1.1具有相反意義的量

第一章有理數(shù)百鳥歸巢圖百鳥歸巢圖天生一只又一只，三四五六七八只。鳳凰何少鳥何多，啄盡人間千萬(wàn)石。113456781.1具有相反意義的量古代獵人打了一只老鷹，用數(shù)如何表示一只老鷹——有了整數(shù)二人分一只西瓜，用數(shù)如何表示半只西瓜——有了分?jǐn)?shù)貨幣購(gòu)物，用數(shù)如何表示2元3角4分——有了小數(shù)。仔細(xì)觀察周圍的生活數(shù)的發(fā)展史數(shù)是個(gè)神秘的領(lǐng)域，人類最初對(duì)數(shù)并沒(méi)有概念。但是，生活方面的需要，讓人類腦海中逐漸有了“數(shù)量”的影子。你知道數(shù)是如何發(fā)展稱為今天這個(gè)模樣的嗎？數(shù)的發(fā)展大概可以分為以下幾個(gè)階段：遠(yuǎn)古時(shí)期羅馬數(shù)字0的引進(jìn)和阿拉伯?dāng)?shù)字籌算讓我們穿越時(shí)空，了解一下吧！遠(yuǎn)古時(shí)期遠(yuǎn)古時(shí)期的人類在生活中遇到了許多無(wú)法解決的困難：如何表示一棵樹、兩只羊等等。而在當(dāng)時(shí)并沒(méi)有符號(hào)或數(shù)字表示具體的數(shù)量，所以他們主要以結(jié)繩記事或在石頭上刻痕跡的方法計(jì)數(shù)。羅馬數(shù)字羅馬數(shù)字想必大家很熟悉不過(guò)了。這些數(shù)字常在鐘表里出現(xiàn)，想想看，你見(jiàn)過(guò)它們嗎？I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1000）。如果你細(xì)心觀察的話，會(huì)發(fā)現(xiàn)羅馬數(shù)字中沒(méi)有“0”。其實(shí)在公元5世紀(jì)時(shí)，“0”已經(jīng)傳入羅馬，但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何人使用"0"。有一位羅馬學(xué)者在筆記中記載了關(guān)于使用"0"的一些好處和說(shuō)明，就被教皇召去，施行了拶刑，使他再也不能握筆寫字。

籌算我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計(jì)算方法：籌算?；I算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的。按規(guī)定的橫豎長(zhǎng)短順序擺好，就可用來(lái)記數(shù)和進(jìn)行運(yùn)算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數(shù)的符號(hào)了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數(shù)字。從算籌數(shù)碼中沒(méi)有“10”這個(gè)數(shù)可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴(yán)格遵循十位進(jìn)制。9位以上的數(shù)就要進(jìn)一位。同一個(gè)數(shù)字放在百位上就是幾百，放在萬(wàn)位上就是幾萬(wàn)。這樣的計(jì)算法在當(dāng)時(shí)是很先進(jìn)的。但籌算數(shù)碼中開始沒(méi)有“零”，遇到“零”就空位。比如“6708”，就可以表示為“┴╥”。數(shù)字中沒(méi)有“零”，是很容易發(fā)生錯(cuò)誤的。所以后來(lái)有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯(cuò)。0的引進(jìn)和阿拉伯?dāng)?shù)字0這個(gè)數(shù)是公元六世紀(jì)的印度人發(fā)明的，他們用黑點(diǎn)“·”表示，最終演變成現(xiàn)在我們熟悉的“0”。當(dāng)然，阿拉伯?dāng)?shù)字也是印度人創(chuàng)造的，之后流傳到阿拉伯，后人誤認(rèn)為是阿拉伯人發(fā)明，故稱之為“阿拉伯?dāng)?shù)字”。由于它們便于書寫，被沿用至今。發(fā)展到阿拉伯?dāng)?shù)字為止，我們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字都是自然數(shù)。出現(xiàn)分?jǐn)?shù)以后，又解決了人們?cè)S多難題。但是，在生活中我們還見(jiàn)到過(guò)不少具有相反意義的量：前進(jìn)和后退，向上和向下等等。這些又怎么表示呢？于是，人類又將這些具有相反意義的數(shù)稱為“負(fù)數(shù)”。又有學(xué)者發(fā)現(xiàn)了一些無(wú)法用自然數(shù)和負(fù)數(shù)表示的數(shù)。有這樣一個(gè)故事：一個(gè)叫希帕索斯的學(xué)生畫了一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，設(shè)對(duì)角線為x，根據(jù)勾股定理x2=12+12=2，可見(jiàn)對(duì)角線的長(zhǎng)度是存在的，可它是多少？又該怎樣表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后認(rèn)定這是一個(gè)從未見(jiàn)過(guò)的新數(shù)。其實(shí)，這就是后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)的“無(wú)理數(shù)”，這些數(shù)無(wú)法用準(zhǔn)確的數(shù)字表示出來(lái)，它們是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以就用“根（）”來(lái)表示。無(wú)理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)。

除了實(shí)數(shù)，還有虛數(shù)和復(fù)數(shù)，數(shù)這個(gè)大家庭正在不斷擴(kuò)大……數(shù)字是個(gè)神秘的領(lǐng)域，它為我們學(xué)好數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)，它們的家庭也在例1、深秋，北京白天的氣溫零上10°c，晚上氣溫零下5°c，若零上10°c，用＋10°c表示，那么零下5°c如何表示？（如下圖）例2、在銀行存款或取款，如何區(qū)分存入的錢數(shù)和取出的錢數(shù)呢？存取日期操作員支出存入余額05/02/03870081000800005/06/2326005500750005/08/1212658360714005/12/1975032800794006/01/0315403960890006/03/275930214007500

