上海市2023年各地區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬（二模）試題匯編（16套）-05解答題提升題①

上海市2023年各地區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬(二模)試題按題型難易度

分層分類(lèi)匯編(16套)-05解答題提升題①

【考點(diǎn)目錄】

函數(shù)恒成立問(wèn)題(共1小題)...................................................1

函數(shù)恒成立問(wèn)題(共1小題)..................................................13

九.平面與平面垂直(共2小題)..................................................24

一十六.離散型隨機(jī)變量的期望與方差(共2小題)...................................41

【專(zhuān)題練習(xí)】

函數(shù)恒成立問(wèn)題(共1小題)

1.(2023?奉賢區(qū)二模)設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域是R,它的導(dǎo)數(shù)是/'(x).若存在常數(shù)

m(meR),使得.f(x+m)=-∕'(x)對(duì)一，切X恒成立，那么稱(chēng)函數(shù)y=f(x)具有性質(zhì)P(m).

(I)求證：函數(shù)y=e*不具有性質(zhì)P(m)；

(2)判別函數(shù)y=sinx是否具有性質(zhì)PQ*).若具有求出，〃的取值集合；若不具有請(qǐng)說(shuō)明理

由.

三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用(共1小題)

2.(2023?寶山區(qū)二模)已知函數(shù)/(x)=SinXCOSX-Λ∕5COS2x+*.

(1)求函數(shù)y=∕(x)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；

(2)若關(guān)于X的方程F(X)-機(jī)=O在xe[O,g上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

三.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型(共2小題)

3?(2023?奉賢區(qū)二模)某小區(qū)有塊綠地，綠地的平面圖大致如圖所示，并鋪設(shè)了部分人行

通道.

為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，現(xiàn)作如下假設(shè)：

假設(shè)1：綠地是由線段Aβ,BC,CD,小和弧E4圍成的，其中E4是以O(shè)點(diǎn)為圓心，圓

心角為二的扇形的弧，見(jiàn)圖1;

3

假設(shè)2：線段Λβ,BC,CD,AE所在的路行人是可通行的，圓弧￡4暫時(shí)未修路；

假設(shè)3：路的寬度在這里暫時(shí)不考慮;

假設(shè)4：路用線段或圓弧表示，休息亭用點(diǎn)表示.

圖1-圖3中的相關(guān)邊、角滿(mǎn)足以下條件:

直線84與。E的交點(diǎn)是O,AB//CD,ZABC=-.DE=EO=OA=AB-200

2

小區(qū)物業(yè)根據(jù)居民需求，決定在綠地修建一個(gè)休息亭.根據(jù)不同的設(shè)計(jì)方案解決相應(yīng)問(wèn)題,

結(jié)果精確到米.

（1）假設(shè)休息亭建在弧E4的中點(diǎn)，記為Q,沿E4和線段QC修路，如圖2所示.求QC的

長(zhǎng)；

（2）假設(shè)休息亭建在弧E4上的某個(gè)位置，記為P,作門(mén)“交BC于M,作PNi.CD

交DC于N.沿EP、線段PM和線段PN修路，如圖3所示.求修建的總路長(zhǎng)EP+PM+PN

的最小值；

（3）請(qǐng)你對(duì)（1）和（2）涉及到的兩種設(shè)計(jì)方案做個(gè)簡(jiǎn)明扼要的評(píng)價(jià).

4.（2023?松江區(qū)二模）某城市響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，積極調(diào)整能源結(jié)構(gòu)，推出多種價(jià)位的新能源

電動(dòng)汽車(chē).根據(jù)前期市場(chǎng)調(diào)研，有購(gòu)買(mǎi)新能源車(chē)需求的約有2萬(wàn)人，他們的選擇意向統(tǒng)計(jì)如

下:

車(chē)型ABCDEF

價(jià)格9萬(wàn)元12萬(wàn)元18萬(wàn)元24萬(wàn)元30萬(wàn)元40萬(wàn)元

占比5%15%25%35%15%5%

（1）如果有購(gòu)車(chē)需求的這些人今年都購(gòu)買(mǎi)了新能源車(chē)，今年新能源車(chē)的銷(xiāo)售額預(yù)計(jì)約為多

少億元？

（2）車(chē)企推出兩種付款方式：

全款購(gòu)車(chē)：購(gòu)車(chē)時(shí)一次性付款可優(yōu)惠車(chē)價(jià)的3%；

分期付款：無(wú)價(jià)格優(yōu)惠，購(gòu)車(chē)時(shí)先付車(chē)價(jià)的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次

付車(chē)價(jià)的L.

8

①某位顧客現(xiàn)有“萬(wàn)元現(xiàn)金，欲購(gòu)買(mǎi)價(jià)值“萬(wàn)元的某款車(chē)，付款后剩余的資金全部用于購(gòu)買(mǎi)

半年期的理財(cái)產(chǎn)品（該理財(cái)產(chǎn)品半年期到期收益率為1.8%）,到期后，可用資金（含理財(cái)收

益）繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)半年期的理財(cái)產(chǎn)品，問(wèn)：顧客選擇哪一種付款方式收益更多？（計(jì)算結(jié)果精確

到0.0∞l）

②為了激勵(lì)購(gòu)買(mǎi)理財(cái)產(chǎn)品，銀行對(duì)采用分期付款方式的顧客，贈(zèng)送價(jià)值1888元的大禮包，

試問(wèn)：這一措施對(duì)哪些車(chē)型有效？（計(jì)算結(jié)果精確到0.0001）

四.數(shù)列的求和（共1小題）

5.（2023?普陀區(qū)二模）已知α>6均為不是1的正實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)y=∕（x）的表達(dá)式為

/（x）=a?bx（xeR）.

