數(shù)學-專項2.12 因式分解法解一元二次方程（知識講解）-2022-2023學年八年級數(shù)學下冊基礎知識專項講練（浙教版）

專題2.12因式分解法解一元二次方程（知識講解）【學習目標】1.正確理解因式分解法的實質，熟練運用因式分解法解一元二次方程；2.通過求根公式的推導，培養(yǎng)學生數(shù)學推理的嚴密性及嚴謹性，滲透分類的思想．【要點梳理】用因式分解法解一元二次方程的步驟

（1）將方程右邊化為0；

（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積；

（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；

（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.特別說明：（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結構特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式；（4）解一元二次方程時如果能用因式分解法進行解題，它是首選。【典型例題】類型一、解一元二次方程??因式分解法??運算1．用因式分解法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1) (2)， (3)【分析】（1）先移項，再把括號展開進行因式分解，即可求解；（2）先移項，再提取公因式進行因式分解，即可求解；（3）先移項，再用完全平方公式進行因式分解，即可求解．（1）解：，，

，，，，．（2）解：，，，或，，．（3）解：，，，．【點撥】本題主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法．舉一反三：【變式1】用因式分解法解下列方程：(1)； (2)．【答案】(1) (2)【分析】（1）先化為一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；（2）先化為一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解．（1）解：，，即，

∴，解得：；（2）解：，即，，解得：．【點撥】本題考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵．【變式2】解下列一元二次方程：(1)；(2)．【答案】(1) (2)【分析】（1）先化為一般形式，然后根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解；（2）根據(jù)平方差公式因式分解，即可求解．解：（1）解：，，即，∴，解得；（2）解：，即，∴，∴，即，解得．【點撥】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．

類型二、解一元二次方程??因式分解法應用2．由多項式乘法：，將該式從右到左進行運算，即可得到“十字相乘法”進行因式分解的公式：．如：分解因式：．（1）分解因式：（2）請用上述方法解方程：【答案】（1）2，4（或4，2）；（2），【分析】（1）根據(jù)“十字相乘法”進行因式分解，即可得到答案；（2）先利用“十字相乘法”進行因式分解，進而即可求解．解：（1）故答案為：2，4（或4，2）；（2）∵，或，解得：，．【點撥】本題主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟練掌握“十字相乘法”進行因式分解，是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】如果關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．例如，一元二次方程的兩個根是，則方程是“鄰根方程”．（1）通過計算，判斷下列方程是否是“鄰根方程”：①；②（2）已知關于的方程(是常數(shù))是“鄰根方程”，求的值．【答案】（1）①不是“鄰根方程”；②是“鄰根方程”；（2）0或?2．【分析】（1）根據(jù)解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比較兩根的差是否為1，從而確定方程是否為“鄰根方程”；

（2）先解方程求得其根，再根據(jù)新定義列出m的方程，注意有兩種情況，故可求解．解：（1）①解方程得：（x-3）（x+2）＝0，∴x1＝3，x2＝-2，∵3≠?2＋1，∴不是“鄰根方程”；②x＝=，∴x1＝，x2＝，∵-=1，∴是“鄰根方程”；（2）解方程得：（x?m）（x＋1）＝0，∴x1＝m，x2＝?1，∵方程（m是常數(shù)）是“鄰根方程”，∴m＝?1＋1或m＝?1?1，∴m＝0或?2．【點撥】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法以及正確理解“鄰根方程”的定義，本題屬于中等題型．【變式2】（2022秋·九年級單元測試）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會自動加上，同時B區(qū)就會自動減去3a，且均顯示化簡后的結果，已知A、B兩區(qū)初始顯示的分別是25和．如圖．

