第14講拓展二三角形中線角平分線問題

第14講拓展二：三角形中線，角平分線問題題型01三角形中中線長（定值）【典例1】（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量與平行．若，，則BC邊上的中線AD為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【詳解】由于向量與平行，所以，由正弦定理得，由于所以，由于，所以.，兩邊平方得，所以.故選：D【典例2】（2023上·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則邊上的中線AD的長為.【答案】【詳解】由余弦定理可得，.在中，有，，由余弦定理可得，所以，.故答案為：.【典例3】（2023下·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)若，求中BC邊中線AD長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理得，即，即，所以，又，所以，又，所以；（2）由余弦定理得，即，所以，因為為中BC邊的中線，所以，則，所以.【變式1】（2022·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知的面積為，則的中線長的一個值為.【答案】或【詳解】因為的面積為，所以，故或；①當(dāng)時，，故，因為，所以，故；②當(dāng)時，，故，在中，由余弦定理可知，在中，由余弦定理可知，，故.綜上所述，的中線長為或.故答案為：或.【變式2】（2023下·河北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則中線AD的長為.【答案】【詳解】如圖，由余弦定理得，，又，兩式相加得，即，化簡得，所以.故答案為：【變式3】20．（2023上·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且滿足.(1)求B；(2)若，且的面積為，是的中線，求的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，即，即，又因為，所以，所以.又因為，所以，所以，所以.（2）因為，所以得，由余弦定理得：.又，所以，得，故的長為.題型02三角形中中線長（最值，范圍）問題【典例1】（2023上·廣西柳州·高一柳州高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在中，，則邊上的中線的長的取值范圍是.【答案】【詳解】解：延長到點，使，連接，如圖所示：在和中，，，．在中，由三角形的三邊關(guān)系，得，即，，故答案為：．【典例2】（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）在中，角A，，的對邊分別為，，，若，，則邊上的中線長度的最大值為．【答案】【詳解】

在中有，故由正弦定理可得，由余弦定理得，由三角形中線的性質(zhì)可得：，即，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，所以.故答案為：.【典例3】（2023上·遼寧大連·高三大連市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.①2acosB+b2c=0；②；③.在以上三個條件中選擇一個，并作答.(1)求角A；(2)已知△ABC的面積為，AD是BC邊上的中線，求AD的最小值.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【詳解】（1）若選①，因為：，即：，則：，即：，所以：，因為：，故；若選②，原式等價于，即，即：，因為：，則，所以：，則：，故；若選③，原式等價于，即：，所以：，即：，即：，因為：，故.（2）因為，所以：，因為為的中點，則：所以：，則：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此：的最小值為.【變式1】（2023下·云南昆明·高一?？计谥校┮阎狝D是的中線，若，，則的最小值是．【答案】【詳解】，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：【變式2】（2023上·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）在中，角，，的對邊分別為，，，且，.(1)求角；(2)求邊上中線長的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，可得：，即，所以，而，從而；（2）解法1：設(shè)外接圓半徑為R，則，如圖所示，過點C作，交BD延長線于E，則∽，則，故，所以，，又因為，故，則，所以，即；解法2：由平行四邊形性質(zhì)可得，所以，因為，又因為，故，則，所以，則，即；解法3：因為，所以，所以，又因為，結(jié)合解法2可知，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取到最大值；解法4：如圖所示，，，設(shè)外接圓半徑為R，則，故有外接圓如圖，D為的中點，則，由圖可知，所以.題型03已知中線長，求其它元素【典例1】（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若的中線，求的最大值．【答案】(1)(2)4【詳解】（1）由題可得，，結(jié)合正弦定理可得，因為，所以，得，因為，所以．（2）易知，（技巧：向量的平行四邊形法則）兩邊同時平方得，得．法一：可化為，因為，所以，所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．（點撥：運(yùn)用基本不等式求最值時，注意等號是否可以取到）所以的最大值是4．法二：，令則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．（點撥：三角函數(shù)的有界性）所以的最大值為4．【典例2】（2023上·河北邢臺·高三邢臺一中?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為、、，.(1)求；(2)已知為邊上的中線，，，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1），由，，，，所以，即，由于，所以.（2）在中，由，得，由，得，.則，由正弦定理得，，設(shè)，，由余弦定理得，故，在中，由余弦定理得，，即，解得，則，所以的面積.【典例3】（2023上·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知中，內(nèi)角的對邊分別為，若邊的中線長為，求面積的最大值.