湖南省永州市2023屆下學期高考第三次適應性考試數學試卷（含答案）

湖南省永州市2023屆下學期高考第三次適應性考試數學試卷

學校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、若復數Z滿足W-3i=z,則復數Z的虛部為()

3333

A.-B.——C.-iD.--i

2222

2、設集合A={(x,y)∣y=2x},6={(x,y)∣y=d},則AB的元素個數是()

A.lB.2C.3D.4

3、已矢UCOSe-CoS26-1=0,∈fθ,-,則COSe=()

\2>

?,-?B.-C.0D.1

22

4、窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術.圖1是一張由

卷曲紋和回紋構成的正六邊形剪紙窗花，如圖2所示其外框是邊長為2的正六邊形

ABCDEF,內部圓的圓心為該正六邊形的中心。，圓。的半徑為1,點P在圓。上運

動，則PE?0E的最小值為()

不同的排列方案為()

A.A；A；種B.A：A；種C.A：A；種D.A：A；種

6、若函數y=∕(x)和y=∕(-x)在區(qū)間［加,H上的單調性相同，則把區(qū)間［租,〃］叫做

y=∕(x)的“穩(wěn)定區(qū)間”.已知區(qū)間［1,2023］為函數y=(g］+α的“穩(wěn)定區(qū)間”，則實數4

的可能取值是()

A.--B.--C,-D.3

4422

“=心斗=，其前200項和為$200，則()

7、已知正項數列｛%｝滿足q=l,a

A-√?+.

?7665

?-T<5c200<7oπ.一<5c<一

OJ520f0ι0n4

∣

C.一<SQQV一D?g<S200<?

42003

a

8、已知函數/(x)=αln(x+α)-+b%+Q(b+4)(a>0),對于定義域內的任意X

e(x+α

恒有/(x)<0,則:的最大值為()

A.-2eB.-eC.e^D.e

二、多項選擇題

9、已知α,"c∈R,下列命題為真命題的是()

A.若力<α<(),則。-e'vɑ./B.若力>α>()>c,則上<￡

ab

C.若c>h>α>O,則">"D.若α>b>c>O,則0>4+一

c-ac-bbb+C

10、已知四面體ABCO的所有棱長均為正，M,N分別為棱A。，BC的中點，F為棱

AB上異于A,8的動點，點G為線段MN上的動點，則()

A.線段MN的長度為1B.4EWN周長的最小值為√Σ+1

C.NMFN的余弦值的取值范圍為10,1|D.直線EG與直線CO互為異面直線

_3_

11、已知拋物線Uy2=2px(p>0)的焦點為凡直線/與C交于A(X,χ),B(x2,y2)

兩點，其中點A在第一象限，點M是AB的中點，MN垂直準線于M則下列結論正

確的是()

A.若AF=3FB,則直線/的傾斜角為百

3

B.點M到準線距離為網

2

C.若直線/經過焦點尸且。4?0B=-12,則p=4

目的最小值為近

D.若以AB為直徑的圓M經過焦點F則

?MN?

π

12、若/(x)=2SinXH----+2sin5-X時，函數g(x)=2∕(X)+。(。

4

是實常數)有奇數個零點，記為*，x2√??5x2n,x2π+,(∏∈N),fl,,∏2∈-O且

al≠a2,貝!]

A.∕(x)的最小正周期是π

Bj(X)的對稱軸方程為X=M三僅∈Z)

+x+x2

C-?,f÷l?,-2=2n-l2n("≥)

D.對任意的x∈R,四M使得[/(同了一2/(x),“4)+1=0(左=1,2)

三、填空題

13、已知等比數列｛%｝,其前〃項和為S“，若々=8,S3=28,則的=.

14、現有四家工廠生產同一產品，已知它們生產該產品的日產量分別占日產量總和的

15%,20%,30%和35%,且產品的不合格率分別為0.05,0.04,0.03和0.02.現從四家

工廠一天生產的所有產品中任取一件，則抽到不合格品的概率是.

