2023年上海市高考數(shù)學(xué)考前20天復(fù)習(xí)-04 數(shù)列小題綜合教師版

04數(shù)列小題綜合

一、填空題

1.（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）若數(shù)列｛q,｝為等差數(shù)列，且%=2,S5=20,則該數(shù)列

的前"項(xiàng)和為Sll=.

【答案】n（n-D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式列出方程，求得首項(xiàng)和公差，即可求

得答案.

【詳解】由題意數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且％=2,S5=20,

4+d=2q=0

設(shè)數(shù)列公差為“，則5q+10d=20'解得

d=2

故S,=DX2=〃(〃-1),

故答'案為："（〃7）

2.（2023春?上海嘉定?高三上海市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛4｝的公差為

1,S“為其前”項(xiàng)和，若S3=R,則能=

【答案】2

【分析】先求得4,然后求得生.

【詳解】依題意3%+3=4+5,q=l,/=1+1=2.

故答案為：2

f2ttri—1

3.（2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模）已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為％=、;^,前〃項(xiàng)和為

[2,n>2

S,則IimS,=

n11wn→+∞r(nóng)----------------

【答案】I/2.5

【分析】先求得S1,,然后求得正確答案.

5

所以IimSn=Iim

^^∕ι→+oo∏->+α>2

故答案為：—

4.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模)已知機(jī)是m-2與4的等差中項(xiàng)，且

52345

[m+x)=α0+a1x+a2x+?x+?4x+a5x,則小的值為

【答案】40

【分析】首先根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出a=2,再利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)得到相應(yīng)「值，代

入即可得到答案.

【詳解】由題意得〃-2+4=2m,解得機(jī)=2,

則二項(xiàng)式(2+X)5的通項(xiàng)為卻=C<25-r./,

令r=3則有n=C?22?χ3=40d,故%=40,

故答案為：40.

5.(2023春?上海閔行?高三上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí))艾薩克牛頓是英國皇家學(xué)會

會長，著名物理學(xué)家，他在數(shù)學(xué)上也有杰出貢獻(xiàn).牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)f(x)零

點(diǎn)時(shí)給出一個(gè)數(shù)列=χ“一擊i，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列.如果函數(shù)

/(力=62+瓜+。3>0)有兩個(gè)零點(diǎn)1和2,數(shù)列｛x,,｝為牛頓數(shù)列.設(shè)4,=InWB

Xn~1

知4=1,X">2,{α,,}的前〃項(xiàng)和為S“，則$2023=

【答案】22023-l∕-l+22023

【分析】由函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)可得。，b,C的關(guān)系，從而得

2

22

“力=加-30t+20(α>0),求導(dǎo)后代入M=X“-整理可得上立"_f?~

-1

X—2

再由4=ln：F得數(shù)列｛《,｝是等比數(shù)列，通過等比數(shù)列的求和公式得答案.

【詳解】F(X)=αr2+bχ+c(α>0)有兩個(gè)零點(diǎn)1,2,

6f+?+C=0b=-3a

則4"+2"c=0'解之得

c=2a

則/(x)=cue-3ax+2a(a>0),則∕,(x)=2ax-3a{a>0),

X"x").χ若-3"+2a_xj_2

則?+∣

"?Γ(X")"2axn-3a2xιι-3,

J_22

∣,1I∣/+I_2=2x“-3=X,J-4X"+4_X“_2］

'?÷∣-1?2-2x,,+lLXΛ~IJ'

2xj,-3

由α,,=ln±J,可得α"=in2==ln（±W］=21n^三=2%,

x111

∏^?+l-l?-√χ,一ι

故為M=2α,,,又4=1,則數(shù)列｛““｝是首項(xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列，

則通項(xiàng)公式。"=2"、前〃項(xiàng)和S,,=匕Zl=2"-1,則SZM=2^3-1.

1-2

故答案為：22°23-l.

6.（2023春?上海奉賢?高三?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列｛4｝的前項(xiàng)和為S.，若

?,=1,S3=—,則｛q,｝的公比4=.

