廣東省廣州市三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學(xué)模擬題（一模）匯編

廣東省廣州市三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學(xué)模擬題（一

模）按題型匯編

一、單選題

Z=三在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（

1.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考一模）復(fù)數(shù))

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知集合A={x∣（X-I）（X+2）＜0},則。A=（）

A.{x∣-2<x<l}B.{XI-1<Λ<2}C.{x∣%,-2或x..l}D.{X∣Λ5,-1或

x..2}

3.（2022廣東廣州?統(tǒng)考一模）2020年11月10日，我國“奮斗者”號載人深潛器在馬里

亞納海溝成功坐底，下潛深度達(dá)到驚人的10909m,創(chuàng)造了我國載人深潛的新記錄.當(dāng)“奮

斗者”號下潛至某一深度時，處于其正上方海面處的科考船用聲吶裝置向"奮斗者''號發(fā)

射聲波.已知聲波在海水中傳播的平均速度約為1450m∕s,若從發(fā)出至回收到聲波所用時

間為6s,則“奮斗者”號的實際下潛深度約為（）

A.2900mB.435OmC.5800mD.8700m

4.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考一模）〃＞。+1是2"＞2%的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不

必要條件

5.（2021.廣東廣州.統(tǒng)考一模）函數(shù)F（X）=X3-sinx在［-1,1］上的圖像大致為（）

6.（2021.廣東廣一州.統(tǒng)考一模）如圖，洛書（古稱龜書），是陰陽五行術(shù)數(shù)之源.在古代

傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖像，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩,

六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點為陰數(shù).若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中

隨機選取3個數(shù)，則選取的3個數(shù)之和為奇數(shù)的方法數(shù)為（）

A.30B.40C.44D.70

7.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知3（0,2）,直線/:21一2々），+3+。=0上存在

點P,滿足IPAl+∣PB∣=6,則/的傾斜角的取值范圍是（）

π∑rπ「、乃"∣II∣^2;T)π3π

A.B.0,—U—-,?rC.

3^,TL3jL3)7,T

8.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考一模）己知e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)

75l

α=√3--,?=√2--,c=e^-ln2,則()

ee

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

9.(2022廣東廣州?統(tǒng)考一模)己知集合4={*62|-1341},B={x∣0≤x≤2},則AcB

的子集個數(shù)為（）

試卷第2頁，共14頁

A.2B.3C.4D.6

2

10.（2022.廣東廣州?統(tǒng)考一模）若復(fù)數(shù)Z=L,則IZTI=（）

1+1

A.2B.√5C.4D.5

11?（2022?廣東廣州.統(tǒng)考一模）甲，乙兩人在5天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示

如圖，中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù)，則

下列結(jié)論正確的是（）

甲乙

98179

873213

A.在這5天中，甲，乙兩人加工零件數(shù)的極差相同

B.在這5天中，甲，乙兩人加工零件數(shù)的中位數(shù)相同

C.在這5天中，甲日均加工零件數(shù)大于乙日均加工零件數(shù)

D.在這5天中，甲加工零件數(shù)的方差小于乙加工零件數(shù)的方差

12.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）曲線y=∕+l在點（T,α）處的切線方程為（）

A.y=3x+3B.y-3x+1C.y=-3x-lD.y=-3x-3

13.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）（x+3y）（x-2y）'＞的展開式中的系數(shù)為（）

A.60B.24C.-12D.-48

14.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）若函數(shù)y=∕（x）的大致圖象如圖，則/⑸的解析式可能

Jf2A?

C=RD.∕ω=

15.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）設(shè)拋物線￡:y?=8x的焦點為R過點M（4,0）的直線與

E相交于4,B兩點，與E的準(zhǔn)線相交于點C,點B在線段AC上，尸|=3,則CF

S

與AACF的面積之比L=（）

,ACF

16.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)若正實數(shù)α,匕滿足”>b,且InaInb>0,則下列不等

式一定成立的是()

A.?og,,?<0B.a-->b一一C.2f,*+l<2a+bD.h^'<ha^'

haa

17.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)已知集合A={y∣y=x2},B={%∣y=ln(2-x)},則4B=

()

A.[0,+∞)B.(0,2)C.[0,2)D.(→o,2)