22

15、已知雙曲線Q:：■-方=1(4＞。/＞。)，圓。：Y+V="+〃與X軸交于A、B兩

點，M、N是圓。與雙曲線在X軸上方的兩個交點，點A、M在y軸的同側，且AM交

BN于點、C.若OM+CN=MA+ON,則雙曲線的離心率為.

16、在棱長為1的正方體ABC。-44GR中，動點尸在平面ACR上運動，且

4

BiP=-,三棱錐4-ACO外接球球面上任意一點。到點P到的距離記為PQ,當平面

以。與平面4。瓦，夾角的正切值為"時，則PQ的最大值為.

四、解答題

17、記正項數列｛凡｝的前〃項積為7；,且：=1-

(1)證明：數列｛4｝是等差數列；

(2)記K)".四求數列也｝的前2〃項和S,,.

ZJTrl+1

18、在AABC中，A,B,C的對邊分別為G,h,C且c?cosA+Gc?sinA="+O.

（1）求C的值；

（2）若AB邊上的點M滿足BM=2M4,c=3,CM=幣,求aABC的周長.

19、已知底面為菱形的平行六面體ABeD-44CIA中，AB=BD=I,四邊形BDAB

為正方形，A1C1交B1D1于點M.

（1）證明：BDVCM-,

（2）若ABl=6,求直線CA與平面所成角的余弦值.

20、為了精準地找到目標人群，更好地銷售新能源汽車，某45店對近期購車的男性與

女性各100位進行問卷調查，并作為樣本進行統(tǒng)計分析，得到如下列聯表

（m≤4（）,m∈N）：

購買新能源汽車（人數）購買傳統(tǒng)燃油車（人數）

^XΓ80-∕n20+m

女性60+m40-m

（1）當加=0時，將樣本中購買傳統(tǒng)燃油車的購車者按性剔采用分層抽樣的方法抽取

6人，再從這6人中隨機抽取3人調查購買傳統(tǒng)燃油車的原因，記這3人中女性的人數

為X,求X的分布列與數學期望；

（2）定義K2=χ_（2≤i≤3,2≤j≤3,i,jeN）,其中Aj為列聯表中第i行第7

鳥

列的實際數據，Blj為列聯表中第i行與第j列的總頻率之積再乘以列聯表的總頻數得

到的理論頻數.基于小概率值α的檢驗規(guī)則：首先提出零假設“°（變量X,Y相互獨

立），然后計算片的值，當K≥χ“時，我們推斷名不成立，即認為X和丫不獨立，

該推斷犯錯誤的概率不超過a；否則，我們沒有充分證據推斷/不成立，可以認為X

和Y獨立.根據K2的計算公式，求解下面問題：

(i)當機=O時，依據小概率值α=0.005的獨立性檢驗，請分析性別與是否喜愛購買

新能源汽車有關；

(ii)當加＜10時，依據小概率值α=0.1的獨立性檢驗，若認為性別與是否喜愛購買

新能源汽車有關，則至少有多少名男性喜愛購買新能源汽車？

附：

a0.10.0250.005

Xa2.7065.0247.879

YV2

21、已知橢圓C:二+二=1,其右焦點為E過點尸的直線與橢圓C交于A,8兩

84

點，與y軸交于點P,PA=λAF,PB=μBF.

(1)求證：2+〃為定值.

(2)若點尸不在橢圓C的內部，點Q是點P關于原點。的對稱點，試求AQAB面積

的最小值.

22、已知函數/(x)=XeT?lnα,g(x)=sinx.

(1)若尤=O是函數〃(X)=/(x)+αg(X)的極小值點，討論〃(X)在區(qū)間(-8,π)上的零

點個數.

(2)英國數學家泰勒發(fā)現了如下公式：

Cy吟=1上?+?.?+*l+?yeN

士(2n)!2!4!6!(2〃)！v

這個公式被編入計算工具，計算足夠多的項時就可以確保顯示值的精確性.

