新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)解三角形中面積最值與取值范圍問題 同步講義

11、解三角形中面積最值與取值范圍問題

題型一：三角形面積最大值問題

【例1】已知ΛBC的內(nèi)角人^^所對(duì)的邊分別為出仇，，若A=?,α=√3,則一ASC面積

的最大值為()

A.亞B.氈C.1D.√3

42

【答案】A

【分析】利用余弦定理和基本不等式可求得兒的最大值，代入三角形面積公式即可.

【詳解】由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be=3?

.?./?2+c2=bc+3≥2bc(當(dāng)且僅當(dāng)〃二C時(shí)取等號(hào))，."c≤3,

.-.SABC=-bcsinA即ABC面積的最大值為也.

abc244

A

【例2】在一A5C中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,C,若tan(B+C)=tan5,

且α=2,貝IJABC的面積的最大值為

A.3B.BC.√3D.26

32

【答案】A

A

【解析】：因?yàn)閠an(8+C)=ta∏3?,且3+C=7i-A,

CA

2tan—a4

所以tan(B+C)=-tanA=-----------=tan—>O,所以tan—=石，貝!]A=」.

l-tan2-2

2

?JF

由于。=2為定值，由余弦定理得4=從+c2-2bccos-,HP4=Z?2+C2+Z?c-

4

根據(jù)基本不等式得4=〃2+C2+^^2歷+%=3〃θ，即8c≤-,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)

3

成立.

所以Sλbc=JoCSinA=且.

由22323

【例3】在∕?ABC中，”,。，c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若α+c=4,2sinB=sinA+sinC,

則A4BC的面積的最大值為()

A.√3B.2C.2√3D.4

【答案】A

【解析】

因?yàn)?sin3=sinA+sinC,所以2?=α+c,因α+c=4,所以Z?=2,

由余弦定理得COSB=/+/-'=(α+c)2-20c-從=K-20I_12-2ac

2ac2ac2ac2ac

所以2αccosB=I2-2αc,所以cosb=?^~~—,所以

ac

222

.Rh(^^(6-ac)y∕(ac)-(6-ac)

smB=√l-cosβ=1--L-T-r?=~~~-——------—

V?ac)ac

因SMBC=JQCSinB」砒?^￡^36+12敬—電Jg35=?ae-9

22ac2

因?yàn)棣?c≥2J^,所以αc≤(":')=4,SMBC=v?flf-9≤??∕12-9=^∣3

【例4】在ZXABC中，a,h,C分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，若α=2,b=&,則A4BC

的面積的最大值為（）

A.√3B.2C.2石D.4

【答案】A

【解析】

由余弦定理得cX=*=9U=鑒

因?yàn)棣?2b=?f3c，

所以

(4c2-4)2_/12F-16。4+32/-16_J-4c4+32c?-記

SinA=Vl-COS2A

^(2√3c2)2=V12?=2√3C2

?1,..I/72-V-4C4+32C2-161/~j~?7

1川ll5MBC=-besinA=-√3r----------------------=-√-c+8L一4

設(shè)則GH=反尹≤5

【例5】在一ΛBC中，48,C所對(duì)的邊分別為α,b,c.若/+2〃+3C2=12,貝kABC面積最大

值為__________

【答案】岑##（布

【分析】利用余弦定理及基本不等式得歷一；，再由三角形面積公式得到

2√3-cosA

S≤c*44,令f=26-cos.,利用輔助角公式求得f≥J∏?由此可得，ABC面積的最

2√3-cosΛSinA

大值.

