482023年山東省泰安市寧陽(yáng)縣中考數(shù)學(xué)一模試題

2023年山東省泰安市寧陽(yáng)縣中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共12小題，共48.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列各數(shù)中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：，是負(fù)數(shù)，共有2個(gè)，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了負(fù)數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)數(shù)的定義．2.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查完全平方公式，合并同類項(xiàng)，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．利用完全平方公式，合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，積的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：A、，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C符合題意；D、，故D不符合題意；故選：C．3.如圖是由若干個(gè)同樣大小的小正方體所搭幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置小正方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的左視圖是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接從左邊觀察幾何體，確定每列最高的小正方體個(gè)數(shù)，即對(duì)應(yīng)左視圖的每列小正方形的個(gè)數(shù)，即可確定左視圖．【詳解】解：如圖所示：從左邊看幾何體，第一列是2個(gè)正方體，第二列是4個(gè)正方體，第三列是3個(gè)正方體；因此得到的左視圖的小正方形個(gè)數(shù)依次應(yīng)為2,4,3；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖，要求學(xué)生理解幾何體的三種視圖并能明白左視圖的含義，能確定幾何體左視圖的形狀等，解決本題的關(guān)鍵是牢記三視圖定義及其特點(diǎn)，能讀懂題意和從題干圖形中獲取必要信息等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法，對(duì)學(xué)生的空間想象能力有一定的要求．4.為了提升學(xué)生的人文素養(yǎng)，某校開展了朗誦經(jīng)典文學(xué)作品活動(dòng)，來(lái)自不同年級(jí)的30名參賽同學(xué)的得分情況如下圖所示，這些成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.92分，96分 B.94分，96分 C.96分，96分 D.96分，100分【答案】C【解析】【分析】列表，把成績(jī)的分?jǐn)?shù)按從小到大順序排列96分的人最多，眾數(shù)為96分；位于第15位，第16位的數(shù)都處在96分一組，中位數(shù)為分．【詳解】列表，把成績(jī)的分?jǐn)?shù)按從小到大順序排列分?jǐn)?shù)84889296100人數(shù)24810696分的人最多，眾數(shù)為96分；位于第15位，第16位的數(shù)都處在96分一組，∴中位數(shù)為分．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握中位數(shù)和眾數(shù)的定義．5.實(shí)外教職工籃球賽于11月3日開賽，某年級(jí)代表隊(duì)16名隊(duì)員的年齡情況如下表，則這些隊(duì)員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）年齡（單位：歲）3536384044人數(shù)33532A.38，38 B.38，39 C.38，37 D.5，38【答案】A【解析】【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以直接寫出眾數(shù)，然后再找出第8個(gè)數(shù)據(jù)和第9個(gè)數(shù)據(jù)，計(jì)算出這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即可得到中位數(shù)．【詳解】解：由表格可得，眾數(shù)是38，年齡按照從小到大，第8個(gè)數(shù)據(jù)是38，第9個(gè)數(shù)據(jù)是38，則中位數(shù)為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查眾數(shù)、中位數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確眾數(shù)和中位數(shù)的含義，會(huì)找一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)．6.已知如圖，在中，，，直角的頂點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，兩邊，分別交，于點(diǎn)，，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)不與，重合）時(shí)，給出以下5個(gè)結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．上述結(jié)論始終正確的有()A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】A【解析】【分析】①證明得，當(dāng)點(diǎn)E不是的中點(diǎn)時(shí)，，由此判斷①；②由全等三角形性質(zhì)得，，，則為等腰直角三角形，判斷②；③由，得，進(jìn)而得，可判斷③；④根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，，根據(jù)隨著點(diǎn)E的變化而變化，只有當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，，從而判斷④；⑤當(dāng)不是的平分線時(shí)，，此時(shí)，由此判斷⑤．【詳解】①∵，，∴是等腰直角三角形，∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，∴，，∵是直角，∴，∴，在和中，，∴（ASA），∴，當(dāng)點(diǎn)E不是的中點(diǎn)時(shí)，，故①錯(cuò)誤；②∵，，∴為等腰直角三角形，故②正確；③∵，∴，∴，∴，故③正確；④根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，，所以，隨著點(diǎn)E的變化而變化，只有當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，，故④錯(cuò)誤；⑤∵，AB＝AC，∴，當(dāng)不是的平分線時(shí)，，此時(shí)，故⑤錯(cuò)誤；故②③正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵．7.用配方法解一元二次方程﹣2x﹣7＝0，則方程變形為（）A.＝11 B.＝11 C.＝8 D.＝8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)配方的基本要求規(guī)范落實(shí)即可．詳解】∵方程﹣2x﹣7＝0，移項(xiàng)得：﹣2x＝7，配方得：﹣2x+1＝8，即＝8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的配方法，熟練掌握配方的基本步驟是解題的關(guān)鍵．