18.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)復(fù)數(shù)Z=TJ的共規(guī)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

19.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)已知p:(x+2)(x-3)<0,q:|x-l|<2,則。是。的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

20.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)紅燈籠，起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春

節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠

的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上下兩個

相同球冠剩下的部分.如圖2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被

截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為R,球冠的高為人，則球冠的面積

S=2πΛΛ.如圖1,已知該燈籠的高為58cm,圓柱的高為5cm,圓柱的底面圓直徑為14cm,

則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為()

14cm

圖1圖2

A.1940πcm2B.2350πcm2C.2400πcm2D.2540πcm2

21.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）若α,夕且（I-CoS2a）（l+sin/?）=sin2αcos/7,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.2a+y9=yB.2α-∕7=y

試卷第4頁，共14頁

?-7πCC》

C.(X+β=D.ci—β=—

22.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間，采用樣本量比例分

配的分層隨機抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間均值為9小時，方差為1,

抽取高中生1200人，其每天睡眠時間均值為8小時，方差為0.5,則估計該地區(qū)中學(xué)生

每天睡眠時間的方差為()

A.0.96B.0.94C.0.79D.0.75

23.(2022.廣東廣州.統(tǒng)考一模)已知函數(shù)F(X)的定義域為R,且

115

f(x+l)+∕(x-l)=2,∕(x+2)為偶函數(shù)，若/(0)=2,則2/(幻=()

t-ι

A.116B.115C.114D.113

24.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)雙曲線C:/-;/=4的左，右焦點分別為片,尸之，過工作

垂直于X軸的直線交雙曲線于48兩點，AF1F2,8月馬八4AB的內(nèi)切圓圓心分別為

q,Q,Q,,貝屋0。2。、的面積是()

A.6√2-8B.6&-4C-8-4√2D.6-4√2

二、多選題

25.(2021?廣東廣州.統(tǒng)考一模)已知點。為坐標(biāo)原點，直線y=xT與拋物線U>2=4X

相交于48兩點，則()

A.IAB1=8B.OAVOB

C.AoB的面積為20D.線段43的中點到直線X=O的距離為

2

26.(2021?廣東廣州.統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=sin2x+2co∕χ,則()

A./(x)的最大值為3B.F(X)的圖像關(guān)于直線X=?對稱

O

C.F(X)的圖像關(guān)于點1對稱D?F(X)在If,f］上單調(diào)遞增

k8JL44J

27.(2021?廣東廣州?統(tǒng)考一模)已知正方體ABC。-A/BC/Q/的棱長為4,EF是棱AB

上的一條線段，且EP=I,點。是棱A√λ的中點，點P是棱C√λ上的動點，則下面結(jié)

論中正確的是()

A.PQ與E尸一定不垂直

B.二面角P-EF-Q的正弦值是叵

10

C.PEF的面積是2JΣ

D.點P到平面QEF的距離是定值

28.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考一模）在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每

相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造

出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造，第I次得到數(shù)列1,3,2：第2次得到數(shù)列1,4,3,52；…：

第次得到數(shù)列1,xl,x2,x3,,xll,2；…記4=l+x∣+&++4+2,數(shù)

列｛4｝的前”項為S"，則（）

3

2

A.k+?=2"B.?+l=3?-3C.an=≈（∏+3n）

D.S“=；（3e+2〃-3）

29.（2022?廣東廣州.統(tǒng)考一模）已知直線/"+y-√Σ=O與圓C:（X-I）'+（'+I/=%

則（）

A.直線/與圓C相離

B.直線/與圓C相交

C.圓C上到直線/的距離為1的點共有2個

D.圓C上到直線/的距離為1的點共有3個

30.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移。個單位，得到函數(shù)

y=∕（χ）的圖象，則下列說法正確的是（）

A.若8=f,則y=∕（χ）是偶函數(shù)

4

rrTT

B.若。=J,則y=∕（χ）在區(qū)間0,-上單調(diào)遞減

4L2_

C.若9=5,則y=∕（χ）的圖象關(guān)于點（］，0卜寸稱

D.若。=5,則y=∕（χ）在區(qū)間［o5］上單調(diào)遞增

31.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）在長方體ABCQ-A/GA中，AB=2,AA=3,AD=4,