【詳解】由余弦定理知Y="+?2一2bccosA,

所以4+2b2÷3C2=b2+C2-2?ccosA+2b1÷3c1=3?2+4c2-2?ccosA，

因?yàn)?^+4°2≥2歷定=4辰c，當(dāng)口.僅當(dāng)√^=2c時(shí)，等號(hào)成立，

所以+4C2-2bccosA≥Ibc(26-cosA),g∣J12≥2bc(26-cos4),故力c≤~~-------

v'\)2√3-cosA

I3sinA

設(shè)4ABC的面積為S,所以S=s"CSinA≤百，

令t=N^~~~cθs^，可得26=5SinA+COSA=J/十1Sin(A+0)≤,

sinA

當(dāng)且僅當(dāng)A+夕=/時(shí)，上式等號(hào)成立，即有2>n≤"7T,解得f≥4T或f≤-JΠ^(舍去)，

則廿AS叵,所以s≤±叵，故ABC面積最大值為士叵.

2√3-cosAH1111

TT

【例6】如圖，在AfiC中，NABC=§,點(diǎn)。在線段AC上，且4)=2Z)C,80=3,貝IJABC

面積的最大值為一.

【答案】警

【分析】利用余弦定理及基本不等式，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.

【詳解】設(shè)AB=c',BC=a,DC=x(c>0,a>0,x>0),則AD=2x,AC=3x,

在AABQ中，由余弦定理，得

BD2+DC2-BC232+x2-tz29+X2-Λ2

cosZBDC=

2?BD?DC2x3Xx6x

在aAH力中，由余弦定理，得

B￡>2+A￡)2-AB23?+(2x)2-C?9+4M-c2

cosZBDA=

2-BD-AD-2×3×2x-12x

由于NBDC+NBDA=180°,得cosNBDC=-cosNBDA,

U∣J9+x'~a2=_9+4λ^∑c^,整理，W-27-6x2+202+c2=0φ,

6x12X

在，ABC中，由余弦定理，得

(3x)2=c2+a2-2c?a?cos?,BP9Λ2=c2+?2-c?α，代入①式化簡整理，得

412Cr

—cr2+-C2+-ac=27

333

?i2×-c--ac=2ac,即這4紅,

由基本不等式得27≥2,a+

3332

當(dāng)且僅當(dāng)g/=gC2即α=手,c=3有B寸，等號(hào)成立,

1Ja=,c=??/?H't,"c取得最大值為號(hào)?.

所以ABC面積的最大值為

S女=LCSinNABCvL空XSin工=型.

λbc22238

【例7】ASC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α,"c,已知α=Z?COSC+csin3.

(I)求8；

(II)若b=2,求一A6C面積的最大值.

【詳解】(I)；。=/?CoSC+csin3

，由正弦定理知ISinA=SinBCoSC+sinCsinJB①

在三角形ABC中，A=乃一(8+C)

.".sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB②

由①和②得sinBsinC=cosBsinC

而C∈(θ,")，JsinCwO,JsinB=CosB

又3∈(θ,;r),??.B=?

1五Jl

(2)SMBC=—QcsinB=——ac由已知及余弦定理得：4=a2+c2-2。CCOS—≥2ac-2ac

ZΛΛOL2I4

X拒

X--------,

2

≤2?,

整理得:當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立,

則AABC面積的最大值為LX~×~=jX&xQ+T^)=&+]

222—2

【題型專練】

1.在一ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為4,b,C,若αc=8,4sinB+csin2A=0,K∣JABC

面積的最大值為.

【答案】2

7222ι22

[分析】結(jié)合倍角公式、正弦定理、余弦定理化簡得CoSA="+Cf=-2,即從=絲工，

2bc2c2

故COSB="+￠2—從=q2+3c2=立,可得B的范圍，即可根據(jù)SMZ(C=：αcsinB

2ac4。C4。C22

求得結(jié)果

【詳解】由題，βsinB+csin2A=asinB+2csinAcosA=0,

由正弦定理得，ab+2accosA=(),故COSA=-,

2c

由余弦定理得COSA=處0=-2,故〃=±e,

2bc2c2

故CoSB=""L一/廣=，「+至≥2?Ξ2^c=昱,當(dāng)〃=&是，取等號(hào)，故Be(O,口，

2ac4ac4。C2I6」

sinB∈^0,?,

故SA%=gαcsin8e(0,2],故SAPC最大值為2,

2.材料一：已知三角形三邊長分別為“,Ac,則三角形的面積為S=JP(P-a)(p-b)(p-c),

其中P=竺I士士這個(gè)公式被稱為海倫一秦九韶公式.