8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問(wèn)清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗醑酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問(wèn)清酒、醑酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程組為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：依題意，得：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組和數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．9.將拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先確定拋物線y=x2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），再根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)（0，0）平移后所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-3），然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移后的拋物線解析式．【詳解】拋物線y=x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），把點(diǎn)（0，0）向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-3），所以平移后的拋物線解析式為y=（x+2）2-3．故選：A．10.如圖，是的直徑，與交于點(diǎn)，弦平分，，垂足為若的半徑為，，則線段的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)，熟記菱形的判定與性質(zhì)定理及作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵；連接，過(guò)作于，得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，得到，推出四邊形是菱形，得到，，于是得到結(jié)論．【詳解】解：連接，過(guò)作于，平分，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，，故選：A．11.如圖，中，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①平分；②；③是的中點(diǎn)；④；⑤，其中正確的有（）A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】B【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，通過(guò)證明四邊形是矩形，可得，，，由“”可證，可得，，，可判斷①；由角的數(shù)量關(guān)系和等腰三角形的判定和性質(zhì)，可判斷②③；由相似三角形的判定和性質(zhì)可得，由線段的和差關(guān)系可判斷④；由，可得，可判斷⑤，即可求解．【詳解】解：，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，，，，，，，又，四邊形是矩形，，，，，，，，，，平分，故①正確；，，，，，，，，故②正確；如圖，連接，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，故③正確，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，∴，，，，，，，，，，，，，故④正確；，，，，，故⑤不合題意，故選：B．12.如圖，在中，，，，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF，則EF的最小值是（）A.1.2 B.1.5 C.2 D.2.4【答案】D【解析】【分析】先證四邊形AEPF是矩形，得EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，再根據(jù)垂線段最短和三角形面積求出AP即可．【詳解】解：連接AP，如圖：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°，∵∠BAC=90°，∴四邊形AFPE是矩形，∴EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP最短，∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴，∵△ABC的面積=，∴AP=2.4，即EF=2.4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）13.計(jì)算：______．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算二次根式的乘法和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再算加減，即可解答．【詳解】解：．故答案為：．14.已知B港口位于A觀測(cè)點(diǎn)北偏東方向，且其到A觀測(cè)點(diǎn)正北風(fēng)向的距離的長(zhǎng)為，一艘貨輪從B港口沿如圖所示的方向航行到達(dá)C處，測(cè)得C處位于A觀測(cè)點(diǎn)北偏東方向，則此時(shí)貨輪與A觀測(cè)點(diǎn)之間的距離的長(zhǎng)為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，和勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)求出的長(zhǎng)，即可得到以及的長(zhǎng)，進(jìn)而得到答案．【詳解】解：，，過(guò)點(diǎn)作．交延長(zhǎng)線于，在中，，，，，，即，，，在中，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知構(gòu)造直角三角形得到邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在⊙O中，直徑，AC切于，交⊙O于，若，則陰影部分的面積為______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意連接AD，得到ABC為等腰直角三角形，推出AB=BD，則弓形BD的面積=弓形AD的面積，故陰影部分的面積=△ACD的面積，可解出最終結(jié)果．【詳解】連接AD，，AC切⊙O于A點(diǎn)，，ABC為等腰直角三角形，又，AD=BD，弓形BD的面積=弓形AD的面積，故陰影部分的面積=△ACD的面積，AB=2，CD=AD=BD=，∴S△ACD=CD×AD==1，即陰影部分的面積是1．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)及切線和弓形面積的知識(shí)，屬于綜合題，需要充分掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用圓的性質(zhì)進(jìn)行解題是關(guān)鍵．16.若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍________．【答案】【解析】【分析】利用一元二次方程根的判別式，即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．17.如圖，矩形紙片中，，，點(diǎn)、分別在、上，將、分別沿、翻折，翻折后點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合當(dāng)、、、四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，線段長(zhǎng)為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理得到，設(shè)，由勾股定理列方程得到，，由折疊的性質(zhì)得到，，求得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：在矩形紙片中，，，，，，將沿翻折，翻折后點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，，設(shè)，，，，，解得：，，，將沿翻折，翻折后點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，，設(shè)，則，，，，線段長(zhǎng)為，故答案為：．18.