（1）設(shè)α>。且/'（X）,,6?α*,求X的取值范圍；

（2）設(shè)4=L,匕=4,ifian=Iog2f（n）,bn=f（n）,現(xiàn)將數(shù)列｛〃“｝中剔除｛2｝的項(xiàng)后、不

16

100

改變其原來(lái)順序所組成的數(shù)列記為｛c,J,求XG的值.

/=I

五.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合（共1小題）

6.（2023?奉賢區(qū)二模）已知等差數(shù)列｛%｝的公差不為零，4=25,且q,α11,αrι成等比

數(shù)列.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

20

（2）計(jì)算ZaM-2.

A=I

六.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程（共2小題）

7.（2023?浦東新區(qū)二模）設(shè)P是坐標(biāo)平面Xoy上的一點(diǎn)，曲線『是函數(shù)y=/（x）的圖像.若

過(guò)點(diǎn)P恰能作曲線「的Z條切線（AeN）,則稱(chēng)P是函數(shù)y=∕（x）的"左度點(diǎn)

（1）判斷點(diǎn)0（0,0）與點(diǎn)42,0）是否為函數(shù)y=∕nr的1度點(diǎn)，不需要說(shuō)明理由；

（2）已知0<∕wv∕r,g（x）=sinx.證明：點(diǎn)B（O,不）是y=g（x）（0<x<,w）的0度點(diǎn)；

(3)求函數(shù)y=x*-x的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合.

8.(2023?寶山區(qū)二模)直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體.如：方程y="+l中，

當(dāng)左取給定的實(shí)數(shù)時(shí)，表示一條直線；當(dāng)上在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，表示過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線族(不

含y軸).

記直線族2(a-2)x+4y-44+α2=0(其中4eR)為中,直線族y=3/x—2/(其中，＞0)為

Ω.

(1)分別判斷點(diǎn)A(O,1),8(1,2)是否在中的某條直線上，并說(shuō)明理由；

(2)對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)%,點(diǎn)P(X0,%)不在Ω的任意一條直線上，求為的取值范圍(用

Xtl表示)；

(3)直線族的包絡(luò)被定義為這樣一條曲線：直線族中的每--條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的

切線，且該曲線上每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.求Ω的包絡(luò)和平的包絡(luò).

七.解三角形(共1小題)

9.(2023?徐匯區(qū)二模)已知向量機(jī)=(2括COSt,-2sin±),n=(cos-,cos—),函數(shù)

2222

y=/(x)=mn.

(I)設(shè)，芻，且/'3)=6+1,求＜9的值；

22

(2)在ΔA8C中，AB=I,/(C)=√3+1,且ΔABC的面積為走，求SinA+sin3的值.

2

八.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積(共1小題)

10.(2023?普陀區(qū)二模)如圖，在直三棱柱ABC-AgG中，AC=4,BC=3,AB=5.

(1)求證：AC±BCt；

(2)設(shè)AG與底面ABC所成角的大小為60。，求三棱錐C-ABG的體積.

acκ__1__________-,B.

/?i……F

A

九.平面與平面垂直(共2小題)

11.(2023?徐匯區(qū)二模)如圖，在直三棱柱ABC—A4G中，ABAC=90°,AB=AC=a,

A4,=b,點(diǎn)E,尸分別在棱B8∣,CG上，Q.BE=-BB,CF=-CC.?λ=-.

31l3t。

(I)當(dāng)2=3時(shí)，求異面直線AE與AF所成角的大??；

(2)當(dāng)平面AEF_L平面AE/時(shí)，求2的值.

12.(2023?奉賢區(qū)二模)如圖，在四棱錐P-AS8中，AB//CD,且NfiAP=NCDP=90。.

(1)證明：平面P43_L平面皿＞；

Q

(2)PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,且四棱錐P-ASa)的體積為-,

3

求PB與平面ABCO所成的線面角的大小.

一十.二面角的平面角及求法(共2小題)

13.(2023?虹口區(qū)二模)如圖，在圓錐PO中，AB是底面的直徑，C是底面圓周上的一點(diǎn),

且PO=3,AB=4,Zβ4C=30o,M是BC的中點(diǎn).

(1)求證：平面PBCI.平面尸。M；

(2)求二面角O-PB-C的余弦值.

14.（2023?青浦區(qū)二模）如圖，在直三棱柱ABC-AMG中，底面AAfiC是等腰直角三角形,

AC=BC=AAλ=2,O為側(cè)棱A4,的中點(diǎn).

（1）求證：3（7_1平面ACG4；

一十一.點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算（共2小題）

15.（2023?金山區(qū)二模）如圖，在正三棱柱AeC-A旦G中，已知AB=A4=2,。是ΛB的

中點(diǎn).