材料二：阿波羅尼奧斯(Apollonius)在《圓錐曲線論》中提出橢圓定義：我們把平面內(nèi)與兩

個(gè)定點(diǎn)RE的距離的和等于常數(shù)(大于E用)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.

根據(jù)材料一或材料二解答：已知一ABC中，3C=6,A8+AC=10,則ABC面積的最大值為

()

A.6B.10C.12D.20

【答案】C

【分析】令A(yù)B=Xe(2,8),根據(jù)材料一海倫公式寫出ABC面積S,由二次函數(shù)性質(zhì)求面積

最大值即可.

【詳解】令A(yù)8=x,則AC=Io-X且8C=6,故Xe(2,8),而P=空經(jīng)=8,

2

所以ABC面積S=6(8-2)=λ∕-16(x-5)+144,

當(dāng)x=5時(shí)，Snm=I2.

3.在，ABC中，角A8,C的對(duì)邊分別為",",c.已知角C=1,AB邊上的高為2√J.

(1)若S"C=4有，求ABC的周長；

⑵求,.ABC面積的最小值.

【答案】⑴12(2)4立

【分析】(1)由三角形面積公式可求得c=4與ab=16,又由余弦定理與整體法可求得α+b=8,

由此可求得ABC的周長；

12

(2)法一：由三角函數(shù)的定義可得M=.,.再利用三角恒等變換求得

s?nAsmB

sinAsinB=—+—sinA——,由此可得SinASinB的最大值，從而得到必216，進(jìn)而求得

ABC面積的最小值；

法二：利用基本不等式與余弦定理求得就≥16,從而求得AABC面積的最小值.

【詳解】(1)依題意，得SABC=gc?26=4百，故c=4,

ZSajjc=^ahsinC=^c?2y∣3,C=,所以abxq=4x2??∕J,則qb=16,

又由片+%2-2abcosC=C2得a2+b1-ab=c1>

∣?∣jlt(6Z+?)2=C1+3ab=(A,則α+Z>=8,

故，ABC的周長為12.

(2)法一：

由題意可得α=2叵*=工叵，則α6=.：°,

sinBsinASinAsmB

又因?yàn)閟inAs?nB=sin(g-A卜nA???sinAcosA+→in2A=乎Sin2A+一Cc)s2A)

=LLinRA-工],

4216)

因?yàn)樗?與2A—7=Q,即A=^?時(shí)，(SinASinB)nux=[,故α)≥16,

所以工8。的面積為50品=；〃加巾。=￥^出^46，所以ABC面積的最小值為4Λ∕J?

法二：

在,ABe中由余弦定理可得，c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab

又由⑴可知必=4c,即C=半，

4

所以""=a2+b2-Ub2ab,解得6?≥16,當(dāng)且僅當(dāng)a=0=4時(shí))等號(hào)成立.

16

所以S△&ZJC=加inC=￥αh≥4G，所以面積最小值為4石.

4.在「ABC中，角4氏。的對(duì)邊分別為〃泊,。,麻€0§。=8051]-3).

(1)求角C;

(2)若一ABe的外接圓半徑為2,求,ABC面積的最大值.

【答案】(1)事(2)最大值為3√J

【分析】(1)由正弦定理化簡求解，

(2)由正余弦定理，面積公式與基本不等式求解

(1)

由正弦定理得>∕JsinBcosC=sinCsinB，因?yàn)?e(0,π),所以SinBH0,故VJCoSC=SinC.

tanC=√L因?yàn)镃e(O,π).所以C=(,

(2)

_￡_=_^=4

根據(jù)正弦定理得SinC√3，解得c=2√J

~2

根據(jù)余弦定理得￠2=/+/一21?cosC=4+/一αb=12.

