專題29等差數(shù)列通項與前n項和-2024年數(shù)學高頻考點重點題型（原卷版）

專題29等差數(shù)列通項與前n項和公式核心體系等差數(shù)列二、關鍵能力1.理解等差數(shù)列的概念；2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式；3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題；4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關系．三、教學建議從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點．預測2022年高考將會以等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項和為考查重點，也可能將等差數(shù)列的通項、前n項和及性質(zhì)綜合考查，題型以客觀題或解答題的形式呈現(xiàn)，試題難度一般不大，屬中檔題型.四、自主梳理 1．等差數(shù)列的定義(1)文字語言：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項減去前一項所得的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．(2)符號語言：an＋1－an＝d(n∈N)．2．等差數(shù)列的通項公式（☆☆☆）若等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d．推廣：an＝am＋(n－m)d．3．等差中項（☆☆☆）如果三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫a和b的等差中項，且有A＝eq\f(a＋b,2)．4．等差數(shù)列的前n項和公式(1)Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．(2)Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)．5.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差數(shù)列中，對任意，，，；（4）在等差數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中項.（5）等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即SKIPIF1<0成等差數(shù)列.（6）兩個等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列．（7）若數(shù)列是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列．五、高頻考點+重點題型考點一、等差數(shù)列的基本量例11.（2023·全國新課標Ⅰ卷T20）設等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．(1)若，求的通項公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．例12.【2022年新高考2卷】已知an為等差數(shù)列，bn是公比為2的等比數(shù)列，且(1)證明：a1=b1；訓練題組一（基本量運算）1、【2021·全國高考真題】記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．2.【2019·江蘇高考真題】已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的值是_____.3.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若eq\f(S3,S3＋S6)＝eq\f(1,5)，則eq\f(a3,a3＋a6)等于()A.eq\f(2,15)B.eq\f(1,4)C.eq\f(5,16)D.eq\f(1,3)題組訓練二（利用基本量探究）已知等差數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且，則的最小值是___________.2．（2023·全國新課標Ⅱ卷T18）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．考點二、等差數(shù)列的性質(zhì)及其應用例21.【2021·北京高考真題】和是兩個等差數(shù)列，其中為常值，，，，則（）A． B． C． D．例22.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若SnA．130B．170C．210D．260例23.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為A．23B．2n+13n+1C．2n?13n?1訓練題組一1.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足aeq\o\al(2,5)＋aeq\o\al(2,6)＝aeq\o\al(2,7)＋aeq\o\al(2,8)，則S12＝________.訓練題組二1．【2020年新課標2卷理科】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊訓練題組三1.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，T記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1>0，a1+a2017=0，則3.在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2020，其前n項和為Sn，若eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，則S2022＝________.考點三、前n項和的綜合應用例31.【多選題】【2021·全國高三其他模擬】等差數(shù)列的前項和為，已知，，則（）A．B．的前項和中最小C．的最小值為49D．的最大值為0例32.．（2023·全國甲卷T17）設為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．訓練題組已知等差數(shù)列的通項公式為，當且僅當時，數(shù)列的前n項和最大.則當時，___________.2.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，，…，中最大的項為（）A．B．C．D．3.（多選）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且a2＝20，S7＝98，則下列結論中正確的是()A.a1＋a5＝34B.|a8|<|a9|C.Sn≤S9D.滿足Sn<0的n的最小值為17考點四、證明等差數(shù)列例41.【2021·全國高考真題（理）】記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．例42.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）數(shù)列的前項和為，求證：．訓練題組一1．【2022年全國甲卷】記Sn為數(shù)列an的前n項和．已知(1)證明：an(2)若a4,a訓練題組二1.【2021年甲卷理科】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．2.【2019·全國II卷】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（I）證明：{an–bn}是等差數(shù)列；{an+bn}是等比數(shù)列，（II）求{an}和{bn}的通項公式.3.（多選）設{an}是無窮數(shù)列，An＝an＋an＋1(n＝1,2，…)，則下面給出的四個判斷中，一定正確的有()A.若{an}是等差數(shù)列，則{An}是等差數(shù)列B.若{An}是等差數(shù)列，則{an}是等差數(shù)列C.若{an}是等比數(shù)列，則{An}是等比數(shù)列D.若{An}是等差數(shù)列，則{a2n}是等差數(shù)列考點五、數(shù)學文化小型應用題例51.我國明代數(shù)學家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問：各該鈔若干？其意思是：現(xiàn)有錢238貫，采用等差數(shù)列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個人，現(xiàn)在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問各人各得錢多少？在這個問題中，戊所得錢數(shù)為（）A．30.8貫 B．39.2貫 C．47.6貫 D．64.4貫例52.(多選)朱世杰是元代著名數(shù)學家，他所著的《算學啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作．《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題．現(xiàn)有100根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數(shù)可以是()A.4B.5C.7D.8訓練題組一1.（2021·哈爾濱市第一中學校高三三模（理））習近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術培訓”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預計該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構成一個等差數(shù)列（單位萬元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術培訓”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為（）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元2.中國古詩詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學名題：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言”．題意是：把996斤綿分給8個兒子作盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿，那么第8個兒子分到的綿是()A．174斤 B．184斤C．191斤 D．201斤訓練題組二1.《九章算術》卷七“盈不足”有這樣一段話：“今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊．齊去長安三千里．良馬初日行一百九十三里，日增十三里．駑馬初日行九十七里，日減半里．”意思是：今有良馬與駑馬從長安出發(fā)到齊國．齊國與長安相距3000里．良馬第一日走193里，以后逐日增加13里．駑馬第一日走97里，以后逐日減少0.5里．則8天后兩馬之間的距離為()A.1055里 B.1146里C.1510里 D.1692里鞏固訓練一、單項選擇題1．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，則a3等于()A．－2B．0C．3D．62．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11＝（）A．58 B．88 C．143 D．1763．是等差數(shù)列，，，則該數(shù)列前10項和等于（）A．64 B．100 C．110 D．1204．記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．85．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝ran＋r(n∈N*，r∈R，r≠0)，則“r＝1”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．(2022·汕頭二模)已知數(shù)列{an}中各項均為非負數(shù)，a2＝1，a5＝16，若數(shù)列{eq\r(an)}為等差數(shù)列，則a13＝()A．169 B．144C．12 D．137．程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩云“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數(shù)來言．務要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”意為：996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個開始，以后每人依次多17斤，直到第八個孩子為止．分配時一定要等級分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個孩子分得斤數(shù)為()A．65B．176C．183D．1848．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2018，eq\f(S2019,2019)－eq\f(S2013,2013)＝6，則S2020＝________.二、多項選擇題9．設{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，則下列結論正確的是()A．d<0 B．a(chǎn)7＝0C．S9>S5 D．S6與S7均為Sn的最大值10．已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式成立的是（）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．三、填空題11．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2a4a6a8=120，且+++=，則S9的值為．12．已知等差數(shù)列{an}的首項a1=a，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且滿足=3n2an+，an≠0，n≥2，n∈N*，那么a=．13．【2020年新高考1卷（山東卷）】將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．14．設等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，若對任意自然數(shù)n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(