（1）求直線CG與所成的角的大小;

（2）求證：平面CDB11平面ABBlA，并求點(diǎn)B到平面CDB1的距離.

16.（2023?楊浦區(qū)二模）四邊形ABCZ）是邊長(zhǎng)為1的正方形，AC與8。交于O點(diǎn)，期1_平

?lABCD,且二面角P-BC-A的大小為45。.

(I)求點(diǎn)A到平面PBD的距離；

(2)求直線AC與平面PCz)所成的角.

一十二.直線與橢圓的綜合(共1小題)

17.(2023?浦東新區(qū)二模)橢圓C的方程為犬+3丁=4,A、B為橢圓的左右頂點(diǎn)，匕、

月為左右焦點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求橢圓的離心率；

(2)若△乙為直角三角形，求生的面積；

(3)若。、R為橢圓上異于尸的點(diǎn)，直線PQ、PR均與圓χ2+y2=∕(0<r<[)相切，記

直線產(chǎn)。、PR的斜率分別為K、&,是否存在位于第一象限的點(diǎn)P,使得秘2=1?若存在，

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

一十三.直線與拋物線的綜合(共1小題)

18.(2023?青浦區(qū)二模)如圖，已知A、B、C是拋物線和：V=y上的三個(gè)點(diǎn)，且直線CB、

C4分別與拋物線一：寸=4x相切，尸為拋物線Γ∣的焦點(diǎn).

(1)若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為工，用X、表示線段b的長(zhǎng)；

(2)若C4J_CB,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)證明：直線4?與拋物線上相切?

19.（2023?黃浦區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)匕與右焦點(diǎn)K都在X軸

上，離心率為3,過(guò)點(diǎn)心的動(dòng)直線/與雙曲線C交于點(diǎn)A、B.設(shè)號(hào)蔣繆=義.

（1）求雙曲線C的漸近線方程：

（2）若點(diǎn)A、B都在雙曲線C的右支上，求4的最大值以及義取最大值時(shí)的正切值；

（關(guān)于求2的最值，某學(xué)習(xí)小組提出了如下的思路可供參考：①利用基本不等式求最值；②

設(shè)四11為〃，建立相應(yīng)數(shù)量關(guān)系并利用它求最值；③設(shè)直線/的斜率為“,建立相應(yīng)數(shù)量

關(guān)系并利用它求最值）

（3）若點(diǎn)A在雙曲線C的左支上（點(diǎn)A不是該雙曲線的頂點(diǎn)，且;1=1,求證：是

等腰三角形.且AB邊的長(zhǎng)等于雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍.

一十五.直線與圓錐曲線的綜合（共2小題）

20.（2023?閔行區(qū)二模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線C:5-V=l（a>0）和曲線C,:土+匕=1

a242

有公共點(diǎn)，直線4f=A∣x+4與曲線G的左支相交于A、B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為

(1)若曲線G和G有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，求曲線G的離心率和漸近線方程;

(2)若直線OM經(jīng)過(guò)曲線G上的點(diǎn)T(立，T)，且標(biāo)為正整數(shù)，求”的值；

(3)若直線4：y=%2X+偽與曲線G相交于C、D兩點(diǎn)，且直線OM經(jīng)過(guò)線段8中點(diǎn)N,

求證：k：+k；>1.

21.(2023?松江區(qū)二模)己知橢圓G(+g?=l的左、右焦點(diǎn)分別為E、F2,離心率為q；

雙曲線C,:三-二=1的左、右焦點(diǎn)分別為用、F4,離心率為e2,el-e,=-.過(guò)點(diǎn)FI作不

2h~2

垂直于y軸的直線/交曲線Cl于點(diǎn)A、8,點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),直線OM交曲線C?于

。兩點(diǎn).

(1)求G、C2的方程;

(2)若4耳=3￡8,求直線P。的方程;

(3)求四邊形AP8。面積的最小值.

一十六.離散型隨機(jī)變量的期望與方差(共2小題)

22?(2023?徐匯區(qū)二模)雅言傳承文明，經(jīng)典滋潤(rùn)人生，中國(guó)的經(jīng)典詩(shī)文是中華民族精神文

明的重要組成部分.某社區(qū)擬開(kāi)展“誦讀國(guó)學(xué)經(jīng)典，積淀文化底蘊(yùn)”活動(dòng).為了調(diào)查不同年

齡人對(duì)此項(xiàng)活動(dòng)所持的態(tài)度，研究人員隨機(jī)抽取了300人，并將所得結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表所示.

分組區(qū)間[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

人數(shù)30751056030

支持態(tài)度人數(shù)2466904218

（1）完成下列2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為年齡與所持態(tài)度有關(guān);

年齡在50周歲及以年齡在50周歲以下總計(jì)

上

支持態(tài)度人數(shù)———

不支持態(tài)度人數(shù)———

總計(jì)———

（2）以（1）中的頻率估計(jì)概率，若在該地區(qū)所有年齡在50周歲及以上的人中隨機(jī)抽取4

人，記X為4人中持支持態(tài)度的人數(shù)，求X的分布以及數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：P(Z2..3.84I)≈0.05

2

2n(ad-be)

參考公式：z

(a+b)(c+d)(a+c)(?+d)

23.（2023?青浦區(qū)二模）在全民抗擊新冠疫情期間，某校開(kāi)展了“停課不停學(xué)”活動(dòng)，一個(gè)

星期后，某校隨機(jī)抽取了100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間

（單位：〃）的頻率分布直方圖如下，若被抽取的這100名學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于8

小時(shí)有30人.