則下列命題為真命題的是（）

A.若直線ACl與直線C。所成的角為夕，則tan*=∣

B.若經(jīng)過點A的直線/與長方體所有棱所成的角相等，且/與面BCC百交于點M,則

AM=曬

C.若經(jīng)過點A的直線機與長方體所有面所成的角都為仇則sin。=也

3

試卷第6頁，共14頁

D.若經(jīng)過點A的平面”與長方體所有面所成的二面角都為〃，則sin〃=坐

32.(2022.廣東廣州.統(tǒng)考一模)十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),

著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如

下：將閉區(qū)間［0,1］均分為三段，去掉中間的區(qū)間段(去|),記為第1次操作：再將剩

11Γ2

下的兩個區(qū)間0，§,-J分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次

操作：L.每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同

樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分

集”.若第〃次操作去掉的區(qū)間長度記為以")，則()

φ[n+Y)3

A.—―=-B.Ins(")]+l<0

φ(")2

C.以〃)+9(3〃)>2奴2”)D.〃力(〃)≤64*(8)

33.(2022.廣東廣州.統(tǒng)考一模)已知Z,耳分別為隨機事件AB的對立事件,

P(A)>0,P(B)>0,則下列結(jié)論正確的是()

A.P(A)+P(A)=I

B.P(A∣B)+P(A∣B)=l

C.若AB互斥，則尸(AB)=P(A)P(B)

D.若AB獨立，則P(AIB)=P(A)

34.(2022?廣東廣州.統(tǒng)考一模)已知/'(X)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),

/(x)=osinx-?COSΛ-(<7?≠0),則下列結(jié)論正確的是()

A.將尸(x)圖象上所有的點向右平移1個單位長度可得/(x)的圖象

B.與尸(x)的圖象關(guān)于直線X=亍對稱

C.CX)+f'(x)與/(x)-/'(X)有相同的最大值

D.當(dāng)“=人時，"χ)+rα)與“X)—/'a)都在區(qū)間(。段)上單調(diào)遞增

35.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)在矩形ABCQ中，AB=RBC=6將aADC沿對

角線AC進(jìn)行翻折，點。翻折至點D￠,連接E>'8,得到三棱錐。-A3C,則在翻折過

程中，下列結(jié)論正確的是()

A.三棱錐。'-A6C的外接球表面積不變

B.三棱錐。'-ABC的體積最大值為立

2

C.異面直線AZy與8C所成的角可能是90

D.直線47與平面ABC所成角不可能是60

36.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知”>0,b>0,a?eu+Inft-I=O,則（）

A.1汕>』B.e">!

ab

C.a+ln?<1D.ah<?

三、填空題

37.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考一模）設(shè)向量α=（l,M,6=（2,1）,且"（2α+A）=7,則山=

38?（2021?廣東廣州.統(tǒng)考一模）某車間為了提高工作效率，需要測試加工零件所花費的

時間，為此進(jìn)行了5次試驗，這5次試驗的數(shù)據(jù)如下表：

零件數(shù)X（個）1020304050

加工時間y（min）62a758189

若用最小二乘法求得回歸直線方程為y=0.67x+54.9，則a的值為.

22

39.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考一模）己知圓（X-I）2+丁=4與雙曲線C±-[=l的兩條漸

ab

近線相交于四個點，按順時針排列依次記為M,MP,Q,且IMNI=2∣PQ∣,則C的離心

率為.

40.（2022?廣東廣州.統(tǒng)考一模）若Sina=I,則tanα=.

41.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知菱形ABCQ的邊長為2,NABC=60。，點P在BC

邊上（包括端點），則ADAP的取值范圍是.

42.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知三棱錐P-AeC的棱AP,AB,AC兩兩互相垂直，

AP=AB=AC=2>5,以頂點P為球心，4為半徑作一個球，球面與該三棱錐的表面相

交得到四段弧，則最長弧的弧長等于.

43.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）如圖，在數(shù)軸上，一個質(zhì)點在外力的作用下，從原點。

出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次，則事件“質(zhì)點位于-2的位

置”的概率為.

_______?_______a_______■L-----------Λ--------------Λ-----------a------------■-----------■-----------a-----------?-----------■------------.

