1.4 空間向量應(yīng)用（精練）（解析版）

1.4空間向量應(yīng)用（精練）1．（2022秋·高二單元測試）已知直線的一個方向向量，且直線過點和兩點，則（）A．0 B．1 C． D．3【答案】D【解析】因為直線過點和兩點，所以，又直線的一個方向向量，所以，所以，所以，所以，解得，所以.故選：D2．（2023江西）已知平面α內(nèi)兩向量，且.若為平面α的法向量，則m，n的值分別為（）A．-1，2 B．1，-2C．1，2 D．-1，-2【答案】A【解析】，由為平面α的法向量，得,即解得故選：A.3．（2023浙江）已知，則下列向量是平面法向量的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，所以，設(shè)平面的一個單位法向量為，則，可得，經(jīng)檢驗，僅符合題意．故選：C．4．（2023山西）若平面，則下面選項中可以是這兩個平面法向量的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】因為平面，所以兩個平面的法向量應(yīng)該平行，即存在，，只有D項符合.故選：D.5．（2023·湖南婁底·高二湖南省新化縣第一中學(xué)校考期末）如圖，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點，點G在線段AP上，AC與BD交于點O，，若平面，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】如圖所示，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，由題意可得,，則,所以，設(shè)平面EFC的法向量為，則，解得，令，則，所以平面EFC的一個法向量為.因為平面EFC，則，設(shè)，則，所以，解得，所以，即.故選：C6．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）在長方體中，底面為正方形，平面，E為的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C．平面 D．平面平面【答案】D【解析】因為平面，平面，所以，A正確；連接，設(shè)，則為的中點，因為平面，平面，所以，又為的中點，為的中點，所以，所以，B正確；因為，又平面，平面，所以//平面，C正確；由已知兩兩垂直，以為原點，為的正方向，建立空間直角坐標系，設(shè)，因為底面為正方形，所以，由長方體性質(zhì)可得四邊形為矩形，又，所以四邊形為正方形，故，所以，所以，因為平面，所以為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，所以為平面的一個法向量，因為，所以向量不垂直，所以平面，平面不垂直，D錯誤；故選：D.7．（2023春·四川樂山·高二期末）如圖，在正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點，為正方體的頂點．則滿足的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】如圖建立以A為原點的空間直角坐標系，設(shè)正方體邊長為.A選項，，則，則，故A錯誤；

B選項，，，則，故B錯誤；

C選項，，，則，即，故C正確；

D選項，，則，故D錯誤.

故選：C8．（2022秋·高二課時練習）下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，，則l1∥l2B．直線l的方向向量，平面α的法向量是，則l⊥αC．兩個不同的平面α，β的法向量分別是，，則α⊥βD．直線l的方向向量，平面α的法向量是，則l∥α【答案】C【解析】對于A，直線l1，l2的方向向量分別是，，因為，所以與不平行，選項A錯誤；對于B，直線l的方向向量，平面α的法向量是，且，所以l∥α或l?α，選項B錯誤；對于C，兩個不同的平面α，β的法向量分別是，，且，所以α⊥β，選項C正確；對于D，直線l的方向向量，平面α的法向量是，且，所以l⊥α，選項D錯誤.故選：C28．（2022秋·廣東江門·高二江門市培英高級中學(xué)?？计谥校┮阎本€l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則＝（）A．﹣3 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直的向量表示即可求解.【詳解】因為，所以，解得，所以.故選：B9．（2023春·江蘇宿遷）如圖所示，正方體的棱長為，點分別是中點，則二面角的正切值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】以點為原點，分別以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，，，，2，，，0，，，2，，則，2，，，2，，設(shè)平面的法向量，，，則，令，則，1，，又因為平面的一個法向量，，設(shè)的大小為，有圖可知為銳角，則，故選：A.

