數(shù)學(xué)-專項(xiàng)2 二次根式化簡(jiǎn)求值技巧（帶答案）

專題2二次根式化簡(jiǎn)求值技巧（解析版）典例精析+變式訓(xùn)練類型一利用二次根式的性質(zhì)=|a|化簡(jiǎn)典例1（2022春?郯城縣期末）化簡(jiǎn)二次根式?x?A．?x B．x C．?x D．思路引領(lǐng)：根據(jù)二次根式有意義的條件以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)進(jìn)行計(jì)算即可．解：由題意可知，x＜0，原式＝﹣x??x?x因此選項(xiàng)A是正確的，應(yīng)選：A．總結(jié)提升：本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件以及化簡(jiǎn)方法是得出正確答案的前提．變式訓(xùn)練1．已知a=13+2思路引領(lǐng)：先將a的值分母有理化，判斷出a﹣1的符號(hào)，繼而根據(jù)二次根式的性質(zhì)求解可得．解：∵a=13+2∴a﹣1＝2?3?1＝1∴原式=＝|a﹣1|＝﹣（a﹣1）=3總結(jié)提升：本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．2．（1）當(dāng)a＜0時(shí)，化簡(jiǎn)a2（2）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上表示如圖所示，化簡(jiǎn)：(a+2)2

思路引領(lǐng)：（1）直接利用a的取值范圍結(jié)合二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案；（2）直接利用a，b的取值范圍結(jié)合二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．解：（1）當(dāng)a＜0時(shí)，a2（2）由數(shù)軸可得：1＜a＜2，﹣3＜b＜﹣2，則：(a+2)＝a+2﹣（2﹣b）﹣（a+b）＝0．總結(jié)提升：此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．類型二含有隱含條件的化簡(jiǎn)求值典例2（2019春?黃石期中）已知x、y為實(shí)數(shù)，xy＝3，那么xyx+yA．23 B．﹣23 C．±23 D．±3思路引領(lǐng)：根據(jù)二次根式有意義條件分析出x與y是同號(hào)，然后化簡(jiǎn)（xyx+yxy解：根據(jù)二次根式有意義的條件可得x與y是同號(hào)，所以（xyx+yxy）2=x2?∵xy＝3，所以4xy＝12，即（xyx+y∵x與y是同號(hào)，所以原式＝±23．故選：C．總結(jié)提升：本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，解決這類問題一定要注意二次根式有意義的條件，在此條件下解答不會(huì)漏解．變式訓(xùn)練1．（2021春?陽新縣月考）已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代數(shù)式y(tǒng)yx+x

思路引領(lǐng)：根據(jù)加法法則、乘法法則和已知條件得出x、y同號(hào)，并且都是負(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)所求式子，代值即可．解：∵x+y＝﹣6，xy＝8，∴x、y同號(hào)，并且都是負(fù)數(shù)，∴yyx+=?y＝﹣（yx+=?(x+y=?(?6＝﹣52．總結(jié)提升：本題考查了解二元二次方程組和二次根式的混合運(yùn)算與求值等知識(shí)點(diǎn)，能正確根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．2．（2021春?虎林市校級(jí)期末）昨天的數(shù)學(xué)作業(yè)：化簡(jiǎn)求值．當(dāng)a＝3時(shí)，求a+1?2a+小紅的答案是5．小明卻認(rèn)為：原式=a+(1?a)2=a+(1?a)=1．即：無論a你認(rèn)為小明說得對(duì)么？為什么？思路引領(lǐng)：根據(jù)題意得到1﹣a＜0，根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)，判斷即可．解：小明的解答是錯(cuò)誤的，理由如下：∵a＝3，∴1﹣a＝﹣2＜0，∴原式＝a+a﹣1＝2a﹣1，當(dāng)a＝3時(shí)，原式＝2×3﹣1＝5，∴小明的解答是錯(cuò)誤的．總結(jié)提升：本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的性質(zhì)：a2=|類型三利用整體思想進(jìn)行求值典例3已知x＝5﹣26，y＝5+26，求3x2+5xy+3y2的值．思路引領(lǐng)：先計(jì)算出x+y與xy的值，再利用完全平方公式得到3x2+5xy+3y2＝3（x+y）2﹣xy

，然后利用整體代入的方法計(jì)算．解：∵x＝5﹣26，y＝5+26，∴x+y＝10，xy＝25﹣24＝1，∴3x2+5xy+3y2＝3（x+y）2﹣xy＝3×102﹣1＝299．總結(jié)提升：本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．使用整體代入的方法可簡(jiǎn)化計(jì)算．變式訓(xùn)練1．（2020秋?武侯區(qū)校級(jí)月考）已知x=7?12（1）x2﹣xy+y2；（2）yx思路引領(lǐng)：先根據(jù)完全平方公式、平方差公式和二次根式的乘除和加減運(yùn)算得出x2+y2和xy的值，（1）直接代入即可求得；（2）利用異分母分式加減法相加后直接代入即可．解：∵x=7?12∴xy=7?12又∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，∴x2（1）x2﹣xy+y2＝x2+y2﹣xy=4?3=5（2）y=y=4=8