-6-5-4-3-2-10123456

試卷第8頁，共14頁

44.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知（"+x）（l+x）5的展開式中/的系數(shù)是20,則實數(shù)

a=.

45.（2022.廣東廣州.統(tǒng)考一模）若過點（0,b）S>0）只可以作曲線y=F的一條切線，則

6的取值范圍是.

46.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個平面截

圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與

圓錐的側(cè)面與截面都相切，設(shè)圖中球。I,球。2的半徑分別為4和2,球心距離

∣OIO3∣=2√W,截面分別與球。一球。2相切于點EV（E,尸是截口橢圓的焦點），則此

橢圓的離心率等于.

四、雙空題

47.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為6的等邊三

角形，PA=PB=PC=5,先在三棱錐P-ABe內(nèi)放入一個內(nèi)切球。I,然后再放入一

個球。2，使得球。2與球。1及三棱錐P-A8C的三個側(cè)面都相切，則球儲的體積為

,球。2的表面積為.

48.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知向量a=（-2,幾）,6=（1』），且aJ_6，則

λ=，在。方向上的投影向量的坐標(biāo)為.

五、解答題

49.（202（廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為4,6,c,且

b=3,COS28=CoS（A+C）,αsinA+csinC=6sinB.

（1）求B；

（2）求ΛBC的周長.

50.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S,,,公差d手。,出是

4,%的等比中項，S5≈25.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）若數(shù)列他）滿足％+bn+t=Sn,求打一b20.

51.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考一模）在邊長為2的菱形ABC。中，44￡>=60。，點E是邊AB

的中點（如圖1）,將VA￡>E沿OE折起到aA3E的位置，連接A,8,AC,得到四棱錐

（1）證明：平面AfE，平面Ba）E；

（2）若AELBE,連接CE,求直線CE與平面所成角的正弦值.

52.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考一模）某中學(xué)舉行籃球趣味投籃比賽，比賽規(guī)則如下：每位選

手各投5個球，每一個球可以選擇在A區(qū)投籃也可以選擇在5區(qū)投籃，在A區(qū)每投進(jìn)一

球得2分，投不進(jìn)球得。分；在B區(qū)每投進(jìn)一球得3分，投不進(jìn)球得O分，得分高的選

手勝出.已知參賽選手甲在A區(qū)和B區(qū)每次投籃進(jìn)球的概率分別為I和T,且各次投籃的

結(jié)果互不影響.

（1）若甲投籃得分的期望值不低于7分，則甲選擇在A區(qū)投籃的球數(shù)最多是多少個？

（2）若甲在A區(qū)投3個球且在B區(qū)投2個球，求甲在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得

分的概率.

53.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知點4L0）,點B是圓g:（x+l）2+y2=16上的動點，

試卷第10頁，共14頁

線段AB的垂直平分線與BOt相交于點C,點C的軌跡為曲線E.

(1)求E的方程

(2)過點0∣作傾斜角互補的兩條直線/r4,若直線4與曲線E交于M,N兩點，直線4與

圓。I交于P，。兩點，當(dāng)M,N,P,。四點構(gòu)成四邊形，且四邊形MPNQ的面積為時,

求直線4的方程.

54.(2021?廣東廣州?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=XInX-α√+x(αwR).

(1)證明：曲線y=明X)在點(IJ(I))處的切線/恒過定點;

(2)若/(χ)有兩個零點芭,三，且Z>2x∣,證明：

55.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)在等比數(shù)列也｝中，對生，外分別是下表第一，二，三

行中的某一個數(shù)，且4,出，“3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.

第?列第二列第三列

第一行323

第二行465

第三行9128

(1)寫出4,02,o3,并求數(shù)列｛/｝的通項公式;

(2)若數(shù)列他τ｝滿足。=4+(-1ΓIog2an,求數(shù)列也｝的前〃項和S..

56.(2022廣東廣州?統(tǒng)考一模)4ABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為α",c,已知AABC

的面積為卜nC.

(1)證明：sinA=2sinB;

3

(2)若QCoSC=,求CoS4.

57.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)如圖，在五面體ABCOE中，AQ_L平面ABeADIIBE,

AD=2BE.AB=BC.

