傳熱學(xué)-第四章-熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法

作業(yè)：第四版：3-2，3-31，3-482024/3/51第四章

導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法NumericalMethodforHeatConduction2024/3/53主要內(nèi)容（重點(diǎn)掌握）：導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想內(nèi)外節(jié)點(diǎn)離散方程的建立非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法Tuesday,March5,20244特點(diǎn)：

(1)分析法

a能獲得所研究問題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算提供比較依據(jù)；

b分析解具有普遍性，各參數(shù)的物理意義及影響清晰

c局限性很大，對復(fù)雜的問題無法求解；前述2、3章對導(dǎo)熱問題的求解思路：導(dǎo)熱微分方程+邊界條件+初始條件穩(wěn)態(tài)問題：直接積分法非穩(wěn)態(tài)問題：分離變量法解析解（analyticalsolution）局限性：簡單幾何形狀及邊界條件工程實(shí)際中面臨的大部分問題幾何形狀和邊界條件要復(fù)雜的多，由于數(shù)學(xué)上的困難還不能給出解析解，導(dǎo)致目前解析解只能作為某些簡單問題的參照依據(jù)，不能解決實(shí)際問題。研究傳熱學(xué)問題的三種基本方法：(1)理論分析法；(2)實(shí)驗(yàn)法；(3)數(shù)值計(jì)算法§4-0引言Tuesday,March5,20245(2)實(shí)驗(yàn)法:

是傳熱學(xué)的基本研究方法：a偏向于機(jī)理研究；b.受場地，燃料動力源等因素的影響，無法完全復(fù)現(xiàn)研究對象，具有時(shí)間、空間上的局限性c.費(fèi)用昂貴(3)

數(shù)值方法數(shù)值方法：把原來在時(shí)間和空間連續(xù)的物理量的場，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解a.在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)；適應(yīng)性強(qiáng)，特別對于復(fù)雜問題更顯其優(yōu)越性；b.與實(shí)驗(yàn)法相比成本低數(shù)值解法：

有限差分法（finite-difference）、

有限元法（finite-element）、

邊界元法（boundary-element）、

分子動力學(xué)模擬（MD）

Tuesday,March5,20246§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（建立網(wǎng)格系統(tǒng)）針對所有節(jié)點(diǎn)建立某物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程解的分析是改進(jìn)初場否是否收斂步驟：Tuesday,March5,20247研究對象：二維，穩(wěn)態(tài)，常物性，無內(nèi)熱源導(dǎo)熱問題1.建立控制方程，給出定解條件：

B.C.Tuesday,March5,202482.區(qū)域離散化-建立網(wǎng)格系統(tǒng)相鄰節(jié)點(diǎn)之間的距離——步長（steplength）節(jié)點(diǎn)（node）：網(wǎng)格線的交點(diǎn)，是需要確定溫度值的點(diǎn)，是每個(gè)子區(qū)域的代表。網(wǎng)格線：一系列與坐標(biāo)軸平行且相互交叉的網(wǎng)格線，將求解區(qū)域劃分成許多子區(qū)域元體（element）或控制容積（controlvolume）：相鄰兩節(jié)點(diǎn)中錘線構(gòu)成的區(qū)域。xyn=1mm=Mn=Nm=1(m,n)Tuesday,March5,202493.建立物理量的代數(shù)方程

節(jié)點(diǎn)(m,n)上物理量的代數(shù)方程稱為離散方程（discretizationequation），是數(shù)值求解的重要環(huán)節(jié)。

4.設(shè)立迭代初場代數(shù)方程組的解法分為直接解法和迭代法，有限差分解法主要采用迭代法。其中每一個(gè)未知數(shù)都需要給定一個(gè)初值，其合集稱之為初場（initialfield）5.求解代數(shù)方程組

各項(xiàng)系數(shù)（l等）經(jīng)確定后，在求解過程中不發(fā)生變化線性問題r，c，l，e隨溫度變化各項(xiàng)系數(shù)在每次迭代中更新非線性問題6.解的分析獲得溫度場不是最終目的，根據(jù)傅里葉定律獲取界面處的熱流q，熱應(yīng)力，熱變形等。若把矩形看成肋片，最終目的可能是求其肋效率等。Tuesday,March5,202410建立離散方程的常用方法：(1)泰勒級數(shù)展開法；(2)多項(xiàng)式擬合法；(3)控制容積積分法；(4)控制容積平衡法(也稱為熱平衡法)§4-2內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法Tuesday,March5,202411一.泰勒級數(shù)展開法

Tuesday,March5,202412a，b相加得：

略去無窮小量有：Tuesday,March5,202413同理，在y軸方向有：

這種使用被離散點(diǎn)本身、前后兩點(diǎn)作近似的差分方法稱為——中心差分傳熱學(xué)中常用到的一階二階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式如下表所示（均分網(wǎng)格）：Tuesday,March5,202414

Tuesday,March5,202415二.熱平衡法思路：類似于導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)，利用傅里葉定律，直接寫出每個(gè)控制體的能量守恒方程。

均分網(wǎng)格：

直接將能量守恒原理與傅里葉定律應(yīng)用于節(jié)點(diǎn)所代表的控制體。物理概念清晰，推導(dǎo)過程簡潔，應(yīng)予以重點(diǎn)掌握！非均網(wǎng)格只需對界面面積做適當(dāng)處理即可(m,n)Tuesday,March5,202416§4-3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解第一類邊界條件：已知全部邊界的溫度，作為已知值加入到內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。xyn=1mm=Mn=Nm=1wsen(m-1,n)(m,n-1)(m+1,n)(m,n+1)