【答案】-g∕-0?5

2

［分析】直接利用等比數(shù)列的公式計(jì)算得到答案.

22

［詳解］S3=al+a2+a3=a^?+q+q^=l+q+q,解得g=

故答案為：-萬

7.（2023?上海崇明?上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知｛4｝為等差數(shù)列，若

αl+α5+α9=π,貝IJtan(a2+08)的值為.

【答案】

【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出6=］，進(jìn)而得色+。8=與，再代入所求即可.

【詳解】因?yàn)椋?,｝為等差數(shù)列，且4+%+%=%

由等差數(shù)列的性質(zhì)得。5=三，

所以/+%=與

2π-√3.

故tan(d2+?)=tan

故答案為：-石.

8.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）參考《九章算術(shù)》中“竹九節(jié)”問題，提出：一根9節(jié)的

竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共2升，下面3節(jié)的容積共3

升，則第5節(jié)的容積為..升.

Q

【答案】?

【分析】設(shè)自上而下的竹子容量依次為見，可得｛可｝為等差數(shù)列，根據(jù)其=2,

α7+α8+α9=3,可得數(shù)列的通項(xiàng)公式及出

【詳解】設(shè)自上而下的竹子容量依次為可得｛4｝為等差數(shù)列,

4_

S4=al+a2+a3+a4=4q+6a=211

則

%+q+49=3q+21d=3?

d

11

,/?j〃+3.8

故z〃“=4+("l1)d=F-，。5=4+4〃=石

Q

故答案為：—

9.（2023?上海靜安?統(tǒng)考二模）已知｛4｝是公比為q的等比數(shù)列,且%、4、牝成等差

數(shù)列，則〃2

【答案】1

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列列方程，再解方程作答.

【詳解】在等比數(shù)列｛4｝中，/，4,4成等差數(shù)列，則2%=4+%，

即2%/=/+%/，而。2*0，整理得q4-2∕+l=0,得C=0，

所以寸=1.

故答案為：1.

10.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）已知在等比數(shù)列｛%｝中，％、的分別是函數(shù)

y=丁-6*+6x-l的兩個(gè)駐點(diǎn)，則％=

【答案】√2

【分析】根據(jù)題意利用導(dǎo)數(shù)及韋達(dá)定理可得應(yīng)，的的關(guān)系，后利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得

答案.

【詳解】由題意可得：y=3√-12x+6,

+a=4>0

則。3、的是函數(shù)y'=3Y-12x+6的零點(diǎn)，則7

a3a1=2>0

且回｝為等比數(shù)列,設(shè)公比為4≠0,

%>0

a

可得,7>°，解得O5=±&,

=a3a7=2

注意到a5=>0.可得為=3?

故答案為：√2?

11.(2023春?上海寶山?高三上海交大附中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Y+pχ+q有

X—2

hl

兩個(gè)零點(diǎn)1、2,數(shù)列｛4｝滿足?+1=Xn,若％=Fr,且q=-2,則數(shù)列{4}

Xn-?

的前2023項(xiàng)的和為.

【答案】2-22024

【分析】計(jì)算/(x)=f-3x+2,f'(x)=2x-3,代入計(jì)算得到M=等二4,確定｛%｝

zχi

n-

為首項(xiàng)為—2,公比為2的等比數(shù)列，求和得到答案.

【詳解】函數(shù)"x)=Y+px+q有兩個(gè)零點(diǎn)1、2,故〃X)=(X-I)(x-2)=d-3x+2,

∕,(x)=2x-3,

?=X?(??z?√-3?+2√-2

，，+，,

"Γ(?)"2X,,-32XΠ-3

4=In4二=In與^—=21n%二=2a,

%-l√-21?-i

2%-3

故｛4｝為首項(xiàng)為-2,公比為2的等比數(shù)列,

[_92023

數(shù)歹U{??)的前2023項(xiàng)的和為-2x=2-22024,

故答案為：2-22儂

2073

12.(2023春?上海楊浦?高三復(fù)旦附中校考階段練習(xí))已知數(shù)列｛4｝滿足q=荒?,且

Q_?n1

對于任意的正整數(shù)”,都有“宣.若正整數(shù)A使得對任意的正整數(shù)成立,

則整數(shù)Z的最小值為

【答案】674

【分析】由題意可得4>1,凡一?(?-l)=?+1-l,取倒化簡可得

11

1,再利用裂項(xiàng)相消法即可得解.

