2023-2024屆新高考一輪復(fù)習人教A版 第三章 第5節(jié)　利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 作業(yè)

第5節(jié)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

課時作業(yè)靈活分層，高效提能________________________

［選題明細表］

知識點、方法題號

構(gòu)造函數(shù)證明不等式1,5

轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值證明不等式2,3

適當放縮證明不等式4,6

rB級綜合運用練

L(2022?烏魯木齊模擬)已知f(x)=lnχ-χ,f,(x)為f(x)的導(dǎo)函

數(shù),g(x)=?.

(1)求f(χ)的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明：當Xel時,g(x)≤?;

X

⑶求證：當x21時?,f(x)Wf'(x)+g(x)-∣成立.

⑴解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+8),

f,(x)=i-l=-,

XX

令金(x)〉0,解得0<x<l,

令f'(x)<0,解得x>l,

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(l,+∞).

x

⑵證明：g(x)專?Teχ-e

xex

令h(x)=ex^^e',x21,則h'(x)=e-ex,

當x≥l時,h,(x)≤0,

則11a)在［1,+8)上單調(diào)遞減,

所以h(x)≤h(l)=O,即eχ-ex≤0,

則g(x)W1原不等式得證.

X

⑶證明：令t(x)=f'(x)+g(x)-f(x)-???-lnx+x-^-l,x≥l,

XexX

則t'(x)?-?-?+^+1,XN1,

exXxz

當XNl時，ex≥ex,

則t'(x)≥(i-l)2≥0,

X

所以t(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增,則t(x)Nt(I)=0,原不等式得證.

2.設(shè)函數(shù)f(x)喂+x?

(1)若曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線與直線χ-y=0垂直,求a

的值；

⑵當a>l時,證明：f(x)23-3.

Ina

(1)解：函數(shù)f(χ)=S+X的定義域為R,

ex

f,(X)=Y+1.

ex

因為曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線與直線χ-y=O垂直，

所以f'(0)=-??+l=T，解得a=2.

e0

(2)證明：f'(x)=--?+l=4(ex-a).

當a>l時,令*(x)>0,可得x>lna;

令f'(x)<0,可得x<lna.

所以f(x)在(-8,Ina)上單調(diào)遞減,在(Ina,+8)上單調(diào)遞增.

所以f(x)2f(lna)=l+lna.

當a>l時，有Ina>0.

因為1+lna-(?-?)?lna+-^--2≥2IIna?3-2=0

(當且僅當Ina??,即a=e時-，"二”成立)，

Ina

所以1+lna≥3-Λ,即f(x)23-工.

lnαIna

3.(2023?湖北武漢模擬)已知函數(shù)f(x)=alnx+x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當a=l時,證明：Xf(x)<ex.

⑴解：f(x)的定義域為(0,+8),

f,(x)?l=-.

XX

當a≥0時,f,(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

當a<0時,若x∈(-a,+8),則伊(χ)>0;

若x∈(0,-a),則#(x)<0,

所以f(x)在(-a,+8)上單調(diào)遞增，在(0,-a)上單調(diào)遞減.

綜上所述，當aN0時,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當a<0時,f(x)在(-a,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,-a)上單調(diào)遞減.

(2)證明：當a=l時，要證Xf(x)<ex,

x2+xlnx<ex,即證1+—<?.

XXΔ

令函數(shù)g(x)=l+也,則g'(X)==乎.

令g'(x)>0,得x∈(0,e);

令g'(x)<0,得x∈(e,+8).

所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(x)max=g(e)=l+2,

e

令函數(shù)h(x)=?則h'(x)￡?.

%/χ3

當x∈(0,2)時,h'(x)<0;

當X￡(2,+8)時,h'(x)>0,

所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+8)上單調(diào)遞增，

p2

所以h(X)min?h⑵=—.

4

因為(1+3>o,

4e

所以h(x)mi∏>g(x)max,

即1+—<?,從而Xf(X)<e*得證.

XXz

4.已知函數(shù)數(shù)x)=a(χ2-X)Tnx(a∈R).

⑴當a=l時一,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

⑵證明：當x>l時學.