現已知咚HT(Vr?F-就

∞1

利用上述知識，試求￡1的值.

/廣

參考答案

1、答案：B

解析：設z=Q+bi,a,b,beR,

z+3i=z,

.?a+bi+3i=a-bi

即2〃i=-3i

解得..)=、

2

故選：B.

2、答案：C

解析：由于A={(x,y)∣y=2x},3={(乂y)∣y=d}為點集，

故求4B的元素個數即為求上的解的個數，

y=x

解方程[y=2、可得F=O或卜=已或卜=一己

y—χ[y=0?=2√2y=—2√2

故AB的元素個數是3個.

故選:C.

3、答案：B

解析：因為COSe-COS28-1=0,可得COS^-2COS2<9=0,

因為e∕o,0,可得CoSe≠o,

I2)

所以COSe=L

2

故選:B.

4、答案：D

解析：如圖以O為坐標原點,BE所在直線為%軸,AE的垂直平分線所在直線為y軸,建

立平面直角坐標系，設點P(COSaSin6?),(O≤0≤2π),

由題意知，E(2,0),O(0,0),則PE=(2-CoSa-Sine),OE=(2,0),

所以PE?OE=4-2cos。，當CoSe=I,即8=0時PEOE取最小值2,

故選：D.

5、答案：A

解析：因為二項展開式的通項為J=CK4嚴(扁-1=C>χY

又因為0≤r≤6,

所以當r=0或r=4時，為有理項，

所以有理項共有2項,其余5項為無理項，

先排5項為無理項,共有A；種排法,再排2項有理項,共有A；種排法,

所以有理項互不相鄰的排法總數為：A；A；種.

故選:A.

6、答案：B

解析：

7、答案：C

解析：令〃=1,則可得4=；，故S200>α∣+出=：，

將兩邊倒數得4-J==L,所以｛%｝為遞減數列.

?∣an+??∣anan

所以E≤l?

所以叁

flfl

√,,-l√n-2

)9

根據等比數列求和公式得S200<Qj+g)+???+［；］4ICY4

33UJ3

綜上，2<52(M)<—

4003

8、答案：A

解析：兩邊同時除以〃得In(X+α)+0≤----2冗+4),

e(x-?-aj?a)

h1

令，=x+α,原不等式等價于：—f+4≤Inr,

aet

設g?)=_L_lnr,M?)=2∕+4,對g?)求導并畫出函數圖像,

eta

當直線與曲線g⑺相切時，解得g=-2e,選D

a

9、答案：BD

解析：

10、答案：AB

解析：

11、答案：ACD

解析：A選項，因為AE=3RB,

所以A,F,3三點共線，即直線/經過拋物線焦點.

當直線/的斜率為O時，此時，直線/與C只有1個交點，不合題意,

故設直線/:X=+與V=2pχ聯立得：y2-2pmy-p2=Q,

故>ι+%=2p乂%=一"因為A/=3尸6，所以％=-3%，

代入X>0中，得到X>0，即％>0,

因為點A在第一象限，所以y∣>0,故%<0，

即—pm<0,m>Q,

解得：加=立故直線/的斜率為_1=6，設直線/的傾斜角為，(o≤e<7u),

3m

則tane=√J,解得：9=二，A正確；

3

B選項，當直線/不經過焦點,0)時，設IA耳=加，忸耳=〃，

由三角形三邊關系可知：IAF1+忸用>∣AB∣,

由拋物線定義可知：IAFl+1BFl=2∣MNl>∣AB∣,

即IMNI>中，B不正確；

C選項，由題意得：噌，0)，準線方程為χ=g,

當直線/的斜率為0時，此時，直線/與C只有1個交點，不合題意,

故設直線/“=?^?+my,與y2=2px聯立得：y2-2pmy-/?2=0,

故,+%=2pm,VM=-P2，

,2-

所以。A?QB=xlx2+>1y2P=12>

解得：p=4,C正確；

D選項,^?AF?=m,?BF?^n

過點A作AQd.準線于點0,過點3作8。_1_準線于點P,

因為以AB為直徑的圓M經過焦點產，所以AF_LB/L

則I蝴=JM+〃2,由拋物線定義可知:

