2023-2024屆新高考一輪復習湘教版 4-1 任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念 學案

第一節(jié)任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念

【課標標準】1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進行弧度與角度的互化.3.借助

單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

必備知識夯實雙基

知識梳理

1.角的概念

(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著從一個位置旋轉到另一個位置所

形成的圖形.

(2)分類：按旋轉方向分為、和零角；按終邊位置分為和軸

線角.

(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構成的角的集合是S=

2.角度制與弧度制

(1)1度的角：把圓周分成360份，每一份所對的叫1。的角.

(2)1弧度的角：長度等于的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.

(3)1°=弧度，1弧度=度.

(4)若扇形的半徑為r,圓心角的弧度數(shù)為α,則此扇形的弧長I=,面積S=

3.任意角的三角函數(shù)

(1)定義：設α是一個任意角，αGR,它的終邊OP與單位圓相交于點尸(x,y),則Sina

—；cosa=,tanα=幺x#0).

(2)三角函數(shù)定義的推廣：設點P(X,)，)是角α終邊上任意一點且不與原點重合，r=?OP?,

貝IJsinα=,cosOL=,tanα="(xW0).

［常用結論J

I.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.象限角

｛第一象限角)卜|2面＜αQκ+手,A∈Z∣

象

限T第二象限角)樹2加+號＜松＜2打+F*∈Z∣

角

的T第三象限角)柯2"+κ＜α＜2M+等4叼

集

與A［第四象限角)利2α+等＜α＜2M+2MeZ］

3.軸線角

夯實雙基

1.思考辨析（正確的打“J”，錯誤的打“X”）

（1）小于90。的角是銳角.（）

（2）銳角是第一象限角，反之亦然.（）

（3）相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等.（）

（4）角α的三角函數(shù)值與其終邊上點P的位置無關.（）

2.（教材改編）若6滿足SinΘ<0,cosθ>0,則。的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.（教材改編）已知扇形的圓心角為60。，其弧長為2π,則此扇形的面積為.

4.（易錯）下列與手的終邊相同的角的表達式中正確的是（）

A.2?π+45o（?∈Z）

Q

B.jt?360o+-π（?∈Z）

4

C.k360°-315°（攵∈Z）

CTT

D.?π+-（?∈Z）

4

5.（易錯）已知角。的頂點與原點重合，始邊與X軸非負半軸重合，若點4-1,y）是角

（9終邊上的一點，且Sine=一邛^,則y=.

關鍵能力?題型突破

題型一象限角與終邊相同的角

例1（1）終邊在直線y=√縱上的角的集合為（）

A.{α∣α=2E+;,?∈Z}

B.{a?a=kπ+^,?≡Z}

C.{α∣α=2?π±^,?∈Z}

D.{a∣a=E±%kGZ?

（2）（多選）若a是第二象限的角，則;的終邊所在位置可能是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

題后師說

(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊

相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)依t∈Z)賦值來求得所需的角.

(2)確定％a,^kGN*)的終邊位置的方法：先寫出加或注的范圍，然后根據(jù)a的可能取值

確定Aa或；的終邊所在的位置.

k

鞏固訓練1

⑴若角α是第二象限角，則與是()

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第一或第三象限角

D.第二或第四象限角

(2)與1920。終邊相同的角中，最小的正角是

題型二扇形的弧長、面積公式

例2已知扇形的圓心角是。，半徑為R,弧長為/.

⑴若α=6()o,R=IOcm,求扇形的弧長/；

(2)若扇形的周長是20cm,當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大?

(3)若α/,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面積.

題后師說

應用弧度制解決問題的策略

鞏固訓練2

(l)[2023?天津南開中學模擬]如圖是杭州2022年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，

錢塘江和錢江潮頭是會徽的形象核心，綠水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮

奔涌表達了浙江兒女勇立潮頭的精神氣質，整個會徽形象象征著新時代中國特色社會主義大

潮的涌動和發(fā)展.如圖是會徽的幾何圖形，設弧4。長度是∕∣,弧BC長度是/2,幾何圖形

ABCD面積為S∣,扇形8。C面積為S2，若3=2,則*=()

12兔

A.1B.2

C.3D.4

(2)[2023?河南南陽中學月考]扇形的周長是4,面積是1,則扇形的圓心角1的弧度數(shù)是

題型三三角函數(shù)的定義

角度一三角函數(shù)定義的應用

例3(I)己知角α的終邊經(jīng)過點P(一次，機)，且Sina=U二求COSa,tanα的值.

4

(2)設角α的終邊在直線2r-y=0上，求角α的正弦值、余弦值和正切值.

題后師說

用定義法求三角函數(shù)值的2種策略

鞏固訓練3

(1)［2023?廣東汕頭一中月考］在平面直角坐標系中，若角8的終邊經(jīng)過點P(-sin?cos

6

》則CoSe=()

1?1

Aλ?2b?^Ξ

C.涯D.—立

22

(2)［2023?河南滎陽模擬］已知點P(-2,y)是角。終邊上一點，且sin。=一手，則y=

角度二三角函數(shù)值符號的判定

例4(1)已知角α為第二象限角,且ICOSJ=-Cos?,則角］是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

(2)［2023?山東廣饒一中月考］如果點P(SinHcosθ,2cos。)位于第三象限，那么角。所在

的象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

題后師說

要判定三角函數(shù)值的符號，關鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余

弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進行分類討論求

解.