Inxxz~x

⑴解:f(x)的定義域為(0,+8),當a=l時,f'

(X)=2X-1-^(X-1)(2X+1),

XX

因為x>0,所以2x+l>0,

所以當X￡(0,1)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當x∈(l,+8)時,#(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增.

(2)證明：由(1)知,當a=l,x>l時，恒有f(x)>f(1),即x2-χ>lnx,

所以當x>l時,0<lnX<x2-χ,

要證竿???,只需證eχ-1>∣(x2+l),

Inxxz-χ2

令g(x)=exH-1(x2+l),

則g'(x)=ex'-χ,g"(x)=ex"1-l,

g,(1)=0,g"(1)=0,

因為g〃(x)=bT在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g"(x)>g〃⑴=0,則g'(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以g'(x)>g'(1)=0,則g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以當x>l時，g(x)>g(l)=0,

即e->9χ2+l)成立,故事〉要成立.

2Inxxz-χ

5.已知f(x)=e"2x+2x+aln(x+l).

⑴若f(x)的圖象在x=0處的切線過點P(-1,0),求a的值;

(2)若x>0,-2<a<0,求證：f(x)>(x+l)a.

(1)解:f(x)=2e%+2+W,

f(0)=1+0+0=1,

所以f(X)在X=O處的切線的斜率為f'(0)=-2+2+a=a,

所以設(shè)x=0處的切線方程為y=ax+b,

則有9=°；°+Λ解得仁=；'

Io=-I?α+仇S=1,

所以a的值為1.

⑵證明：要證f(x)>(x+l)fi,

即證e2x+2x+aln(x+l)>(x+l)a,

即e2x+2x+aln(x+l)~(x+l)a>0,

設(shè)g(x)=e"+2x+aln(x+l)-(x+l)a,

則g'(x)=-2e%+2+??-a(x+l產(chǎn),

當x>0,-2<a<0時，y=-2e”單調(diào)遞增，

y=3單調(diào)遞增，y=-a(x+l)”單調(diào)遞增，

所以g'(X)單調(diào)遞增，

因為g'(0)=-2+2+a-a=0,x>0,

則g'(x)>0,即g(x)單調(diào)遞增,

因為g(0)=l-l=0,

所以當x>0,-2<a<0時,g(x)>g(0)=0,

即e2x+2x+aln(x+l)-(x+l)a>0,

所以e2x+2x+aln(x+l)>(x+l)a,

所以f(x)>(x+l)a得證.

6.已知函數(shù)f(x)=axe*-(x+l)"a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)若f(x)在x=0處的切線與直線y=ax垂直,求a的值；

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

⑶當a≥?'t,求證:f(x)≥lnχ-χ2-χ-2.

e2

⑴解：f'(x)=(x+l)(ae*-2),

由題意得f'(0)=a-2=」,解得a=l.

a

⑵解：f'(x)=(x+l)(aex-2),

當a≤0時，aex-2<0,

易得當x>T時,f'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

當x<-l時，f,(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增.

當a>0時，由aex-2=0得x=In-,

a

若0<a<2e,ln->-l,

a

易得，當x<-l或x>ln馬時,f'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當T<x<l∏2時,

aa

f,(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減?

當a=2e時，f,(x)≥0恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增.

當a>2e時，In々-1,

a

易得,當x>-l或x<ln?,f'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當ln-<x<-l時,

aa

f'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減?

綜上，當a≤0時一，函數(shù)在(-8,一1)上單調(diào)遞增，在(一ι,+8)上單調(diào)

遞減；

當0<a<2e時.，函數(shù)在(-8,一1)上單調(diào)遞增，在(―1,ι?上單調(diào)遞減,

ra

在(IIA+8)上單調(diào)遞增；

a

當a=2e時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增;

當a>2e時一，函數(shù)在(-8,In與上單調(diào)遞增，在(lr?T)上單調(diào)遞減,

aa

在(T,+8)上單調(diào)遞增.

(3)證明：f(x)≥lnχ-χ2-χ-2即為axex-lnχ-χ+l≥0,

因為a2],即