9,司D./

【答案】B

i己/(x)=g∕+χ2-3x-α,貝IJ∕,(X)=X2+2X-3.

令/'(x)=0,解得：x=-3或X=L列表得：

X(-∞,-3)-3(-3」)1α÷∞)

/'(X)+O-O+

/(x)單增單減單增

要使方程(丁+/-3》-。=0有三個(gè)相異實(shí)根，只需：

f(-?)=T(-3)A+(-?)2-3×(-3)-?>θ,

■,解得：-∣<x<9.

/(l)=→l-3-α<03

故選：B

8.(2022?福建?清流縣第一中學(xué)高二階段練習(xí))若函數(shù)/(x)=(x+l)e',當(dāng)方程/(x)=α(αeR)有

2個(gè)解時(shí)，則。的取值范圍()

A.ci<—rB.ci=-y或αN0

ee

C.—y<α<0D.a=--ζ^且“≥0

e^e^

【答案】C

由函數(shù)/(x)=(x+l)e*,x∈R,得/'(x)=(x+2)e",

當(dāng)x<-2時(shí)，∕,(x)≈(x+2)et<0,/(x)=(x+l)e*遞減，

當(dāng)x>-2時(shí)，∕,(x)=(x+2)e'>0,/(x)=(x+l)e'遞增,

故/(XL="/)=-/，且當(dāng)χ<τ時(shí)，/(x)=(x+l)ejt<O,

故/(x)=(x+l)e*大致圖象如圖示：

故當(dāng)方程/(X)=a(a∈R)有2個(gè)解時(shí)，則?的取值范圍為-4<?<0,

e

故選：C

9.(2022?北京八十中高二期中)已知方程f+χτ=Qe、有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

【答案】(0,引

解：因?yàn)榉匠苔?+χT=αe，有三個(gè)實(shí)數(shù)解，所以，方程>+"T=α有三個(gè)實(shí)數(shù)解,

e

故令〃X)=χ2+x-i,則f(X)=3+X+2=(士+,

e?e?eκ

所以，當(dāng)一l<x<2時(shí)，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x<T或x>2時(shí)，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減;

所以，當(dāng)X=T時(shí)，/(x)取得極小值/(T)=Y,當(dāng)x=2時(shí)，/(x)取得極大值/(2)=5,

當(dāng)X趨近于-co時(shí)，/(x)趨近于+s,X趨近于+?>時(shí)，”可趨近于0,

10.(2022?全國(guó)?高二)設(shè)函數(shù)"x)=(l+x)2-21nx,若關(guān)于X的方程“x)=f+x+α在［1,3］上恰

好有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

【答案】(3-21n2,4-21n3］

由題意，方程α=x-21nx+l在［1,3］上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，

設(shè)g(x)=x-21nx+l,則g(x)的圖象與V=α在［1,3］上恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

函數(shù)g(x)在［L2］上單調(diào)遞減,在［2,3］上單調(diào)遞增.

又g⑴一g(3)=2-(4—21n3)=21n3-2>。，得g⑴>g⑶.

需使g(2)<α≤g⑶,即3—21n2<α≤4-21n3.

故所求實(shí)數(shù)。的取值范圍是(3-21n2,4-21n3］.

故答案為：(3-21n2,4-21n3］

11.(2022?河南?高二期中(理))若函數(shù)/(x)=lnx-e?=or+l不存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍

是.

【答案】(l-e,+∞)

解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=lnx-e'-Or+1不存在零點(diǎn)，

所以方程InX-e'-ox+l=。無實(shí)數(shù)根，

所以方程InΛ-e'+lne=仆無實(shí)數(shù)根，即方程Mz+∣=α無實(shí)數(shù)根，

X

故令g(x)=皿盧,g(xL+；TnX

令Λ(x)=-xex÷ev-lnx,x>O,故〃(X)=-xe"-，<O恒成立，

所以，MX)在(0,+8)匕單調(diào)遞減,

由于MI)=0,

所以，當(dāng)x∈(0,l)時(shí),MX)>0,即g'(x)>O,當(dāng)XG(I,+8)時(shí),MX)C0,即g'(x)<O,

所以函數(shù)g(x)在XW(0,1)上單調(diào)遞增，在χw(l,y)上單調(diào)遞減，

所以g(x)ιraχ=g⑴=l-e,

所以，當(dāng)方程Mx-e'+l=一無實(shí)數(shù)根時(shí),6z>>e即可.

