數(shù)學(xué)-專項(xiàng)04 完全平方公式的六種考法全攻略（帶答案）

專題04完全平方公式的六種考法全攻略【知識(shí)點(diǎn)梳理】完全平方和（差）公式：注：=1\*GB3①a、b僅是一個(gè)符號(hào)，可以表示數(shù)、字母、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；=2\*GB3②使用公式時(shí)，一定要先變形成符合公式的形式拓展：利用可推導(dǎo)除一些變式=1\*GB3①=2\*GB3②注：變式無(wú)需記憶。在完全平方公式中，主要有、、、等模塊，都可以通過(guò)與相結(jié)合推導(dǎo)出來(lái)。類型一、乘法公式綜合運(yùn)用例.計(jì)算：【答案】【詳解】解：===．【變式訓(xùn)練1】計(jì)算(1)(2)【答案】(1)(2)

【詳解】（1）解：，（2）．【變式訓(xùn)練2】計(jì)算____________．【答案】【詳解】解：原式，故答案為：．類型二、知二求二例1．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，則a+b的值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】解：∵∴故答案為：．例2．已知，則________________.【答案】5【詳解】解：，，即：

，故答案為：5．【變式訓(xùn)練1】已知，則的值為_(kāi)____．【答案】25【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故答案為：25．【變式訓(xùn)練2】已知，則的值為_(kāi)____．【答案】【詳解】解：，，故答案為：．【變式訓(xùn)練3】（1）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，，求的值．（2）已知實(shí)數(shù)a、b滿足，，求的值．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴；（2）∵，，∴，，∴，，∴，，∴．

類型三、求字母取值例1．如果是一個(gè)完全平方式，那么k的值是（

）A．6 B．±6C．-6 D．±3【答案】B【詳解】解：是一個(gè)完全平方式，，即，故選：B．例2.已知是完全平方式，則常數(shù)k等于（）A．8 B． C．16 D．8或【答案】D【詳解】∵是完全平方式∴，∴∴解得故選：D．【變式訓(xùn)練1】若，則________．【答案】【詳解】解:∵，，∴m2=a；-6m=24∴m=-4，a=16，故答案為：16【變式訓(xùn)練2】已知是一個(gè)完全平方式，則m的值為()A．2 B．±2 C．4 D．±4【答案】C【詳解】解：∵x2-4x+m是一個(gè)完全平方式，∴m=，解得m=4．故選：C．【變式訓(xùn)練3】多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，則_______．如果是完全平方式，則的值是________．【答案】

16

【詳解】解：∵多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，∴，

∵是完全平方式，∴，，又∵，∴，故答案為：16，．類型四、配湊完全平方式例1．若實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵，∴，即，∴，，∴，，∴．故選：B．【變式訓(xùn)練1】已知，，，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____．【答案】3【解析】解：，，，，，，則原式，故答案為：3．【變式訓(xùn)練2】已知等腰三角形兩邊，，滿足，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)___________．

【答案】12【詳解】解：，，，，，，解得，，，、2、5不能組成三角形，∴這個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為5、5、2，∴這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為：．故答案為：12．【變式訓(xùn)練3】已知，滿足，求的值．【答案】6【詳解】解：===，∵，∴，∴，∴，原式===．【變式訓(xùn)練4】教科書(shū)中這樣寫(xiě)道：“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值等．例如：求代數(shù)式的最小值．當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)為何值時(shí)，代數(shù)式有最小值，求出這個(gè)最小值．（2）當(dāng)，為什么關(guān)系時(shí)，代數(shù)式有最小值，并求出這個(gè)最小值．（3）當(dāng)，為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最大值，并求出這個(gè)最大值．【答案】（1）代數(shù)式有最小值為1；（2）代數(shù)式有最小值為3．（3）當(dāng)，時(shí)，多項(xiàng)式有最大值為17．【解析】（1）原式當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值為1；（2）原式代數(shù)式有最小值為3．（3）原式當(dāng)，時(shí)，多項(xiàng)式有最大值為17．類型五、整體思想求值例．已知，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練1】如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）

(1)觀察圖2請(qǐng)你寫(xiě)出、、之間的等量關(guān)系是______；(2)根據(jù)（1）中的結(jié)論，若，，則______；(3)拓展應(yīng)用：若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：由圖2可知，大正方形的邊長(zhǎng)為，內(nèi)部小正方形的邊長(zhǎng)為，∴大正方形的面積為，小正方形的面積為，小長(zhǎng)方形的面積為，由題可知，大正方形面積等于小正方形與4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和，即．故答案為：；（2）解：∵，，∴．故答案為：；（3）解：∵，又∵，∴，∴．

