1.1 空間向量及運算（精練）（解析版）

1.1空間向量及運算（精練）1．（2023山東）給出下列命題：①向量的長度與向量的長度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個有公共終點的向量，一定是共線向量；④若向量與向量是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上；⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】對于①，，故①為真命題；對于②，若與中有一個為零向量時，其方向不確定，故②為假命題；對于③，終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反，所以③為假命題；對于④，共線向量所在直線可以重合，也可以平行，不能得到點A，B，C，D必在同一條直線上，故④為假命題；對于⑤，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段，故⑤為假命題．故假命題的個數(shù)為4.故選：C2．（2023·安徽六安）在下列命題中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則向量共面；④已知空間的三個向量，則對于空間的任意一個向量總存在實數(shù)x，y，z使得.其中正確命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】共線，所在的直線也可能重合，故①不正確；根據(jù)自由向量的意義知，空間任意兩向量都共面，故②不正確；三個向量中任意兩個一定共面，但它們三個卻不一定共面，故③不正確；只有當不共面時，空間任意一向量總存在實數(shù)x，y，z使得，故④不正確，綜上可知四個命題中正確的個數(shù)為0，故選：A3．（2023春·高二課時練習）下列命題中，正確的是（

）.A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對于A;比如,不相等，但，故A錯誤；對于B;向量的模長可以有大小之分，但是向量不可以比較大小，所以B錯誤；對于C;向量相等，則其模長相等，方向相同，故C正確；對于D；若，，但不相等，故D錯誤；故選：C4．（2023·江蘇·高二專題練習）下列說法正確的是（

）A．任一空間向量與它的相反向量都不相等B．不相等的兩個空間向量的模必不相等C．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小D．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點，則它們的終點構成一個圓【答案】C【解析】對于A選項，零向量與它的相反向量相等，A錯；對于B選項，任意一個非零向量與其相反向量不相等，但它們的模相等，B錯；對于C選項，同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小，C對；對于D選項，將空間向量所有的單位向量平移到同一起點，則它們的終點構成一個球，D錯.故選：C.5．（2023春·江蘇鹽城·）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點E在側棱PC上，且，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】在平行四邊形ABCD中，，在中，，，，，在中，．故選：B．6．（2023·廣東廣州）如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點為O，點M在上，且，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為平行六面體中，點M在上，且故可得故選：D.7．（2023春·甘肅金昌）下列四個命題中為真命題的是（

）A．已知，，，，是空間任意五點，則B．若兩個非零向量與滿足，則四邊形是菱形C．若分別表示兩個空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量可以是共面向量D．對于空間的任意一點和不共線的三點，，，若，則，，，四點共面【答案】C【解析】對于A，因為，故A項錯誤；對于B，因為，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，不一定是菱形，故B項錯誤；對于C，因為空間向量可以平移，將空間任意兩個向量平移到同一起點時，則這兩個向量可以是共面向量，故C項正確；對于D，對于空間的任意一點和不共線的三點，，，若，當且僅當時，，，，四點共面，故D項錯誤.故選：C.8．（2023·山東菏澤）對于空間一點和不共線三點，，，且有，則（

）A．，，，四點共面 B．，，，四點共面C．，，，四點共面 D．，，，，五點共面【答案】B【解析】由，得，即，，，共面，又它們有公共點，，，，四點共面．故選：B．9．（2023春·四川綿陽）已知為空間任意一點，四點共面，但任意三點不共線．如果，則的值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【解析】因為，所以由得，即，因為為空間任意一點，滿足任意三點不共線，且四點共面，所以，故.故選：A.10．（2023·全國·高二專題練習）已知點在確定的平面內，是平面外任意一點，實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因為，點在確定的平面內，所以，即，所以，所以當時，的有最小值2．故選：D11．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學?？计谥校┮阎獮榭臻g任意一點，滿足任意三點不共線，但四點共面，且，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因為滿足任意三點不共線，但四點共面，所以，根據(jù)共面向量基本定理，存在，使得，因為，，，所以，即，因為，所以，，解得故選：B12．（2023春·湖北）已知三點不共線，是平面外任意一點，若，則四點共面的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】四點共面的充要條件是，，整理可得，由，則，解得，故選：A.13（2023春·江蘇淮安）已知三點不共線，是平面外任意一點，若由確定的一點與三點共面，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由與三點共面以及，可得，，所以.故選：C.14．（2023·重慶北）在三棱錐中，M是平面ABC上一點，且，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】因為，所以，因為M是平面ABC上一點，即四點共面，所以，所以．故選：B.15．（2023春·江蘇徐州）在棱長為1的正方體中，為上任意一點，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由圖形可得，所以，由正方體性質可得，所以，所以，又，與方向相反，所以.故選：B.

16．（2023山西）在三棱錐中，為的中點，則等于（

）A．-1 B．0 C．1 D．3【答案】C【解析】因為，所以，，，因為，.故選：C.