-1

.?,1,2023_?∣-1

【r詳f解ez】1因?yàn)?=7^7，an----+---

2020an-?

可得4>l,?-l>0,?+1-l>0,

貝IJ有T)=%+「I,

11

所以許I

an~ian

11

所以一=

為τ《山一1

ea111111

則2—=一+—÷+一=一——十+」

%%—1a1

%%7n+??^

J_<幽

4T〃”+]T3

”1

因?yàn)檎麛?shù)小Q3對任意的正整數(shù)成立,

2020

所以k≥

3

所以整數(shù)k的最小值為674.

故答案為：674.

2

13.（2023?上海青浦?統(tǒng)考二模）已知數(shù)列｛叫滿足4=an^+n,若滿足

at<a2<ai<a4<a5<a6且對任意M∈[9,+∞）,都有an><zπ+1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】

1119

【分析】利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】由題意數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為/=〃/+〃，〃eN*,滿足

aλ<a2<a3<ai<a5<ab,且>。,用對任意的“≥9恒成立,

“<0

當(dāng)”=0時(shí),顯然不合題意,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得但<一L<12,解得

122a2

11,所以實(shí)數(shù)”的取值范圍是Ew

<cι<---

1119

11

故答案為:

19j'

%=2%+l("≥2)

14.（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）已知數(shù)列｛%｝的遞推公式為V,則該

4=2

數(shù)列的通項(xiàng)公式%二

【答案】3×2,'^'-l

【分析】由己知湊配出等比數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式為.

【詳解】由4=2%τ+l得％+l=2(α,τ+l),又％+l=3,

所以｛q+1）是等比數(shù)列，公比為2,所以〃“+I=3χ2”?

aιι=3×2"-'-?,

故答案為：3×2π-'-l.

15.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）已知數(shù)列｛%｝滿足：對于任意"GN"有","（O,?,且

4=%/（4M）=Jr（4,），其中/（x）=tanx?若〃,=■一㈢一數(shù)列也｝的前N項(xiàng)

4tan?t,-tan?

和為，，貝IJ兀O=1

【答案】10

【分析】對“X)求導(dǎo)，可證得｛tai?4｝是以tan2q=l為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,

Uj■求出tana,,=/1,再由并項(xiàng)求和法求出兀。.

【詳解】因?yàn)?(x)=tanx,則

、(SinX)cos%?cos%-sin%?(-sinx)1,

./(?)=——=------------5----------=——=ιl+tan2x,

ICOSX)COS-XCOS^X

2

由4=F,f(%+1)=Jr(%),可得tanan+l=√l+tanαπ,

22

tan?+1-tanɑ,l=1,所以卜an%,,｝是以taι√α∣=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

所以tan%“=〃，,qe(θ,5),:.tanq,>0,則tana“=?,

所以〃=―HT—=Uelyl(G+4),

v,

tanan+l-tanany∣n+?->Jn

所以Go=4+4+4++?∣∣9+^120

=-(√2+l)+(√3+√2)-(√4+√3)++(√i2T+√i2δ)

=7121-1=11-1=10.

故答案為：10

16.(2023春?上海?高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí))已知數(shù)列｛4｝、也,｝、｛q,｝的

通項(xiàng)公式分別為?=—?C=-,其中“+s+f=100,5=切，〃，s,?∈N',

ns11t

令M=max｛a,",,,q,｝,(010%｛4,也,%｝表示。“、b“、C"三者中的最大值)，則對于任

意ZeN",Mn的最小值為.