D

B

(1)求證：平面CDE，平面ACC；

(2)若AB=豆，AC=2,五面體ABCOE的體積為應(yīng)，求直線CE與平面ABE。所成

角的正弦值.

58.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)人們用大數(shù)據(jù)來描述和定義信息時代產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，

并利用這些數(shù)據(jù)處理事務(wù)和做出決策，某公司通過大數(shù)據(jù)收集到該公司銷售的某電子產(chǎn)

品1月至5月的銷售量如下表.

月份X12345

銷售量y(萬件)4.95.86.88.310.2

該公司為了預(yù)測未來幾個月的銷售量，建立了y關(guān)于X的回歸模型：y=ivc2+v.

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求y關(guān)于X的回歸方程(日的值精確到01)；

(2)已知該公司的月利潤Z(單位：萬元)與X,y的關(guān)系為z=24&-/U，根據(jù)(1)

的結(jié)果，問該公司哪一個月的月利潤預(yù)報值最大？

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(XQJ,伍,必)，,(?,χ,),其回歸直線?=良+4的斜率和截

Z(XL五)(乂一切

距的最小二乘估計公式分別為B=J???----------------,a=y-bx.

∑(Λ-?)2

/=I

59.(2022?廣東廣州.統(tǒng)考一模)在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知點4-2,0),8(2,0),

3

點M滿足直線與直線BM的斜率之積為-：，點M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)已知點F(LO),直線/:x=4與X軸交于點￡),直線AM與/交于點M是否存在常數(shù)

2,使得NMFD=ANNFD?若存在，求力的值；若不存在，說明理由.

60.(2022.廣東廣州.統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=e*+sinx-cosx,/(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：當(dāng)x≥0時，f'(x)≥2;

⑵設(shè)g(x)="x)-2xT,證明：g(x)有且僅有2個零點.

試卷第12頁，共14頁

61.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)已知等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S,,,且

5β=4S,,?=2?+l(n∈N*),

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)b?=2'-'al,,求數(shù)歹∣J｛，｝的前“項和。.

62.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)在.ΛBC中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別為“,也c,

c=2b,2sinA=3sin2C.

(1)求SinC；

(2)若.ABC的面積為短，求A8邊上的中線C￡>的長.

2

63.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABC。是菱形，平

面PBCI平面ABa),/ACf>=30,E為AO的中點，點F在P4上，AP=3AF.

(1)證明：PC//平面BEF；

Q)若NPDC=NPDB,且PD與平面ABCD所成的角為45,求平面AEF與平面BEP夾

角的余弦值.

64.(2022.廣東廣州.統(tǒng)考一模)世界衛(wèi)生組織建議成人每周進(jìn)行2.5至5小時的中等強

度運動.已知A社區(qū)有56%的居民每周運動總時間超過5小時，8社區(qū)有65%的居民每

周運動總時間超過5小時，C社區(qū)有70%的居民每周運動總時間超過5小時，且AB,C

三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為5:6:9.

(1)從這三個社區(qū)中隨機抽取1名居民，求該居民每周運動總時間超過5小時的概率；

(2)假設(shè)這三個社區(qū)每名居民每周運動總時間為隨機變量X(單位：小時)，且

X~N(5?5,4).現(xiàn)從這三個社區(qū)中隨機抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運動總時

間為5至6小時的概率.

65.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)已知拋物線C:y2=2內(nèi)(p>0)的焦點F到準(zhǔn)線的距離

為2,圓加與>軸相切，且圓心M與拋物線C的焦點重合.

(1)求拋物線C和圓M的方程:

⑵設(shè)P(Λ0,%)(X,產(chǎn)2)為圓〃外一點，過點尸作圓M的兩條切線，分別交拋物線C于兩

個不同的點Aa,3)B(X2,J2)和點β(?,y3),Λ(x4,y4).?yly2y3y4=16,證明：點P在一

條定曲線上.

66.(2022?廣東廣州,統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(X)=優(yōu)-e√,α>0且"1.

⑴設(shè)g(x)=/?+ex,討論g(x)的單調(diào)性；

X

⑵若a>1且/(x)存在三個零點內(nèi),占,七.

