3.1.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（精講）（解析版）

3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（精講）考點一點與橢圓的位置關系【例1】（2023北京）（多選）已知點(3,2)在橢圓上，則下列各點一定在該橢圓上的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由橢圓關于軸，軸，原點對稱可知，只有點(2，3)不在橢圓上．故選：ABC.【一隅三反】1．（2023秋·高二課時練習）若點在橢圓上，則下列說法正確的是（

）A．點不在橢圓上 B．點不在橢圓上C．點在橢圓上 D．無法判斷上述點與橢圓的關系【答案】C【解析】點與點關于原點對稱，點與關于軸對稱，點與關于軸對稱，若點在橢圓上，根據(jù)橢圓的對稱性，，，三點都在橢圓上，故選：C2．（2023秋·廣東廣州）（多選）點在橢圓的內(nèi)部，則的值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】BC【解析】由題意知，解得．故選：BC3．（2023·湖南）點在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為點在橢圓的外部，所以,解得,故選：B考點二離心率【例2-1】（2023云南）方程表示的曲線是（

）A．焦點為點與，離心率為的橢圓B．焦點為點與，離心率為的橢圓C．焦點為點與，離心率為的橢圓D．焦點為點與，離心率為的橢圓【答案】A【解析】方程表示的曲線為焦點在軸上，中心為原點的橢圓，設橢圓的長半軸為，短半軸為，半焦距為，則，所以其焦點坐標為與，離心率為故選：A.【例2-2】（2023春·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，其上頂點為，左?右焦點分別為，且三角形為等邊三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，橢圓，其上頂點為，左?右焦點分別為，為等邊三角形，則橢圓的離心率為.故選：A.

【例2-3】（2022秋·高二課時練習）橢圓的焦點在軸上，則它的離心率的取值范圍是（

）A．（0，） B．（，]C． D．【答案】C【解析】因為橢圓的焦點在軸上，∴，解得：，又，∴它的離心率的取值范圍為，故選：C.【一隅三反】1．（2023·浙江）已知、是橢圓的兩個焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在橢圓上，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設的中點為，由題意得：，，由橢圓定義得：，所以，故選：B．2．（2023春·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓分別是的左，右焦點，為上一點，若線段的中點在軸上，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于線段的中點在軸上,是的中點，所以軸，，，所以，由橢圓定義可得，故選：A

3．（2022秋·高二課時練習）已知直線y=kx-1與焦點在x軸上的橢圓C:總有公共點，則橢圓C的離心率取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】

因為橢圓焦點在x軸上，所以b2<4，又因為b>0，所以0<b<2；易知直線y=kx-1過定點且與橢圓總有公共點，所以該定點位于橢圓內(nèi)或橢圓上，即，解之得，所以b≥1，綜上1≤b<2，故故選：D.考點三直線與橢圓的位置關系【例3-1】（2023秋·湖北）直線與橢圓只有一個交點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，消去并整理得，因為直線與橢圓只有一個交點，所以，得．故選:C.【例3-2】（2023秋·高二單元測試）若直線與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則n的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直線恒過定點，若直線與橢圓總有公共點，則定點在橢圓上或橢圓內(nèi)，，解得或，又表示焦點在軸上的橢圓，故，，故選：C.【一隅三反】1．（2023春·寧夏銀川·高二?？茧A段練習）若直線與橢圓相切，則實數(shù)m的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將直線與橢圓聯(lián)立，得，由題意可知.故選：B2．（2022秋·黑龍江綏化·高二海倫市第一中學?？计谥校┲本€：與橢圓的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相切或相交【答案】A【解析】方法1：∵，即：，∴直線l恒過定點，又∵橢圓∴，∴定點M在橢圓內(nèi)，∴直線l與橢圓相交.方法2：∴恒成立，∴直線l與橢圓相交.故選：A.3．（2023春·上海浦東新·高二上海南匯中學?？计谥校┲本€與曲線的公共點的個數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】當時，曲線，即，雙曲線右半部分；一條漸近線方程為：，直線與漸近線平行；當時，曲線，即，橢圓的左半部分；畫出曲線和直線的圖像，如圖所示：

根據(jù)圖像知有個公共點.故選：B考點四弦長及其應用【例4-1】（2023秋·山東）過橢圓的左焦點且斜率為的弦的長是．【答案】/【解析】設點、，在橢圓中，，，，所以，橢圓的左焦點坐標為，則直線的方程為，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，.故答案為：.【例4-2】（2023·廣西欽州·高二校考階段練習）已知橢圓與直線交于A，B兩點，且，則實數(shù)m的值為（