【答案】yγ

［分析］當(dāng)k=2時(shí)可得Mn=max｛α“也,c,,｝=max｛all,cn｝=maxJ—,再根據(jù)

9∩∩?nn

數(shù)列的單調(diào)性求得”=罟，M,取得最小值，而22＜罟＜23,分別求出Mg、M45,

比較可得％=2時(shí)M”的最小值；然后當(dāng)％=1、k≥3時(shí)，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，分別求出

可能取得最小值時(shí)的值，比較即可得答案.

【詳解】當(dāng)k=2時(shí)可得Mn=max{an,bn,cn}=max{all,cn}=maxJ—

[nIOC

因?yàn)閿?shù)列{4}是單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列{1}為單調(diào)遞增數(shù)列，

所以當(dāng)史=77駕時(shí)，M,取得最小值，此時(shí)〃=挈，

n100-3n9

B”400“f)f4060120

因?yàn)?2<丁<23,而加22=max{a,c}=max?=五，

2222<100,3χ2J

A?I∫4060160

”=maXIQX,c"=max<—,-------------->=—,

2312323j(23I00-3×23∫31

又小黑所以當(dāng)％=2時(shí)，/的最小值為筆

當(dāng)&=1時(shí)，Mn=max{an,bn,cn}=max?bn,cn?=max]—??,

因?yàn)閿?shù)列他,｝為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列｛%｝為單調(diào)遞增數(shù)列,

所以當(dāng)色=772=時(shí)，此取得最小值，此時(shí)〃=絆

〃100—2〃II

20

因?yàn)?6<-∩-<37,而=max{∕?,C36}=maxj

^9^

..f.x∫8060130

37

I3737j[37100-2×37j13

此時(shí)M〃的最小值為2守0，而2黃0牛20

60、6015

當(dāng)時(shí)，C,

a≥3?-1QO-(I+?)Λ^100-4∕?-25-n…

4015

所以=max{4，〃,,，}=max{4,?,}≥max

〃'25-n

4015)

令H=max

nn'25-〃?'

15

因?yàn)閿?shù)列｛4｝為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,

25—〃

4015..4015I取得最小值，止匕時(shí)〃=*

所以一=77—r時(shí)l，Hrn=maX

n25-πn,25-nJ

401520

因?yàn)?8<?^vl9,H18=max

-18,25-18^9^

40155

H19=max

-19,25-192

又因?yàn)?0此5時(shí)的最小值為三20?

綜上所述，山的最小值為三.

故答案為：??.

二、單選題

17.(2023?上海寶山?統(tǒng)考二模)將正整數(shù)〃分解為兩個(gè)正整數(shù)勺、】的積,即"=《?自，

當(dāng)4、電兩數(shù)差的絕對值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解.如20=1x20=2x10=4x5,

其中4x5即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)匕、&是"的最優(yōu)分解時(shí)，定義"")=%-L∣,則數(shù)

列｛f(5")｝的前2023項(xiàng)的和為()

A.510'2B.5I0'2-1C.52023D.52023-l

【答案】B

【分析】根據(jù)最優(yōu)分解定義得到〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)時(shí)，｛∕(5")｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求

出數(shù)列｛∕(5")｝前2023項(xiàng)和.

【詳解】當(dāng)〃=2MZWN?)時(shí)，由于52"=5"X5*,此時(shí)f(52")=F-5*∣=0,

當(dāng)〃=2左-IkeN*)時(shí)，由于/τ=5'Tχ5",此時(shí)=,-51卜5?-58,

所以數(shù)列｛/(5")｝的前2023項(xiàng)的和為

(5-l)+0+(52-5)+0+(53-52)+0++(51011-5llll°)+0+(51012-51011)=510'2-1.

