2023年高考數(shù)學(xué)試卷附詳細(xì)解析（全國(guó)甲卷文科）

第第頁(yè)2023年高考數(shù)學(xué)試卷（全國(guó)甲卷文科）一、選擇題：本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的下面四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集,集合,則（）A.B.C.D.2.（）A. B.1 C. D.3.已知向量,則（）A. B. C. D.4.某校文藝部有4名學(xué)生,其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演,則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（）A. B. C. D.5.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若,則（）A.25 B.22 C.20 D.156.執(zhí)行下邊的程序框圖,則輸出的（）A.21 B.34 C.55 D.897.設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)在上,若,則（）A.1 B.2 C.4 D.58.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.9.已知雙曲線的離心率為,其中一條漸近線與圓交于A,B兩點(diǎn),則（）A. B. C. D.10.在三棱錐中,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,,則該棱錐的體積為（）A.1 B. C.2 D.311.已知函數(shù)．記,則（）A. B. C. D.12.函數(shù)的圖象由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到,則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若,則的公比為_(kāi)_______．14.若為偶函數(shù),則________．15.若x,y滿足約束條件,則的最大值為_(kāi)_______．16.在正方體中,為的中點(diǎn),若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn),則球的半徑的取值范圍是________．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知．（1）求；（2）若,求面積．18.如圖,在三棱柱中,平面．（1）證明：平面平面；（2）設(shè),求四棱錐的高．19.一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng),試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠,隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組,另外20只分配到對(duì)照組,試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境,對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境,一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗(yàn)結(jié)果如下:對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；（2）（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m,再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),完成如下列聯(lián)表對(duì)照組試驗(yàn)組（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表,能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：,0.1000.0500.0102.7063.8416.63520.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性；（2）若,求的取值范圍．21.已知直線與拋物線交于兩點(diǎn),．（1）求；（2）設(shè)為的焦點(diǎn),為上兩點(diǎn),且,求面積的最小值．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.已知點(diǎn),直線（為參數(shù)）,為的傾斜角,與軸正半軸、軸正半軸分別交于,且．（1）求；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求的極坐標(biāo)方程．[選修4-5：不等式選講]（10分）23.已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲線與軸所圍成的圖形的面積為2,求．2023年高考數(shù)學(xué)試卷（全國(guó)甲卷文科）答案一、選擇題：本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.A2.C解；故選：C.3.B解：因?yàn)?所以則,所以.故選：B.4.D解：依題意,從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演,總的基本事件有件其中這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的基本事件有所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為.故選：D.5.C解：設(shè)等差數(shù)列的公差為,首項(xiàng)為,依題意可得,即又,解得：所以．故選：C.6.B解：當(dāng)時(shí),判斷框條件滿足,第一次執(zhí)行循環(huán)體,,；當(dāng)時(shí),判斷框條件滿足,第二次執(zhí)行循環(huán),,；當(dāng)時(shí),判斷框條件滿足,第三次執(zhí)行循環(huán)體,,；當(dāng)時(shí),判斷框條件不滿足,跳出循環(huán)體,輸出．故選：B.7.B解：因?yàn)?所以從而,所以．故選：B.8.C解：設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為因?yàn)樗运运运郧€在點(diǎn)處的切線方程為.故選：C9.D解：由,則解得所以雙曲線的一條漸近線不妨取則圓心到漸近線的距離所以弦長(zhǎng).故選：D10.A解：取中點(diǎn),連接,如圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,,又平面,平面又,故,即所以故選：A11.A解:令,則開(kāi)口向下,對(duì)稱(chēng)軸為因?yàn)槎?即由二次函數(shù)性質(zhì)知因?yàn)?而即,所以綜上,又為增函數(shù),故,即.故選：A.12.C解：因?yàn)橄蜃笃揭苽€(gè)單位所得函數(shù)為,所以而顯然過(guò)與兩點(diǎn)作出與的部分大致圖像如下考慮,即處與的大小關(guān)系當(dāng)時(shí),,；當(dāng)時(shí),,；當(dāng)時(shí),,；所以由圖可知,與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.二、填空題：本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.解：若則由得,則,不合題意.所以.當(dāng)時(shí),因?yàn)樗约?即,即解得.故答案為：.14.2解：且函數(shù)為偶函數(shù),解得故答案為：2.15.15解：作出可行域,如圖由圖可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí),有最大值由可得,即所以.故答案為：15.16.解：設(shè)球的半徑為.當(dāng)球是正方體的外接球時(shí),恰好經(jīng)過(guò)正方體的每個(gè)頂點(diǎn),所求的球的半徑最大,若半徑變得更大,球會(huì)包含正方體,導(dǎo)致球面和棱沒(méi)有交點(diǎn).正方體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng),即,故；分別取側(cè)棱的中點(diǎn),顯然四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形,且為正方形的對(duì)角線交點(diǎn).連接,則,當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形的外接圓,球的半徑達(dá)到最小,即的最小值為.綜上,.故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（1）（2）【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?所以,解得：．【小問(wèn)2詳解】由正弦定理可得變形可得：,即而,所以,又,所以故的面積為．18.（1）證明見(jiàn)解析（2）【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫?平面所以又因?yàn)?即平面,所以平面又因?yàn)槠矫嫠云矫嫫矫?【小問(wèn)2詳解】如圖過(guò)點(diǎn)作,垂足為.因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,平面所以平面所以四棱錐的高為.因?yàn)槠矫?平面所以,又因?yàn)?為公共邊所以與全等,所以.設(shè),則所以為中點(diǎn),又因?yàn)?所以即,解得所以所以四棱錐的高為．19.（1）（2）（i）；列聯(lián)表見(jiàn)解析,（ii）能【小問(wèn)1詳解】試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為:【小問(wèn)2詳解】（i）依題意,可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起,從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為,后續(xù)依次為故第20位為,第21位數(shù)據(jù)為所以故列聯(lián)表為:合計(jì)對(duì)照組61420試驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得,所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.20.（1）在上單調(diào)遞減（2）【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?所以則令,由于,所以所以因?yàn)?,所以在上恒成立.所以在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】構(gòu)建則若,且則,解得當(dāng)時(shí),因?yàn)橛?所以,,則所以,滿足題意；當(dāng)時(shí),由于,顯然所以,滿足題意；綜上所述：若,等價(jià)于.所以的取值范圍為.21.（1）（2）【小問(wèn)1詳解】設(shè)由可得,,所以所以即,因?yàn)?解得：．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?顯然直線的斜率不可能為零設(shè)直線：,由可得,,所以,因?yàn)?所以即亦即將代入得,所以,且,解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,所以所以的面積而或,所以當(dāng)時(shí),的面積．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.（1）（2）【小