除了在存折上寫“存入”一欄和“支出”一欄，還有其他的辦法嗎？存取日期操作員支出（－）存入（＋）余額05/02/0387008+1000.008000.0005/06/2326005-500.007500.0005/08/1212658-360.007140.0005/12/1975032+800.007940.0006/01/0315403+960.008900.0006/03/2759302-1400.007500.00如果，我們把“存入”和“支出”合寫在“存入（＋）支出（－）”一欄中，也可以?。≡谶@個(gè)新的表中，存入1000元記作＋1000.00元，支出500元記作－500.00元道理是一樣的從此，我們的數(shù)學(xué)課本中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)的概念抽象是一種思想生活中有很多相對(duì)的概念例如：溫度的零上和零下儲(chǔ)蓄的存入和支出表盤的順轉(zhuǎn)和逆轉(zhuǎn)你能舉出實(shí)際生活中具有相反意義的量的例子嗎？怎樣分別表示他們呢？例3，我國(guó)有一座世界最高峰——珠穆朗瑪峰，高度比海平面高8848米，在新疆境內(nèi)，還有一個(gè)吐魯番盆地，高度比海平面底155米，若海平面的高度為零度，則它們的高度分別如何表示？在上面的三個(gè)例子中，為了便于區(qū)分這些意義相反的量，數(shù)學(xué)上就規(guī)定：在具有相反意義的一對(duì)量中，把其中的一種量用正數(shù)（positivenumber）表示；而另一種量用負(fù)數(shù)（negativenumber）表示，它是在正數(shù)前面加上“－”（讀作負(fù)）號(hào)。有的時(shí)候在正數(shù)前面“＋”號(hào)，以強(qiáng)調(diào)它是正數(shù)。例如，正數(shù)5寫作＋5，但通常把“+”省略不寫

0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。從抽象中總結(jié)讓我們從以下的幾個(gè)例子中更好的理解負(fù)數(shù)的概念加10分扣10分得0分第1題第2題第3題第4題第5題第一隊(duì)第二隊(duì)第三隊(duì)第四隊(duì)第1題第2題第3題第4題第5題合計(jì)第一隊(duì)+10-10+10+10-10+10第二隊(duì)-10+100+10+10+20第三隊(duì)+10+10-10-1000第四隊(duì)+10-10+10-10-10-10全國(guó)主要城市天氣預(yù)報(bào)城市天氣高溫低溫城市天氣高溫低溫哈爾濱小雨156長(zhǎng)春多云1810沈陽(yáng)小雨197天津小雨128西寧小雪5-4銀川小雪0-3蘭州小雪3-3西安小雨167議一議財(cái)富全球強(qiáng)中的主要零售企業(yè)排名公司年收入利潤(rùn)雇員人數(shù)/人2沃爾瑪166809.05377.0114000046麥德龍46663.6295.117144066家樂(lè)福39855.7805.6297290111特斯科30351.91088.4134896153大榮25320.1-195.247953184佳士客22451.3-25.234375單位：百萬(wàn)美元2、我們可以把學(xué)過(guò)的數(shù)歸歸類：（1）正整數(shù)（即不為0的自然數(shù)）、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（interger）(2)正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)（fraction）(3)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)（rationailnumber）所有整數(shù)合在一起組成整數(shù)集所有有理數(shù)合在一起組成有理數(shù)集1、正、負(fù)數(shù)的概念

像+5，+1.2，+等大于零的數(shù)，叫做正數(shù)。它們都比零大。像-5，-1.5，-等在正數(shù)前面加上“-”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，它們都比零小。“0”既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)?！?”具有中性特征例1

(1)在知識(shí)競(jìng)賽中,如果用+10分表示加10分,那么扣20分怎樣表示?解:(1)扣20分記作-20分(2)某人轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤,如果用+5圈表示沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)了5圈,那么沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)了12圈怎樣表示?(2)沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)12圈記作-12圈(3)在某次乒乓球質(zhì)量檢測(cè)中,一只乒乓球超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.02克記作+0.02克,那么-0.03克表示什么?(3)-0.03克表示乒乓球的質(zhì)量低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.03克.(3)-0.03克表示乒乓球的質(zhì)量低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.03克.3、有理數(shù)的分類(復(fù)習(xí))……負(fù)分?jǐn)?shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)有理數(shù)1，2，30－1，－2，－3……正整數(shù)……零……負(fù)整數(shù)……正分?jǐn)?shù)判斷題：1、如果－50元表示支出50元，那么＋200元表示收入200元。（）2、如果＋10表示提前10分鐘到校，那么－5表示遲到5分鐘到校。（）20,-8,0,-1課堂練習(xí)：（１）如果零上5°C記作+5°C，那么零下3°C記作什么?（２）東、西為兩個(gè)相反方向，如果-４米表示一個(gè)物體向西運(yùn)動(dòng)４米，那么+２米表示什么？物體原地不動(dòng)記為什么？（３）某倉(cāng)庫(kù)運(yùn)進(jìn)面粉７·５噸，那么運(yùn)出３.８噸應(yīng)記作什么？

（４）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的圖