IMNaAQ|+呼|」/+陽」+〃

11222

由基本不等式得：m2+H2≥2mn,

則2(/+〃2)≥2mn+m2÷H2=(m+")~,

當且僅當機=〃時，等號成立，

故即理=應三=也運≥a,D正確;

√2IMNl—+〃m+n

2

故選：ACD

12、答案:BC

ππ2sin[,[π

解析:由題設/(Λ)=2sinx+-+2sin--x+2COSXH—

3JI3；

/、、

[?,π

所以/2*)=41+sin2x+—=41+cos2x÷-

、I3〃、

(C兀

故/(x)=2jl+cos2x+-

I6

A選項由y=cos2x的最小正周期為兀，知y=∣cos2x∣的最小正周期為巴,

同理y=2jl+cos(2x+?)的最小正周期為π，則/(x)的最小正周期為衛(wèi)，A不正確;

V62

對于/(x),令2x+?=班,則對稱軸方程為X=蛆且左eZ,B正確；

62412

b25π

由g(x)=O可轉化為/(X)與y=—］交點橫坐標，而Xe0,修上/(X)圖象如下:

函數有奇數個零點，由圖知：指≤g√?,此時共有9個零點,

x+x_πΛ+x_5πx÷x__2πx+Λ__1lπ

--1----2二一、2----3--=—、3-----4--=—、4-----5--=----

2621223212

x+x_7πx+x17πX+A5π?+Λ?_23π

5667-----、78—，、

-

2~~6212232^12^

司M+%一2=?-l+%(〃22)，所以C正確.

對任意X有/(x)∈[2,20],?ι∈R,3a],a2∈-??,θ且〃產生

滿足2∕(q)=∕(尤)+看吊,竽]且住=1,2),而Xe七,0的“X)圖象如下:

所以2/(?,)∈(4,2√6]u[2(√3+1),4√2),

,9√2

4>------

4

.,2f(ai)≠f(x)+-^-

?(?)

即Iy(X)T—2f(x)"α*)+IroW=I,2),D錯誤;

故選：BC

13、答案：4或16

%q=8

解析：設等比數列的首項為％,公比為/由題意可知,2，

q+qq+αq=28

ax=16

解得!：：?q=t

2

所以a3=alq=16或4

故答案為:4或16

14、答案：0.0315

解析：因為生產該產品的日產量分別占日產量總和的15%,20%,30%和35%,且產品的

不合格率分別為0.05,0.04,0.03和0.02

所以抽到不合格品的概率為：

P=15%X0.()5+20%×0.()4+3O%×O.O3+35%χ0.02=0.0315.

故答案為:0.0315.