（1）求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)α,6的值：

（2）每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6.0,6.5）的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽2人進(jìn)

行電話(huà)訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；

（3）依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6.0,6.5）和［7.0,7.5）的學(xué)生中按比例分層

抽樣抽取8人，再?gòu)倪@8人中選3人進(jìn)行電話(huà)訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6.0,

6.5）的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

06.06.57.07.58.08.59.0每天學(xué)習(xí)時(shí)間（h）

一十七.線性回歸方程（共1小題）

24.（2023?寶山區(qū)二模）下表是某工廠每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量x（4麴k20,x∈Z）（件

）與相應(yīng)的生產(chǎn)成本y（萬(wàn)元）的四組對(duì)照數(shù)據(jù).

X46810

y12202884

（I）試建立X與y的線性回歸方程；

（2）研究人員進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)歷年的銷(xiāo)售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，在供銷(xiāo)平衡的條件下，市場(chǎng)銷(xiāo)售價(jià)格會(huì)波

動(dòng)變化.經(jīng)分析，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格q（萬(wàn)元）是一個(gè)與產(chǎn)量X相關(guān)的隨機(jī)變量，分布列

為

q100—x90-x80-尤

P???

424

假設(shè)產(chǎn)品月利潤(rùn)=月銷(xiāo)售量X銷(xiāo)售價(jià)格-成本.（其中月銷(xiāo)售量=生產(chǎn)量）

根據(jù)（1）進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)產(chǎn)量X為何值時(shí)，月利潤(rùn)的期望值最大？最大值為多少？

一十八.獨(dú)立性檢驗(yàn)（共1小題）

25.（2023?虹口區(qū)二模）電解電容是常見(jiàn)的電子元件之一.檢測(cè)組在85°C的溫度條件下對(duì)

電解電容進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，按檢測(cè)結(jié)果將其分為次品、正品，其中正品分合格品、優(yōu)等品兩類(lèi)

（1）鋁？是組成電解電容必不可少的材料.現(xiàn)檢測(cè)組在85°C的溫度條件下，對(duì)鋁管質(zhì)量與

電解電容質(zhì)量進(jìn)行測(cè)試，得到如下2x2列聯(lián)表，那么他們是否有99.9%的把握認(rèn)為電解電

容質(zhì)量與鋁？質(zhì)量有關(guān)？請(qǐng)說(shuō)明理由；

電解電容為次品電解電容為正品

鋁箔為次品17476

鋁箔為正品108142

(2)電解電容經(jīng)檢驗(yàn)為正品后才能裝箱，已知兩箱電解電容(每箱50個(gè))，第一箱和第二

箱中分別有優(yōu)等品8件與9件.現(xiàn)用戶(hù)從兩箱中隨機(jī)挑選出一箱，并從該箱中先后隨機(jī)抽取

兩個(gè)元件，求在第一次取出的是優(yōu)等品的情況下，第二次取出的是合格品的概率.附錄：

心但+份言工二財(cái)+五其中〃=

P(K2..k)0.1000.0500.0250.0100.001

k2.7063.8415.0246.63510.828

上海市2023年各地區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬(二模)試題按題型難易度

分層分類(lèi)匯編(16套)-05解答題提升題①

參考答案與試題解析

函數(shù)恒成立問(wèn)題(共1小題)

1.(2023?奉賢區(qū)二模)設(shè)函數(shù)y=∕(x)的定義域是R,它的導(dǎo)數(shù)是/'(x).若存在常數(shù)

m(mεR),使得/(x+m)=-/'(X)對(duì)一切X恒成立，那么稱(chēng)函數(shù)y=/(x)具有性質(zhì)P(，〃).

(1)求證：函數(shù)y=e*不具有性質(zhì)P(∕κ)；

(2)判別函數(shù)y=Sinx是否具有性質(zhì)產(chǎn)(相).若具有求出團(tuán)的取值集合；若不具有請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析；

(2)當(dāng)加=2左萬(wàn)—四,左eZ時(shí)，y=sinX具有性質(zhì)尸(相).

【解答】證明：(1)假設(shè)y=靖具有性質(zhì)P(m),即ex+m=-(ex)f對(duì)一切X恒成立，

ex+'"=e`?em=-ex,解得e”=-1,

顯然不存在實(shí)數(shù)m使得e"'=T成立，

故假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立；

(2)解：假設(shè)y=sinx具有性質(zhì)P(m),

即Sin(X+機(jī))=-(sinX)，對(duì)一切X恒成立，即Sin(X+,w)=-COSX對(duì)一切X恒成立，

i?sin.rcosm+(sinm+1)cosx=0,即°,解得機(jī)=24萬(wàn)一工，AeZ,

[sin∕n+l=02

綜上所述，當(dāng)m=2%τr-5/eZ時(shí)，y=sinx具有性質(zhì)P(m).

二.三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用(共1小題)

2.(2023?寶山區(qū)二模)已知函數(shù)/(x)=SinXCoSX-b＜：0$2犬+1§.