由基本不等式得儲(chǔ)+〃22ab,t![J?2+ab≥2ab,解得α6≤12,當(dāng)且僅當(dāng)α=b=2有時(shí)等號(hào)成

立，

此時(shí)S"c=gHSinC≤3√J，所以48C面積的最大值為

5.已知銳角^ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,SinA=COSqSinB+6CoS8).

⑴求C的值；

⑵若c=G，求4ABC面積S的最大值

【答案】(I)C=W(2)前

【分析】(1)將己知條件中的SinA化為sin(3+C),使用兩角和的正弦公式打開化簡，可求

得C；

(2)由余弦定理，結(jié)合不等式02+"≥2",求出曲的最大值，代入面積公式即可.

(1)

,.*sinA=Sin[兀一(3+C)]=sin(3+C)

sin(B÷C)=cosC^sinB+>∕3cosBj,

?,.sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+>∕3cosBcosC

??cosBSinC=6cosBcosC

???△ABC為銳角三角形，B為銳角，ΛcosB≠0

?'?SinC=GcosC,即tanC=?/??

TT

，△ABC內(nèi)角C=§.

(2)

由余弦定理知，c2=a2+b2-2abcosC,

3=a2+b1-2abcos-=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,當(dāng)且僅當(dāng)α=b時(shí)取等號(hào),

3

即當(dāng)且僅當(dāng)α=%=√J時(shí)，ab<3>

?c_1……a√3-3√3

??SΛΛDΓ=—abSinC≤—?3?—=---

δλbc2224

...△48C面積的最大值為期.

4

6.在,ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是小b,c.已知ABC的外接圓半徑R=√∑,

且tanB+tanC=^^?

cosC

(1)求8和b的值；

(2)求ABC面積的最大值.

【答案】(I)B=6=2；(2)l+√2

【分析】(1)利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系切化弦得包些?+維=叵生4,再由正弦的和角

cosBcosCcosC

公式化簡可求得8,再利用正弦定理可求得仇

(2)由余弦定理得4=∕+cJj50c,利用基本不等式得αc≤2(2+√Σ),由三角形的面積公

式可求得答案.

(1)

解：因?yàn)閠anB+tanC=&14,所以包片十包￡=叵曳4,

cosCcosBcosCcosC

sinBCoSC+cosBsinC=V2sinAcosB，即sin(B+C)=eSinΛcosB,

因?yàn)锳+5+C=τr,所以Sin4=JΣsinAcosB，

又SinaH0,所以CoSB=—，所以3=f,

24

又“3C的外接圓半徑R=0,所以由正弦定理上=2尺得b=2χ0×交=2；

SinJ52

(2)

解：由余弦定理b1=a1+C1—IaccosB^4=a2+c2—y∣2ac，

由基本不等式得4=儲(chǔ)十02一α"≥2"c-"ZC(當(dāng)且僅當(dāng)Q=C時(shí)取等號(hào))，所以

αc≤=2(2+√2)(當(dāng)且僅當(dāng)O=C時(shí)取等號(hào))，

所以SABcCSin8=孝“c4^x2(2+0?)=l+√Σ(當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)取等號(hào))，

故，ABC面積的最大值為1+√∑.

7..ASC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為α,仇c,設(shè)SinAeoSB=Sin8(2-CoSA).

(1)若b+c=#>a,求A；

(2)若α=2,求AABC的面積的最大值.

【解析(1)VsinAcosB=SinB(2-cosA),

a2+c2-b22一次

結(jié)合正、余弦定理，可得〃?一-----=b?(2/差，°),

2ac2ZJC

化筒得，c=2b,代入b+c=y[3a,得a=?[3b,

b27z7z222

rhAH±Xffl左“A+c-αb+4b-3b1.._、.人π

由余弦定理知，cosA=-2b2b----=2，?λ(z°λ，兀)，??Λ=?.