1)求實數(shù)。的取值范圍；

2e+l

2)設(shè)芯<工2<%3，求證：xι+3?+??>—τ=-.

試卷第14頁，共14頁

參考答案:

I.A

【分析】先化簡求出Z,即可得出結(jié)論.

、2-i(2-z)(l+j)3+∕?31.

【詳解】Z=K正加旬

???其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限?

故選：A.

2.C

【分析】先化簡集合4再求得補集即可.

【詳解】由(XT)(X+2)<0得一2<r<l,所以A={x∣(x-l)(x+2)<0}={x∣-2<x<1}

則44={x∣苫，一2或x?.l}

故選：C

3.B

【分析】可得聲波從海面?zhèn)鞯健皧^斗者”號的時間為3s,即可求出實際下潛深度.

【詳解】可得聲波從海面?zhèn)鞯健皧^斗者”號的時間為;x6=3s,

則“奮斗者”號的實際下潛深度約為1450χ3=4350m.

故選：B.

4.A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.

【詳解】若”>b+l,則2">2"M>2",故充分性成立；

若2">2J如。=2力=1,則fl,故必要性不成立，

故α>)+l是2。>2"的充分不必要條件.

故選：A.

5.C

【分析】根據(jù)解析式和圖象，結(jié)合特殊值，判斷選項.

【詳解】因為函數(shù)/(%)=上-SinX,/(l)=l-sinl>O,故排除AD,

/,=Gj—Si*=5-1<O,故排除B,只有C滿足條件.

故選：C

答案第1頁，共51頁

6.B

【分析】由題意可知，陰數(shù)為2,4,6,8,陽數(shù)為1,3,5,7,9,由條件可知3個數(shù)都為

奇數(shù)，或是兩偶一奇，列式即得答案.

【詳解】由題意可知，陰數(shù)為2,4,6,8,陽數(shù)為1,3,5,7,9.

若選則3個數(shù)的和為奇數(shù)，則3個數(shù)都為奇數(shù)，共有C=IO種方法，

或是兩偶一奇，共有C：C；=30,共有10+30=40種方法.

故選：B

7.D

【分析】根據(jù)∣A8∣=逐,∣PA∣+∣P8∣=石上，得到點P在線段4B上，其方程為

y=2Λ-+2,xe[-l,0]±,又點在直線/上，聯(lián)立其方程，求得。=爭=，然后由tana='=辛|

4JV+3a2x+3

求解.

【詳解】將A(To)代入2x—2ay+3+a=0得。=-1,

將8(0,2)代入2萬一2砂+3+々=0得4=1,

所以A,B不在直線/上，

又∣AB∣=6,I尸41+1PBI=石上，

所以點P在線段A8上，

直線AB的方程為：y=2x+2,x∈[-l,0],

y=2x+2

2x+3_2x+3_2x+3

?-2x-2ay+3+a=0,解得。

2y-?^2(2x+2)-l^^4Λ?+3

-l≤x≤0

直線方程2x-2ay+3+a=0,即為y=L+半，

a2a

設(shè)直線/的傾斜角為a,

則tana=L色±2=2-一—,

a2x+32x+3

因為一IWXW0,

所以l≤2x+3≤3,

3

則f3,

3

所以-*2-0金，

答案第2頁，共51頁

即一l≤tanα≤l,

因為αw(0,萬)，

所以,

44

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是得到點尸在線段AB上，再根據(jù)點P的直線/上，聯(lián)立求

2x+32x+32x+3

得不T=5可開二不?,再利用斜率與傾斜角的關(guān)系而得解.

8.A

【分析】首先設(shè)F(X)=利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，比較”力的大小，設(shè)利用導(dǎo)數(shù)

判斷e'≥x+l,≡?c>√2-ln2,再設(shè)函數(shù)g(x)=彳-lnx,利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，得

g(2)>0,再比較Ac的大小，即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)〃X)=尸(力=赤一，

當(dāng)0≤x<[■時，/")>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x>?時，/'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

2

α=∕(3),?=∕(2),?<2<3時，/(3)<∕(2),即“<b,

^y=ex-x-l,y'=ex-l,(一空0)時，y'<0,函數(shù)單調(diào)遞減，(0,+劉時，/>0,函數(shù)

