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v1.0可編輯可修改v1.0可編輯可修改PAGEPAGE5v1.0可編輯可修改PAGE三次函數(shù)再探討對稱中心問題武漢市長虹中學郭永清三次函數(shù)存在對稱中心嗎我們先從幾個特殊的函數(shù)入手，三次函數(shù)（)是奇函數(shù)，其圖象關于對稱，三次函數(shù)()的圖象關于點對稱，那么對于一般的三次函數(shù)有沒有對稱中心呢答案是肯定的，有對稱中心，其對稱中心是。在證明之前，先回憶一個結論：定理1：函數(shù)的圖像關于點對稱，則在證明：設是圖像上任意一點，則A關于點的對稱點也在函數(shù)圖像上，即,又，所以定理2：三次函數(shù)的對稱中心是證明1：設是圖像上任意一點，只要能證明點也在函數(shù)圖像上。所以所以三次函數(shù)的對稱中心是證明2：因為的對稱中心是(0,0),所以的對稱中心為,即而的圖象關于對稱。證明3：設函數(shù)的對稱中心為（m，n）。按向量將函數(shù)的圖象平移，則所得函數(shù)是奇函數(shù)，所以-2n=0化簡得：上式對恒成立，故得，。所以，函數(shù)的對稱中心是（）。定理3：若三次函數(shù)有極值，則它的對稱中心是兩個極值點的中點證明：不妨設為的導方程，判別式,設兩極值點為所以此時的對稱中心是兩個極值點的中點，同時也是函數(shù)的拐點。定理4：是可導函數(shù)，若的圖像關于點對稱，則的圖像關于直線對稱證明：的圖像關于對稱，則由圖像關于直線對稱。三次函數(shù)的對稱中心是（）。所以其導函數(shù)的圖像關于直線對稱。定理5：過三次函數(shù)的對稱中心且與該三次曲線相切的直線有且只有一條證明：設三次函數(shù)，一直線與三次曲線切于點Q（），且直線過點（）。直線方程可寫為：又化簡為：這說明切點就是對稱中心。經典例題欣賞：求的對稱中心。求的極值和對稱中心。（2004年重慶高考題）設函數(shù),求導函數(shù),并證明有兩個不同的極值點若不等式成立，求a的取值范圍。已知求證若是R上的增函數(shù)，是否存在點P

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