(1)求函數(shù)y=∕(x)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；

(2)若關(guān)于X的方程/(x)-相=0在X上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)兀，單調(diào)遞增區(qū)間為收乃一冬，^+―bAreZ.單調(diào)遞減區(qū)間為[b'+'，

121212

.1?π^.r

------------,κ∈Z.

12

⑵[?.1).

解答】解(I)

=SinXCOSX-GCoS2x+且=Lin2X-6X?^2^∑+且=?sin2x-~~cos2x=sin(2x-?)

f(χ)

2222

故T=—=π，

2

令一生+2%九啜電X-2—+2kπ,ZCGZ,則x∈伙萬(wàn)一△,kπ+—］?AeZ,

2321212

故函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為伙》-卷，kπ+^?,kwZ.

令工+2kττ^2?x-—2kπ+—,A∈Z,則Xe［kπ+—,kπ+???］，A∈Z,

2321212

故函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為伙乃+葛，版?+皆］，?∈Z.

(2)―關(guān)于X的方程/(x)-∕M=0在X€［0,自上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

.?.m=f(x)在［0,§上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即函數(shù)y=m與函數(shù)y=∕(x)的圖象在［O,?］

上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

令f=2x-二，則fe［-工，—］,

333

即函數(shù)y=m與函數(shù)g(f)=sinr的圖象在午］上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，函數(shù)g⑺在1

勺上單調(diào)遞增，在四，生］上單調(diào)遞減，

223

且g(9=l，g(y)=?(y-)=-y>

.6J

2

故實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為［亭，1)?

三.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型(共2小題)

3.(2023?奉賢區(qū)二模)某小區(qū)有塊綠地，綠地的平面圖大致如圖所示，并鋪設(shè)了部分人行

通道.

為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，現(xiàn)作如下假設(shè):

假設(shè)1：綠地是由線段ΛB,BC,CD,DE和弧E4圍成的，其中E4是以。點(diǎn)為圓心，圓

心角為絲的扇形的弧，見(jiàn)圖1；

3

假設(shè)2：線段AB,BC,CD,DE所在的路行人是可通行的，圓弧E4暫時(shí)未修路;

假設(shè)3：路的寬度在這里暫時(shí)不考慮;

假設(shè)4：路用線段或圓弧表示，休息亭用點(diǎn)表示.

圖1-圖3中的相關(guān)邊、角滿(mǎn)足以下條件:

直線84與Z)E的交點(diǎn)是O,ABHCD,ZABC=-.Z)E=EO=Q4=AB=200米.

2

小區(qū)物業(yè)根據(jù)居民需求，決定在綠地修建一個(gè)休息亭.根據(jù)不同的設(shè)計(jì)方案解決相應(yīng)問(wèn)題,

結(jié)果精確到米.

(1)假設(shè)休息亭建在弧E4的中點(diǎn)，記為Q,沿E4和線段QC修路，如圖2所示.求QC的

長(zhǎng)；

(2)假設(shè)休息亭建在弧E4上的某個(gè)位置，記為P,作PM_LBC交BC于M,作PNLCD

交DC于N.沿EP、線段PM和線段PN修路，如圖3所示.求修建的總路長(zhǎng)EP+PM+PN

的最小值；

(3)請(qǐng)你對(duì)(1)和(2)涉及到的兩種設(shè)計(jì)方案做個(gè)簡(jiǎn)明扼要的評(píng)價(jià).

【答案】(1)約為346米；

(2)約為651米；

(3)(1)涉及到的設(shè)計(jì)方案總路徑是誓+2OO√5*765米，比起方案2顯然不是最優(yōu)(短

）路徑；

（2）涉及到的設(shè)計(jì)方案顯然相對(duì)于方案1是相對(duì)不便捷（不利于AB段附近居民前往）.

又可以計(jì)算得C(400,2θθ6),

IQCl="(400-IGO)?+(200立一100力S=2(X)√3≈346(米)，

.?.QC的長(zhǎng)約為346米；

2

(2)設(shè)/尸OA=6((用B-π),

3

則尸(200COSe,200Sine),Λ∕(400,2∞sin<9),N(200cos6>,200√3),

設(shè)修建的總路長(zhǎng)為J=f(θ)=EP+PM+PN,

則/(6)=200(∣萬(wàn)一6)+(400-2∞cos6)+(2∞√3-2∞sinθ)

=等；r+400+200√3-2006?-200cos6?-200sin6,

∕,((9)=-200+2∞sin6>-2∞cos6>,

令八，)=0,則sinO-cos，=l,噴∣B-π,解得。=上，

32

.?.當(dāng)0<6<j∣時(shí)，函數(shù)y=∕(0)單調(diào)遞減；

當(dāng)符時(shí)，/0>°'函數(shù)y=∕(J)單調(diào)遞增，

修建的總路長(zhǎng)EP+PM+PN的最小值約為651米;

（3）（1）涉及到的設(shè)計(jì)方案總路徑是受+2OO√5*765米，比起方案2顯然不是最優(yōu)（短

）路徑;

（2）涉及到的設(shè)計(jì)方案顯然相對(duì)于方案1是相對(duì)不便捷（不利于AS段附近居民前往）.