(2)由(1)知，c=2b,

八壯士IfflA?n4b2-^-c2-a25b2-451

由余弦定理知,cosA=----荻--=~~^2~=4-^2,

.,.∕?ABC的面積S=^??csinA=?2V1—cos2A=b2?1——^)2=?2?J-2+崇?—j

=j劫4+汐一I=J一白(爐一給2+竽,

當(dāng)兒=冬時(shí),S取得最大值，為上

8.在AABC中，內(nèi)角4、B、。所對(duì)的邊分別為a6,c,。是43的中點(diǎn)，若CD=I且

(a--b)sinA=(c+6)(SinC-sinB),則AABC面積的最大值是一

【答案】巫

5

如圖，設(shè)NaM=6,則NcDB=〃一

C

bX/\

6/穴-6

AB

D

—+l-?2—+l-a2

在ACDA和ACDB中，分別由余弦定理可得cosθ=—.......,CoS(萬一。)=---------

CC

兩式相加，整理得1+2-(/+/)=0,；.C?=2(/+/)—4.①

由(α-?"sinΛ=(c+與(SinC-SinB)及正弦定理得(α-=(c+b/c-b),

整理得儲(chǔ)+〃-￠2=處，②

2

由余弦定理的推論可得所以巫.

cosC=T+"-0=1,SinC=

2ah44

把①代入②整理得a2+b2+-=4，

2

又6+從≥2",當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時(shí)等號(hào)成立，所以4≥2M+絲=竺，故得αb≤g.

225

-1I-r^i8

f≡c√?5-√15

H|以BC=Ia"sinC≤]Xgχ-j-=-^一?

SΔA

即AA3C面積的最大值是巫.故答案為巫.

55

題型二：三角形面積的取值范圍問題

【例1】若在ABC中，C=30°√∕+?=l,則相C面積S的取值范圍是.

【答案】[o?

【分析】根據(jù)己知條件，結(jié)合基本不等式以及三角形面積公式，即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意可得M≤[(4+6)2=1,當(dāng)且僅當(dāng)α=6=1時(shí)取得最大值：

442

,

i?S=-sinC×ab<-×-=—f又S〉0,故S∈(θ,J.

24416I16」

【例2】在銳角SABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為α,b,c,且滿足2AcosC=24-c.若

ΛBC的外接圓的面積為容，則三角形面積的取值范圍是.

【答案】I限4√J

【分析】由正弦定理和二角恒等變換將題干中等式化簡求得角B,再根據(jù)ABC的外接圓的

面積求得其宜徑，代入三角形面積公式中，化為三角函數(shù)求其值域即可.

【詳解】?2bcosC=2a-c

.*.2sinBcosC=2sinA-sinC

得2sinβcosC=2sin(β+C)-sinC

2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC,

所以2cos3sinC=sinC,

因?yàn)镃e(0,9所以SinC>0,所以CoSB=g,

而Be(O,所以8=5.

又由/BC的外接圓的面積為W,所以外接圓直徑2R=^,

3√3

所以SW=gαcs嗚=#修卜inAsinC=WCOS(2AT)+?,

因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以AeQ，3

,ABC的面積取值范圍為(空,46.

【例3】設(shè)銳角/1BC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,h,c,己知√3sinB+cosB=2,c=2幣,

則ABC面積的取值范圍為.

【答案】罟，6后

【分析】由有sinB+cos8=2利用三角函數(shù)恒等變換公式結(jié)合已知條件可求得5=。，然后

畫出圖形，由于aABC為銳角三角形，從而可C在線段GG上，且不包含C∣,C2,進(jìn)而可

求出4?C面積的取值范圍

【詳解】由題，氐inB+cosB=2即2sin,+曰=2,Sin(B+7)=1,

因?yàn)殇J角JlBC,故B+J=J,B=；.