封閉第二類邊界條件或第三類邊界條件：部分邊界溫度未知。

不封閉

(m,n)Tuesday,March5,2024171.邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立：qwxyqw(1)平直邊界上的節(jié)點(diǎn)

(m,n)(m,n-1)(m,n+1)(m-1,n)

Tuesday,March5,202418(2)內(nèi)部角點(diǎn)xyqw

(m,n)(m,n-1)(m,n+1)(m-1,n)

(m+1,n)

Tuesday,March5,202419(3)外部角點(diǎn)

xy

(m,n)(m,n-1)(m-1,n)

qw

Tuesday,March5,202420

熱流邊界qw分為三種情況討論：

第三類邊界條件：

(3)輻射邊界條件：Tuesday,March5,2024212.節(jié)點(diǎn)方程組的求解思路：寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程；使得——未知節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)=代數(shù)方程式個(gè)數(shù)代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法

迭代法：給出初場，在迭代中不斷改進(jìn)，直至滿足收斂條件為止。直接求解：矩陣求逆，高斯消元法等經(jīng)過有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程的精確解。Tuesday,March5,202422直接解法：通過有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程精確解;

矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對要計(jì)算的場作出假設(shè)、在迭代計(jì)算過程中不斷予以改進(jìn)、直到每兩次之間的迭代結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計(jì)算過程中要相應(yīng)地不斷更新）迭代解法有多種：簡單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德爾迭代的特點(diǎn)：每次迭代時(shí)總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值Tuesday,March5,202423在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)按下式（采用最新值）例如：第k次迭代完全結(jié)束后的節(jié)點(diǎn)溫度：

Tuesday,March5,202424判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：當(dāng)有溫度t接近于零的時(shí)，選此準(zhǔn)則較好

迭代次數(shù)，表示第k次迭代表示第k次迭代所得計(jì)算域內(nèi)的最大值

Tuesday,March5,202425例題：Tuesday,March5,202426Tuesday,March5,202427§4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱數(shù)值解法的特點(diǎn)：

（1）非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程多了非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，因此單值性條件中增加了初始條件；

（2）除了對空間域進(jìn)行離散外，還需要對時(shí)間域進(jìn)行離散；

（3）利用熱平衡法導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)溫度方程時(shí)需要考慮控制容積的熱力學(xué)能隨時(shí)間的變化；

（4）由于時(shí)間和空間同時(shí)離散，在有些情況下空間步長和時(shí)間步長不能任意選擇，否則會帶來節(jié)點(diǎn)溫度方程求解的穩(wěn)定性問題。Tuesday,March5,202428第三類邊界條件下，常物性、無內(nèi)熱源無限大平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題為例。1)求解域的離散2)節(jié)點(diǎn)溫度差分方程的建立

運(yùn)用熱平衡法可以建立非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物體內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程。

1.

一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)值求解：

Tuesday,March5,202429內(nèi)部節(jié)點(diǎn)溫度差分方程內(nèi)部節(jié)點(diǎn)n所代表的控制容積在i時(shí)刻的熱平衡：時(shí)間項(xiàng)一階導(dǎo)數(shù)采用向前差分，擴(kuò)散項(xiàng)采用當(dāng)前（i）時(shí)層上的值來表示，熱平衡方程式可寫成

左側(cè)導(dǎo)入熱量右側(cè)導(dǎo)入熱量計(jì)算第i+1時(shí)層溫度值時(shí)，用第i時(shí)層的已知值

——內(nèi)部節(jié)點(diǎn)溫度方程的顯式差分格式Tuesday,March5,202430兩點(diǎn)結(jié)論：

(a)

任意一個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)n在(i+1)時(shí)刻的溫度都可以由該節(jié)點(diǎn)及其相鄰節(jié)點(diǎn)(n-1)

、(n+1)在i時(shí)刻的溫度由上式直接求出，不必聯(lián)立求解方程組，這是顯式差分格式的優(yōu)點(diǎn)。這樣就可以從初始溫度出發(fā)依次求出各時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)溫度；(b)

必須滿足顯式差分格式的穩(wěn)定性條件，即

穩(wěn)定性條件說明，一旦空間步長

x或時(shí)間步長

的數(shù)值確定之后，另一個(gè)步長的數(shù)值的就不能任意選擇，必須滿足穩(wěn)定性條件。

物理意義:

Tuesday,March5,202431隱式差分格式：

如果節(jié)點(diǎn)溫度取下一時(shí)層(i+1)的溫度值，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)n所代表的控制容積的熱平衡方程式可寫成:

——內(nèi)部節(jié)點(diǎn)溫度方程的隱式差分格式Tuesday,March5,202432隱式格式與顯式格式的區(qū)別：

Tuesday,March5,202433(2)邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程

邊界節(jié)點(diǎn)0所代表的控制容積在k時(shí)刻的熱平衡：

時(shí)間項(xiàng)一階導(dǎo)采用向前差分，擴(kuò)散項(xiàng)采用前一時(shí)層（i）溫度（顯示格式），熱平衡方程式可寫成：上式寫成顯函數(shù)的形式

Tuesday,March5,202434同內(nèi)部節(jié)點(diǎn)溫度方程的顯式差分格式的道理相同，需將上一時(shí)層的信息傳遞到下一時(shí)層去，因此必須滿足：

Tuesday,March5,202435

第四章小結(jié)

（2）掌握有限差分法的原理;

重點(diǎn)掌握以下內(nèi)容：

（3）能夠根據(jù)導(dǎo)熱問題的特點(diǎn)，合理地進(jìn)行求解域的離