4.（2023?松江區(qū)二模）某城市響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，積極調(diào)整能源結(jié)構(gòu)，推出多種價(jià)位的新能源

電動(dòng)汽車(chē).根據(jù)前期市場(chǎng)調(diào)研，有購(gòu)買(mǎi)新能源車(chē)需求的約有2萬(wàn)人，他們的選擇意向統(tǒng)計(jì)如

下：

車(chē)型ABCDEF

價(jià)格9萬(wàn)元12萬(wàn)元18萬(wàn)元24萬(wàn)元30萬(wàn)元40萬(wàn)元

占比5%15%25%35%15%5%

（1）如果有購(gòu)車(chē)需求的這些人今年都購(gòu)買(mǎi)了新能源車(chē)，今年新能源車(chē)的銷(xiāo)售額預(yù)計(jì)約為多

少億元？

（2）車(chē)企推出兩種付款方式：

全款購(gòu)車(chē)：購(gòu)車(chē)時(shí)一次性付款可優(yōu)惠車(chē)價(jià)的3%；

分期付款：無(wú)價(jià)格優(yōu)惠，購(gòu)車(chē)時(shí)先付車(chē)價(jià)的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次

付車(chē)價(jià)的

8

①某位顧客現(xiàn)有。萬(wàn)元現(xiàn)金，欲購(gòu)買(mǎi)價(jià)值。萬(wàn)元的某款車(chē)，付款后剩余的資金全部用于購(gòu)買(mǎi)

半年期的理財(cái)產(chǎn)品（該理財(cái)產(chǎn)品半年期到期收益率為1.8%）,到期后，可用資金（含理財(cái)收

益）繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)半年期的理財(cái)產(chǎn)品，問(wèn)：顧客選擇哪一種付款方式收益更多？（計(jì)算結(jié)果精確

到0.0∞l）

②為了激勵(lì)購(gòu)買(mǎi)理財(cái)產(chǎn)品，銀行對(duì)采用分期付款方式的顧客，贈(zèng)送價(jià)值1888元的大禮包，

試問(wèn)：這一措施對(duì)哪些車(chē)型有效？（計(jì)算結(jié)果精確到0.0001）

【答案】（1）43.3億元；（2）①顧客選擇全款購(gòu)車(chē)方式收益更多；②這一措施對(duì)購(gòu)買(mǎi)A,B,

C車(chē)型有效.

【解答】解：（1）銷(xiāo)售一輛車(chē)的價(jià)格的數(shù)學(xué)期望E為：

fi,=9×5%+12×15%+18×25%+24×35%+30×15%+40×5%=21.65,

20000xE=433000（萬(wàn)元）=43.3（億）

所以，今年新能源車(chē)的銷(xiāo)售額預(yù)計(jì)約為43.3億元；

（2）①全款購(gòu)車(chē)兩年后資產(chǎn)總額為：4x3%x（l+1.8%）4=0.03224（萬(wàn)元）,

分期付款購(gòu)車(chē)兩年后資產(chǎn)總額為

^^(?×1.0184-?×1.018;l-?×1.0182-?×1.018-?)=?(?×1.0184-?×?：L?^??-)=0.0233^z

28888281-1.018

(萬(wàn)元)，

因?yàn)?.0322。>0.0233。，所以顧客選擇全款購(gòu)車(chē)方式收益更多；

②由①得：0.032加一0.0233?=0.0089〃<0.1888,所以α<21.2134,

故這一措施對(duì)購(gòu)買(mǎi)A,B,C車(chē)型有效.

四.數(shù)列的求和(共1小題)

5.(2023?普陀區(qū)二模)已知α>b均為不是1的正實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式為

f(x)=a?bx(x≡R).

(I)設(shè)α>Z?且/。),,/??〃'，求R的取值范圍；

(2)設(shè)〃=',)=4,記/=IogzfS),bn=f(n),現(xiàn)將數(shù)列｛〃〃｝中剔除｛々｝的項(xiàng)后、不

16

100

改變其原來(lái)順序所組成的數(shù)列記為｛%｝,求的值.

/=I

【答案】(1)[1,+00):(2)10216.

【解答】解：(1)由α>b且/(%)”b?∕,可得α?b?,b?優(yōu),

Xα>?,且α,〃均為不是1的正實(shí)數(shù)，可得(2)Z

aa

由0<2<l,可得x..l,即X的取值范圍是口，+00)；

a

n

(2)由q,=log?ab=Iog2a+nIog2?=2n-4,

n2

bn=ab=4"-,

而｛α,J的前IOo項(xiàng)中有-2,0,4,6,8.........194,196,

其中屬于｛2｝的有4,16,64,

所以｛g｝的前100項(xiàng)是他“｝的前103項(xiàng)去掉4,16,64三個(gè)元素，

則Zci=-----------------------4-16-64=10216.

<=ι2

五.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合(共1小題)

6.(2023?奉賢區(qū)二模)已知等差數(shù)列｛4,｝的公差不為零，α1=25,且4,為，九成等比

數(shù)列.

(I)求｛αz,｝的通項(xiàng)公式;

20

(2)計(jì)算￡/一?

*=1

【答案】(1)4,=27-2”；

(2)-640.

【解答】解:(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d(d≠0),

則a”=α∣+104,α∣3=4+12”.