623

故由3=。，c=2√3,畫圖，如圖所示，AQlBC9C2AlBA.

因?yàn)殇J角「A3C,故C在線段GG上，且不包含C∣,C2,

o

又BCl=BAcos60°=AC1=BA?sin60=3,AG=AB?tan60°=9，

故SVAg<SVABC<SVABC2,即~BC1?AC1<SVABC<A3?AC2,

故~γ-<SAABC<66,

【例4】在AABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,C,已知sin?8-siι√C=sinAsinC.

(1)證明：B=2C;

⑵若A是鈍角，α=2,求ΛBC面積的取值范圍.

【答案】⑴證明見解析

【分析】(1)利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理得到CoSB=W上，再由正弦定理將邊化

角，再由兩角和的正弦公式計(jì)算可得；

(2)依題意求出C的取值范圍，再由正弦定理得到b=3空，由面積公式及同角三角函

sin3C

s=____-____

數(shù)的基本關(guān)系得到"/一3.「，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

---------tanC

tanC

【詳解】(I)解：Hsin2B-sin2C=sinAsinC,由正弦定理得"一μ二"，

,I,ncι~+c~~b~cι-c

由CoSB=--------------=-------,

2ac2c

W2sinCCOSB=SinA-SinC.

所以2sinC?cosB=sin(B+C)-sinC,

.?.sinC=sinBcosC-CosBsinC=Sin(B-C),

.?.C=B-C?JcC=∕r-(β-C)(舍去)，

.β=2C.

Oy

TTTT

(2)解：由條件得0<B=2C<]解得o<c<立,

6

A=π-3C>-

2

ab

B=2C,a=2,

sinAsinB

2sinB_2sin2C_2sin2C

sinAsin(^^-3C)sin3C

.,.ABC的面積SSinC

2

=2C-s-in-2-C-?s-in-C-

sin3C

sin2C?sinC

2-----------------------------------

sin2CcosC÷cos2CsinC

4

2tan2C?tanC_4tanC=----------------

tan2C+tanC3-tan2C--------tanC

tanC

0<C<J,.?.0<tanC<—

63

3(

又因?yàn)楹瘮?shù)y=2-x在0,上單調(diào)遞減，所以熹TanC＞畢,

x3」

1ΛΛΛ4√3

所以n3g「<百,所以°<3下,

---------tanC--------tanC

IanCtanC

.?.0＜S＜亭，則AABC面積的取值范圍為0,

【例5】已知銳角三角形ABC中，角A、8、。所對(duì)的邊分別為〃、力、c,,向量C=(2sinA,-g?，

”=(6,α),且機(jī)_L〃.

(1)求角B的大??；

⑵若c=3,求ABC面積的取值范圍.

【答案】(Dy

【分析】(1)由已知可得出λi?"=2bsinA-J5a=0,利用正弦定理化簡可得出SinB的值,

結(jié)合角B為銳角可得角B的值；

(2)利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可得出α=3+空.一!一,求出角C的取值范圍，

22tanC

可求得。的取值范圍，再利用三角形的面積公式可求得A6C面積的取值范圍.

【詳解】(1)解：由已知可得而?方=2bsinA-JJ4=0,由正弦定理可得2sinAsinB-J^SinA=O，

A、8均為銳角，貝IJSinA>0,故sin8=史，因此，B=5.

23

(2)解：由(1)可知，B=J,故A+C=M，又因?yàn)槎?三，

33smAsinC

C.A3sin∣π---CI3sin∣^+C|—sinC÷^^-cosCC?/7

所以二3sin4二13(3J=22CObL=3,

sinCsinCsinCsinC22tanC

又因?yàn)?<C<[,O<π-^-C<?^,所以g<C<g故tanC>且，

232623

即有θv-?-<6，則3<。<6,

tanC2

又由S…*in*.3“尋斗日竽,然)

所以，ABC面積的取值范圍是?,?l

【題型專練】

1.在.AfiC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是。、b、c,且滿足(24-c)B4?8C=cCB?C4.