故選：B

18.(2023春?上海虹口福三統(tǒng)考期中)在數(shù)列也｝中，若有〃”=仇,(機(jī)，〃均為正整數(shù)，

且〃件〃)，就有%產(chǎn)〃一則稱數(shù)列｛〃｝為“遞等數(shù)列”.已知數(shù)列｛%｝滿足％=5,且

4=〃(α,,+ι-

?！?，將”遞等數(shù)列”｛?｝前〃項(xiàng)和記為Sn,若t>ι=%=b*,b2=a2,S5=at0,

則S2023=()

A.4720B.4719C.4718D.4716

【答案】B

【分析】確定篇=?，得到4=〃，計(jì)算確定數(shù)列｛a｝為周期為3的周期數(shù)列，計(jì)算

得到答案.

【詳解】all=n(an+l-an),則餐=%,則％=&==B=I,故q=〃，

〃+1nnn-?5

l,ι=%==?,N=a?=2,故b$=b?=2,

S5-bx+b2+b3+?4+?5=ɑ,0=10,故4=4,∕%=4=4,

則〃=&=1,?=?5=2,L,故數(shù)列出｝為周期為3的周期數(shù)列，

S2023=4+674伯+仇+4)=1+674x7=4719.

故選：B

19.(2023?上海奉賢?統(tǒng)考二模)設(shè)5“是一個(gè)無窮數(shù)列｛%｝的前W項(xiàng)和,若一個(gè)數(shù)列滿足

CC

對任意的正整數(shù)”,不等式十<篇恒成立,則稱數(shù)列｛a,,｝為和諧數(shù)列,有下列3個(gè)命題：

①若對任意的正整數(shù)”均有4,<〃,用,則｛q｝為和諧數(shù)列；

②若等差數(shù)列｛《,｝是和諧數(shù)列,則S,,一定存在最小值；

③若｛q,｝的首項(xiàng)小于零,則一定存在公比為負(fù)數(shù)的一個(gè)等比數(shù)列是和諧數(shù)列.

以上3個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)有()個(gè)

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】先得出力<2絲的等價(jià)條件S”<,然后再進(jìn)行判斷,對于?③可以取一個(gè)公比

為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列說明其存在性即可.

【詳解】對于①,d<壬o5+1)S.<∏5n+1OS(IcMS.+r)=S”<MIlT,

若??<4+ι,則S"<πan<nall+i,所以①正確;

對于②,設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

則S,=/+Iq-外,所以&=

2\2Jn22

即｛1｝為公差為彳的等差數(shù)列，

若｛%｝為和諧數(shù)列,即<去/則B>0，

所以關(guān)于"的二次函數(shù)S,=弓〃2+(4-弓》,開口向上，

所以在"WN上一定存在最小值,所以②正確；

對于③,取4<0,4=-；，

則S,=7^-?(ι-<7")=?q.,

?-q',?V4√

下面證明s,<nall+l,即說明存在公比為負(fù)數(shù)的一個(gè)等比數(shù)列是和諧數(shù)列,

4

即證

即證1］一（一;

當(dāng)〃=2衣+LAeN,上式左邊為負(fù)數(shù),顯然成立，

當(dāng)〃=2〃斥叱,時(shí),即證（2上+3,<（即證16人一步1>0,（*）

555-

設(shè)/（Q=I6"-?∣IJa）=I6"?lnl6-?∣>lnl6j=lnl6-lne2>0,

所以yw>f（D>o,即（*）式成立,所以③正確.

故選：D

20.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）設(shè)｛叫是項(xiàng)數(shù)為“。的有窮數(shù)列，其中％≥2.當(dāng)〃吟

時(shí)，4=￡，且對任意正整數(shù)”≤"°,都有4+9+~=0.給出下列兩個(gè)命題：①若對任

意正整數(shù)"≤%,都有Za,≤3，則許的最大值為18；②對于任意滿足l≤s<f<%的

正整數(shù)S和r,總存在不超過距的正整數(shù)機(jī)和晨使得%+%=￡%.下列說法正確的

i=s+l

是（）

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①和②都是真命題D.①和②都是假命題

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式計(jì)算和，然后分析判斷.