如：第一次按鍵后，A，B兩區(qū)分別顯示（1）從初始狀態(tài)按2次后，分別求A，B兩區(qū)顯示的結果：（2）從初始狀態(tài)按4次后，得A，B兩區(qū)代數(shù)式的和為1，求a的值．【答案】（1）A區(qū)顯示的結果為，B區(qū)顯示的結果為-16-6a；（2）a的值為2或1【分析】（1）根據(jù)程序規(guī)則即可得到按鍵2次后A、B兩區(qū)顯示的結果；（2）根據(jù)程序規(guī)則先得到按鍵4次后A、B兩區(qū)顯示的結果，再將兩個結果加起來等于1得到關于a的一元二次方程，解方程即可求得a值．解：（1）A區(qū)顯示的結果為，B區(qū)顯示的結果為﹣16﹣3a﹣3a=﹣16﹣6a；（2）按4次后A區(qū)顯示的結果為，B區(qū)顯示的結果為﹣16﹣12a，則，根據(jù)題意，得：，即，解得，a的值為2或1．【點撥】本題考查了整式的加減、解一元二次方程，根據(jù)題意能正確得出結果，并會解一元二次方程是解答的關鍵．類型三、解一元二次方程??用適合的方法解一元二次方程3．按要求解下列方程：(1)；（配方法）；(2)；（因式分解法）(3)；（公式法）；(4)．（因式分解法）【答案】(1)， (2) (3)， (4)【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接開平方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可；

（3）把方程化為一般式，再計算根的判別式的值，然后利用公式法解方程即可；（4）利用因式分解法解方程先即可．（1）解：∴，；（2）解：或x+4-5=0∴；（3）解：a=1，b=-6，c=-8∵，∴，∴，；（4）解：x-5=0或x+3=0∴．【點撥】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】用指定的方法解下列方程：

（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接開方法）（2）x2+2x﹣3=0（配方法）（3）（x+1）（x-2）=4（公式法）（4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法）【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；（2）x1＝1，x2＝﹣3；（3）x1＝3，x2＝﹣2；（4）x1＝﹣1，x2＝2．【分析】（1）直接利用開方法進行求解即可得到答案；（2）直接利用配方法進行求解即可得到答案；（3）直接利用公式法進行求解即可得到答案；（4）直接利用因式分解法進行求解即可得到答案；解：（1）∵∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x1＝4，x2＝﹣2；（2）∵x2+2x＝3，∴x2+2x+1＝4，∴（x+1）2＝4，∴x+1＝±2，∴x1＝1，x2＝﹣3；（3）∵x2﹣x﹣6＝0，∴△＝1﹣4×1×（﹣6）＝25，∴x＝，∴x1＝3，x2＝﹣2；（4）∵∴（x+1）（2﹣x）＝0，∴x+1＝0或2﹣x＝0，∴x1＝﹣1，x2＝2．【點撥】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關鍵在于能夠熟練掌握解一元二次方程的方法.

【變式2】解方程：(1)（公式法）；(2)（因式分解法）．【答案】(1)， (2)，【分析】（1）整理成一般式后運用公式法即可得出方程的解；（2）將（3x-4）看作整體因式分解后可得兩個一元一次方程，解之可得．解：（1）(2x+1)(x+2)=3原方程整理，得．．∴．所以，方程的解為，．（2）原方程變形為．由，得．由，得．所以，方程的解為，【點撥】本題考查了解一元二次方程，解此題的關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程．類型三、解一元二次方程??糾錯★★可化為一元二次方和的分式方程★★拓展4．解方程：2x－6＝3x(x－3)．小明是這樣解答的：將方程左邊分解因式，得2(x－3)＝3x(x－3)．……第一步方程兩邊同時除以(x－3)，得2＝3x.……第二步