10．（2023春·陜西漢中）如圖，在正方體中，為體對角線上一點，且，則異面直線和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)正方體的棱長為，則、、、、，，，所以，，因此，異面直線和所成角的余弦值為.故選：A.11．（2023·浙江溫州）四面體滿足，點在棱上，且，點為的重心，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】四面體滿足，即兩兩垂直，以點O為原點，以射線的正方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，因為，，則，于是，，所以點到直線的距離.故選：A12．（2022·北京石景山）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P為線段BC1上的動點，則點P到直線AC的距離的最小值為（）

A．1 B． C． D．【答案】C【解析】正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P為線段BC1上的動點，以D為坐標原點，DA、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），設(shè)P（2﹣t，2，t），（0≤t≤2），，設(shè)異面直線的公共法向量為，則，取x＝1，得，∴點P到直線AC的距離為：，點P到直線AC的距離的最小值為.故選：C.

13．（2023春·河南南陽）（多選）已知向量是平面的一個法向量，點在平面內(nèi)，則下列點也在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】記選項中的四個點依次為A，B，C，D，則，，，，又，，故與不垂直，故A錯誤；，故與垂直，故B正確；，故與垂直，故C正確；，故與垂直，故D正確；故選：BCD.14．（2023河北）（多選）在如圖所示的空間直角坐標系中，為棱長是1的正方體，下列結(jié)論正確的是（）A．直線的一個方向向量為B．直線的一個方向向量為C．平面的一個法向量為D．平面的一個法向量為【答案】ABC【解析】依題意，，，，，，，所以，所以直線的一個方向向量為，故A正確；，所以直線的一個方向向量為，故B正確；，又平面，所以平面的一個法向量為，故C正確；又，，因為，所以，所以向量不是平面的法向量，故D錯誤；故選：ABC15．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）（多選）已知空間中三個向量，，，則下列說法正確的是（

）A．與是共線向量 B．與同向的單位向量是C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一個法向量是【答案】BCD【解析】】A：若與共線，存在使，則無解，故不共線，錯誤；B：與同向的單位向量是，正確；C：由，則在方向上的投影向量是，正確；D：若是面ABC的一個法向量，則，令，則，正確.故選：BCD15．（2022秋·海南）（多選）如圖，在正方體中，，，，均是所在棱的中點，則下列說法正確的是（

）

A． B．平面C．平面平面 D．【答案】ABC【解析】依題意，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示

不妨設(shè)正方體的棱長為，則所以，所以，即，亦即，故A正確；所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以，所以，即，又平面，所以平面，故B正確；所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以，所以，即，所以平面平面，故C正確；所以,所以和不平行，故D錯誤.故選：ABC.16．（2023·遼寧朝陽）（多選）如圖，在棱長為1正方體中，為的中點，為與的交點，為與的交點，則下列說法正確的是（

）A．與垂直B．是異面直線與的公垂線段，C．異面直線與所成的角為D．異面直線與間的距離為【答案】ABD【解析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立如下圖所示坐標系：則：，，設(shè)，則有：，又，解得，，，，同理可得；對于A，，，，正確；對于B，，，即，又,故是異面直線與的公垂線段，正確；對于C，設(shè)與所成的角為，則，，，錯誤；對于D，由B知是與的公垂線段，，正確；故選：ABD.17．（2023春·高二課時練習）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點，求證：平面EFG∥平面PBC．【答案】證明過程見詳解【解析】因為平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0)．所以，，，，設(shè)是平面EFG的法向量，則，，即，得，令，則，，所以，設(shè)是平面PBC的法向量，由，，即，得，令，則，，所以，所以，所以平面EFG∥平面PBC．18．（2023春·高二課時練習）如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點分別在上，且，，求證：平面.【答案】證明見解析【解析】因為矩形和矩形所在平面互相垂直，所以互相垂直．不妨設(shè)的長分別為，以為正交基底，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，所以.因為，，所以.又平面的一個法向量是由,得.因為平面，所以平面.19．（2023春·陜西漢中·高二校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，為的中點.