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若b=√L求ABC的面積S的取值范圍.

【答案】(I)B=T

【分析】(1)利用平面向量數(shù)量積的定義以及正弦定理化簡得HICoSB的值，結(jié)合角B的取值

范圍可求得角8的值；

(2)利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡可得出S=旦in(2A-*+更，求出角A的取值

216；4

范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得S的取值范圍.

(1)

解：由(2α-c)BA?BC=cCB?C4可得(2々-C)CaCOSB=c?abcosC,

所以，(2a-C)cosβ=bcosC,

由正弦定理得(2SinA-SinC)COS3=sin8cosC,

.?.2sinAcosB=sinCcosB÷cosCsinB=sin(β÷C)=sinA,

A、B∈(0,π),則sinA>O,所以，cosB=-,故8=g.

23

(2)

解：由正弦定理可得，一=—J=—也=2,則α=2sinA,c=2sinC,

sinAsinCsinB

:.S=gαcsinB=^-ac=?[3sinAsinC=V3sinASin(A+g)

=6SinALinA+cosA=—sinAcosA+sin2A=—sin2A-cos2A÷-

?22722444

0<A<-,p∣∣J--<2A--<-,所以，sinf2A-jl∈f-i11,

3666k6√?2_

故S=亭sin[2Aq)+?e、0,乎.

2.在,A8C中，a,b,C分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，2sinfβ+^=^.

V6Ja

(1)求角A的大??；

(2)若.ABC是銳角三角形，c=4,求:ΛBC面積的取值范圍.

【答案】(1)?(2)(2√3,8√3)

【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合兩角和差化積公式轉(zhuǎn)化條件得有SinA=I+cosA,進(jìn)而求得

解；

(2)由題意SABC=回，由正弦定理結(jié)合A+C==得6=2更+2,根據(jù)二ΛSC為銳角三

3tanC

TTTT

角形求得B<C<g,即可求得2<b<8,即可得解.

62

(1)

*j—.(n兀、SinB+sin。

由1正弦定理得2sιnβ+-二———

I6JsinA

即sinA(Λ∕3sinB+cosB)=sinB+sinC

又SinC=Sin(A+B)=sinAcosB+cosΛsinB

所以sinA(>∣3sinB+cosB)=SinB+sinAcosB+cosAsinB

即Λ∕3sinAsinB=sinB+cosAsinB

又OVBVτr,.,.sinB>0,.?.>∕3sinA=1+cosA

即GSinA-CoSA=2sin(A-看1=1,即Sin(A-7)=?

又OVAV乃，A--=-f即A=匹

663

(2)

由題意得：SabcCSinA=J%,

4sinf—~c\-_

由正弦定理得：fcsinBs?nl-y-cI2√3cosC+2sinC2√3

b=---------=-----------------=-=--------F2

sinCsinCsinCtanC

又一ABC為銳角三角形，??.0<3L-C<],0<C<y

故J<C<f,.?.tanC>且，Λ2<?<8,;.2道<血<8.

623

從而2y∕3<SΔABC<85/3.

所以ABC面積的取值范圍是(2",86)

Δ,JC

3.A4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,已知αsin----Γ---=?sinA.

2

(1)求8；

(2)若ΔABC為銳角三角形，且c=I,求AABC面積的取值范圍.

【答案】⑴B="Q)吟,與.

【分析】(1)根據(jù)題意QSin-------=hsinA,由正弦定理得SinASin---------=sinBsinA,因

22

A+C

為0<Av4,故SinA>0,消去SinA得Sin-------=sinB.