解得x＝.……第三步(1)小明的解法從第________步開始出現(xiàn)錯誤；(2)寫出正確的解答過程．【答案】（1）二；（2）答案見分析．【分析】首先判定小明的解法從第二步開始出現(xiàn)錯誤，再利用因式分解的方法與步驟求得方程的解即可．解：（1）小明的解法從第二步開始出現(xiàn)錯誤；（2）2x﹣6=3x（x﹣3）2（x﹣3）=3x（x﹣3）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0（x﹣3）（2﹣3x）=0x﹣3=0，2﹣3x=0x1=3，x2=．【點撥】本題考查了用因式分解法解一元二次方程，掌握解方程的步驟與方法是解決問題的關鍵．舉一反三：【變式1】（2019春·八年級單元測試）解下列方程（1）

（2）【答案】(1)x1=1;(2)x1＝－1，x2＝3，x3＝－2，x4＝4.【分析】（1）方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；（2）運用換元法求解即可.解：（1）方程兩邊同乘以(x+2)(x-2)，得(x-2)+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)，即x2-3x+2=0，∴x1=1，x2=2．檢驗：x=1時，(x+2)(x-2)≠0，知x=1是原方程的解；x=2時，(x+2)(x-2)=0，知x=2是原方程的增根.故原方程的根是x=1．（2）設x2－2x＝y(tǒng)，

則原方程變形為（y＋2）（y＋1）＋25（y－2）（y＋1）＝24（y2－4）整理后，得y2－11y＋24＝0.解得y1＝3，y2＝8.①當y＝3時，x2－2x＝3,解得x1＝－1，x2＝3，②當y＝8時，x2－2x＝8.解得x3＝－2，x4＝4.經(jīng)檢驗：x1＝－1，x2＝3，x3＝－2，x4＝4都是原方程的解.【點撥】此題主要考查了分式方程的解法，解題的關鍵是熟練掌握運用分式方程的解法.【變式2】根據(jù)要求，解答下列問題：①方程的解為；②方程的解為，；③方程的解為，；…(1)根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請猜想：①方程的解為________；②關于的方程________的解為，．(2)請用配方法解方程，以驗證猜想結論的正確性．【答案】(1)①，②，； (2)猜想正確，理由見分析【分析】（1）①根據(jù)已知方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解為1和8；②關于x的方程的解為x1=1，x2=n，則此一元二次方程的二次項系數(shù)為1，則一次項系數(shù)為1和n的和的相反數(shù)，常數(shù)項為1和n的積．（2）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判斷猜想結論的正確．(1)解：根據(jù)已知方程特征及其解的特征，得到：①方程x2﹣9x+8=0的解為x1=1，x2=8；故答案為：x1=1，x2=8；

②關于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解為x1=1，x2=n．故答案為：x1=1，x2=n．(2)解：x2﹣9x=﹣8，x2﹣9x+=﹣8+，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=1，x2=8；所以猜想正確．【點撥】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了因式分解法解一元二次方程．類型三、解一元二次方程??中考真題專練5．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小敏與小霞兩位同學解方程的過程如下框：小敏：兩邊同除以，得，則．小霞：移項，得，提取公因式，得．則或，解得，．你認為他們的解法是否正確？若正確請在框內打“√”；若錯誤請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．【答案】兩位同學的解法都錯誤，正確過程見分析【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程解：小敏：兩邊同除以，得，小霞：移項，得，提取公因式，得．

則．（×）則或，解得，．（×）正確解答：移項，得，提取公因式，得，去括號，得，則或，解得，．【點撥】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧準確計算是解題關鍵．舉一反三：【變式1】（2019·上?！ぶ锌颊骖}）解分式方程：．【答案】x＝－4.【分析】首先去分母，化為整式方程，然后合并同類項，把未知數(shù)的系數(shù)化為1，最后檢驗求得的結果是否使原分式有意義，即可得到答案．解：去分母得2x2－8＝x2－2x，移項、整理得x2＋2x－8＝0，解得：x1＝2，x2＝－4．經(jīng)檢驗：x＝2是增根，舍去；x＝－4是原方程的根．∴原方程的根是x＝－4．【點撥】此題考查解分式方程，解分式方程的基本思路