【答案】(1)的最小正周期，的單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)【詳解】（1），，故的最小正周期，由，得，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）得，，即，，又，，，，當(dāng)僅時取等號，面積，面積的最大值為.【變式1】．（2023上·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？计谥校┰谥校?，，所對的邊分別為，，.已知.(1)求角；(2)的中線＝，＝，求AB.【答案】(1)(2)3【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理，有，化簡可得，可得，因為是的內(nèi)角，于是，故，解得.（2）延長至，使得，易知，于是，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），于是，所以.【變式2】（2023上·山西晉中·高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足(1)求角的大??；(2)若，邊上的中線的長為，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由已知及正弦定理得：，則，在中，，∴，又因為,故.（2）解法一：∵，為中點，則，∴由，得，在中，在中，∵，∴，∴，解得：，故的面積為.解法二：由，得，由題意得，則，即有，解得：，故的面積為.【變式3】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為．(1)求；(2)已知為邊上的中線，，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理及，得，化簡得，所以，由余弦定理可得，由于.所以．（2）在中，由，得，由，得．則，由正弦定理得，，設(shè)，由余弦定理得，故，在中，由余弦定理得，，即，解得，則，所以的面積．【變式4】（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.(1)求B；(2)若的中線BD長為，求的最大值.【答案】(1)(2)8【詳解】（1）因為，所以，又，所以，所以，整理得，因為，所以，即，因為，所以，所以，得.（2）因為D為AC中點，所以，因為，所以，整理得，所以，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最大值為8.題型04求角平分線長（定值）問題【典例1】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線內(nèi)分對邊，所得的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例．已知ABC中，AD為∠BAC的角平分線，與BC交于點D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，則AD＝（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，滿足，∴，故，∵AD是∠BAC的角平分線，∴，∴，在ABD中，由余弦定理，得，解得或者（舍去），故選：D．【典例2】（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）在中，的角平分線交于點，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，在中，由余弦定理得，∴，∴為等腰三角形，，，又∵為角平分線，∴，∴在中，，由正弦定理得得，.故選：A．【典例3】（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，的角平分線交于，則．【答案】【詳解】中，由余弦定理得，解得（舍去），是角平分線，則，所以，，又由余弦定理得：，，而，因此，，，．故答案為：．【典例4】（2023下·四川遂寧·高一四川省蓬溪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且.(1)求角B的大??；(2)若，.（i）求的值；（ii）求的角平分線的長.【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【詳解】（1）解：，所以，，可得，又因為，故.（2）解：（i）因為，解得，由余弦定理可得，則，由正弦定理可得，所以，；（ii）因為，即，因此，.【典例5】（2022·北京·北京八十中?？寄M預(yù)測）在△ABC中，．(1)求B的值；(2)給出以下三個條件：①；②，；③，若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：（i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分線BD的長．【答案】(1)(2)正確條件為①③，（i），（ii）【詳解】（1）由題設(shè)，而，所以，故；（2）若①②正確，則，得或，所以①②有一個錯誤條件，則③是正確條件，若②③正確，則，可得，即②為錯誤條件，綜上，正確條件為①③，（i）由，則，即，又，可得，所以，可得，則，故；（ii）因為且，得，由平分得，在中，，在中，由，得．【變式1】（2023下·吉林·高一吉林市田家炳高級中學(xué)?？计谀┰谥校?，，，的角平分線交BC于D，則（

）A． B．2 C． D．【答案】B【詳解】在中,由余弦定理得,則，即，解得，（負(fù)值舍），而AD平分，即，又，故，則，故選：B【變式2】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．【答案】【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因為，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因為，所以，，又，所以，即．故答案為：．【變式3】（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）在中，角的對邊分別為，，=，，點D在BC邊上運(yùn)動．(1)若D為BC邊的中點，求AD．(2)若AD為的角平分線，求AD．【答案】(1)(2)2【詳解】（1）由余弦定理推論可得，即．．∵D為BC邊的中點，所以，即，所以．（2）不妨設(shè)，∵AD為的角平分線，由面積公式有，，得，．【變式4】（2023下·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求角A的大??；(2)若，，AD是△ABC的角平分線，求AD的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理可知.由余弦定理可得，又，所以.（2）由題意知，所以，所以，解得.【變式5】（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，外接圓面積為.