=14總結(jié)提升：本題考查完全平方公式，平方差公式，二次根式的加、減、乘運(yùn)算，分式的加法．能結(jié)合二次根式的性質(zhì)和乘法公式求得x2+y2和xy的值是解題關(guān)鍵．2．（1）已知：x=12+3，y=12?3．求2x2（2）已知x=5+12思路引領(lǐng)：（1）分母有理化后，代入求解即可；（2）由x=5+12，推出2x=5+1，可得2x﹣1=5，推出4x2﹣4x＝4，即x2﹣x解：（1）x=12+3=2?3所以原式＝2（2?3）2+2（2+3）2﹣（2?3＝14﹣83+14+83＝27；（2）∵x=5∴2x=5∴2x﹣1=5∴4x2﹣4x＝4，即x2﹣x＝1，∴x+1＝x2，∴原式=x3+總結(jié)提升：本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用整體代入的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．類型四化簡(jiǎn)二次根式比較大小典例4（2022秋?修水縣期中）閱讀下面的材料，解答后面所給出的問題：兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如：a與a，2+1與2（1）請(qǐng)你寫出兩個(gè)二次根式，使它們互為有理化因式：．化簡(jiǎn)一個(gè)分母含有二次根式的式子時(shí)，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：

23（2）請(qǐng)仿照上述方法化簡(jiǎn)：35（3）比較13?1與思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)有理化因式的概念寫出乘積不含二次根式的兩個(gè)式子即可；（2）分子，分母同時(shí)乘以分母的有理化因式即可；（3）分母有理化后再比較．解：（1）5+2與5故答案為：5+2與5（2）3=3(=5（3）13?1=∵3+1∴13總結(jié)提升：本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的分母有理化．變式訓(xùn)練1．（2022春?翔安區(qū)期末）觀察下列一組等式，然后解答后面的問題（2+1）（2?1）＝1，（3+2）（3?（1）觀察上面規(guī)律，計(jì)算下面的式子1（2）利用上面的規(guī)律比較11?10與思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題目中材料，可以先將所求式子分母有理化，再化簡(jiǎn)即可解答本題；（2）根據(jù)上面的規(guī)律可以比較11?10與解：（1）1=(2?1)+(3=2

=100＝10﹣1＝9；（2）∵11?12?又∵12+∴111即11?總結(jié)提升：本題考查分母有理化、實(shí)數(shù)大小的比較，解題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，解答相關(guān)問題．專題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2021春?上城區(qū)校級(jí)期中）已知a=3?2，b=3+2，求思路引領(lǐng)：a=3?2，b=解：a=3?2，∴ab＝（3?2）（故答案為：1．總結(jié)提升：本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，根據(jù)二次根式的乘法可得ab的值．2．（2018春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如果一個(gè)三角形的三邊分別是2，3，m（m為正整數(shù)），則4m2+4m+1?|1﹣3m|+3化簡(jiǎn)求值的所有結(jié)果的和是思路引領(lǐng)：直接利用三角形三邊關(guān)系得出m的取值范圍，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出答案．解：∵一個(gè)三角形的三邊分別是2，3，m（m為正整數(shù)），∴1＜m＜5，∴4m2+4m+1?＝2m+1﹣（3m﹣1）+3＝﹣m+5，當(dāng)m＝2時(shí)，﹣m+5＝3，當(dāng)m＝3時(shí)，﹣m+5＝2，當(dāng)m＝4時(shí)，﹣m+5＝1，

故所有結(jié)果的和是：1+2+3＝6．故答案為：6．總結(jié)提升：此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及二次根式的化簡(jiǎn)，正確得出m的取值范圍是解題關(guān)鍵．3．（2021春?金壇區(qū)期末）比較大小：12?2思路引領(lǐng)：根據(jù)分母有理化分別化簡(jiǎn)，即可得出答案．解：∵12?2=12∴1+2故答案為：＜．總結(jié)提升：本題考查了分母有理化，實(shí)數(shù)的比較大小，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．4．（2022春?南京期末）比較大?。??12＞思路引領(lǐng)：因?yàn)榉帜赶嗤员容^分子的大小即可，可以估算5的整數(shù)部分，然后根據(jù)整數(shù)部分即可解決問題．解：∵5?∴5?1故填空結(jié)果為：＞．總結(jié)提升：此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較，比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以采用作差法、取近似值法、比較n次方的方法等．當(dāng)分母相同時(shí)比較分子的大小即可．5．（2021秋?淮安區(qū)校級(jí)月考）已知實(shí)數(shù)a滿足|2020﹣a|+a?2021=a，那么a﹣20202+1的值是思路引領(lǐng)：根據(jù)二次根式有意義的條件得出a≥2021，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)把原式變形，代入計(jì)算即可．解：由題意得：a﹣2021≥0，解得：a≥2021，則a﹣2020+a?2021=整理得：a?2021=