X

所以，實(shí)數(shù)0的取值范圍是(l-e,+∞)

故答案為：(l-e,+∞)

12.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(x)=x(∕'=a)-InX-I沒有零點(diǎn)，則整數(shù)。的最大值為:

【答案】1

解：由題意，當(dāng)x→?+8時(shí)，/(x)>0,

所以要使函數(shù)/(X)沒有零點(diǎn)，只需/(x)>0在(。，+8)上恒成立，

令g(x)=e"-x-l,則g'(x)=e*-l,

令g'(x)=O,得X=0，

當(dāng)x<0時(shí)，g'(x)<O,當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>O,

所以當(dāng)X=O時(shí),g(x)取得極小值g(0)=0,

所以e、≥x+l,

所以笈=x(e2*-α)-Iru-L

=e2x+lιu-<xv-Inx-I≥2x÷lnx+l-αx-Inx-1=(2-α)x,

令(2-α)x>0nα<2,且上面不等式取等時(shí)2x+hιx=0,記其零點(diǎn)為與，

當(dāng)α≥2時(shí)，/(x0)=x0(e^'-a)-ltu0-l,

+u

=^"°-OX0-Iar0-1≤e?'-*-2x0-Inx0-?=0,顯然不合題意，

綜上：a<2,故整數(shù)4的最大值為1.

故答案為：1

13.(2022,廣西?柳州市第三中學(xué)高二階段練習(xí)(理))已知函數(shù)/(x)=χ3-3χ2+0r+人在X=-I處

的切線與X軸平行.

⑴求”的值；

a

⑵若函數(shù)y=f(χ)的圖象與拋物線y=］χ2-i5x+3恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，求6的取值范圍.

【答案】(1)-9(2)；<6<1

⑴解：因?yàn)?(x)=V-3χ2+0r+6,所以/(x)=3爐-6x+α,

在X=T處的切線與X軸平行，

??√,(-D=0,解得α=-9.

39

(2)解：g(x)=f(x)-(^x2-I5x+3)=xi--X2+6x+b-3,

則原題意等價(jià)T-gJ)圖象與1軸有三個(gè)交點(diǎn)，

g'(x)=3X2-9x+6=3(x-1)(%-2)

，由g'(x)>O,解得x>2或X<l:

由g'(x)<O,解得l<xv2.

???g(x)在x=l時(shí)取得極大值g(l)=%-；；g(x)在x=2時(shí)取得極小值g⑵=8-1.

故(2,

［?-l<0

,1,,

??一<?<1,

2

14.(2022?重慶?萬州純陽中學(xué)校高二期中)已知函數(shù)/(x)=0XlnX-2x.

(1)若f(x)在X=I處取得極值，求/(x)在區(qū)間［1,2］上的值域：

(2)若函數(shù)?X)=△2-/+2有1個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

X

【答案】(l)［-2,41n2-4］(2)(YO,0){2e}

(1)f'(x)=a^nx+a-2

因?yàn)?(x)在x=l處取得極值

所以r(l)="lnl+α-2=0,得。=2

則xe［l,2］時(shí)，,f'(x)=21nx≥0,/(x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，

所以/(1)=-2≤/(x)≤/(2)=41n2-4

所以/(x)在區(qū)間U,2］上的值域?yàn)椋?2,4In2-4］

(2)%(幻的定義域?yàn)?O,+8)

函數(shù)InX-爐有一個(gè)零點(diǎn)OQ]nχ=f有一個(gè)實(shí)數(shù)根Oy=αlnx與y=%2有一個(gè)交點(diǎn)

當(dāng)a=O時(shí)，//*)=-/在(0,+8)上無零點(diǎn)；

k,

當(dāng)α>0時(shí)，4h(x)=--2x=-~^—>0^得0<x<<v]

XX，2

令"(X)="-2?y.γ0,得%>P

XV2

所以,當(dāng)X=1時(shí)，〃⑺有最大值Ul)="lng(祗)2=會(huì)1吟-1)

因?yàn)楹瘮?shù)力(X)="InX-/有一個(gè)零點(diǎn)，

所以I(In￡—1)=0,解得α=2e

綜上，”的取值范圍為(-,O){2e).

15.(2022?北京?人大附中高二期中)已知函數(shù)f(x)=gχ3-χ2-3χ+ι.