15、答案：y∣3+1

解析：

16、答案：5

6

解析：設c。CID=O,連接BQ,AO,且與。AO=Ox,

所以耳。_L平面AC設正方體的棱長為1,

則可知4-ACA為棱長為√Σ的正四面體，

所以Oi為等邊三角形ACA的中心，

由題可得AO=3XJΣ=且，得AO=2AO="，

2233

所以4。=苧，

又???AP與平面ACA所成角為三，則芻2=tan工=√L

11

3OxP3

22

可求得GP=(,即P在以O∣為圓心，半徑的圓上，且圓在平面ACA內，

由BQ_L平面AC。，又?.?BQu平面A與CQ,.?.平面44G。，平面AC且兩個平

面的交線為Aa把兩個平面抽象出來，如圖：

作PM,AO于M點，過點M作MNLA。交Ao于N點，連接PN,

平面AqGOI.平面ACA,/5Mu平面AC2，平面ABCQ平面ACAA0,

.?.PM_L平面A&G。，ADU平面ABCQ,:.PM±AD,

又MN上AD,MN與PM為平面PMN中兩相交直線,

故AD，平面PMN,PNU平面PMN,

二AD_LPN,.?.NPNM為二面角P-AD-BI的平面角，即為角。，

設A〃=x,當M與點。不重合時，在RtAPMq中，可得

I√2√62

PM+

39

若〃與點α重合時，即當Xd時，可求得PM=Paq也符合上式,

2

故PM=1-X+—,?,MNVAD,0D±AD,..MNHOD,

39

MNAM

ODAO

√2

,MN=ODXAM

-=—=----X

AO√63

Ξ"_______

,2√62

-XH---------X——\

CPM\39

tanθ=-----=—-—1=庭

MN^忑

----X/

3

解得:冷娓

X=——

9

再取BQ的中點E連接PR在RtAPFM和RtAKWq中

利用勾股定理得PF=如

6

所以PQ的最大值為PQ=M+3超

6

17、答案：（1）見解析

⑵-事

解析：(1)證明：由題意得ZJ=4(〃22),

Tn-I

因為L=l-f?,所以，—?l-?(n≥2].

v7

4T11TnTn

即ZT=7；—4(,≥2),

所以7>%=4("≥2)?

14

?w=l?,α1=T,,≡-=l--解得7；=5,

故｛4｝是以5為首項，4為公差的等差數列.

(2)由(1)可知，7；,=5+(∕ι-1)×4=4/2+1,

1

所以d=(-I)rt~~-=(-I)Λ.-----------1------------

')Tn-Tn+i''(4〃+1)(4〃+5)')V4n+14π+5√

1

H------------

s?÷?)÷U8n+5

-1-----1---=-------8-/-7----

58n+540〃+25

18、答案：(1)C=-

3

(2)3+3y∕3

解析：(1)由正弦定理得：

sinCcosA+叢sinCSinA=sinA+sin6

在三角形中，B=π-(A+C)

sinCcosA+>∕3sinCsinA=sinA+sin(A+C)

sinCcosA+布SincSinA=sinA+sinAcosC+cosAsinC

?/?sinC-cosC=1

?J吟1

sinC——=—

I6)2

C∈(0,π),

-?-ri

π

C

3

(2)-.BM=2MA

.?.BM=2,AM=I

由余弦定理得

c2=a^+b^-2ab-cosC貝!19=4+b2-ab①

又?.?CM-不

__21

由于CM=—C4+—CB

33

/\242124

(CM)=-CA+-CB+-CACB

v'999

則63=M+4/+2"②

(1)x7=?BPIa1+lb1-lab=a2+4b2+2ab

2a2-3ab+h2=0

亦即(2α-0)(α-h)=0

h

則O=8或Q=—

2

當。=力時，代入①得a=3,b=3

周長L=a+b+c=9

當a=2時，代入①得a-V3,b-2百

2

周長L=Q+h+c=3+3道

19、答案：(1)見解析

⑵乎

解析：(1)連接AC交8。于點。，連接OM

四邊形ABC。為菱形，二3。_LAC

M為AG中點，.-.OM//BBi

四邊形5。。隹為正方形

.?.BD?BB1,BDLOM

ACf}OM=O

.?.BD_L平面ACClA

CWU平面ACGA

..BDLCM

(2)以。為坐標原點，OA所在直線為X軸，。8所在直線為y軸，過。且垂直于平

面ABeD的直線為Z軸，得A亭，0,0，O(O

AB1=√3,AB=DC=1,

由(1)知，Bo，平面ACGA

利J平面ACG%BQDCM,MBR是等邊三角形CM=去

點M作MZ垂直O(jiān)C于點H,在AQWC中，QW=I,CMCO=-,

2

可得CM邊上的高為冬由等面積法可得OC邊上的高皿邛,

由勾股定理可得?！摆?

nOD=O

設平面BDDg的法向量為〃=(x,χz),則■

nODi=Q

Ly=O

2

即《

----------x+-VH---------Z=()

32-3

取CA，平面CA的一個法向量為C。.