【變式訓(xùn)練2】閱讀理解，若x滿足，求的值．解：設(shè)，，則，，，歸納方法：首先，利用換元進(jìn)行式子簡(jiǎn)化，再利用和（差）是定值，積是定值的特點(diǎn)與其平方和之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．解決問(wèn)題：(1)若x滿足，則____________________．(2)若x滿足，求的值．(3)如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)E、F是上的點(diǎn)，且，分別以為邊在長(zhǎng)方形外側(cè)作正方形和，若長(zhǎng)方形的面積為150平方單位，則圖中陰影部分的面積和為多少平方單位？【答案】(1)21(2)(3)平方單位【詳解】（1）解：設(shè)，；則，，∴，故答案為：．（2）解：設(shè)，，

則，，∴，故答案為：．（3）解：由題意得，，，∵長(zhǎng)方形的面積為150，∴，∴，+設(shè)，，則，∴∴陰影部分的面積，平方單位，∴陰影部分的面積和為364平方單位．【變式訓(xùn)練3】圖是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀剪下全等的四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖拼成一個(gè)正方形．(1)直接寫(xiě)出圖中的陰影部分面積；(2)觀察圖，請(qǐng)直接寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系；(3)根據(jù)（2）中的等量關(guān)系：若，則的值為_(kāi)__________；

(4)已知，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)6【詳解】（1）解：圖中陰影部分是邊長(zhǎng)為的正方形，因此陰影部分面積為；（2）圖中陰影部分面積也可以看作從邊長(zhǎng)為的正方形面積減去個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形面積，即，因此有；（3）由（2）可知，，，故答案為：；（4）設(shè)，，則，，∴，答：的值為類型六、幾何運(yùn)用例．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，種紙片是邊長(zhǎng)為的正方形，種紙片是邊長(zhǎng)為的正方形，種紙片是長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．(1)若要拼出一個(gè)面積為的矩形，則需要號(hào)卡片______張，號(hào)卡片______張，號(hào)卡片_____張．(2)觀察圖2，請(qǐng)你寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系______；根據(jù)得出的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：已知，求的值．

(3)兩個(gè)正方形，如圖3擺放，邊長(zhǎng)分別為，．若，，求圖中陰影部分面積和．【答案】(1)3，2，7(2)，(3)8【詳解】（1）解：，又種紙片的面積為，種紙片的面積為，種紙片的面積為，∴需種紙片3張，種紙片2張，種紙片7張，故答案為：3，2，7；（2）解：由圖2知，大正方形的面積為，又可以為，∴，故答案為：；設(shè)，，則，，，∵，∴，則，∵，∴，

∴；（3）解：由題意和圖形知，，，則，則，∴，∴或（舍去），陰影部分的面積和為．【變式訓(xùn)練1】將兩數(shù)和（差）的平方公式：，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題．例如：若，，求的值．解：，，．請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路和方法，解決下列問(wèn)題：(1)若，，求的值；(2)將邊長(zhǎng)為x的正方形和邊長(zhǎng)為y的正方形按如圖所示放置，其中點(diǎn)D在邊上，連接，，若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）解：，，

，，；（2）陰影部分的面積為：，，．【變式訓(xùn)練2】閱讀材料：完全平方公式是．選取二次三項(xiàng)式中兩項(xiàng)，配成完全平方式的過(guò)程叫配方，例如：叫配方請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解決下列問(wèn)題：(1)比照上面的例子，將二次三項(xiàng)式配方得：（______）______；∴______0（填“>”，“<”，“=”）(2)如下圖1所示的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是，，圖2所示的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是，，請(qǐng)用含的式子分別表示兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，，比較與的大小，并說(shuō)明理由．【答案】(1)2，5，>(2)，理由見(jiàn)解析

【詳解】（1）∵∴故答案為：2，5，>；（2）∴∵∴∴．【變式訓(xùn)練3】我們知道，對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)a，“”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時(shí)我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，然后利用“”來(lái)解決問(wèn)題．例如：，∵，∴，∴．(1)填空：（______）______．(2)請(qǐng)用作差法比較與的大小，并寫(xiě)出解答過(guò)程．(3)求的最小值．

【答案】(1)；(2)(3)【詳解】（1）解：．故答案為：；．（2），∵，∴，∴．（3），∵，，∴，即，∴的最小值為．【變式訓(xùn)練4】如圖a是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖b的形狀，拼成一個(gè)正方形．(1)請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積．方法①．方法②；

(2)觀察圖b，請(qǐng)你寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式，，mn之間的等量關(guān)系是；(3)若，，利用（2）題中提供的等量關(guān)系計(jì)算：；(4)實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來(lái)解釋，如圖C，它表示了，現(xiàn)有一個(gè)代數(shù)恒等式，請(qǐng)用一個(gè)幾何圖形的面積來(lái)解釋它的正確性．【答案】(1)