17．（2023·江蘇·高二專題練習）下列向量中，真命題是______．（填序號）①若A、B、C、D在一條直線上，則與是共線向量；②若A、B、C、D不在一條直線上，則與不是共線向量；③向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一條直線上；④向量與是共線向量，則A、B、C三點必在一條直線上．【答案】①【解析】對于①，若A、B、C、D在一條直線上，則與是共線向量，故①正確；對于②，若A、B、C、D構成平行四邊形時，A、B、C、D不在一條直線上，但是與是共線向量，故②不正確；對于③，若A、B、C、D構成平行四邊形時，A、B、C、D不在一條直線上，但是與是共線向量，故③不正確；對于④，若A、B、C、D構成平行四邊形時，A、B、C不在一條直線上，但是與是共線向量，故④不正確；故答案為：①18（2023廣西）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，設，，．

(1)用，，表示；(2)求AC1的長．【答案】(1)(2)【解析】（1）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，．（2）AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，．.AC1的長||.19．（2023春·高二課時練習）如圖所示，在空間四邊形中，，，兩兩成角，且，為的中點，為的中點，試求，間的距離．【答案】【解析】，所以因，，兩兩成角，且，所以，所以所以，即，間的距離為.20．（2023春·江蘇淮安）如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設.(1)試用向量表示向量；(2)若，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）因為點為的中點，所以，因為，所以，所以，所以；（2）由（1）得，因為，，所以.21．（2023·江西·高二統(tǒng)考期中）已知平行六面體如圖所示，其中，，交于點，點在線段上，且，點，分別是線段，的中點，設，，.(1)用，，表示，；(2)若，，求的值.【答案】(1)，(2)14【解析】（1）連接，，如圖：..（2）依題意，，，故.22（2023廣東潮州）如圖，正方體的棱長是，和相交于點．(1)求；(2)求與的夾角的余弦值(3)判斷與是否垂直．【答案】(1)(2)(3)垂直【解析】（1）正方體中，,故;（2）由題意知,,,，故，故，（3）由題意，,,故與垂直.23（2022秋·福建福州·高二福建省福州延安中學校考階段練習）如圖，空間四邊形的各邊及對角線長為，是的中點，在上，且，設，，，(1)用，，表示；(2)求向量與向量所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】（1）因為，，，所以.（2）因為空間四邊形的各邊及對角線長為，所以四面體是正四面體，，且，，間的夾角為，所以，，，所以，所以，所以向量與向量所成角的余弦值為.24（2022·高二課時練習）如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，為與的交點.若，，，（1）用表示；（2）求對角線的長；（3）求【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）連接，如圖：因為，，在，根據(jù)向量減法法則可得：因為底面是平行四邊形故因為且又為線段中點在中（2）因為頂點為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是故由（1）可知故平行四邊形中故：故（3）因為，又1．（2023·全國·高二專題練習）對空間中任意一點和不共線的三點，能得到在平面內的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為A、B、C三點不共線，則不共線，若四點共面，則存在唯一的一組實數(shù)使得，即，變形得，對于，，整理得，則，所以在平面內，故選項正確；對于，，可得：則，故不在平面內，故選項錯誤；對于C，，可得：，則，故不在平面內，故選項C錯誤；對于，，可得：則，故不在平面內，故選項錯誤；故選：2．（2023春·高二課時練習）（多選）如圖，在三棱柱中，P為空間一點，且滿足，，則（）A．當時，點P在棱上 B．當時，點P在棱上C．當時，點P在線段上 D．當時，點P在線段上【答案】BCD【解析】當時，，所以，則，即P在棱上，故A錯誤；同理當時，則，故P在棱上，故B正確；當時，，所以，即，故點P在線段上，故C正確；當時，，故點在線段上，故D正確．故選：BCD．3．（2023廣西柳州）(多選)若空間中任意四點O，A，B，P滿足=m+n，其中m+n=1，則結論正確的有（

）A．P∈直線AB B．P?直線ABC．O，A，B，P四點共面 D．P，A，B三點共線【答案】ACD【解析】由題意可得，代入向量式化簡可得，可得向量共線，進而可得三點共線，可得結論．【詳解】解:因為，所以，所以=，即=n()，即=n，所以共線.又有公共起點A，所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈直線AB.因為=m+n，故O，A，B，P四點共面.故答案為：ACD4．（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）（多選）下列命題中是真命題的為（

）A．若與共面，則存在實數(shù)，使B．若存在實數(shù)，使向量，則與共面C．若點四點共面，則存在實數(shù)，使D．若存在實數(shù)，使，則點四點共面【答案】BD【解析】對于A項，如果共線，則只能表示與共線的向量.若與不共線，則不能表示，故A項錯誤；對于B項，根據(jù)平面向量基本定理知，若存在實數(shù)，使向量，則與共面，故B項正確；對于C項，如果三點共線，則不論取何值，只能表示與共線的向量.若點不在所在的直