151111111023

【詳解】→→+---=----一+一++7+1

5125122422θ-Tθ24

由已知〃>勺且”eN*時(shí)，??<0,因此￡生中”=勺（羯為偶數(shù)）或（%為

2∕=ι22

奇數(shù)）時(shí)?取得最大值，

/=1

L

因此對命題①，有^≤9,∏0≤18,命題①為真命題;

由已知數(shù)列—“｝是g,；,,泉,一.,一擊,'!或g'"',?,-y,0,-2^r,,一；’其

中∕∈N*,

整理化簡后Z4=4+ι+4+2++《等于：，：，』或一：，一二7，中連續(xù)項(xiàng)的和

J=S+14o2224

或等于0,

若才4=4+ι+J++4=0，取帆=l,%="o即可滿足題意；

i=s+?

I111

若∑4=m2++4等于?*中連續(xù)項(xiàng)的和，例如

i≈s+?482

∑ai=asu+ax+2++4=擊+/++?（l≤p≤q≤仔且PM∈N*）,

則有Eq?=4+∣+4+2++q=∕τ+pτ++￡=/一￡，取加=P，女=%+1一4即

可滿足題意；

同理若Zai=%+i+4+2++4等于一。",一/1，?，一;中連續(xù)項(xiàng)的和，例如

i=s+ι224

∑jai=a^l+as+2++a,=---^-一與（1≤p≤（7≤々且p,geN*）,

∕=s+lLZ.ZZ

E+/??111

則有2〃；=見+|+見*2++4=一齊一才一一產(chǎn)=""齊+才，取tr機(jī)=%+I1-P,%=4

即可滿足題意；

綜上，命題②是真命題.

故選：c.

21.（2023春?上海?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列用遞推公式表示的數(shù)列中，使得

Iima,,=&成立的是（）

%+99

a(“≥2)

BC.'?49%+1

?1=1

a“=2+ailna,i(”￡2)

D.?-l+ln?.,

.4=1

【答案】D

【分析】判斷各選項(xiàng)的符號，結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)列出等式，即可求解.

【詳解】A選項(xiàng)：4=+2]=等f，則?！芭c%同號，又q=-1,所以為<0，

2（?-1）2的

所以Iima“=&不成立，故A錯(cuò)誤；

“一?+30

B選項(xiàng)：?""=怒*，所以氏與0，-同號，令/CO=，解/（X）=X得：X=當(dāng),

則Iima=，故B錯(cuò)誤；

n→+cjon7

2—3cι1113

C選項(xiàng)：a,=-------2r1-,<∕=1一必=—,a=-----

l0n-1^3l235416

且令/(X)=左寺，解/(x)=X得：x=±√2?所以物為=&不成立，故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：《/+aIna,-,所以°>o,〃、)=空警，解"同=X得：X=夜，

即Iima=&成立，故D正確.

∕I→+∞Zr

故選：D

22.(2023?上海長寧?統(tǒng)考二模)設(shè)各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列｛4｝和｛2｝的前〃項(xiàng)和分別

為和對于方程①，2③

5”2023d-SMMX+n023=°@x~alx+bt=0,

√+?23x+‰23=0.下列判斷正確的是()

A.若①有實(shí)根，②有實(shí)根，則③有實(shí)根

B.若①有實(shí)根，②無實(shí)根，則③有實(shí)根

C.若①無實(shí)根，②有實(shí)根，則③無實(shí)根

D.若①無實(shí)根，②無實(shí)根，則③無實(shí)根

【答案】B

【分析】若①有實(shí)根，得至IJa溫-物?！?,設(shè)方程犬-乎+伉=0與方程

2

X+a202ix+b202i=0的判別式分別為?∣和Δ2023,得到?l+Δ202,≥0,結(jié)合舉反例可以判斷

選項(xiàng)AB；通過舉反例可以判斷選項(xiàng)CD.

【詳解】若①有實(shí)根，由題意得：S‰-4×20237ζ02,≥0,

其中s2α23=2023(、+喙)=20234.2,T202,=2023("如。=2O23fc,o,2,

代入上式得a-m2-4?l0l2>0,

設(shè)方程d-qx+仇=0與方程/+。2023》+久023=0的判別式分別為4和42023，

則∣2=。；+一

?l+Δ2023=(a-4?,)+(?23-4‰23)?23-4(?I+‰23)≥⑷+產(chǎn))46+h202i)

等號成立的條件是4=?m.