(1)證明：.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：因為平面，平面，所以.又，所以.由，平面，得平面.因為平面，所以.因為為的中點，，所以.由，平面，得平面.因為平面，所以.（2）解：因為平面，平面，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以為坐標原點，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得..由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弘值為.20．（2023·北京）如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因為在直四棱柱中，面，又面，所以，又因為，所以，即兩兩垂直，故以方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，則，，，.（2）因為，，設(shè)平面的法向量為，則由得，令，則，故，設(shè)直線與平面所成角為，因為，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.21．（2023春·山東青島）如圖，在正四梭柱中，已知，三棱錐的體積為．

(1)求點到平面的距離；(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【解析】（1）因為為正四棱柱，，所以平面，，所以，所以，如圖以點為原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，則點到平面的距離；（2）因為且，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，又平面，所以平面平面，所以是平面的法向量，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.

22．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，，.

(1)證明：平面平面；(2)若，且與平面所成角的正弦值為，點E在線段上滿足，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】】（1）證明：由題知且，所以為等邊三角形，則，又由四邊形為梯形，，則，在中，，所以，即，因為，且，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）解：若O為中點，，則，由（1）得平面平面，平面平面，平面，則平面，連接，則，且平面，所以，，所以，，兩兩垂直，以為原點，，，分別為為軸、軸和軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，，，，設(shè)且，則，由平面的一個法向量為，可得，解得，因為，所以，可得，所以，，，設(shè)是平面的一個法向量，則，取，可得，所以則，由圖形可得的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

23．（2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中（如圖1），，，，，F(xiàn)分別是邊BD，CD上的點，將沿BC翻折，將沿EF翻折，使得點與點重合（記為點），且平面平面BCFE（如圖2）

(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：∵平面平面，平面平面BCFE，又∵平面BCFE，且∴平面PBC，且平面，∴（2）取BC中點，連接PO，∵，∴∵平面平面，平面平面，平面∴平面BCFE以為原點，CB，CF所在直線分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)，則，，，設(shè)，由得，解得，所以，設(shè)，由得，解得，∴，則，，平面BEF的一個法向量，設(shè)平面PEF的一個法向量，，令，得，設(shè)二面角的平面角為，易知為銳角，則，∴二面角的余弦值為．24（2023·廣東佛山）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，，分別為，的中點.

(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）如圖（1），設(shè)中點為，連接、，底面為正方形，，分別為，的中點．，且，又，，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）連結(jié)，，過作交于點，∵，∴點也是中點，連接，，為的中點，∴，又底面為正方形，，，，平面平面，，平面平面，平面，平面，又平面，，∴在中，，如圖（2）以為原點，所在直線分別作軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，∴，，平面，是平面的一個法向量，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，設(shè)二面角為，顯然二面角為銳角，，故二面角的余弦值為．25．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，內(nèi)接于⊙O，為⊙O的直徑，，，，為的中點，且平面平面．

(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因為是⊙O的直徑，所以，因為，，所以，又因為，為的中點，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為平面ACD，，所以平面（2）因為，，，所以，所以，因為平面，平面，所以，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz，

則，，，．顯然，是平面的一個法向量，設(shè)是平面的一個法向量，則令，則，所以，設(shè)二面角所成角為，，則，所以二面角的正弦值為26．（2023春·高二單元測試）如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，,，平面平面，為棱上一點（不與重合），平面交棱于點.

(1)求證：；(2)若二面角的余弦值為，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】1）因為為矩形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面平面，AD在面AEFD內(nèi)，所以.（2）取的中點，連，取的中點，連，則，因為側(cè)面為正三角形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以兩兩垂直，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系：因為,且側(cè)面為正三角形，所以，又，所以，，，，，設(shè)，顯然，所以，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，，則，取平面的一個法向量為，則，得，解得.所以，所以，，所以點到平面的距離為.

27．（2022秋·高二課時練習）如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為菱形，邊長為2，，，且，異面直線PB與CD所成的角為.