單調(diào)遞增，所以當(dāng)X=O時，函數(shù)取得最小值，/(0)=0,即e'≥x+l恒成立，

即卡>√L

Y11

令g(x)=--lnx,g'(x)=------,xw(0,e)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,xe(e,?κχ>)時，

eeX

g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增,x=e時，函數(shù)取得最小值g(e)=O,即g⑵>0,

得：->1∏2,那么應(yīng)-In2,

ee

即e&T-]n2>&-ln2>7^-一，即b<c,

e

綜上可知α<∕?Cc.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)，比較大小，本題的關(guān)

鍵是：根據(jù)∕≥x+l,放縮C>λ∕∑-hι2,從而構(gòu)造函數(shù)g(x)=—Inx,比較大小.

e

答案第3頁，共51頁

9.C

【分析】求出ACB的集合，然后找出子集個數(shù)即可.

【詳解】由題可知A={T,O,1},所有A5={O,1},所有其子集分別是0,{1},{O},{O,1},所

有共有4個子集

故選：C

10.B

【分析】先化簡復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的模求解.

2

【詳解】因為復(fù)數(shù)Z=T―,

1+1

2

所以z-i=L-i=l-2i,

1+1

所以∣z-i∣=Jf+(-2)2=√^,

故選：B

11.C

【分析】由莖葉圖的數(shù)據(jù)，分別計算甲、乙加工零角個數(shù)的極差，中位數(shù)，平均數(shù)，方差，

進(jìn)而得解.

【詳解】甲在5天中每天加工零件的個數(shù)為：18,19,23,27,28；乙在5天中每天加工零件的個

數(shù)為:17,19,21,23,25

對于A,甲加工零件數(shù)的極差為28-18=10,乙加工零件數(shù)的極差為25-17=8,故A錯誤;

對于B,甲加工零件數(shù)的中位數(shù)為23,乙加工零件數(shù)的中位數(shù)為21,故B錯誤；

對于C,甲加工零件數(shù)的平均數(shù)為1旺19+，+27匕28=23,乙加工零件數(shù)的平均數(shù)為

17+19+^+23+25=2[,故C正確；

5*-4-424-C)2+42+s?

對于D,甲加工零件數(shù)的方差為'+±+；+±+>=16.4,乙加工零件數(shù)的方差為

-+-+-+4=8,故D錯誤；

故選：C

12.A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線的斜率，利用點斜式求出切線方程.

【詳解】?.?y=∕(x)=f+l

答案第4頁，共51頁

.?.r(x)=3d,所以/'(一1)=3,

又當(dāng)x=-l時，a=X3+1=-1+1=0,

所以y=V+l在點(TM)處的切線方程為：y=3(x+l),即y=3x+3.

故選：A.

13.B

【分析】首先寫出(x-2y)6展開式通項，再考慮通項與x+3y相乘得到含苫5丁的項，即可得

系數(shù).

【詳解】由(》-24的展開式通項為產(chǎn)「(_2才=(_2廠禺/了，

所以(x+3y)(x-24的展開式√y2項為［4C；-6以］?√∕,

故系數(shù)為4C：-6C：=24.

故選：B

14.D

【分析】根據(jù)定義域排除A,根據(jù)奇偶性排除B,根據(jù)值域或單調(diào)性排除C.

【詳解】由圖可知函數(shù)定義域為{X∣Λ≠0},由此排除A；

該函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)為奇函數(shù)，需滿足1x)+_A—X)=0,

對于B項：/(x)+大一x)≠0,故排除B；

C和D均滿足人力+大-x)=0,

.x)_x%'_、1γ

對于C：e2v-1X1,當(dāng)x->+8時，—→0,故/(x)→—,

e-一一-eex

e

?.?y=χ2增長的速率比y=e`增長的速率慢，；.f(x)→-→0,

e

即圖像在X軸上方無限接近于X軸正半軸，與題意不符，故排除C.

綜上，D選項正確.

故選：D.

15.C

【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式得到B點橫坐標(biāo)，進(jìn)而利用拋物線方程求出8點縱坐標(biāo),

直線AB的方程，求出C點坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線，求出A點縱坐標(biāo)，利用

SBCFBC%7c

求出答案.