因?yàn)閝,α∣∣,%成等比數(shù)列，所以a：=%-%，

即(q+l(W)2=q?(q+12d),4=25代入，解得d=-2(d=0舍去).

所以=4+(〃-1)"=25+5—1)(-2)=27-2〃，

所以｛《｝的通項(xiàng)公式為?=27-2∏;

a

(2)因?yàn)?lt;?"+∣)—2—。而_2=<?π+∣—3π-2=[27—2(3〃+1)]—[27—2(3n—2)]=—6,

所以數(shù)列｛%,+/(〃正整數(shù))是以25為首項(xiàng)，-6為公差的等差數(shù)列，

2020

所以Z?ι-2=4+%+%++%8=20x25+—×19×(-6)=-640.

A=I2

六.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程(共2小題)

7.(2023?浦東新區(qū)二模)設(shè)P是坐標(biāo)平面XQy上的一點(diǎn)，曲線「是函數(shù)y=/(x)的圖像.若

過(guò)點(diǎn)P恰能作曲線「的左條切線(Z∈N),則稱(chēng)P是函數(shù)y=∕(x)的“攵度點(diǎn)”.

(1)判斷點(diǎn)。(0,0)與點(diǎn)4(2,0)是否為函數(shù)y=。優(yōu)的1度點(diǎn)，不需要說(shuō)明理由；

(2)已知Ovmvi,g(x)=sinx.證明：點(diǎn)5(0㈤是y=g(x)(0<x<M的0度點(diǎn)；

(3)求函數(shù)y=d-x的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合.

【答案】(1)O(0,0)是>=加X(jué)的1度點(diǎn)，A(2,0)不是>=加X(jué)的1度點(diǎn)；(2)證明見(jiàn)解析;

(3)｛(4,h)g=-α或人=。3一。，α≠0｝.

【解答】解：(1)由題意，設(shè)，>0,則曲線y=瓦￥在點(diǎn)(f,∕R)處的切線方程為y-ln∕=-(x-t),

t

該切線過(guò)原點(diǎn)O時(shí)，一I山=一1,解得∕=e,故原點(diǎn)O是函數(shù)y=∕nx的一個(gè)1度點(diǎn)；

又因?yàn)樵撉芯€過(guò)點(diǎn)A(2,0),所以-/加=12-。，

設(shè)s(f)=tint-t+2,則√(Z)=1+bit-I=Int,令s'(t)-O>得r=1,

所以rw(0,l)時(shí)，s?)<0,s(r)單調(diào)遞減；，￡(1,內(nèi))時(shí)，5")>0,5。)單調(diào)遞增，

所以s(f)=f∕,"T+2在x=l處取得極小值，也是最小值，且S(1)=0-l+2=l>0,

所以=l(2τ)無(wú)解，點(diǎn)A(2,0)不是函數(shù)y=∕nr的1度點(diǎn)：

t

(2)證明：設(shè)f>0,/=cos∕，則曲線y=sinx在點(diǎn)(f,sinf)處的切線方程為

?-s?n/=cos∕(x-/),

則該切線過(guò)點(diǎn)(0,乃)，當(dāng)且僅當(dāng)萬(wàn)一Sinr=TCOSr(*),

設(shè)G(r)=sinf-fcost-萬(wàn)，G'(f)=fsinf,.?.0<f<萬(wàn)時(shí)，G'(f)>O,

故y=GQ)在區(qū)間(0,乃)上單調(diào)遞增，

.?.當(dāng)0<f<m<%時(shí),G(f)<G(萬(wàn))=0,(*)恒不成立,即點(diǎn)8(0,萬(wàn))是y=g(x)的一個(gè)O度點(diǎn)；

(3)y,=3x2-l,

對(duì)任意teR,曲線>=/7在點(diǎn)(f∕—)處的切線方程為y-(t3-t)=(3/-I)(XT),

故點(diǎn)(α,?)為函數(shù)y=√-x的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于t的方程6-(rT)=(3t2-l)(αT)恰

有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

設(shè)Λ(∕)=2t3-3at2+(a+b),則點(diǎn)3。)為函數(shù)y=V-x的一個(gè)2度點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)y=h(t)有

兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

若α=0,則/z(r)=2∕+b在R上嚴(yán)格增，只有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求；

若α>0,Λ,(r)=6t2-6at,令h'{t}=0得f=0或r=",

由，<0或t>α?xí)r，h'(t)>0,得y=∕z(f)嚴(yán)格增；當(dāng)O<r<4時(shí)，"(f)<0,得y=∕z(f)嚴(yán)格

減，

故y=∕ιQ)在r=0時(shí)取得極大值〃(0)=4+6,在∕=”時(shí)取得極小值∕z(a)=b+a-ay)

又八(?^)=Ta出<0，

h(3a+^∣?b?)=27ai+36a2i∕?b?+9ai∕b7+2?h?+h+a..a>0,

.?.當(dāng)∕7(0)>0>∕z(a)時(shí)，由零點(diǎn)存在定理，y=在(7o,0),(OM),(0,+x))上各有一個(gè)

零點(diǎn)，不合要求：

當(dāng)O>∕z(O)>∕z(a)時(shí)，y=〃0)僅3÷oo)上有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求；

當(dāng)/?(())>〃(a)>0時(shí),y=∕z(f)僅(YO,0)上有一^個(gè)零點(diǎn)，也不合要求；

故y=/?(r)有兩個(gè)不同零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)〃(O)=O或/?(a)=0,

若α<0,同理可得y=∕z(r)有兩個(gè)不同零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)〃(O)=O或/?(a)=O,

綜上，函數(shù)y=V-χ的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合為｛(4,b)g=-α或6=∕-α,α≠0).