∴a﹣2021＝20202，∴a﹣20202＝2021，∴原式＝2021+1＝2022，故答案為：2022．總結(jié)提升：本題考查的是二次根式有意義的條件、絕對(duì)值的性質(zhì)，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．6．（2022春?寧武縣期末）先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a＝9時(shí)，求a+1?2a+甲的解答為：原式＝a+(1?a)2=乙的解答為：原式a+(1?a)2=a+（兩種解答中，的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是．思路引領(lǐng)：利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；解：∵a＝9，∴1﹣a＜0，∴原式＝a+(1?a)2=a+∴甲錯(cuò)誤，故答案為甲，沒有注意到1﹣a＜0．總結(jié)提升：本題考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本公式，注意公式的應(yīng)用條件．7．（2010秋?石景山區(qū)校級(jí)期中）閱讀下列解題過程：15+4請(qǐng)回答下列問題：（1）觀察上面的解題過程，請(qǐng)直接寫出1n+n?1（2）利用上面所提供的解法，求值：11+2+1思路引領(lǐng)：（1）直接利用分母有理化化簡(jiǎn)得出答案；（2）直接將原式化簡(jiǎn)，進(jìn)而計(jì)算得出答案．解：（1）1n故答案為：n?

（2）原式=2?1+=2007故答案為：2007?總結(jié)提升：此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．8．（2022春?彭州市校級(jí)月考）已知x=17?5（1）xy；（2）x2+3xy+y2．思路引領(lǐng)：（1）利用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）利用完全平方公式及平方差公式進(jìn)行運(yùn)算即可．解：（1）xy=1=1=1（2）x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy＝（17?5＝（7+5+＝（7）2+＝7+＝712總結(jié)提升：本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．9．（2022秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求值，如果a＝2?3，b=12?思路引領(lǐng)：直接利用二次根式的性質(zhì)分母有理化，進(jìn)而化簡(jiǎn)二次根式得出答案．解：∵b=12?3=2+3(2?∴a﹣b＝2?3?（2+3）＝2?3?

∴a2?2ab+b總結(jié)提升：此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．10．（2022秋?章丘區(qū)校級(jí)月考）已知a=3+1，（1）求ab的值；（2）求a2+b2的值．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)平方差公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式的加法法則求出a+b，根據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計(jì)算即可．解：（1）∵a=3+1，b∴ab＝（3+1）（3（2）∵a=3+1，b∴a+b＝（3+1）+（3?1）＝2∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（23）2﹣2×2＝8．總結(jié)提升：本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握平方差公式、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．11．（2022?南京模擬）計(jì)算：（1）已知x=2+1，y=2?1，試求x2﹣xy（2）先化簡(jiǎn)，再求值：a2?1a思路引領(lǐng)：（1）先計(jì)算出x﹣y＝2，xy＝1，再將所求代數(shù)式變形為（x﹣y）2+xy，然后整體代入計(jì)算即可；（2）先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再把x值代入化簡(jiǎn)式計(jì)算即可．解：（1）∵x=2+1，∴x﹣y＝2，xy＝1，∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy＝22+1＝5；（2）a=(a+1)(a?1)=(a+1)(a?1)

=1當(dāng)a=2原式=1總結(jié)提升：本題考查代數(shù)式求值，逆用完全平方公式，分式化簡(jiǎn)求值，二次根式運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式與分式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．12．（2022春?永定區(qū)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：a2?1?思路引領(lǐng)：先分母有理化，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得到原式＝（2+1）a﹣|a﹣1|，接著利用a=2＞1去絕對(duì)值，合并得到原式=2a解：原式＝（2+1）a＝（2+1）a﹣|a∵a=2∴原式＝（2+1）a﹣（a=2a當(dāng)a=2時(shí)，原式=總結(jié)提升：本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．13．已知a=3?2，b＝2?3，c=5?2，比較思路引領(lǐng)：先求出a=3?2≈0.318，b＝2?解：∵a=3?2≈0.318，b＝2?0.318＞0.268＞0.236，∴a＞b＞c．總結(jié)提升：考查了實(shí)數(shù)大小比較，關(guān)鍵是求出a，b，c的大小．14．（2022春?金華月考）在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，李老師出了這樣一道題目：先化簡(jiǎn)，再求值：|x﹣1|+(x?10)2，其中小明同學(xué)是這樣計(jì)算的：解：|x﹣1|+(x?10)2=x﹣1+x當(dāng)x＝9時(shí)，原式＝2×9﹣11＝7．小榮同學(xué)是這樣計(jì)算的：

解：|x﹣1|+(x?10)2=x聰明的同學(xué)，誰的計(jì)算結(jié)果是正確的呢？錯(cuò)誤的計(jì)算錯(cuò)在哪里？思路引領(lǐng)：根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷即可．解：小榮的計(jì)算結(jié)果正確，小明的計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤，錯(cuò)在去掉根號(hào)：|x﹣1|+(x?10)2=x﹣1+x﹣10（應(yīng)為x總結(jié)提升：本題考查了二次根式