(1)求；(2)若為角的角平分線，交于點，求的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知，∵，∴由正弦定理得，∴，∵，，∴，即.設(shè)外接圓半徑為，則外接圓面積，∴，∴由正弦定理，得，，∵，∴或.當(dāng)時，由余弦定理，∴，解得，∴（舍）；當(dāng)時，由余弦定理，∴，解得，∴.綜上所述，.（2）由第（1）問知，，若為角的角平分線，則，如圖，設(shè)，，的面積分別為，，，則，∴∴，∴解得，.題型05求角平分線長（最值，范圍）問題【典例1】（2019下·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）已知△ABC的面積為,∠BAC=,AD是△ABC的角平分線,則AD長度的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】中，∠BAC=,AD是角平分線得，，而因此得而，所以故選D項.【典例2】（2023下·安徽·高一安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，是的角平分線，且交于點.若的面積為，則的最大值為.【答案】【詳解】

設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.因為，所以.由已知可得，.又，，即，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故AM的最大值為.故答案為：.【典例3】（2023下·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知△的內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求；(2)若△的面積為為內(nèi)角A的角平分線，交邊于點D，求線段長的最大值．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由正弦定理，得，即，故根據(jù)余弦定理有.（2）因為為三角形內(nèi)角，則由（1）知，因為的面積為，所以，即，解得，又因為，，所以，所以，所以．于是.那么．所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）故的最大值為．【典例4】（2022下·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求的大??；(2)若邊上的高為，且的角平分線交于點，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理得，得，因為，所以，即.（2）因為，所以.由余弦定理得，得（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），即.因為，所以.因為，所以.因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.故的最小值為.【變式1】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期中）在中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，點D在邊上且為角A的角平分線，，則邊的取值范圍是．【答案】【詳解】如圖，設(shè)，則，，，在中，由正弦定理得，即，所以，在中，由，即得，所以，由于在上單調(diào)遞減，所以，所以.故答案為：.【變式2】（2022下·湖北武漢·高一統(tǒng)考期末）已知，內(nèi)角所對的邊分別是，，的角平分線交于點.若，則，的取值范圍是.【答案】【詳解】由正弦定理得：，又，；為的角平分線，設(shè)，則；，即，；由余弦定理知：，，；（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，即，又，，，即的取值范圍為.故答案為：；.【變式3】（2023·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為，求內(nèi)角A的角平分線長的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理，得，即，故，因為，所以，所以；（2）由（1）知，因為的面積為，所以，解得，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，因為AD為角A的角平分線，所以，又，所以，所以，不妨設(shè)，，則，故，延長至點E，使得，連接，則，又，所以，故，，則，，則，，在中，由余弦定理，得，即，因為，所以，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，故.所以長的最大值為.題型06已知角平分線，求其它元素【典例1】（2022上·貴州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知的內(nèi)角對應(yīng)的邊分別是，內(nèi)角的角平分線交邊于點，且.若，則面積的最小值是.【答案】【詳解】∵，∴，即，又，，∴，即，又，∴，由題可知，，所以，即，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以，即面積的最小值是.故答案為：【典例2】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谥校┰谥?，角A，B，C所對的邊為a，b，c，點D在邊上且為角A的角平分線，，則邊的取值范圍是．【答案】【詳解】如圖，設(shè)，則，，，在中，由正弦定理得，即，所以，在中，由，即得，所以，由于在上單調(diào)遞減，所以，所以.故答案為：.【典例3】（2023上·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)邊上存在點，使為的角平分線，若，求的周長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為在中，，所以，所以由正弦定理得，即，由余弦定理得，因為，所以.（2）因為，且所以，由余弦定理得：，整理得，解得或（舍去），所以，所以的周長為.【典例4】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）在中，記角、、所對的邊分別為、、，已知，中線交于，角平分線交于，且，，求的面積．【答案】【詳解】解：因為，所以，，即，由正弦定理可得，因為的角平分線交于，則，所以，．又因為，，由可得，即，則，．在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得．②因為，則①②可得，，即，即，即，解得，此時滿足，故，所以，．【典例5】（2023上·江西贛州·高二校聯(lián)考期中）已知的