2

?Λ-C4+CA

0<B<π,0<-J------<乃因?yàn)楣?-----=3或者------+B=τr,而根據(jù)題意

222

?-ι-CA+C

A+B+C=π,故一上+B="不成立，所以--=B,又因?yàn)锳+3+C=乃，代入

22

71

得38=?,所以3=—.

3

Ji2

(2)解法-：因?yàn)?一A5C是銳角三角形，由(I)知8=7,A+3+C="得到A+C=］萬,

Q<C<-

2

故＜,解吃

C2乃CjTγ?

0<------C<—

32

又應(yīng)用正弦定理一乙='一，C=I,

sinAsinC

由三角形面積公式有:

超sin(")

2a.n12SinA

S=-ac-sinB^--?sιnB=-c-----SinB=-------------------

ABλCbc222sinC4sinC

.2萬2π.

√3smτcosC-cosτsιnC62兀I2巴31√3.

------------------------------------=-----(sin-------------cos——)=---------+——

4sinC43tanC38tanC8

,I?CπC6,,石31&上

又因11一<C<一,tanC>—,?—<---------+—<—，

62388tanC82

吟<SABC<與

故S.c的取值范圍是

解法二：若ΔABC為銳角三角形，且C

由余弦定理可得，=X/2+1—2α?l?cos彳=Ja2-〃+1,

由三角形A4C為銳角三角形，可得/+/一。+1>1且1+cJ一〃+1>/,且ι+q2>々2一。+1,

解得1<“<2,

2

可得ΔABC面積S=I<a?sin—=—a∈

234

4.已知銳角ΛBC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,以a,b,C為邊長的三個(gè)正方形

的面積依次為S,S2,S3,且S∣+S2-S3=".

(1)求C；

(2)若c=G，求$.c的取值范圍.

【答案】(嗚

【分析】(I)根據(jù)題干條件得至UE+Sz-$3=/+/-C?="6,利用余弦定理求解C=]；

藐C=日sin(2Aq卜日,結(jié)合銳

(2)利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，進(jìn)而計(jì)算出S,

4

角三角形得到J<A<J,從而求出三角函數(shù)的值域，求出面積的取值范圍.

O2

【詳解】(I)由題意得，+$2-邑=/+/-。2=血

則…佇穿汩

因?yàn)閛<c<],所以c=]?

πa_b_c_√3_2

(2)因?yàn)镃=6，C=目SinAsinBsinCSin工,

.3^

所以α=2sinA,b=2sinB,

所以SziA8c=gαθsi吟=亭"=6sinAsinB=BsinAsin(g-亭Sin(24一聿)+手.

0<A<工

因?yàn)锳BC是銳角三角形，所以I?2，解得：

八2π,兀62

0<------A<—

32

所以;<sin(2A-?)≤l,所以［<多皿(24一酢等.

故SABC的取值范圍是(日,乎.

5.已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是α,b,c,ABC的面積為S,且滿足

(20-C)CoSA=αcosC,?cosC+ccosB=l.

⑴求A和。的大小；

(2)若ABC為銳角三角形，求.ABC的面積S的取值范圍.

【答案】(I)A=a=l；(2)(4,9.

3164」

【分析】(1)由已知條件，應(yīng)用正余弦定理的邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角性質(zhì)，即可求A和〃的

大小；

(2)由銳角三角形得研苦)，根據(jù)正弦定理有b=1sin8,CwSin(I7)，最后利

用三角形面積公式、三角恒等變換化簡，并由正弦型函數(shù)性質(zhì)求范圍.

(1)

因?yàn)?2b-c)cosA=αcosC,

由正弦定理得：(2sinB-sinC)CoSA=SinAcosC

所以2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC,

所以2sinBcosA=sin(C+A)=sinB,

因?yàn)锳BC中SinBW0,所以CoSA=；,

因?yàn)锳∈(0,π),所以A=1,

因?yàn)閎cosC+CCoSB=1,由余弦定理得：ba'+C+c-a^+c-=