又∣O，

A+423≥α+;MJl4(4÷‰23)=?^-8?,2=?-4?IO12)>O

如果②有實(shí)根，則4≥0,W∣JΔ2023≥0???A2023<0,所以③有實(shí)根或者沒有實(shí)根，如

aλ=6,bi=2,α20l3=4,fe2013=6,滿足臉？一他皿=5?-4χ4>0,?1=36-8>0,但是

Δ2023=16-24<0,所以③沒有實(shí)根，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

如果②沒實(shí)根，則4<0，則Azw'O,所以③有實(shí)根，所以選項(xiàng)B正確；

若①無實(shí)根，則%—0,②有實(shí)根，則4≥0,

42

設(shè)q=3,〃=2,<?3=-3，%23=2,^∣T[U<?∣2-?012=(°)-4×2<0,4>。，

此時(shí)A2023=I>0,則③有實(shí)根，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

若①無實(shí)根，則始2-4%"2<O,②無實(shí)根，則4<0,

設(shè)4=3,6∣=3,<?O23=-3,∕?23=2，fi∕τW?2~4?∣O12=(0)2-4×∣<0,4<0,

此時(shí)A2023=l>0,則③有實(shí)根，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)健是排除法的靈活運(yùn)用，要證明一個(gè)命題是假命題，

證明比較困難，只需舉一個(gè)反例即可.

23.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模)設(shè)數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)的和為S.，若對任意的〃eN*,都

有則稱數(shù)列｛《,｝為“K數(shù)列”.關(guān)于命題：①存在等差數(shù)列｛《,｝,使得它是“K

數(shù)列“；②若｛%｝是首項(xiàng)為正數(shù)、公比為q的等比數(shù)列，則qe[2,+∞)是｛4｝為“K數(shù)歹廣

的充要條件.下列判斷正確的是()

A.①和②都為真命題B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題D.①和②都為假命題

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的定義，按公差的取值情況分類探討判斷①；利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式

及前〃項(xiàng)和公式，結(jié)合不等式恒成立即可推理作答.

【詳解】令等差數(shù)列｛q｝的公差為d，當(dāng)d≤0時(shí)，E=q≥q+d=/,不符合題意，

2

當(dāng)d>0時(shí)，S11-α,,+∣=nιιt+,"(；+∏J)=∏-(∣-ɑ?)z7-βj,

函數(shù)/(x)=gY-(I-q)x-6的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸X=：-%

222a

存在x0>]-3,使得/(X0)>O,取不小于X。的正整數(shù)“，則有/(〃)>(),

2a

即S,,>α,,+∣,不符合題意，綜上得①為假命題；

等比數(shù)列｛4｝首項(xiàng)4>0,因?yàn)閿?shù)列｛%｝為“K數(shù)列”，則有4=耳<々=%，即4>1,

S=4(j")M=*,于是誓士2<adOr'-2q"+I>0o2-q<二r,

?-q?-qq

依題意,任意的“eN",2-q<J7,函數(shù)y=(?)?,X≥1在U,內(nèi))單調(diào)遞減,值域是(θ?],

因此2-q≤0oq≥2,所以qe[2,w)是｛%｝為“K數(shù)列”的充要條件，②是真命題，

判斷正確的是①為假命題，②為真命題.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，根據(jù)數(shù)列的特性，準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，借助

函數(shù)性質(zhì)分析求解是解題的關(guān)鍵，背景函數(shù)的條件，應(yīng)緊扣題中的限制條件.

24.(2023?上海青浦?統(tǒng)考二模)已知數(shù)列｛?！埃凉M足4=1,4向-可=卜3),存在正偶數(shù)

?使得(4T)3+∣+尤)>0,且對任意正奇數(shù)“有(％-丸)(%+A)<0,則實(shí)數(shù)4的取

值范圍是().