根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，在最后一個(gè)空格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字__________．【答案】738【解析】【分析】通過(guò)觀察得出：1，3，5，7，9為等差為2的等差數(shù)列，則表格中2=1×1+1，30=3×9+3，130=5×25+5，350=7×49+7，根據(jù)此規(guī)律求解．【詳解】解：觀察圖中的數(shù)字得出框中右下角的數(shù)字計(jì)算分別為：2=1×1+1，30=3×9+3，130=5×25+5，350=7×49+7，所以在最后一個(gè)空格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字為：9×81+9=738．故答案為：738．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)規(guī)律型題的掌握情況，此類型題應(yīng)該仔細(xì)觀察分析給出的數(shù)據(jù)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律根據(jù)規(guī)律解題．三、解答題（本大題共7小題，共78.0分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19.（1）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．（2）解不等式組：．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值、解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則和解一元一次不等式的方法是解答本題的關(guān)鍵．（1）先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，同時(shí)將分式的分子和分母分解因式，然后約分，再算加法，最后將的值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可；（2）先解出每個(gè)不等式的解集，即可得到不等式組的解集．【詳解】解：（1），當(dāng)時(shí)，原式；（2），解不等式，得：，解不等式，得：，該不等式組的解集是．20.某校為了解學(xué)生最喜歡的球類運(yùn)動(dòng)情況，隨機(jī)選取該校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，要求每名學(xué)生只寫一類最喜歡的球類運(yùn)動(dòng)以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖表的一部分．類別類型足球羽毛球乒乓球籃球排球其他人數(shù)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）被調(diào)查的學(xué)生中，最喜歡乒乓球的有______人，最喜歡籃球的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為______（2）被調(diào)查學(xué)生的總數(shù)為______人，其中，最喜歡籃球的有______人，最喜歡足球的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為______（3）該校共有名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校最喜歡排球的學(xué)生人數(shù)．（4）一個(gè)不透明的袋子中有三個(gè)完全相同的小乒乓球，把它們分別標(biāo)號(hào)為，，，小明從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下標(biāo)號(hào)后放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球并記下標(biāo)號(hào)，求兩次摸出的小球標(biāo)號(hào)的和是偶數(shù)的概率．【答案】（1），（2），，（3）人（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)表格和扇形圖可直接得出答案；（2）由羽毛球人數(shù)及所占百分比可得總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)乘以對(duì)應(yīng)百分比可得籃球人數(shù)，用足球人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得其所占百分比；（3）總?cè)藬?shù)乘以樣本中排球人數(shù)所占比例即可；（4）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率以及統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【小問(wèn)1詳解】解：（1）被調(diào)查的學(xué)生中，最喜歡乒乓球的有人，最喜歡籃球的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為，故答案：，；【小問(wèn)2詳解】被調(diào)查學(xué)生的總數(shù)為人，最喜歡籃球的有人，最喜歡足球的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為，故答案為：，，；【小問(wèn)3詳解】根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校最喜歡排球的學(xué)生人數(shù)為人，【小問(wèn)4詳解】列表得，標(biāo)號(hào)所有等可能的結(jié)果數(shù)有種，其中兩次摸出的小球標(biāo)號(hào)的和是偶數(shù)的有種結(jié)果，兩次摸出的小球標(biāo)號(hào)的和是偶數(shù)的概率為．21.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式．（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足的的取值范圍．（3）若點(diǎn)在線段上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1），（2）或（3）【解析】【分析】（1）把坐標(biāo)代入可得解析式，繼而求出，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫出的的取值范圍即可；（3）利用得出，設(shè)坐標(biāo)利用勾股定理建立方程求出即可．本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．【小問(wèn)1詳解】解：反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)，，反比例函數(shù)解析式為，在反比例函數(shù)的圖象上，，，直線經(jīng)過(guò)，，，解得，一次函數(shù)的解析式為；【小問(wèn)2詳解】解：觀察函數(shù)圖象可知的的取值范圍是或；【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)，∵，即，，解得舍去，，點(diǎn)坐標(biāo)為22.已知：如圖，在中，∠ABC=45°，CH⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)D為CH上的一點(diǎn)，且DH=AH，連結(jié)BD并延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，連結(jié)EH．（1）求證：HC=HB；（2）判斷BD與AC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并給出證明；（3）求證：∠BEH=45°．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）BD=AC，BD⊥AC，證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意易求出∠BCH=∠HBC，即得出HC=HB；（2）由題意易證△AHC≌△DHB(SAS)，即得出BD=AC，∠ACH=∠DBH．