(1)求證:平面ABCD;(2)若E是線段OC的中點，求點E到直線BP的距離.【答案】(1)證明見解析(2).【解析】（1）因為四邊形為菱形，所以,因為，平面，所以平面，因為平面，所以,因為，為中點，所以，又因為平面，所以平面.（2）以為原點，方向為軸方向，建系如圖，

因為,所以為異面直線所成的角，所以，在菱形中，，因為，所以,設(shè)，則，在中，由余弦定理得，，所以，解得，所以,,所以,所以點E到直線BP的距離為.28．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．【答案】(1)(2)【解析】（1）圖①菱形，，由余弦定理得，所以，所以，即，又，所以，在圖②中，，即，又平面所以平面，即平面，又平面，所以，如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，則，所以，故，則異面直線與所成的角的余弦值為；（2）由（1）得，設(shè)是異面直線與公垂線的方向向量，所以，令，則所以異面直線與之間的距離為.29．（2023·北京）如圖，四棱錐中，平面，底面四邊形為矩形，，，，為中點，為靠近的四等分點.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值：(3)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】（1）因為平面，四邊形為矩形，因此兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，所以，即因為，所以，即又因為，平面，平面因此平面（2）因為平面，所以為平面的一個法向量由（1）知為平面的一個法向量.顯然二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.（3）點到平面的距離為在平面的一個法向量上的投影的絕對值，其中，所以點到平面的距離.30．（2023春·湖南懷化·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，，且，，，是的中點，.

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：如圖，取BD的中點O，連CO，EO，得；又，所以；設(shè)，則，，，，所以，所以；又，平面BCD,所以平面BCD，又平面ABD，所以平面平面BCD.

（2）因為，O是BD的中點，所以，（1）中已證，，如圖所示，分別以，，所在方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系.設(shè)，則，，，所以，；設(shè)平面ACD的法向量為，則，取，又平面BCD的一個法向量為，所以，所以平面ACD與平面BCD的夾角的余弦值為.

1．（2023春·江蘇鹽城）如圖，在正三棱錐D-ABC中，，，O為底面ABC的中心，點P在線段DO上，且，若平面PBC，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題設(shè)，△為邊長為的等邊三角形，且，等邊△的高為，在正棱錐中，以為原點，平行為x軸，垂直為y軸，為z軸，如上圖示，則，且，所以，，，若為面PBC的法向量，則，令，則，又平面PBC，則且k為實數(shù)，，故.故選：D2．（2023春·河南許昌）（多選）如圖，棱長為2的正方體中，P為線段上的動點（不含端點），則下列結(jié)論正確的是（

）

A．平面平面B．直線與所成的角可能是C．點存在一個位置，使得三棱錐的體積為D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形【答案】AC【解析】對于A，因為在正方體中，面，又面與面是同一個面，面，所以平面平面，故A正確；對于B，以D為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則，設(shè)，則，，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，由于，，所以，即直線與所成的角滿足，又因為，故，故直線與所成的角不可能是，故B錯誤；對于C，因為，易知到平面的距離，所以三棱錐的體積為，故C正確；對于D，為線段上的動點（不含端點），連接并延長，若的延長線交于，如圖，此時截面為四邊形，

若的延長線交于，設(shè)交點為，此時截面為，設(shè)，則，，故，則不為直角三角形，故D錯誤.

故選：AC.3．（2023·海南?？冢ǘ噙x）如圖，在棱長為1的正方體中，是棱上的動點，則下列說法正確的是（

）

A．不存在點，使得B．存在點，使得C．對于任意點，到的距離的取值范圍為D．對于任意點，都是鈍角三角形【答案】ABC【解析】由題知，在正方體中，是棱上的動點，建立以為原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向的空間直角坐標系.所以，，，設(shè)，其中，所以，，當時，即，所以，顯然方程組無解，所以不存在使得，即不存在點，使得，故A項正確；當時，解得，故B項正確；因為，其中，所以點Q到的距離為，故C項正確；因為，，其中，所以，所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，故D項錯誤.