）A．±1 B．±C． D．±【答案】A【解析】由，消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．設，則，．由題意，得，解得．故選:A【例4-3】（2023春·寧夏銀川·高二校考階段練習）已知橢圓C的焦點分別為F1，F(xiàn)2，長軸長為6，設直線交橢圓C于A，B兩點.(1)求線段AB的中點坐標；(2)求△OAB的面積.【答案】(1)(2)【解析】（1）由已知條件得橢圓的焦點在軸上，其中，，從而，∴橢圓的標準方程是：，設，，線段的中點為，聯(lián)立方程組，消去得，.，由韋達定理可得，，，，即線段中點坐標為.（2）點O到直線的距離，由韋達定理知，所以.【一隅三反】1（2022秋·廣西欽州·高二?？茧A段練習）已知橢圓中，，離心率.(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓交于、兩點，求.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題知，，即，又，解得，所以橢圓方程為.（2）設，，聯(lián)立直線與橢圓方程得，整理得，則，，.所民認.2．（2023·河南南陽）已知橢圓C：的離心率，上頂點為A，右頂點為B，△AOB（O為坐標原點）的面積為．(1)求C的方程；(2)過C的右焦點的直線l與C交于P，Q兩點，若．求l的方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）依題意，解得，所以橢圓的方程為.（2）右焦點為，當直線的斜率不存在時，由，得，不符合題意.所以直線的斜率存在，設直線的方程為，由消去并化簡得：，由于直線過焦點，所以直線與橢圓有兩個交點，設，則，所以，，所以直線的方程為.3．（2023春·江西九江·高二江西省湖口中學校考期中）已知橢圓的離心率為，且橢圓上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為.直線交橢圓于不同的兩點，(1)求橢圓的方程；(2)橢圓左焦點為，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】（1）由已知有，解得，則橢圓的方程為.（2）消去，整理得，解得，，如圖

則，，則，直線的方程為，到直線的距離.所以的面積為.4．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的短軸長為，右頂點為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設，直線過交橢圓于，兩點，問：面積是否有最大值，若沒有，說明理由；若有，求出最大值.【答案】(1)(2)有，【解析】（1）由題意可知，得；又因為右頂點為，所以；故橢圓的標準方程為.（2）由題意可知，直線的斜率不為0，故設直線的方程為，因為點在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓必定有兩個交點，設點，，聯(lián)立得，由韋達定理可得，，如圖所示，

，令，則（），設，則，當時，恒成立，即在上單調(diào)遞減，故，所以的面積的最大值為.考點五中點弦及其應用【例5-1】（2023春·云南曲靖）橢圓內(nèi)有一點，則以為中點的弦所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設以點為中點的弦所在直線與橢圓相交于點，，，，斜率為．則，，兩式相減得，又，，，代入解得．故選：D．【例5-2】（2023·江蘇南京·高二?？茧A段練習）橢圓內(nèi)有一點，設某條弦過點P且以P為中點，那么這條弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設滿足題意的直線與橢圓交于兩點，則，，兩式相減得，即.又直線過，由此可得所求的直線方程為，所以弦所在直線的方程為，故選：B.【例5-3】（2022·高二課時練習）已知橢圓（）的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標是，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設直線與橢圓相交于，兩點，弦的中點坐標是，則，，直線的斜率.由，得，，，故橢圓的離心率.故選：B.【一隅三反】1．（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）若橢圓的弦AB被點平分.則直線AB的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則滿足，兩式作差得，即，又被點平分，故，且直線的斜率存在，所以，整理得，即，則所在直線方程為，化簡得.故選：A.2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知直線與橢圓交于兩點，若點恰為弦的中點，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，直線的斜率為，設，則，且，由兩式相減得：，于是，解得，此時橢圓，顯然點在橢圓內(nèi)，符合要求，所以橢圓的離心率.故選：A3．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的右焦點為，過點且斜率為1的直線交橢圓于兩點.若的中點坐標為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設，則，由已知有，，作差得，則，所以，解得，則的方程為.故選：D．考點六橢圓的實際應用【例6-1】（2023秋·北京西城·高二統(tǒng)考期末）如圖是一個橢圓形拱橋，當水面在處時，在如圖所示的截面里，橋洞與其倒影恰好構成一個橢圓.此時拱頂離水面，水面寬，那么當水位上升時，水面寬度為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以圖中水面所在的直線為軸，水面的垂直平分線所在直線為軸，建立平面直角坐標系，根據(jù)已知條件可知：橋洞與其倒影恰好構成的橢圓方程為：，當水位上升時，水面的寬度也即當時，直線被橢圓所截的弦長.把代入橢圓方程可得：，所以當水位上升時，水面的寬度為，故選：.【例6-2】（2023·廣東韶關·統(tǒng)考模擬預測）韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔著實現(xiàn)韶關“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過橢圓的下焦點，米，橋塔最高點距橋面米，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖按橢圓對稱軸所在直線建立直角坐標系，設橢圓方程為，令，即，解得，依題意可得，所以，所以，所以．故選：D．【一隅三反】1．（2023秋·河南鄭州·高二鄭州四中?？计谀E圓具有這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都經(jīng)過橢圓的另一焦點．電影放映機聚光燈泡的反射鏡軸截面是橢圓的一部分，燈絲（看成一個點）在橢圓的右焦點處，燈絲與反射鏡的頂點的距離，過焦點且垂直于軸的弦，在軸上移動電影機片門，將其放在光線最強處，則片門應離燈絲（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設知，解得所以片門放在光線最強處，片門應離燈絲為．故選：C.2．（2023·高二課時練習）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面）的一部分．燈絲位于橢圓的一個焦點上，卡門位于另一個焦點上．由橢圓一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點．已知此橢圓的離心率為，且，則燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達卡門時所經(jīng)過的路程為（

）A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm【答案】A【解析】設橢圓的方程為，因為此橢圓的離心率為，且，所以，所以，所以根據(jù)題意，結合橢圓的定義得燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達卡門時所經(jīng)過的路程為cm.故選：A3．（2022·全國·高三專題練習）光線從橢圓的一個焦點發(fā)出,被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點;光線從雙曲線的一個焦