8.(2023?寶山區(qū)二模)直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體.如：方程y="+l中，

當(dāng)k取給定的實(shí)數(shù)時(shí)，表示一條直線；當(dāng)k在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，表示過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線族(不

含y軸).

記直線族2(a-2)x+4y-44+∕=0(其中4eR)為甲，直線族y=3∕x-2∕(其中經(jīng)。)為

Ω.

(1)分別判斷點(diǎn)A(0,l),8(1,2)是否在3的某條直線上，并說(shuō)明理由；

(2)對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)點(diǎn)P(X0,%)不在。的任意一條直線上，求為的取值范圍(用

xt,表示)；

(3)直線族的包絡(luò)被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的

切線，且該曲線上每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.求Ω的包絡(luò)和甲的包絡(luò).

【答案】(1)點(diǎn)A在直線y=l上；點(diǎn)B不在中的某條直線上；

3

(2)(x0,+∞);

(3)。的包絡(luò)是曲線y=/,x>0;5的包絡(luò)為拋物線y=3+l.

【解答】解：(1)將點(diǎn)A(0,l)代入直線族2(α-2)x+4y-4q+∕=0,可得4-4α+∕=0,

解得α=2,

故點(diǎn)A在直線y=l上；

將B(l,2)代入直線族2(α-2)x+4y-4α+Y=0,可得2(〃-2)+8-4“+/=°,該方程無(wú)解,

故點(diǎn)8不在乎的某條直線上；

(2)若點(diǎn)P(X0,%)不在Ω的任意一條直線上，則關(guān)于f的方程為=3產(chǎn)%-2『無(wú)解，

22

令f(f)=3rx0-2?,則f'(t)=6tx0-6t=6∕(?-r)，

當(dāng)fw(O,%)時(shí)，f'(t)>0,/(t)單調(diào)遞增,當(dāng)fe(x0,+8)時(shí)，f'(t)<0,/⑺單調(diào)遞減，

則=/(?)=×o,則%>?3>即為的取值范圍為(?√,+s);

(3)由(2)的結(jié)論猜測(cè)Ω的包絡(luò)是曲線y=Λ3,x>0,則y'=3χ2,

由3X2=3r>解得X=t,

在曲線y=d,χ>O上任取一點(diǎn)(f,力("O),則過(guò)該點(diǎn)的切線方程為y-r=3∕(x-r),

即y=3/X-2/,

而對(duì)任意的r>0,y=3∕χ-2-的確為曲線y=χ3,χ>0的切線，

j

故C的包絡(luò)是曲線y=Λ,x>0;

將2(?-2)x+4y-4a+a2=0整理為關(guān)于a的方程a2+2(X-2)α+4(-X+y)=0,

?

若該方程無(wú)解，則a=4(x-2)2-16(-x+y)<0,整理得y>三+1,

4

?21

猜測(cè)中的包絡(luò)為y=?+l,則y'=^x,

由LX=-^―,得X=2-α,

24

在拋物線y=工+1上任取一點(diǎn)(2-〃,生辿+1),

44

則過(guò)該點(diǎn)的切線方程為y-產(chǎn)一")2+i]=-a[x-(2-a)]f即2(a-2)x+4y-4。+/=。，

42

而對(duì)任意的“eR,2(“-2)》+4)-4“+/=0的確為拋物線丫=工+1的切線，

4

2

故中的包絡(luò)為拋物線y=工+1.

4

七.解三角形(共1小題)

9.(2023?徐匯區(qū)二模)已知向量加=(2GCoS工-2sin'),H=(cos—,cos—),函數(shù)

2222

y=f(x)-m?n.

(1)設(shè)e∈[-工;"且/(0)=6+ι,求。的值；

22

/7

(2)在ΔABC中，AB=I,/(C)=√3+1,且AABC的面積為三，求SinA+sin3的值.

【答案】(1)/或工;

26

(2)1+—.

2

【解答】解:(1)/(x)=2?∕3cos2--2sin—cos—=?/?(1÷cosx)-sinx=2cos(x+—)÷?

2226

.?./(6?)=2cos(6>+^)+√3=√3+l,；.cos(6+X)=1,

662

?ZT_.7Γ.,_ZT71.

ΘH—=2%萬(wàn)±—伏∈Z),r—,一］?

6322

，6=_工或工；

26

(2)C∈(O,Λ-),由(1)知C=生，

6

在AABC中，設(shè)內(nèi)角A、8的對(duì)邊分別是α,b,

則S=-=-abs?n-，:.ab=2?∣3

226

由余弦定理得1=/+h2-2ahcos-=a2+?2-6,:.a2+b2=7,

6

。=2〃=L

解得{L或4W,.α+z,=2+有,

b=y∣3b=2

由正弦定理得也sinBsinC?

a^V^12

1/?

故sinA+sinB=-{a+b)=↑+—.