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若方程/(x)="有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Q

【答案】⑴函數(shù)的增區(qū)間是(-∞,τ)和(3,+8),減區(qū)間是(-1,3),極大值為=,極小值為

Q

/(3)=-8;(2)-8<a<-

(1)由題意/'(X)=Y-2x-3=(x+l)(x-3),/'(x)=0得X=-I或x=3,

列表如下：

X(fT)-1(-1,3)3(3,+∞)

fM+O—O+

f(χ)遞增極大值遞減極小值遞增

所以函數(shù)的增區(qū)間是(γ>,-D和(3,+8),減區(qū)間是(-1,3),

O

極大值為f(T)?,極小值為f(3)=-8;

Q

⑵作出函數(shù)圖象，如圖，直線y="與函數(shù)F(X)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，-8<α<:

16.(2022?安徽?合肥市第九中學(xué)高二期中)當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f(x)=d√-H+4(awR,bcR)有極

值號(hào)，

⑴求函數(shù)/(X)=Ori-法+4的解析式；

(2)若關(guān)于X的方程/(x)=k有3個(gè)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

?(2044、

【答案】⑴/(x)=3d-8χ+4(2)(一~—J

(l)∕,(x)=30r2-?,

2

ci=一

由題意得：,20,解得：,3,

f(2)x=8tz-2?+4=------

?=8

2

?,?fM=?-??-8x+4

經(jīng)驗(yàn)證，函數(shù)/(x)=^∕-8x+4在x=2處有極值-與，故解析式為：/(x)=∣√-8x+4.

3J3

2

⑵令MX)=f(x)-%,由⑴得：h(x)=-x3-8x+4-k

Λ,(X)=2X2-8=2(X-2)(X+2)

令"(x)=O得，xl=2,x2=-2,

,,

「?當(dāng)元〈一2時(shí)，h(x)>0i當(dāng)一2<x<2時(shí)，//W<0,當(dāng)χ>2時(shí)，h(x)>0f

44

因此，當(dāng)工=-2時(shí)，有極大值7-3

當(dāng)x=2時(shí)，力(X)有極小值一g-k

關(guān)于X的方程/(?)=攵有3個(gè)解，等價(jià)于函數(shù)Kx)有三個(gè)零點(diǎn),

44

——?>0

3

所以

20,C

-----IcvO

3

「型<%<竺.

33

故實(shí)數(shù)人的取值范圍是「(了20,4可4

③已知零點(diǎn)(根)的個(gè)數(shù)求代數(shù)式的值

X+4x,x≤0,若函數(shù)g(χ)=/(XAa有三個(gè)

1.(2022?陜西?模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)/(X)=，

-e-l,x>0,

不同的零點(diǎn)，片,々，鼻，且XI<X2<X3,則—的取值范圍是()

A.?4

C.總+8

【答案】C

令g(x)=/(X)-Z=On/(x)=Z,因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=/(x)-我有三個(gè)不同的零點(diǎn),

所以-4<Z<—2,

因?yàn)槎魏瘮?shù)y=f+4》的對(duì)稱軸為χ=-2,所以有-4<X]<-2<Λ?<。<芻，

顯然與芍是方程一+4工-攵=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此有=M，

3是方程-十-1=無的根,即γ"3-l=A,所以O(shè)VWVln3,

,e

于是有匕包=e+1,?h(x)=tl(0<X<In3)≈>h(x)=,

??Xx2

設(shè)m(x)=ev(x-l)-l=>加(X)=evx,

當(dāng)人>0時(shí)，m,(x)>0,∕n(x)單調(diào)遞增，所以有m{x)<∕72(ln3)=31n3-4<O,

即/?'(X)<0,〃(X)單調(diào)遞減，

4

所以當(dāng)0<%<ln3時(shí)，A(x)>Λ(ln3)=-,

In3

故選：C

∣ln(x+l)∣,x∈(-l,l]

2.(2022?陜西?西安中學(xué)二模(理))已知函數(shù)/(x)=X1,、，若方程/(x)=α有

—+ln2——,xe(l,+∞)

、ee

三個(gè)不等根Λ1,X2,X3,則,+—+一的取值范圍是()

入2入3

A.(1,+∞)B.(0,1)C.(-1,0)D.(-∞,1)

【答案】C

當(dāng)Xe(I,銬)時(shí)，/(x)==→ln2-L尸(X)=W<0,所以〃x)是減函數(shù),

eee

∣ln(jc+l)∣,x∈(-I,l]

作出函數(shù)"x)=?X1、的圖象，如圖所示：

—+1∏2——,xe(l,+∞)

因?yàn)榉匠?(x)=α有三個(gè)不等根占，々，不，

所以O(shè)VaCln2,

設(shè)x∣</<W，

則Ina+1)In(X2+l)=α，

所以占+∣=±,即(玉+1)(/+1)=1,

UPxlx2+xl+Λ2=O,

111X.+x,1I

所以一+—+—~-+—=--1,

xlx2xixlx2x3xi

又因?yàn)槿?gt;1,

所以'+'的取值范圍是(τ,o),

占Z*3

故選：C

Jr,6

3.(2022?河北?模擬預(yù)測(cè))已知實(shí)數(shù)A，X2滿足XIe=e',x2(inx2-3)?e,則XlX2=()

2567

A.eB.eC.eD.e

【答案】C

3ιs

解：由條件得?η>0,X2>e,令r=lnj-3,f>0,則芻=夕3,由條件j(lnj?-3)=e',則汨”=re'd=e,

令/(x)=xe',(x>0),則/(X)=(X+l)e*,顯然當(dāng)x>O時(shí)?，∕,(x)>O,〃幻在(0,一)上單調(diào)遞增.