從而可求出∠ABE+∠A＝90°，即可證明BD⊥AC；（3）過(guò)點(diǎn)H作HF⊥HE交BE于點(diǎn)F，即易證△CHE≌△BHF(ASA)，得出EH=FH，從而可得出．【小問(wèn)1詳解】證明：∵CH⊥AB，∠ABC=45°，∴∠BCH＝90°-∠HBC=45°，∴∠BCH=∠HBC，∴HC=HB；【小問(wèn)2詳解】BD=AC，BD⊥AC；證明如下：在△AHC和△DHB中，∴△AHC≌△DHB(SAS)，∴BD=AC，∠ACH=∠DBH．又∵∠ACH+∠A=90°，∴∠DBH+∠A＝90°，即∠ABE+∠A＝90°∴∠AEB=90°，即BD⊥AC；【小問(wèn)3詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)H作HF⊥HE交BE于點(diǎn)F，∴∠FHD+∠EHD=90°．又∵∠BHF+∠FHD=90°，∴∠BHF=∠EHD，即∠BHF=∠EHC．在△CHE和△BHF中，∴△CHE≌△BHF(ASA)，∴EH=FH．∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)．掌握三角形全等的判定條件是解題關(guān)鍵．23.在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)M，AE或其延長(zhǎng)線與DC或其延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，G是EF的中點(diǎn),連結(jié)CG．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)．求證：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM.（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),（1）中的結(jié)論②是否成立？請(qǐng)寫出結(jié)論，不用證明．（3）試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△MCE是等腰三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；（2）成立；（3）當(dāng)BE=或BE=時(shí)，△MCE是等腰三角形.【解析】【詳解】試題分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用邊角邊定理即可證明△ABM≌△CBM；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAM=∠BCM，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得GC=GF，根據(jù)等腰三角形和平行線的性質(zhì)得到角的等量關(guān)系得∠BCM=∠GCF，即可證得結(jié)論；（2）類比（1）的方法即可得結(jié)論；（3）分當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)兩種情況討論求解即可.試題解析：(1)①證明：∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC，∠ABM=∠CBM又∵BM=BM,∴ΔABM≌ΔCBM.②∵ΔABM≌ΔCBM，∴∠BAM=∠BCM又∵∠ECF=90o,G是EF的中點(diǎn)∴GC=GF,∴∠GCF=∠F又∵AB∥DF,∴∠BAM=∠F，∴∠BCM=∠GCF∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90o∴GC⊥CM(2)成立(3)①當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)∵∠MEC＞90o,要使△MCE是等腰三角形,必須EM=EC,∴∠EMC=∠ECM∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，∴2∠BAE+∠BAE=90o,∴∠BAE=300∴BE=.②當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),仿①易知BE=.綜上①②,當(dāng)BE=或BE=時(shí)，△MCE是等腰三角形.點(diǎn)睛：本題主要考查正方形、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形以及等腰三角形，難度適中，符合學(xué)生的解題要求.24.綜合與實(shí)踐如圖1，已知點(diǎn)G在正方形ABCD對(duì)角線AC上，GE⊥BC，垂足為E，GF⊥CD，垂足為F．【證明與推斷】（1）①四邊形CEGF的形狀是______________；②的值為_______________；【探究與證明】（2）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形CEGF繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角（0°<α<45°），如圖2所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展與運(yùn)用】（3）如圖3，在（2）的條件下，正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，探究AG和GE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）①正方形；②；（2）AG=BE，理由見(jiàn)解析；（3）AG⊥GE，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）①由兩個(gè)垂直及正方形的性質(zhì)可得四邊形CEGF是矩形，根據(jù)對(duì)角線的性質(zhì)可得CE=GE，從而可得四邊形CEGF是正方形；②根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，再由四邊形CEGF是正方形即可求得比值；（2）AG=BE；連接CG，及折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)可證得△ACG∽△BCE，從而相似三角形的性質(zhì)即可得AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系；（3）AG與GE的位置關(guān)系是垂直；由點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線及△ACG∽△BCE，可得∠AGC=∠BEC=135°，從而可得點(diǎn)A，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線，進(jìn)而易得AG與GE垂直．【詳解】解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BCD=∠B=90°,∠BCA=45°．∵GE⊥BC，GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,∴四邊形CEGF是矩形．∵∠CGE=∠BCA=45°，∴CE=GE，∴四邊形CEGF是正方形．故答案為：正方形②∵∠B=∠CEG=90°，∴GE∥AB，∴．∵四邊形CEGF是正方形，∴CE=GE，∴由勾股定理得：．∴．故答案為：（2）AG=BE，理由如下：如圖所示，連接CG．由旋轉(zhuǎn)可得∠BCE=∠AGG=，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴，由①得四邊形GECF是正方形，∴∠GEC=∠ECF=90°，GE=EC，∴△EGC為等腰直角三角形．∴，∴，∴△ACG∽△BCE，∴．∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE．（3）AG⊥GE，理由如下∶如圖所示，連接CG，∵∠CEF=45°，點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線，∴∠BEC=135°．∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC=∠BEC=135°．∴∠AGF=∠AGC+∠CGF=135°+45°=180°，∴點(diǎn)A，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴∠AGE=∠AGF-∠EGF=180°-90°=90°，∴AG⊥GE．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方