設直線CA與平面BDDlBl所成角為θ,

>∕6lV6

~6^3^=①，COS”立

貝IJSine=

√3?√Γ22

.?.直線CDl與平面BDD1B1所成角的余弦值乎

20、答案：(1)2

⑵至少有76名男性購買新能源汽車

解析：(1)當=0時，

用分層抽樣的方法抽取購買傳統(tǒng)燃油車的6人中，男性有2人，女性有4人.

由題意可知，X的可能取值為1,2,3.

C2C1I

P(X=I)=洋=B

Cl02a

P(X=2)=罟T

VCeθe?1

P(X=3)=??=-

e?5

X的分布列如下表

X123

?3?

P

555

13

f(X)=l×-+2×→3×-=2

(2)(i)零假設為"。：

性別與是否購買新能源汽車獨立，即性別與是否購買新能源汽車無關聯.

當=0時，

A2=80,B22=70,A23=20,B23=().5×().3×200=3()

A32=60,B32=().5X0.7X20()=7(),A33=40,B33=().5×().3×200=3()

.2(42222

(A23-B23)(Ax2-B32)(A33-B33)

=-------------------1--------------------1--------------------1------------------

B[,2員3員2員3

(80-70)2(20-30)2(60-70)2(40-30)2200CS

7030703021

-.?9.524>7.879=x0005,

???根據小概率值a=0.005的獨立性檢驗，我們推斷”。不成立，即認為性別與是否購

買新能源汽車有關聯，此推斷犯錯誤的概率不超過0.005.

2

K，_(80-m-70)2+(20+m-30)2+(60+tn-70)2+(40-m-30)

70307030

2(10-m)2

21

由題意可知2I°二*二≥2.706，

21

整理得(Io-M2≥28.413，

又加eN,m<?Q,:.m<4

所以，”的最大值為4,

又80—4=76,

至少有76名男性購買新能源汽車

21、答案：（1）見解析

⑵?

解析：（1）證明：如圖所示,

設A(Xl,χ),β(x2,y2),P((V)

--2Jt

由PA=λAF,得X=---，y.=——

11+A力1+4

22

2λ

U+Λ

又點A在橢圓C上，故T+I+-------=1

84

整理得2^+84—1?+4=0

由P8=48E,同理可得2〃2+8〃-t2+4=0

由于A,B不重合，即∕l≠4,

因此/1，μ是方程2萬2+8%-產+4=0的兩個根，所以4+〃=-4為定值.

(2)直線/的方程為5+}=1即y=—；(x—2)

22

將y=一；(x-2)代入￡+寧=1

W(2+r2)x2-4rx+4r-16=0

4r4/-16

XX=

2+712-Ξ7F

從而SAQABIJAQAP-SAQBP=5團-WI=IdIXI-*21,

-t2(x-X)2-t2[(玉+x)2-4XΛJ

?βi2212

16?16r-64

(2+尸)22+/

232r+128CC4

=產---------3211-------------

(2+r2)L(2+∕2)2J

若點P不在橢圓C的內部，則，≥2,BPr2>4,

所以暖刈的最小值為32χ?∣=等，

故AQAB面積的最小值為

22、答案：(1)見解析

嗚

解析：(1)由題意得：∕zr(x)≡ln^(l-x)e~v÷βcosx,

因為％=0為函數∕ι(x)的極值點，

所以，hr(O)=InQ+α=0,

知：InQ=—〃，∕z(x)=αkinjt-j?r),

〃(x)=Q[COS]-(1-尤)e-，],

(i)當x∈(-∞,0)時，

由Q>0,-