Jt

故由Xle'=e',汨=e，可得占=r=lnx2-3,

6

.?.xlx2=x2(Inx2-3)=e.

故選：C.

d—3χX<0

4.(2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)高三期末)已知函數(shù)/(x)=,,,,,、二若存在互不相等的實(shí)數(shù)

a,b,c,d,使得,f(ɑ)=(C)=/⑷，則血d的取值范圍為()

A.(0,e^2)B.(0,e^')C.(0,2^')D.(0,1)

【答案】A

當(dāng)x≤0時(shí)，/(x)=χ3-3χ=0nχ=0,或χ=-√J,或X=TJ舍去，

f(x)=X3-3Xnf(x)=3X2-3=3(X+1)(X-1)

當(dāng)TCX<0時(shí)，/(x)’<0,∕(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x<T時(shí)，/(x)'>0,∕(x)單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)有最大值，最大值為/(T)=2,

?+?nx,x≥-

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=∣l+lnx∣=<e],

-I-Inx,0<x<—

函數(shù)/(x)的圖象如下圖所示:

因?yàn)榇嬖诨ゲ幌嗟鹊膶?shí)數(shù)ohad,使得/(a)=/。)="。)="]),

說明函數(shù))=攵與函數(shù)/(χ)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以由數(shù)形結(jié)合思想可知：0<女<2

不妨設(shè)-石<α<-l<b<O<c<-<dt

e

即-3。=Z/-3人=—1—inc=1+Ind=攵，

a3-3a=?3-3?=>-?3-3(α-?)=0=>(d-b)(a1+<7?+?2-3)=0,

因?yàn)椤猻/?<tz<-1<?<0,

所以儲(chǔ)+加2+〃-3=0,

由-I-InC=I+Ind=InCd=-2=Cd=e”,

因?yàn)?>2>2ab=3-ab>2ab=OVa8vl,所以O(shè)Vabed<e~1,

故選：A

,fInX,X>O—.、，

5.(2022?全國(guó),高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(zXλ)=,若方程/(X)=公有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)

I，入I1,X&U

x

根x∣,Jr2,X3,且x∣<X2<s,則X∣Jn"七)的取值范圍是()

X2+X3

【答案】B

方程F(X)=?，顯然X=O不為該方程的實(shí)數(shù)根.

設(shè)g(x)=,*

2+-x<0

所以方程"X)="有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根A,Xi七，即g(x)="有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x∣,/，??

當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=W，則g,(x)=L

由g<x)>O,可得x>e,g,(jj)<O,可得0<x<e,

所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，且當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>O

當(dāng)X―時(shí)，g(x)→O

從而作出g(x)的大致圖像

由圖可知當(dāng)O<α<J時(shí)，直線V=α與函數(shù)的圖像有3個(gè)交點(diǎn),

e

即方程g(x)=α有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

由2+1=！，得X=W,由2+'=0,得χ=-:

Xeι-2eχ2

所以為efτ^T^,-l'i

11-2e2)

所以中皿刈Fg也M?外—=咐=2x+le/o].

x2+Λ?x2+Λ?x2+x3??-2e)

故選：B.

6.(2022?湖南?高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(X)=加，g(x)=加',就>0,且當(dāng)x>0時(shí),/(x)與g(x)

的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則：的取值范圍為_____.

b

【答案】(-∞,-e]3e,+∞)

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，/(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以關(guān)于X的方程蘇=的在區(qū)間(0,+8)

上有且只有一個(gè)解，分離參數(shù)得￡=捺，令MX)=提，x>0,則∕φ)=e,(72),所以函數(shù)網(wǎng)”

22

在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增，所以MX)≥M2)=?,故￡當(dāng)1>0">0

時(shí)，a+-≥2=e,當(dāng)且僅當(dāng)〃=?,即〃=；,?=2時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)αvθ,Z?Vo時(shí)，

bNbh2e

a+-≤-2.P=-e,當(dāng)且僅當(dāng)“=：,即