鞏固訓練4

(1)若COSatana<0,且SinaCOSa<0,則α是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

(2)角α是第三象限角，且ISinJ=-sin當則角是第象限角.

第一節(jié)任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念

必備知識?夯實雙基

知識梳理

1.⑴端點(2)正角負角象限角(3){例?=a+k360。，&∈Z}

2.⑴圓心角(2)半徑長⑶*?(4)IauUr?a?ι2

?θvTlZZ

3.(DyX⑵？7

夯實雙基

I.答案：(I)X(2)×(3)×(4)√

2.解析：由Sinθ<0,。的終邊可能位于第三象限或第四象限，也可能與y軸的非正

半軸重合，cosGO,。的終邊可能位于第一象限，也可能位于第四象限，也可能與X軸的非

負半軸重合，故6的終邊在第四象限.

故選D.

答案：D

3.解析：設此扇形的半徑為二由題意得%=2π,所以r=6.所以此扇形的面積為:X2πX6

=6π.

答案：6π

4.解析：由定義知終邊相同的角的表達式中不能同時出現(xiàn)角度和弧度，應為￡+2E或

4

??360o+45oα∈Z).

故選C.

答案：C

5.解析：由三角函數(shù)定義知：Sin3小")=一誓<0,故y<0,解得y=-3.

答案：一3

關鍵能力?題型突破

例1解析：⑴在［0,2兀］內(nèi)終邊在直線y=V?v上的角為］和三?=兀+g,

則終邊在直線y=√Ir上的角的集合為{α∣α=2kπ+^或2E+^,&∈Z},

即{a∣a=kτt+;,?∈Z}.

故選B.

(2)a是第二象限的角，貝!∣2kπ+m<a<2E+π,?∈Z,

2kπ,πa2kππILr

—+-<-<——<-,?∈z,

36333

當&=3〃,"∈Z時，三是第一象限角，

當左=3〃+1,"∈Z時，三是第二象限角，

當斤=3〃+2,“GZ時，:是第四象限角，

故選ABD.

答案：(I)B(2)ABD

鞏固訓練I解析：(I)Ya是第二象限角，.?q+2E<a<7t+2E,?∈Z,

.\工+&兀<\工+&兀,?∈Z.

422

當A為偶數(shù)時，5是第一象限角；當A為奇數(shù)時，5是第三象限角.所以與是第一或第三

象限角.

故選C.

(2)1920°=5X360°+120°,

所以與1920。終邊相同的角中，最小的正角為120。.

答案：(I)C(2)120°

例2解析：(l)a=60o=∣,/=10Xm=等(Cm).

(2)由已知得，l+2R=20,

所以S=?R=去20—2R)R=IOR-R2=-(R-5)2+25.

所以當R=5cm時，S取得最大值25Cm2,

此時I=10cm,ct=2.

(3)設弓形面積為S%由題知/=,cm.

S?—Sess—S三角多=5X~^^X2——×2^Xsin――(?—V^(Cm?).

鞏固訓練2解析：(1)設∕4or>=e,則/∣=e?0A,I^ΘOB,所以9=器=2,即OA=

2bOB

208,

所以S]_叔A?1L版B?%_2OB?124OB?12_3

S?^OB?I2^OB?I2

故選C.

（2）設扇形的半徑為八扇形的弧長為/,

f2r+l=4

因為扇形的周長是4,面積是I,所以［Lrl=I=1=2

r=1

因此扇形的圓心角α的弧度數(shù)是！=；=2.

r1

答案：（I）C（2）2

例3解析：（1）由題意，可知X=一8，y=m9所以r=Jχ2+y2=√3+m?,

匕己ci.ym?∕2m

所以s?nα=I=萬===三一，

r√3+m524

解得m=0或±∕K

當機=O時，r=√3,cosa=-=~?,tana=-=0;

當m=遍時,r=2√2,cosa=-=——,tana=-=——；

r4x3

當m=一遍時，r=2√2,cosa=-=——,tana=-=—,

r4x3

(2)在角a的終邊上任取一個不同于原點的點P(x,2X)(Λ≠0),

當x>0時，QPI=Z?=√χ2+4χ2=√^χ,所以Sina=必=W==半，cosa=-=-^==^-t

r√5x5r√5x5

2x?

tana=—=2；

x

當XVo時，IOPI=√χ2+4χ2=-√5χ,所以Sina=一雪，cosa=~^==

√52xc

—,tana=—=2.

5x

綜上所述角ɑ的正弦值、余弦值和正切值分別為管，2或一學，一^,2.

鞏固訓練3解析：（1）由角。的終邊經(jīng)過點P（-SinECoS?即P（T，1）,

6322

所以COSθ=京故選