S.ACF

ACyl-yc

答案第5頁，共51頁

【詳解】如圖，過點3作8。垂直準(zhǔn)線x=-2于點。，則由拋物線定義可知：IBFI=IBOI=3,

設(shè)直線AB為X=陽+4,A(x1,y1),B(Λ?,?),C(-2,yc?),不妨設(shè)機>0,則y∣>0,必<。，

所以々+2=3,解得：x2=l,則另=8々=8,解得：y2=-2√2,則網(wǎng)1,-2夜)，

所以-20,"+4=l,解得：m=—,則直線AB為X=述y+4,

44

所以當(dāng)x=-2時，即苧y+4=-2,解得：yc=-4√2,則々-2,-4收)，

聯(lián)立x=my+4與V=8x得：y2-Smy-32-O,則乂必=-32,

%一九2&=1

γ,-yc^12√2^6

故選：C

16.D

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及Inα?ln〃>0得到α>b>1或0<b<α<1,分別討論兩種情況下四

個選項是否正確，A選項可以用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，B選項可以用作差法，C選項用作差

法及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解，D選項，需要構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.

【詳解】因為a>b>0,丁=Inx為單調(diào)遞增函數(shù)，i^?na>?nb,由于Ina?lnh>0,故

]na>?nb>O,或lnb<lnα<O,

當(dāng)Ina>Inb>O時，a>b>?,此時Iog“力>0；

a~~r~[^—]=—z]>o,?；

b?aJ?ab)ha

而+1-(〃+〃)=(Q-D(力一1)〉0,2“用>T+b;

當(dāng)lnA<lnα<O時，O<b<a<?,止匕時log,∕>0,a~~L?b一一]=(〃一人)[1一t)<°，故

答案第6頁，共51頁

tz?+l-(c!+∕>)=(iz-l)(ft-l)>θ,20ft+l>2a+h;

故ABC均錯誤；

bu

D選項，a-'<b-',兩邊取自然對數(shù)，僅一1)Ina<(α-l)ln。，因為不管">">l,還是

0<6<?<1,均有(a—1)(6—1)>0,所以嗎<曾，故只需證當(dāng)<鱉即可，

D-Ia-?b-?

InY1-------inX]

-fyxf

設(shè)/(X)=7(X>0且X≠l),則f(χ)=2令g(x)=l(x>0Kx≠l),

(XT)

則g'(x)=-V-L=爰，當(dāng)XW((U)時，g'(x)>0,當(dāng)Xe(L+∞)時，g'(x)<O,所以

g(x)<g⑴=0，所以r(x)<0在X>O且XHl上恒成立，故/(x)=^4(x>0且XWI)

?-l

單調(diào)遞減，因為α>b,所以當(dāng)<曾，結(jié)論得證，D正確

a-lb-l

故選：D

17.C

【分析】首先分別求解出A、8兩個集合，然后再根據(jù)集合交集的定義進(jìn)行運算即可.

【詳解】由于f≥0,故A={y∣y≥()},

y=ln(2-x),.?.2-x>0,即x<2,故8={x∣x<2},

因此AB={x∣0≤x<2},即AB=[0,2).

故選：C

18.D

【解析】由復(fù)數(shù)除法運算求出z,再寫出其共施復(fù)數(shù)，得共舸復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo).得結(jié)論.

【詳解】z=7?=TΓ?7Γ?;=^=l+lz-??f-??-對應(yīng)點為《，一3,在第四象

限.

故選：D.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查共輾復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)

的運算法則是解題關(guān)鍵.

19.B

【分析】分別求出命題PM,再由充分條件和必要條件的定義即可得出答案.

答案第7頁，共51頁

【詳解】因為。:(x+2)(x-3)<0=>-2<x<3；<2=—1<x<3,

所以qnp,。推不出4,所以P是夕的必要不充分條件.

故選：B.

20.C

【分析】由題利用勾股定理求出半徑R,再求出高度〃，分別求出兩個球冠的面積，用球體

的表面積減去兩個球冠的面積即可解決問題.

【詳解】由題意得：R2_(先/J=7？，

所以R=25cm,

所以/?=25-—~~—=1cm,

2

所以兩個球冠的面積為2S=2x2πΛΛ=2x2xτrx25xl=100πcm