故選：ABC4．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）（多選）如圖，在棱長為6的正方體中，分別為的中點，點是正方形面內(nèi)（包含邊界）動點，則（

）

A．與所成角為B．平面截正方體所得截面的面積為C．平面D．若，則三棱錐的體積最大值是【答案】BCD【解析】以為坐標原點，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，，∴，，，對A選項，，則直線與所成角為，故A錯誤；對B選項，由平面在兩平行平面上的交線互相平行，取的中點的中點，的中點，連接，延長一定與交于一點，所以四點共面，同理可證四點共面，則過點作正方體的截面，截面為正六邊形，邊長為，則正六邊形的面積為，故B正確.由正方體，可得，∵分別為的中點，∴，∴平面平面，∴平面，故C正確；如圖，面，又面，故，同理，

又，根據(jù)題意可得，設(shè)，又，∴，整理得，∴在正方形面內(nèi)(包括邊界)，是以為圓心，半徑的圓上的點，

令，可得，∴當為圓與線段的交點時，到底面的距離最大，最大距離為，∴三棱錐的體積最大值是，故D正確.故選:BCD.5．（2023春·浙江溫州）（多選）在棱長為的正方體中，點為線段上異于端點的任意動點，下列命題正確的是（

）

A．若平面，則直線平面B．若平面，則直線與平面所成角小于C．若平面，則直線與平面所成角小于D．若平面，則平面與平面的夾角大于【答案】CD【解析】依題意，建立空間直角坐標系，如圖，

不妨設(shè)，則，對于A，，，不妨設(shè)平面的法向量為，則，取，則，故，此時，所以，則或，故A錯誤；對于B，由選項A可知，取，則，故，而，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，所以，故B錯誤；對于C，不妨設(shè)平面的法向量為，因為平面，，所以，取，則，故，記直線與平面所成角為，則，又，所以，因為，所以，則，即，所以，即，故，故C正確；對于D，易得在正方體中，平面，故平面的法向量為，記平面與平面的夾角為，則，所以，由選項C可知，所以，故D正確.故選：CD.6．（2023·福建福州）如圖，在三棱錐中，底面，，，將繞著逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，得到如圖所示的組合體，為的中點.

(1)當為何值時，該組合體的體積最大，并求出最大值；(2)當平面時，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)當時，該組合體的體積最大，最大值為；(2)直線與平面所成角的正弦值為或【解析】（1）底面，面，所以則由旋轉(zhuǎn)可得所以底面積，又，故當時，取最大值，則底面積的最大值為，故幾何體體積為，故當時，該組合體的體積最大，最大值為；（2）如圖，以為原點，為軸，為軸，在平面上作軸，建立空間直角坐標系

則，設(shè)，則，，，所以，設(shè)平面的法向量為，又所以，令，則，即因為平面，所以，則，所以或，因為，設(shè)平面的法向量為，①當，則，，所以，，則，取，則所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；②當，則，，所以，，則，取，則所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；綜上，直線與平面所成角的正弦值為或.7．（2023·廣東佛山）如圖，菱形的邊長為，，將沿向上翻折，得到如圖所示得三棱錐.

(1)證明：；(2)若，在線段上是否存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，或【解析】（1）取中點，連接，

四邊形為菱形，，，，，，平面，平面，平面，.（2），，，解得：；，，；在平面中，作，交于點，則以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，

假設(shè)在線段上存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為，，，，又，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個法向量，，解得：，當時，；當時，；當或時，平面與平面所成角的余弦值為.8．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

(1)證明：平面；(2)若，，在線段上（不含端點），是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；是上靠近的三等分點【解析】（1）過點作于點，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，平面，所以，又因為，，平面，所以平面．

（2）假設(shè)在線段上（不含端點），存在點，使得二面角的余弦值為，以為原點，分別以、為軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，即取，，，所以為平面的一個法向量